高等数学(上册)教案13 中值定理与洛必达法则

第一篇：高等数学(上册)教案13 中值定理与洛必达法则

第3章 导数的应用

洛必达法则

【教学目的】：

1.理解洛必达法则的含义；

2.会用洛必达法则解决未定式的极限的计算；

3.联系前两章有关计算极限的知识，学习极限的综合计算。

【教学重点】：

1.洛必达法则使用的条件； 2.各种未定式的极限计算； 3.学习极限的综合计算。

【教学难点】：

1.各种未定式的极限计算； 2.学习极限的综合计算。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

3.1.2 洛必达法则

1、洛必达（L’Hospital）法则 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：（1）limf(x)limg(x)0（或limf(x)limg(x)）；

xx0xx0xx0xx0（2）f(x)和g(x)在点x0的左右近旁可导，且g(x)0，f(x)（3）有lim，=A（或）xx0g(x)f(x)f(x)limlim则有 =A（或）.xx0g(x)xx0g(x)f(x)f(x)lim当运用洛必达法则后得到lim，而仍然满足定理的条件，则

xx0g(x)xx0g(x)f(x)f(x)lim可以继续使用洛必达法则，得到lim.xx0g(x)xx0g(x)0 除型和型的未定式之外，还有0、0、、00、0、1等五00种，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等式变形转化为型或型，然

0后利用洛必达法则进行计算.(secxtanx).例7 求limx2(secxtanx)lim解limx2xx01sinxcosxlim0．

cosxsinxxx22例8 求limx.解 因为xexxlnx，因而limxx0x=ex0limxlnx

1lnxx=lim(x)=0 lim(xlnx)=limlimx0x0x01x012xxx0xe=.1所以，lim x0注：有些极限虽是未定式，但使用洛必达法则无法求出极限值，这类未定式须考虑用其它方法计算．

联系前两章有关计算极限的知识，以课后能力训练为例，学习极限的综合计算。

【教学小节】：

通过本节的学习，掌握洛必达法则使用的条件，并能够应用洛必达法则解决各种未定式的极限的计算，联系之前学习的知识，掌握极限的综合计算问题。

【课后作业】：

能力训练 P77 4（2、6、7、9）

第二篇：高等数学 极限与中值定理 应用

(一)1.xsinlimxlimxsin2xx1 22xx1(洛必达法则)1x2

=lim2x22xx1

2

2.xx limxlimsinxcosx1

1

3.x0sinxlimcosxx0limtanxsinxx3

sinx3limx sinx(1cosx)x0xcosx3

x3lim23x0x12

4.limxsinx3x0lim16x1cosx3x2 x0

（二）1.若

limsinxeaxx0(cosxb)5，求常数a，b

lim(cosxb)xea sinx(cosxb)limxx0ea x0sinx由等价无穷小可得a=1

=lim(cosxb)xsinxexx05

b4

2.若x0,(x)kx,(x)21xarcsinxcosx

是等价无穷小，求常数K lim1xarcsinxkx2cosxx01

lim1xarcsinxcosxkx(1xarcsinx1xarcsinxcosx2kx2x02cosx)

limx0

x2arcsinxlimx0sinx1x4kx1x)cosx'lim31x2(x01x4k2

4k3k41

3.证明当X>02

时，(x1)lnx(x1)222

f(x)(x1)lnx(x1)则f(x)2xlnxx2xlnxx'''

1x2(x1)1x2

1x2f(x)2(lnx1)1

2lnxln1x21x211

x210'再倒推可得：f(x)0

22f(x)0f(x0)，所以(x1)lnx(x1)

（三）1.设f(x)在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，且

f(a)0，证明：(0,a)，使得f()f()0。

'求原函数F(x)xf(x)

F(0)F(a)0满足罗尔定律，所以F(x)0

'即 f()f()0'

2.设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）上可导。且

f(0)0,f(1)1，证明

（1）c(0,1).推出f(c)1c（2），(0,1)有f()f()=1（）''

（1）F(x)f(c)c1

F(0)1,F(1)1

由零点定理得c(0,1)有F(c)=0

所以c(0,1).推出f(c)1c（2）设(o,c),(c,1)得

f()f()''f(c)f(0)c0f(1)f(c)1c1ccc1c'

'所以 ，(0,1)有f()f()=1（）

第三篇：关于判别式法与韦达定理的论述

关于判别式法与韦达定理论述

weiqingsong

摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

关键词：判别式法韦达定理

在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。

一、韦达定理的由来

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

二、对判别式法的介绍及概括

一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a、b、c的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。

判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1)当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。

三、某些利用别式法解题的例题

“判别式法”是我们解题时常用的方法，对初高中同学来说，在解题中常常用到，掌握它很有必要，下面举例说明它的作用。

1.求最值

例： 已知a2bab30，且a0，b0，试求实数a、b为何值时，ab

1取得最大值。

解：构造关于a的二次方程，应用“判别式法”。设aby

由已知得a2by30（2）

（3）（1）2ab由（1）（2）消去，对a整理得(y30)a2y0

22对于（3），由(y30)42y0，y68y9000，解得y50或

y18。由yab30，舍去y50，得y18。

2把y18代入（3）（注意此时0），得a12a360，即a6，从而

b3。

故当a6，b3时，ab取得最大值为18。

2.求参数的取值范围

例：对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的2f(x)ax(b1)xb1(a0)，不动点。已知函数对于任意实数b，函数f(x)

恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

解：对任意实数b，f(x)恒有两个相异的不动点对任意实数b,ax2(b1)xb1x恒有两个不等实根对任意实数b，ax2bxb10

2恒有两个不等实根对任意实数b,b4a(b1)0恒成立。

22b4a(b1)b4ab4a看作关于b的二次函数，可以将则对任意实

22b，b4ab4a0'(4a)44a0a(a1)0 数恒成立

0a1

故a的取值范围是(0，1)

四、对韦达定理的介绍及概括

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。这里讲一元二次方程两根之间的关系。一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达定理（即根与系数的关系）虽然是初中数学的内容，但它的应用却贯穿于整个中学数学教学的始终，用它来解决一些数学问题非常简捷巧妙，简捷得使人惊叹，巧妙的令人叫绝，能激发学生的学习兴

2趣。有利于创造思维能力的培养。

五、某些利用韦达定理解题的例题

1.利用根与系数的关系求值

112例：若方程x3x10的两根为x1,x2，则x1x2的值为_____.x1x2b3c13,x1x21a1a1解：根据韦达定理得：

11x1x233x1x2x1x2

12.利用根与系数的关系构造新方程

理论：以两个数为根的一元二次方程是。例：解方程组

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z1=2,z2=

3∴原方程组的解为 x1=2,y1=3

x2=3,y2=

2六、判别式法与韦达定理相结合的综合应用

例1.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为

4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方yxm2程组y4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1m)点

A到直线l的距离为∴S△=2(5+m)m,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤

322m5m5m

32()3=128

∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

解法二由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5xym2y4x由方程组,消去x,得y 2－4 y －4m=0①∵直线l与抛物线有

两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,11(5m)|y1y2|(5m2∴S△

=251(m)＝42

2∴S△≤851(m)(1m)22即m=1时取等号2,当且仅当

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

82y例2.已知抛物线4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N。求证：直线MN必过定点，并求出定点的坐标。

解：设直线AB的方程为yk(x1)（k0），则

4yk(x1)xx2Bk2x2(2k24)xk20Ak22y4xxAxB1，42yAyBxCxD24kyCyD4kk22M12,yAyB2xx1kkyCyD2，CD从而有。同理，有，N(12k,2k)。因此，直线MN的斜率2kMNk

1k2，从而直线MN的方程为

y2kkk2(x12k)y(x3)21k21k，即。显然，直线MN必过定点(3,0)； 参考文献：①《浅谈“判别式法”的作用》作者：徐国锋、袁玉凤

②《 2008年安徽省安庆一中高考模拟试卷》

③《 2009年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验试卷》

第四篇：高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点

第1章 函数、极限与连续

函数的连续性与间断点

【教学目的】：

1.理解函数在一点连续的概念； 2.会求简单函数的间断点；

【教学重点】：

1.函数连续、间断的概念；

2.函数在一点处连续的判定方法； 3.函数间断点的分类；

【教学难点】：

1.函数在一点处连续的判定方法； 2.分段函数分段点处的连续性判断； 3.函数间断点的分类。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

1.4.1函数的连续性的概念

1、函数的增量

2、函数的连续性

定义1 设函数yf(x)在点x0及其附近有定义，且limy0，则称函数

x0f(x)在点x0连续，x0称为函数yf(x)的连续点．

连续的另一等价定义是：

定义2 设函数yfx在点x0及其附近有定义，如果函数fx当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值fx0，即limfxfx0，那么就称函数yfx在点x0连续.注意：由定义知函数f(x)在x0处连续要limfxfx0成立，则必须同时

xx0xx0满足以下三个条件

(1)函数f(x)在x0处有定义；

(2)极限limf(x)存在；

xx0(3)极限值等于函数值，即limf(x)f(x0)．

xx0定义3 如果函数yf(x)在x0处及其左邻域内有定义，且limf(x)=f(x0)，xx0则称函数yf(x)在x0处左连续．如果函数yf(x)在x0处及其右邻域内有定义，且limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在x0处右连续．

xx0yf(x)在x0处连续  yf(x)在x0处既左连续且右连续．

x1x0例5 讨论函数f(x)0x0 在点x0处的连续性.x1x0解 函数定义域为(,)，x0limf(x)=lim(x1)1，limf(x)lim(x1)1，x0x0x0由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以limf(x)不存在，函数f(x)在点

x0x0处不连续.定义4 若函数f(x)在开区间(a,b)内任何一点处都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．

3、函数的间断点

如果函数yf(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处间断，并称x0为f(x)的间断点．

设x0是f(x)的间断点，若f(x)在x0点的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．

在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：

通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。

【课后作业】：

无

第五篇：教科版九年级道德与法治上册 第12课 财富中的法与德 教案

《财富中的法与德》教学设计

教材分析：

我获得财富的手段有合法与非法之分，支配财富的方式有正确与错误之别，财富的获得与支配需要从法律角度与道德角度对其进行衡量。【知识与能力目标】

1.知道勤俭节约是中华民族的传统美德,培养勤俭节约、文明消费的良好行为习惯。2.知道获得财富必须遵纪守法,理解合法致富的原因;知道依法纳税是公民的基本义务,理解税收的作用。

3.认识到勤俭节约是治国安邦之道,是企业家取得成就的法宝,是人的美德。【过程与方法目标】

培养学生分析问题、解决问题的能力。【情感态度价值观目标】

1.帮助学生明确“君子爱财,取之有道”的财富观、价值观;明确依法纳税是公民的义务 2.培养学生对社会的强烈责任感,激励学生树立“富而思源,富而思进”的思想,从小做一个有理想、懂得回报社会的人

3.懂得在生活中应当量力而行,不贪图虚荣,不盲目攀比,树立良好的消费观。

教学重难点：

1财富中法与德的要求。2.树立正确的财富观。

课前准备：

教学课件、图表

教学过程：

导入新课：

材料分析：今年6月初，群众举报范冰冰“阴阳合同”涉税问题后，国家税务总局高度重视，即责成江苏等地税务机关依法开展调查核实。

从调查核实情况看，范冰冰在电影《大轰炸》剧组拍摄过程中实际取得片酬3000万元，其中1000万元已经申报纳税，其余2000万元以拆分合同方式偷逃个人所得税618万元，少缴营业税及附加112万元，合计730万元。此外，还查出范冰冰及其担任法定代表人的企业少缴税款2.48亿元，其中偷逃税款1.34亿元。

依据《中华人民共和国行政处罚法》第四十二条以及《江苏省行政处罚听证程序规则》相关规定，9月26日，江苏省税务局依法先向范冰冰下达《税务行政处罚事项告知书》，对此范冰冰未提出听证申请。9月30日，江苏省税务局依法已向范冰冰正式下达《税务处理决定书》和《税务行政处罚决定书》，要求其将追缴的税款、滞纳金、罚款在收到上述处理处罚决定后在规定期限内缴清。

教师：你从上述新闻材料获取了哪些信息?这对我们获得财富有何警示? 学生讨论。

教师:范冰冰事件告诉我们，财富的获得有多种办法和途径。然而,在法制社会下，无论用什么方法,通过什么途径,都必须符合法律的规定。交税是每个中华人民共和国的公民应尽的义务，偷税漏税是十分可耻的行为，需要受到法律的制裁。每个人都应该通过合法的方式获得财富。

【设计意图】：通过案例分析阐明纳税是公民应尽的义务，获得财富必须遵纪守法。

教师：你们能够从图片中解读出什么？ 学生讨论。

教师：这是一幅讲述纳税的图片，树叶上写了是国防、基础建设、文化、民生、社会和谐等等。树干上写了人民说明人民是这些活动的主体，而旁边有两个人在给这棵树浇水，也谐音“交税”因为上述活动的人民主体地位是通过人民的纳税才能够达到的。这幅图描绘了诚信纳税的重要性。

【设计意图】：明白依法纳税是公民的基本义务,理解税收的作用。

教师：在获取财富的过程中我们需要依据法律做到诚信纳税，在获得财富之后，我们在支配这些财富的时候，同样也需要做道德上的考量。

案例：2018年6月14日，古天乐慈善基金捐建的第99个学校教学楼举行了竣工典礼，这所小学的位于广西苍梧。竣工典礼现场，教学楼上面的校训中首当其冲的就是：善念和感恩。上述材料说明了什么? 学生讨论。

教师:我们可以将这两位社会公共人物做一个对比，社会上存在着很多只考虑一己私利的人，但是也存在着许多心怀社会，拥有高度的社会责任感的人。越来越多的人开始以各种方式回报社会、奉献社会,带动和帮助后富,逐步走向共同富裕。在他们的身上,表现出了“富而思源”的高尚境界。我国允许和鼓励一部分人先富起来，做到先富带动后富，以实现共同富裕。这个过程中先富起来的人承担了更多的社会责任，以实际行动回报社会，是社会责任感的体现，也是射虎进步的需要和标志。当然，先富之人更需要拥有一种积极向上的人生观做到富而思进取。

【设计意图】：通过案例分析，培养学生对社会的强烈责任感,激励学生树立“富而思源,富而思进”的思想。

教师：在支配财富的过程中我们还需要做到勤俭节约，勤俭节约是中华民族的传统美德。只有做到请见节约才能够做到守业有成，这是古今中外不变的真理。

案例： 1.共产主义战士雷锋在生活中处处注意节约，他参军后，每月领到的津贴费，除了交团费，买书等必需的生活日用品外，其它的全部存入了储蓄所。他的袜子总是补了穿，穿了又补。变得面目全非了还舍不得买双新的。搪瓷脸盆和洗口杯有许多疤子，还不愿意丢掉另买。他的内衣也补了许多补丁。但部队发夏装时，按规定每人可领两套单军装，两件衬衣、两双鞋，而雷锋却只领一份，说是是“够穿了”。

2.英国女王伊丽莎白二世经常说的一句英国谚语是“节约便士，英镑自来”，每一天深夜她都亲自熄灭白金汉宫小厅堂和走廊的灯，她坚持皇家用的牙膏要挤到一点不剩。教师：你们从上述故事中得到那些启示？ 学会讨论。

教师：随着经济的发展，人们生活水平的提高,有些人把勤俭的美德当作“过时”的观念加以否定。这种观念是错误的，使国家足够发达了，我们的生活真正富足了,勤俭节约的美德也不能丢。因此,在艰苦的年代,我们要用勤俭节约渡过难关,在富裕的年代,更要用勤俭节约的习惯培养我们的品德.从我国的实现国情来看,我国仍然是一个发展中的人口大国,人均资源短缺,艰苦奋斗、勤俭节约将是一个要永远倡导的精神,要在全社会提倡勤俭节约、珍惜劳力、创造财富的意识,为达到目标而不畏艰难、锐意进取的意识状态和思想品格，使得锐意进取的世界观、人生观、价值观深入人心。

教师：在消费过程中也要做到量力而行，适度消费，过度消费不仅会积累个人的不良习惯，也会造成社会资源的浪费。那么在你们生活中有没有过度消费的案例呢？ 学生讨论。

【设计意图】：了解的传统美德,培养勤俭节约、文明消费的良好行为习惯。