高中数学定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用教案新课标人教A版选修2（5篇）

第一篇：高中数学定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用教案新课标人教A版选修2

一、例题

例1计算下列定积分

1．例2．计算由两条抛物线yx和yx所围成的图形的面积.例

3、求

二、练习： 1.4.计算由曲线yx6x和yx所围成的图形的面积

3250(2x4)dx 2.211dx；

3.x31(2x1)dx。2x22212(e)dxxx204x2dx

94x(1x)dx

2.e1(x12)dx

3.x212(ex)dxx 三．课后练习：

1.计算下列定积分的值。

（1）1(4xx)dx

2（3）0(xsinx)dx 32

（2）1(x1)dx

252cos2xdx

（4）

2 已知自由落体运动的速率vgt，则落体运动从t0到tt0所走的路程为（）

222gt0gt0gt02gt0

A.3B.C.D.6

3ycosx,x[0,]2与坐标所围成的面积（）3.曲线

5A.4

B.2

C.2

D.3 1xx(ee)dx（）04.211ee e

B.2e

C.e

D.A.325.求曲线yxx2x与x轴所围成的图形的面积。e

6.设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2。（1）求yf(x)的表达式；

（2）求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；

（3）若直线xt（0t1把yf(x)）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值。

1．解：1.50(2x4)dx945

2112，所以dxlnx|1ln2ln1ln2。

1xx33311113.因为(x2)'2x,()'2，所以(2x2)dx2xdx2dx

111xxxx131223。x2|1|1(91)(1)x332.因为(lnx)'2．【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

yxx0及x1，所以两曲线的交点为解：2yx（0，0）、（1，1），面积S=1210xdxx2dx，所以

011yx23x312S=(x-x)dxx=3

0303【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

C yxO D A

第二篇：197-高中数学选修系列2 选修2-2《定积分的概念》教案

精品教学网 www.xiexiebang.com.net 第五章定积分的概念

教学目的与要求：

1．解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2．解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念一．定积分的定义

不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，记xixixi1,i1,2,......n,max{x1,x2,......,xn}在[xi1,xi]上任意取一点i，作和式：

1)f()x.......(iii1n如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[xi1,xi]怎样选取，只要0有f(i)xiI（I为一个确定的常数），则称极限I是i1nf(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做

baf(x)dx即I=f(x)dx其

第-35 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net 中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。注

1．定积分还可以用语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=

baf(x)dx和S=v(t)dt

T1T23有定义知道ba与函数f(x)以及区间[a,b]f(x)dx表示一个具体的书，有关，而与积分变量x无关，即

baf(x)dx=f(u)du=f(t)dt

aabb4定义中的0不能用n代替

n5如果Lim0f()x存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那iii1么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：f(x)1]中的有理点1,x为[0，在[0，1]上不可积。

1]中的无理点0，x为[0，可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义

第-36 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net 当f(x)0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则0baf(x)dx表示曲边梯形面积的代数和。

[例1]计算1exdx

解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为xi取ixi作和式：

ni,i0,1,2,.....n，xi1/n，1/nnLim0i1111e[(e)n1]f(i)xiLimeLimeLime1100n0nni1i1en1nninin1n1n所以：10exdx=e-1 7．按照定义

5．2定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知，baf(x)dx是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定： 1． a=b时，2． a>b时，babf(x)dx=0 f(x)dx=-f(x)dx

baa 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即

ba[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aabb

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）

第-37 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net bakf(x)dxkf(x)dx

ab性质3：无论a,b,c的位置如何，有

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb性质4：f(x)1则baf(x)dxba

性质5：若f(x)g(x)则性质6：baf(x)dxg(x)dx,ab

abbaf(x)dxf(x)dx

ab性质7：设在a,b，mfxM，则

bmbaafxdxMba

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存一点，使下式成立，例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于x面积

例

2、（估计积分值）证明 2103 证： baf(x)dx(ba)f()

011x2dx

4之间0, x1, y0, y1x2dx2xx21 29912xxx在0,1 上最大值为，最小值为2

44222∴ 212xx231 第-38 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net ∴ 230112xx21 25．3定积分的计算方法一．变上限积分函数的导数

设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为

xaf(x)dx由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为(x)变上限积分的函数。

xaf(t)dt（ab）称(x)是定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则(x)导，且导数为(x)证明省略

xaf(t)dt在[a,b]上可

dx(f(t)dt)f(x)dxa定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(t)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

ax注意：

1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系

二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式

定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

第-39 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

。(2)在上式中令x = a，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1)。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)– F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2 计算。

解。

第-40 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例3 计算。

解。

例4 计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。

解。

例5 求

解易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此。

第-41 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例

6、limcosxx01tlntdtx4limcosxlncosxsinx 3x04x1sinxlncosx limcosxlimlim2x0x0x04xx

11sinx limx042xcosx85．4定积分的换元法

定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数x(t)在[.]上严格单调，且有连续导数，（3）t时，a(t)b 且()a,()b则有换元公式：

baf(x)dxf((t))(t)dt…….(1)注

1．用换元法时，当用x(t)将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2． x(t)必须严格单调 3． 可以大于

4．从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。

例

1、02x22xx2dx02x21-(x1)2dx

法一

设 x-1sin t

第-42 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net π2π2π(1sin t)2322cos t dt20(1sint)dtπ cost2 设法二 x2sin2t

π20原式

8 例2．设fsin4 t dt83！π3π 4！22x在,Fxx0上连续，且

x2tftdt, 证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证：

Fxx0x2tftdttux2uftdtx0

x0x2tftdt

Fx

例3．奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)fx在[-a,a]连续，a0 x为偶数，则-axaTa当f当f(2)af(x)dx20f(x)dxaa

为奇函数，则

T-af(x)dx0

f(x)dx0f(x)dx，fx以T为周期

说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

第-43 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例

4、-11x(1x2001)(ex-e-x)dx4 e原式 2011x(ex-e-x)dx

x-x

2xd(e-e)

2x(exex)10

例

5、4 eπcos xcos x2dxdx π222cosx2sinx1sinx2π200π 1dsin x2arctansinx21sinxπ20π 2 例

6、设f解：设x为连续函数，且f(x)sinxπ0π0f(x)dx 求fx

则fxsinxA f(x)dxA

两边积分

 π0f(x)dx(sinxA)dx

0πAcosx0Ax0

Aππ2 1π

第-44 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net ∴ f(x)sinx2 1π5.5定积分的分部积分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则

bauvdxuv|bauvdx

ab证明：因为(uv)uvuv，则有uv(uv)uv，两边取定积分。有babuvdxuv|bauvdx也可以写成：udvuv|avdu

aaabbb例1．解：10xexdx

110010xxexdxxdexxex|10edxe(e1)1 e例2．解：sin(lnx)dx

1ee1esin(lnx)dxxsin(lnx)|xdsin(lnx)esin1xcos(lnx)dx1111xee1e=esin1cos(lnx)dxesin1xcos(lnx)|1xsin(lnx)dx

11xe=esin1ecos11esin(lnx)dx

1e1=[esin1ecos11] sin(lnx)dx12例

3、设 fx1xln tdt1tx0，1求fxf

x1x1ln tlnt解：fxfdt1xdt 11t1tx

第-45 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net

1lnx1 x2 1x11xxln例4．设f(x)在[a,b]连

(a,b)可导，且f(x)0，F(x)x1f(t)dt证明在(a,b)内，有F(x)0 axa证：F(x)(xa)f(x)af(t)dt(xa)2x

(xa)f(x)(xa)f()(xa)2xaaxb

f(x)f()

f(x)0f(x)在(a,b)单调减，x

f()f(x)故 F(x)0

5．6定积分的近似计算 5．7广义积分一无穷限的广义积分

定义1 设函数f(x)在区间[a , +)上连续，取b>a，若极限

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +)上的广义积分，记作，即

(1)。

第-46 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net 这时也称广义积分分发散。

收敛；若上述极限不存在，称为广义积类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。

设函数f(x)在区间(- ,+)上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-, +)上的广义积分，记作收敛；否则就称广义积分，也称广义积分发散。

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

例1：计算广义积分0arctgxdx 1x2解：0barctgxarctgx122bdx=limdxlim[arctgx]|0

b01x2b21x28例2．计算广义积分sinxdx以及0sinxdx

解： 0sinxdxcosx|0(1limcosa)显然发散

a同理sinxdxsinxdxsinxdx也发散

00例3：证明广义积分证当p = 1时，(a>0)当p>1时收敛，当p 1时发散。

第-47 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net , 当p1时，因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为广义积分发散。

二．无界函数的广义积分

；当p1时，这现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限(a,b]上的广义积分，仍然记作收敛。

类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a

与

都收敛，则定义

存在，则称此极限为函数f(x)在，这时也称广义积分；

(2)否则，就称广义积分发散。

第-48 –页精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例1 证明广义积分证当q = 1时，当q < 1时收敛，当q  1时发散。，当q 1时，因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为这广义积分发散。

；当q 1时，例2．计算广义积分4dx4x0

解：4dx4x0lim4dx4x004lim(24x)|0lim[224]400例3：广义积分可以相互转化

sin1x201xdx1sintdt

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第三篇：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)1

1.5.3 定积分的概念

教学目标：

1.了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2.理解定积分及几何意义.3.掌握定积分的基本性质及其计算教学重点与难点：

1.定积分的概念及几何意义 2.定积分的基本性质及运算

教学过程：

1.定积分的定义： 2.怎样用定积分表示：

x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？ t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？

S1f(x)dx01101115xdx S2v(t)dt(t22)dt

003323.你能说说定积分的几何意义吗？例如f(x)dx的几何意义是什么?

ab定积分af(x)dx是直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边4.4.梯形的面积b根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？

Ayf1(x)B

Dyf(x)C 2 abxO

思考：试用定积分的几何意义说明 1.204x2dx的大小

由直线x=0，x=2，y=0及y4x2所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的21面积的，4x2dx.042.x3dx0

115.例：利用定积分的定义，计算x3dx0的值.016.由定积分的定义可得到哪些性质？

第四篇：高中数学必修2新课标人教A版教案

第一章：空间几何体...............................................................................................................................................1 1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）........................................................................................................3 1.2.2 空间几何体的直观图（1课时）......................................................................错误！未定义书签。1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积.....................................................................错误！未定义书签。§1.3.2 球的体积和表面积...........................................................................................错误！未定义书签。

第二章直线与平面的位置关系..............................错误！未定义书签。

§2.1.1平面.....................................................................................................................错误！未定义书签。§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系.................................................................错误！未定义书签。§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系..........................错误！未定义书签。§2.2.1 直线与平面平行的判定.....................................................................................错误！未定义书签。§2.2.2平面与平面平行的判定.....................................................................................错误！未定义书签。§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质.................................................错误！未定义书签。§2.3.1直线与平面垂直的判定......................................................................................错误！未定义书签。§2.3.2平面与平面垂直的判定......................................................................................错误！未定义书签。§

2、3.3直线与平面垂直的性质 §

2、3.4平面与平面垂直的性质............................错误！未定义书签。本章小结.........................................................................................................................错误！未定义书签。

第三章

直线与方程................................................错误！未定义书签。

3.1.1直线的倾斜角和斜率............................................................................................错误！未定义书签。3.1.2两条直线的平行与垂直()......................................................................................错误！未定义书签。3.2.1 直线的点斜式方程.............................................................................................错误！未定义书签。3.2.2 直线的两点式方程.............................................................................................错误！未定义书签。3.2.3 直线的一般式方程.............................................................................................错误！未定义书签。3.3-1两直线的交点坐标................................................................................................错误！未定义书签。3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离...........................................................错误！未定义书签。3．3．3两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式.............................................错误！未定义书签。

第四章圆与方程......................................................错误！未定义书签。

4.1.1 圆的标准方程.......................................................................................................错误！未定义书签。4.1.2圆的一般方程........................................................................................................错误！未定义书签。4.2.1 直线与圆的位置关系.........................................................................................错误！未定义书签。4.2.2 圆与圆的位置关系.............................................................................................错误！未定义书签。4.2.3 直线与圆的方程的应用.....................................................................................错误！未定义书签。

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第一章：空间几何体

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

一、教学目标 1．知识与技能

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。2．过程与方法

（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。3．情感态度与价值观

（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点

重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具

（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）实物模型、投影仪

四、教学思路

（一）创设情景，揭示课题

1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知

1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？

请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些请你下载完整版 …

木鱼石整理

QQ：66610032 基本几何体组成的？

6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。

8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。

9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。

10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。

4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

四、巩固深化

练习：课本P7 练习1、2（1）（2）

课本P8习题1.1 第2、3、4题

五、归纳整理

由学生整理学习了哪些内容

六、布置作业

课本P8 练习题1.1 B组第1题课外练习课本P8习题1.1 B组第2题

……..…….…….完整版下载地址… …….…….…….http://hi.baidu.com/水煮木鱼石

1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）

一、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力 2．过程与方法

主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。3．情感态度与价值观（1）提高学生空间想象力（2）体会三视图的作用

二、教学重点、难点

重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体

三、学法与教学用具

1．学法：观察、动手实践、讨论、类比 2．教学用具：实物模型、三角板

四、教学思路

（一）创设情景，揭开课题

“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？

（二）实践动手作图

1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;……..…….…….完整版下载地址… …….…….…….http://hi.baidu.com/水煮木鱼石

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第五篇：高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》教案

二

极坐标系

课题：

1、极坐标系的的概念教学目的：

知识目标：理解极坐标的概念

能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：理解极坐标的意义

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.教

具：多媒体、实物投影仪教学过程：

一、复习引入：

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

二、讲解新课：

从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用 

表示线段OM的长度，用 

表示从OX到OM 的角度，

叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.3、负极径的规定

在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角当＜0时，点M（，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M（，）也可以表示为(,2k)或(,(2k1))

(kz)

4、数学应用

例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）A（4，0）B（2）C（）D（）E（）F（）G（）

①平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？

③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。变式训练

在极坐标系里描出下列各点 A（3，0）B（6，2）C（3，532）D（5，43）E（3，56）F（4，）G（6，54点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中，(1)已知两点P（5，(2)已知M的极坐标为（，）且=置。变式训练

1、若ABC的的三个顶点为A(5,52),B(8,56),C(3,76),判断三角形的形状.），Q(1,R4)，求线段PQ的长度；

3，，说明满足上述条件的点M 的位

2、若A、B两点的极坐标为(1,1),(2,2)求AB的长以及AOB的面积。（O为极点）

例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。（1）P是点Q关于极点O的对称点；（2）P是点Q关于直线2的对称点；

（3）P是点Q关于极轴的对称点。变式训练

1.在极坐标系中,与点(8,A(8,6)关于极点对称的点的一个坐标是

（）

6)6),B(8,56),C(8,56),D(8,

4),B(2,54),2在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是A(2,的坐标。

求第三个顶点C

三、巩固与练习

四、小

结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。

五、课后作业：

六．课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。

课题：

2、极坐标与直角坐标的互化教学目的：

知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.教

具：多媒体、实物投影仪教学过程：

一、复习引入：

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,3)，这个点如何用极坐标表示？

学生回顾

理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义

正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解

二、讲解新课：

直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为(x,y)和(,)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：

{xcosysin2x2yyx

tan

说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。

3互化公式的三个前提条件

1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.三．举例应用：

例1．（1）把点M 的极坐标(8,（2）把点P的直角坐标(变式训练

在极坐标系中,已知A(2,6),B(2,23)化成直角坐标

6,2)化成极坐标

6),求A,B两点的距离

例2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.(1)已知A的极坐标(4,53),求它的直角坐标,(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,2)和(0,15)求它们的极坐标.(＞0,0≤＜2)变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜2)A(1,1),B(0,2),C(3,4),D(3,4)

23

例3.在极坐标系中,已知两点A(6,求A,B中点的极坐标.变式训练

在极坐标系中,已知三点M(2,6),B(6,).3),N(2,0),P(23,6).判断M,N,P三点是否在一条直线上.四、巩固与练习：课后练习

五、小

结：本节课学习了以下内容：

1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；

2．互换的公式；

3．互换的基本方法。