湖南师范大学附属中学高一数学 续二倍角公式的应用,推导万能公式教案

第一篇：湖南师范大学附属中学高一数学 续二倍角公式的应用,推导万能公式教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：续二倍角公式的应用，推导万能公式

教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式

目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。过程：

一、解答本章开头的问题：（课本 P3）

令AOB =  , 则AB = acos OA = asin

∴S = a2sin2≤a

2矩形ABCD= acos×2asin 当且仅当 sin2 = 1，即2 = 90， = 45时, 等号成立。

此时，A,B两点与O点的距离都是

22a

二、半角公式

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的

例

一、求证：sin21cos1cos1cos22,cos222,tan221cos 证：1在 cos212sin2 中，以代2，2代 即得：

cos12sin221cos2 ∴sin22 2在 cos22cos21 中，以代2，2代 即得：

cos2cos21cos21 ∴cos222 3以上结果相除得：tan21cos21cos

注意：1左边是平方形式，只要知道2角终边所在象限，就可以开平方。

2公式的“本质”是用角的余弦表示2角的正弦、余弦、正切

3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）sin1cos1cos22,cos21cos2,tan21cos 4还有一个有用的公式：tansin1cos21cossin（课后自己证）

三、万能公式

2tan1tan2例

二、求证：sin2,cos22tan1tan21,tan2tan221tan2 22 1

cos2tan2sin 证：1sinsin2212 sin2cos221tan222cos2 2cos2sin221tan2cos1sin2cos221tan2 222 3tansin2sincos2cos22tancos22 2sin221tan22 注意：1上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）

2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切

即：f(tan2)所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁

3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小

例

三、已知2sincossin3cos5，求3cos 2 + 4sin 2 的值。

解：∵2sincossin3cos5 ∴cos   0(否则 2 =  5)∴2tan1tan35 解之得：tan  = 2 ∴原式3(1tan2)1tan242tan3(122)42271tan21221225

四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）

五、作业：《精编》P73 16

补充：

1．已知sin + sin = 1，cos + cos = 0，试求cos2 + cos2的值。(1)（《教学与测试》P115 例二）

2．已知2，0，tan =13，tan =17，求2 +  的大小。(34)

3．已知sinx =43555，且x是锐角，求sinx2cosx2的值。(5,5)4．下列函数何时取得最值？最值是多少？

11,ymin)2231 2y2sinxcos2x(ymax,ymin)

2223 3ycos(2x)2cos(x)(ymax3,ymin)

7725．若、、为锐角，求证： +  +  = 1ysin2xcos2x(ymax6．求函数f(x)cosxsinx在[212),]上的最小值。(4423

第二篇：二倍角公式及其应用

二倍角公式及其应用

郴州综合职业中专

张文汉

教学目的：

引导学生导出二倍角的正弦、余弦以及正切公式并且能够熟练掌握其应用 教学重点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式 教学难点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式的变换及公式的应用，特别是逆应用公式 引入：

回顾正弦、余弦以及正切的和角公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin

tantantan1tantan

要求：

掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：

一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出

在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中

以“”代“”得二倍角的正弦、余弦以及正切公式如下：sin22sincos，cos2cos2sin2，tan22tan1tan2, 另外、根据sin2cos21可得二倍角的余弦的另外两个公式：

cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：

已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132

所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82

cos22cos2123415.8㈡公式的反用：求下列各式的值

12sin22.50cos22.50

2sin150cos150 32cos222.5041sin25212

解1原式sin(222.50)sin45022.解2原式122sin150cos15011112sin300224 解3原式cos(222.50)cos45022.解4原式1212sin2515122cos6

11132cos62cos62234.㈢公式的灵活运用：化简或求值

1化简：21sin822cos8;2求值：cos2417cos17cos17cos817.sin2sin23已知tan222，且0,，求21的值.2cos4解1原式212sin4cos4222cos241

2sin4cos424cos24

2sin4cos42cos42sin42cos4.因为，sin4与cos4皆为负.248coscos1717171717 解2原式24sin17224844823sincoscoscos22sincoscos17171717171717 24sin24sin171788162sincossinsin()sin17171717171.1624sin24sin24sin24sin171717172tan解3：因为tan222,所以22, 21tan24sincoscos整理得：2tan2tan20,解之，得tan2或tan2, 22若0,，则tan，此时222 1sincostan1原式2223;cossintan1212tan121若,，则tan2，此时 原式322.tan1212

三、课堂练习

求下列各式的值：1sin67.50cos67.50;2sin750cos150.四、课堂小结：

1、二倍角公式的导出；

2、二倍角公式的熟练应用；

3、二倍角公式的灵活应用.五、作业：

已知等腰三角形的一个底角的正弦值等于0.6,求这个等腰三角形的顶角的正弦、余弦值.六、课后思考训练



1、求值：sin60sin420sin660sin780;

2、已知sincos2,,,求tan;2

22sinsin2

3、已知k,,,试用k表示sincos的值.1tan42 3

第三篇：《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计

高一A组

韩慧芳

年级：高一

科目：数学

内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式

课型：新课

一、教学目标

1、知识目标：

（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。

（2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2、能力目标：通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键

1、教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式

2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。

3、关键：二倍角的理解

三、学法指导

学法：研讨式教学

四、教学设想：

1、问题情境

复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式

sinsincoscossin；

coscoscossinsin；

tantantan。

1tantan1

思考：在这些和角公式中，如果令，会有怎样的结果呢？

2、建构数学

公式推导：

sin2sinsincoscossin2sincos；

cos2coscoscossinsincos2sin2；

思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos的式子呢？

cos2cos2sin21sin2sin212sin2； cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21．

以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了与2的三角函数之间的关系。既公式中等号左边的角是右边角的2倍。所以，确切地说，这组公式是二倍角的正弦、余弦、正切公式，这正是本节课要研究的内容。二倍角的正弦、余弦、正切公式有时简称二倍角公式。

3、知识运用

例

1、（公式的正用）

（1）已知sin3,,求sin2,cos2,tan2的值． 523,,求sin4,cos4,tan4的值． 542（2）已知sin2

说明：

1.运用二倍角公式不仅局限于2是倍， 是

的2倍，还适用于4是2的2倍，是的2242的2倍等情况，这里蕴含了换元的数学思想。

2、类比二倍角公式，你能用

的三角函数表示sin,cos,tan，用的三角函数表24示sin2,cos2,tan吗？

sinsin costan

练习：

1、已知cos

例

2、（公式的逆用）求下列各式的值：

（1）sin22（2）2cos22cos2tan24（P135 1），812，求sin,cos,tan的值。8544430cos2230 1 8（3）sin212cos212

2tan30（4）

21tan30

例

3、（公式的变形运用）化简

（1）cos42sin42

（2）11 1tan1tan（3）8sin

48cos48cos24cos12

4、课堂小结

1、二倍角公式是两角和公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。

2、公式的正用、逆用、变形运用。

5、作业

P138 A 组15,19 思考题

cos36cos72?

第四篇：2012届高考数学一轮复习教案：4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)

4.4 两角和与差、二倍角的公式

（三）●知识梳理 1.化简要求

（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.2.化简常用方法

（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3.常用技巧

（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.（3）注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“1”的恒等变形.●点击双基

3+sinαsinβ的一组α、β的值是 213π3πππA.α=，β=

B.α=，β=

124231.满足cosαcosβ=C.α=ππ，β=

D.α=

ππ，β= 36解析：由已知得cos（α+β）=答案：A 2.已知tanα和tan（A.b=a+c

C.c=b+a

3，代入检验得A.2π－α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是

4B.2b=a+c D.c=ab

πbbtantan（），π4a解析：∴tan=a=1.cπc4tantan1（），a4a∴－bc=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.aasinxcosx的值域为

1sinxcosx答案：C 3.f（x）=A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［C.（2121，－1）∪（－1，］ 223131，）22第1页（共7页）

D.［2121，］ 22π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，4解析：令t=sinx+cosx=2sin（x+t212121t1则f（x）=2=∈［，－1）∪（－1，］.1t222答案：B 4.已知cosα－cosβ=

11，sinα－sinβ=，则cos（α－β）=_______.2311，（sinα－sinβ）2=.491359.∴cos（α－β）=.3672解析：（cosα－cosβ）2=两式相加，得2－2cos（α－β）=答案：59 72●典例剖析 【例1】 求证：sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin剖析：先转换命题，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.两边同除以sinα得 sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=在△PF1F2中解此三角即可得证.证明：在△PF1F2中，由正弦定理知

2c.2a|PF1||PF2||F1F2|==.sin2sinsin（π3）第2页（共7页）

由比例的性质得|F1F2||PF1||PF2|= sin3sin2sin|F1F2|sincos2cossin2sin3e===

|PF1||PF2|sin2sinsin2sincos2sin（2cos2）2sincos2=

sin（12cos）4cos21==2cosα－1.2cos评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.深化拓展

求cot10°－4cos10°的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.提示：cot10°－4cos10° =cos10cos102sin20－4cos10°=

sin10sin1031cos20sin202sin20cos（3020）2sin202==2

sin10sin1033cos20sin203sin（3020）2=2==3.sin10sin10答案：3.●闯关训练

夯实基础

1.（2003年高考新课程卷）已知x∈（－A.7 24π4，0），cosx=，则tan2x等于 2B.－

4C.24 7

D.－

7解析：∵cosx=4π33，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.525432tanx2=－3×16=－24.∴tan2x==

2771tan2x1916答案：D 2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是

A.tanC.sin2＜cot＜cos2

B.tanD.sin

2＞cot＞cos

2 2222第3页（共7页）

解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，则tan

2－cot

2sin2－2cos=cos2=－2cos＞0.sinsin2∴tan2＞cot2.答案：B 3.下列四个命题中的假命题是

A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得 sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B 4.函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－

5233）+.48∴sinx=1时，ymax=4.答案：4 5.求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值.L解法一：a+b+a2b2=L≥2ab+2ab.∴ab≤.22∴S=

L（22）L23222111ab≤（）2=·［］=L.2422222解法二：设a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=

L1sincos.sincosL212∴S=csinθcosθ=.22（21sincos）设sinθ+cosθ=t∈（1，2］，t212L2L2L23222t1L222则S=·=·=（1－）≤（1－）=L.22（4444t1t11t）216.（2004年湖南，17）已知sin（2sin2α+tanα－cotα－1的值.ππ1ππ+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求44442第4页（共7页）

解：由sin（α）=ππππ1π+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin（+4444422111cos4α=，得cos4α=.242ππ5π，），所以α=.4212又α∈（sin2cos22cos2于是2sinα+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+

sincossin25π5π=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）

662=－（－35－23）=22培养能力

3.7.求证：1sin2sin21tan2.2=1tan22（sincos）cossin1sin2222，证明：左边===

coscos2sin2cossin2222sin1cos22=coscos2sinsin2，右边=sin1cos2222∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值2和△ABC的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.21，∴cos（A－45°）=.22又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1313=－2－3.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC=1AC·ABsinA 2第5页（共7页）

26.4

=2631·2·3·=（2+6）.4242，2解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=

①

11.∴2sinAcosA=－.223，2∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.②

26.426.4∴tanA=

426sinA=·=－2－3.4cosA26（以下同解法一）

探究创新

9.锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠

π，求tany的最大值.2解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany=

sinxcosxtanxtanx2cosxsinxcosx===≤=，4sinxcscx1sinx2sin2xcos2x12tan2x22tanx2时取等号.22.4当且仅当tanx=∴tany的最大值为●思悟小结

1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归

一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（ωx+）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.●教师下载中心 教学点睛

1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.2.有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条

第6页（共7页）

件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.3.注意方程思想的应用.拓展题例

【例1】 试证：tan（1sin）sintansin=.tan（1sin）sintansinsin（1sin）sin证明：左边=cos

sin（1sin）sincos1sincos=sincos2sin2sin2coscos22cos22sin22=

cos=

2222=cot，2sin2sinsin1coscos右边==

sinsinsincos2cos22=2sin2cos2=cot2，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，β的值.解：∵4tan

π），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+4221.22=1－tan2

2，∴2·tanα=1，tanα=∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=

π.4评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.第7页（共7页）

第五篇：湖南师范大学附属中学高一数学 正弦函数、余弦函数的性质之—定义域与值域教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：正弦函数、余弦函数的性质之—定义域

与值域

教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域

目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。过程：

一、复习：正弦和余弦函数图象的作法

二、研究性质：

1． 定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R 2． 值域：

1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1（有界性）

再看正弦函数线（图象）验证上述结论

∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1] 2对于y=sinx 当且仅当x=2k+

2 kZ时 ymax=1 当且仅当时x=2k-

2 kZ时 ymin=-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k kZ时 ymax=1 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=-1 3． 观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知 当2k0 当(2k-1)0 当2k+2

三、例题：

例一（P53 例二）略

例二 直接写出下列函数的定义域、值域： 1 y=11sinx 2 y=2cosx

解：1当x2k-2 kZ时函数有意义，值域:[12,+∞] 2 x[2k+2, 2k+32](kZ)时有意义, 值域[0, 2] 例三 求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+34)-1 2 y=sin

2x-4sinx+5 3 y=cosx3cosx

解：1 当3x+4=2k+2即 x=2k312(kZ)时ymax=0 当3x+4=2k-2k2即x=34(kZ)时ymin=-2 2 y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k-2 kZ时ymax=10 当x=2k-2 kZ时ymin= 2 3 y=-1+13cosx 当x=2k+ kZ时 ymax=2 当x=2k kZ时 y1min= 例

四、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。解：当k>0时 kb2kkb43

b1当k<0时 kb2kkb43（矛盾舍去）

b1∴k=3 b=-1 例

五、求下列函数的定义域：

1 y=3cosx12cos2x 2 y=lg(2sinx+1)+2cosx1 3 y=cos(sinx)解：1 ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴

12≤cosx≤1 ∴定义域为：[2k-3, 2k+3](kZ)172 sinx22kx2k66(kZ)cosx122k3x2k32k6x2k3(kZ)∴定义域为：(2k,2k63](kZ)

3 ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k-

2≤x≤2k+2(kZ)∵-1≤sinx≤1 ∴xR cos1≤y≤1

四、小结：正弦、余弦函数的定义域、值域

五、作业：P56 练习4 P57-58习题4．8 2、9 《精编》P86 11 P87 25、30、31 2