江苏省金湖县实验中学中考数学 二次三项式的因式分解(公式法)复习教案 新人教版[优秀范文5篇]

第一篇：江苏省金湖县实验中学中考数学 二次三项式的因式分解(公式法)复习教案 新人教版

二次三项式的因式分解（用公式法）

（二）三、教学步骤

（一）明确目标

对于含有一个字母在实数范围内可分解的二次三项式，学生利用十字相乘法或用公式法可以解决．对于含有两个字母的二次三项式如何用公式法进行因式分解是我们本节课研究的目标．

（二）整体感知

本节课是上节课的继续和深化，上节课主要练习了利用公式法将含有一个字母的二次三项式因式分解，这节课研究含有两个字母的二次三项式的因式分解，实际上可设二次三项式为零，把一个字母看成是未知数，其它看成已知数，求出方程的两个根，然后利用公式法将问题解决．本节课较上节课有一定的难度．

通过本节课，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．上节课是本节课的基础，本节课是上节课的加深和巩固．

（三）重点、难点的学习和目标完成的过程

1．复习提问：

（1）如果x

221，x2是方程ax+bx+c=0的两个根，则ax+bx+c如何因式分解？（2）将下列各式因式分解？ ①4x2+8x-1；②6x2-9x-21． 2．例1 把2x2-8xy+5y2分解因式． 解：∵ 关于x的方程2x2-8xy+5y2

=0的根是

教师引导、板书，学生回答． 注意以下两个问题：

（1）把x看成未知数，其它看成已知数．（2）结果不能漏掉字母y． 练习：在实数范围内分解下列各式．（1）6x2-11xy-7y；（2）3x

2+4xy-y2

． 学生板书、笔答，评价．

注意（1）可有两种方法，学生体会应选用较简单的方法． 例2 把（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）分解因式． 分析：此题有两种方法，方法

（一）∵ 关于x的方程（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=0

∴（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）

=[（m-1）x-m][mx-（m+1）] =（mx-x-m）（mx-m-1）． 方法

（二）用十字相乘法．（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=[（m-1）x-m][mx-（m+1）] =（mx-x-m）（mx-m-1）． 方法

（二）比方法

（一）简单．

由此可以得出：遇见二次三项式的因式分解：（1）首先考虑能否提取公因式．（2）能否运用十字相乘法．（3）最后考虑用公式法．

以上教师引导，学生板书、笔答，学生总结结论． 练习：把下列各式因式分解：

（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3．

解：（1）（m-m）x-（2m-1）x+m（m+1）=m（m-1）x-（2m-1）x+m（m+1）=[mx-（m+1）][（m-1）x-m] =（mx-m-1）[（m-1）x-m）]．（因式分解法）（2）（x+x）-2x（x+1）-3…第一步 =（x+x-3）（x+x+1）…第二步 22222222

2（1）题用十字相乘法较简单．

（2）题第一步到第二步用十字相乘法，由第二步到第三步用公式法．注意以下几点：（1）因式分解一定进行到底．

（2）当b-4ac≥0时，ax2+bx+c在实数范围内可以分解．当b-4ac＜0时，ax+bx+c在实数范围内不可分解．

（四）总结与扩展

启发引导、小结本节课内容． 1．遇见二次三项式因式分解．（1）首先考虑能否提取公因式．（2）其次考虑能否选用十字相乘法．（3）最后考虑公式法．

2．通过本节课的学习，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．注意以下几点；（1）在进行2x-8xy+5y分解因式时，千万不要漏掉字母y．（2）因式分解一定进行到不能再分解为止．

（3）对二次三项式ax+bx+c的因式分解，当b-4ac≥0时，它在实数范围内可以分解；当b-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可以分解． 2

22222

四、布置作业

1．教材P.38中B 1.2（8）． 2．把下列各式分解因式：

（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；（2）（x2+x）2-3x（x+1）-4．

五、板书设计

12.6 二次三项式的因式分解

（二）结论：

例1．把2x2-8xy+5y

2因式分解．如果x1，x2为一元二次方程 解：略 ax2+bx+c=0的两个根，则ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）

六、作业参考答案 1．教材P.39中A2

2．教材P.39中B 1．

（1）（3x+5）（2x-3）；（2）（7x-6y）（6x-7y）；

（4）（2x-9y）（7x-2y）3．

（1）[mx-（m+1）][（m-1）x-m]（2）解：（x+x）-3x（x+1）-4 =（x+x-4）（x+x+1）2222

第二篇：二次三项式的因式分解(用公式法)教学案(一)

二次三项式的因式分解（用公式法）教学案

一、素质教育目标

（一）知识教学点：

1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．

2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．

（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．

（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．

二、教学重点、难点、疑点及解决办法

1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．

2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系． 3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．

三、教学步骤

（一）明确目标

二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．

（二）整体感知

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．

公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．前提测评

（1）写出关于x的二次三项式？

（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解． ①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1． 由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．

2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．

①x2-2x+1=0； 解：原式变形为（x-1）（x-1）=0． ∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0； 解原方程可变为（x-2）（x-3）=0 ∴ x1=2，x2=3． ③6x2+x-2=0 解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．

观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．

②推导出公式

=a（x-x1）（x-x2）．

这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成

ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）． 教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．

③公式的应用

例1 把4x2+8x-1分解因式 解：∵

方程4x2+8x-1=0的根是

教师板书，学生回答．

由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．

练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3 学生板书、笔答，评价．

解2 用两种方程把4x2-5分解因式．

方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法． 练习：将下列各式因式分解．

（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．

学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．

（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-

（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．

（四）总结与扩展

（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．

（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．

四、当堂检测，布置作业

教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．

五、板书设计

12.5 二次三项式的因式分解

（一）结论：在分解二次三项式

例1．把4x2+8x-1分解

因式

ax2+bx+c的因式时 可先用公式求出方程： ax2+bx+c=0的两个根 x1，x2，然后写成 ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）

解：……… ……

练习：………

第三篇：江苏省金湖县实验中学中考数学 二次根式的乘法复习教案 新人教版

二次根式的乘法(1)教学过程

一、复习

1、要求学生回答P166的A组4。

可见，（1）是错误的，（2）是正确的。49所以就有：49

二、新授

1、积的算术平方根：

再举一个例子，然后引导学生总结出： 一般地，有ab。ab（a≥0，b≥0）

366，而49236，49。

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

要注意a≥0，b≥0这个条件，因为只有a, b都是非负数，公式才能成立，本章中，如果没有特殊说明，我们可以将任何字母看成是非负数。

2、例题讲解。

例1 将下列各数分解因数：略 例2 化简：

（1）7252；（2）532282；（3）1681；（4）2000 讲完后提出：(4)(9)(4)(9)成立吗？ 解：略 例3 化简：

422（1）4a2b3；（2）xxy 解：略

例4 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10cm, BC=24cm，求AB。解：略

三、练习P170 练习：

1、2。

四、小结

1、本节讲了算术平方根的性质：ab。ab（a≥0，b≥0）C

B

A

2、利用积的算术平方根的性质对式子进行化简的方法。

3、结合勾股定理，提高学生解决实际问题的能力。

五、作业

1、P173习题Ａ：3、4、5。

2、综合练习：同步练习1。

第四篇：江苏省金湖县实验中学中考数学 二次根式的乘法复习教案 新人教版

二次根式的乘法(2)教学目的

教学过程

一、复习

1、叙述积的算术平方根的性质，并用公式表达出来。（重点看学生是否写了条件a≥0，b≥0了，并问为什么必须有这个条件。

2、化简：

（1）75；（2）162581；（3）27a2b3c；（4）a3b2a2b3。

通过练习，巩固利用积的算术平方根的性质化简二次根式的方法，为本节课打好基础。

二、新授

1、二次根式的乘法。上一节，我们学习了ab到ab

ab（a≥0，b≥0），如果把这个式子反过来，则得ab（a≥0，b≥0）请学生观察式子的特点，理解了，这就是把被开方数的积作为积的被开方数。

利用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算。

2、例题讲解。例1 计算：

（1）147；（2）35210（3）415(15)；（4）22312 2例2 计算：

1（1）35a210b；（2）10x10xy；（3）26xy132xy2 4分析：第（3）小题的其他解法，请同学们自己找出，教师加以归纳：二次根式乘法，有时可以先化简，然后再利用公式相乘。

例3 一个长方形的长 a=cm, b=cm, 求这个长方形的面积。

分析：这是二次根式运算在实际中的应用，在题目没提出要求时，就用带根号的准确值，而不用近似值。

三、练习P170 练习：

1、2。

四、小结

1、二次根式的乘法公式为：ab

2、乘法运算的结果应尽量化简。

五、作业

1、P174习题Ａ：

6、7。B组：2。

2、综合练习：同步练习2。

。ab（a≥0，b≥0）2

第五篇：江苏省怀仁中学2014高中数学《数学归纳法》教案 新人教A版选修2-2（最终版）

江苏省怀仁中学2014高中数学《数学归纳法》教案 新人教A版选修2-2

【教学目标】

1． 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．

2． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 3． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．

4． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．

5． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解 【教学方法】类比启发探究式教学方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学程序】

第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容 1． 创设问题情境，启动学生思维

(1)不完全归纳法引例：

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．

(2)完全归纳法对比引例：

有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法． 2． 回顾数学旧知，追溯归纳意识

（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）

(1)不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．

(2)完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况． 3． 借助数学史料, 促使学生思辨

（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法

0

常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）

问题1 已知an＝(n25n5)2（n∈N），(1)分别求a1；a2；a3；a4．

(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？

（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）

问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，22n1一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了2251＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．

2问题3 f(n)nn41, 当n∈N时，f(n)是否都为质数？

验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝41，是合数．

第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构 4． 搜索生活实例，激发学习兴趣

（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）

实例：播放多米诺骨牌录像

关键：(1)第一张牌被推倒；(2)假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．

搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 5． 类比数学问题, 激起思维浪花

类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式ana1(n1)d：

(1)当n＝1时等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立, 即aka1(k1)d, 则2ak1akd=a1[(k1)1]d, 即n＝k＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式ana1(n1)d对任何n∈N都成立．

（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）6． 引导学生概括, 形成科学方法

* 1

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；

(2)假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法．

第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程 7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识

（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）

例题 在数列{an}中, a1＝1, an1项an的公式, 最后证明你的结论． 8． 基础反馈练习, 巩固方法应用

（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）

(1)（第63页例1）用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n．(2)（第64页练习3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1． 9． 师生共同小结, 完成概括提升

(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；

(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；

(3)数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；

(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．

10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫

(1)课本第64页练习第1, 2题； 第67页习题2.1第2题．(2)在数学归纳法证明的第二步中，证明n＝k＋1时命题成立, 必须要用到n＝k时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：

用数学归纳法证明： 12222的证法：

设n＝k时等式成立, 即1222223k123n1*an*(n∈N), 先计算a2，a3，a4的值，再推测通1an22n1(n∈N*)时, 其中第二步采用下面2k1, 则当n＝k＋1时，1222223k112k122k11．

12k你认为上面的证明正确吗？为什么？ 【教学设计说明】

1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．

3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．