546教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程

第一篇：546教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程

教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程

冰儿

求曲线的轨迹方程时，要仔细审题，寻找和确定求解途径，分清解题步骤，逐步推演，综合陈述完整作答，但求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是代数方法研究几何问题的基础，也是高考的一个热点问题。这类问题题把基础知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。有关弦中点问题，主要有以下三种类型：过定点的弦中点轨迹；平行弦的中点轨迹；过定点且被定点平分的弦。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法等，现具体介绍以上几种弦中点轨迹方程的求法。

一、求圆锥曲线过定点的动弦的轨迹方程。其求法：

（1）用直线的点斜式，当斜率存在时，设它的方程为y=k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中。由韦达定理得x1+x2=f(k)。设中点M(x,y)，则xyy01f(k),将k代入上式得G(x,y)=0。2xx0当P在圆锥曲线外部时，再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0。求中点M的坐标x,y的取值范围。最后检验斜率不存在时x=x0与圆锥曲线的弦AB中点M的坐标是否满足G(x,y)=0(2)代点相减法也称“点差法”；

x2y21的左焦点作弦。求弦中点的轨迹方程。例1，过椭圆54精析：由已知能得到什么，与弦中点的轨迹方程如何转化，画出草图进行分析，寻求解答。

方法一：巧解：设过左焦点F（-1，0）的弦与椭圆相交于A、B两点。设A（x1,y1），B（x2,y2）,xyxy弦中点为M（x,y）,则111 ① 221 ②

54542222由①-②整理得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0 又因为x1+x2=2x.y1+y2=2y 所以 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0 当x1≠x2时 kABy1y28x4x ③

x1x210y5y由题意知 kABy1y2y ④ x1x2x11由③、④整理得 4(x)25y21

2当x1=x2时M(-1,0)满足上式。

方法二：椭圆的左焦点为F（-1，0），设焦点弦所在的直线方程为

y=k(x+1)代入椭圆方程并整理得(45k2)x210k2x5k2200 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),则 x1x210k 245k

所以 xx1x25k4x2 将代入y=k(x+1)得； k25(1x)45k24y2k2(x1)2x(x1)

5当k不存在时，弦中点为（-1，0）满足上述方程

1即 4(x)25y21为所求的轨迹方程

2二、求圆锥曲线中斜率为定值的平行弦中点的轨迹方程；

①利用直线的斜截式方程：设平行弦所在的方程为y=kx+m(m为参数)代入F(x,y)=0中。

f(k,m)利用韦达定理得x1+x2=f(k,m)，设中点M(x,y),则x,y =kx+m,从中消去M，可得G

2（x,y）=0,再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0.得M的坐标x，y的取值范围。

②代点相减法；

例

2、求y22px(p0)的斜率为k的平行弦中点M的轨迹方程。

解：设平行弦所在的直线方程为y=kx+m（m为参数）代入y22px，整理得 k2x22(kmp)xm20 当2(kmp)4k2m20 ① 2 即2km

设两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中点M(x,y)

xx2kmpppx12yx则 消去m，得 又由①式及x的代数式得 2k2k2kykxm故动点的轨迹方程为ypp(x2)k2k方法二：设动弦与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，弦中点M(x,y)

2则 y122px1 ① y22px2 ②

由①－②，整理得 y1y2p

x1x2yp 22k又点M(x,y)在抛物线内部，所以y22px 即x所以所求轨迹方程为ypp(x2)k2k注意：在使用代点相减法时，应该注意中点在圆锥曲线内部的条件，否则会增解。

三、长为定值的圆锥曲线动弦中点的轨迹方程

求长为定值的弦中点的轨迹方程的方法为：设中点坐标M(x0,y0),弦与圆锥曲线的两个交点为A（x1,y1）,B(x2,y2)，利用代点相减法用x0,y0表示kAB。写出直线AB的点斜式方程，代入圆锥曲线方程，用弦长公式求解。

例

3、定长为2l(l1)的线段AB。其两端点在抛物线x2y上移动。求线段中点M的轨2迹方程。

解：设中点M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则

2y2 ② x12y1 ① x2由①－②得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)由题意得x1≠x2。∴y1y22x0

x1x22∴直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0)代入yx2得 ；x22x0x2x0y00

由弦长公式及韦达定理得 AB1k2x1x2 x1+x2=2x0 x1x2=2x02-y0

2(x1x2)24x1x2 又∵∣AB∣=2l ∴2l14x02即(y0x0)2(14x0)l2

∴AB中点的轨迹方程为(yx2)(14x2)l2

四、变式训练: x2y21，求满足条件的轨迹方程；

1、已知2（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过点A（2，1）的直线与椭圆相交，求直线l被截得弦的中点轨迹方程；

11（3）求过点p(,)且被P平分的弦所在直线方程；

22x2y21 整理得：9x2+8bx+2b2-2=0 解：（1）设斜率为2的直线方程为y=2x+b代入2设平行弦的端点坐标为(x1,y1)，（x2,y2）,则

△ =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)＞0 得-3＜b＜3 则 x1x2xx28b94444b ∴bx,(b)x19439329 yy1y244b(x1x2)b ∴x4y0,(x)

3329（2）设l与椭圆的焦点为（x1,y1）(x2,y2),弦中点为（x,y）

2x12x222y11 ① y21 ② 则 22由①-②整理得（x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③ 又∵ x1x22x,y1y22y

∴x2yy1y20 ④

x1x2y1y2y1 ⑤ x1x2x2由题意知

y10 即x22y22x2y0 x2(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入①得 代入④整理得x2y y1y21

x1x22故所求的直线方程为2x+4y-3=0 通过以上几例要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，同时注明x,y的取值范围。若轨迹有不同情况，应分类讨论,以保证它的完整性。

第二篇：求轨迹方程教案

求轨迹的方程

娄底一中 刘瑞华

教学目标：

1、掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法.2、培养思维的灵活性和严密性.3、进一步渗透“数形结合”的思想 教学重点和难点：

重点：落实轨迹方程的几种常规求法。

难点：教会学生如何审题，选用适当的方法求轨迹的方程。教学方法：

讨论法、类比法． 教具准备： 多媒体投影． 教学设计：

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因而也是历届高考考查的重要内容之一。

一、知识回顾

求曲线轨迹方程的基本步骤

在求曲线的轨迹方程时，要经历审题、寻找和确定求解途径、分清解答步骤、逐步推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节，其基本步骤是：

（1）建系设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标M(x,y)；

（2）列式：写出适合条件的点的集合PMP(M)，关键是根据条件列出适合条件的等式；

（3）代换：用坐标代换几何等式，列出方程f(x,y)0；（4）化简：把方程f(x,y)0化成最简形式；

（5）证明：以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

二、基础训练



1、已知向量OP与OQ是关于y轴对称，且2OPOQ1则点Px,y的轨迹方程是____________

2.△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－则动点A的轨迹方程为_________.aa1,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,222x2y21上的动点，则F1F2P重心的轨迹方程为

3、点P是以F1,F2为焦点的椭圆

259___________________.4、已知点Px,y满足xy4，则点Qx,yx22的y轨迹方程为_____________________ 解答与分析：

1、yx221 方法为：直译法即是如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量2关系,则只需直接把这些关系“翻译”成x，y的等式，由此得到曲线的方程．

x2y21 方法为：定义法就是若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹（如：圆，椭2、43圆，双曲线，抛物线）的定义，则可以根据定义直接写出动点的轨迹方程．

9x2y21y0方法为：代入法就是若动点P(x,y)依赖于已知方程的曲线上另一个动3、25点C（x0，y0）运动时，找出点P与点C之间的坐标关系式，用（x，y）表示（x0，y0）再将x0，y0代入已知曲线方程，即可得到点P的轨迹方程。

4、y22x42x2方法为：所谓参数法就是在求曲线方程时，如果动点坐标x，y关系不易表达，可根据具体题设条件引进一个（或多个）中间变量来分别表示动点坐标x，y，间接地把x，y的关系找出来，然后消去参数即可得到动点的轨迹方程．

小结：

一、由以上几个题目可以看出求动点的轨迹方程常用的方法有： 1.直译法;2.定义法

3.相关点法（代入法）;4.参数法

二、求动点的轨迹方程中的注意点：

1.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。2.注意平面几何知识的运用。3.注意要求是求轨迹方程还是轨迹

三、例题讲解

22例1.已知定点A（2，0），点Q是圆x＋y＝1的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。的性质，知 分析1：由三角形的内角平分线|AM|2，|MQ||AM||OA|

|MQ||OQ| 而|OA|2，|OQ|1，故 即点M分AQ成比为2，若设出M（x，y），则由分点坐标公式，可表示出点Q的坐标，因Q、M为相关点，（Q点运动导致点M运动），可采用相关点法求点M的轨迹方程。

解法1：设M（x，y），由三角形内角平分线性质定理，得 ∵M在AQ上，∴点M分AQ成比为2，|AM||AO|2，|MQ||OQ|22·x0x120)若设点Q的坐标为(x0，y0)，则 又A(2，02·y0y123x2x02 y3y0222而点Q(x0，y0)在圆x2y21上

3x223y24)()21，化简，得(x)2y2 22392242 点M的轨迹方程为(x)y。

x0y01，即(性质，知 分析2：由三角形的内角平分线|AM||AO|2，|QM||QO| 若过M作MN∥OQ交OA于N，则|AN||AM|2，|ON||QM|0)，而 从而N(，|MN| 23|MN||AM|2，|OQ|1，|OQ||AQ|3222|OQ|为定值，可见动点M到定点N的距离为定值。3332 因此M的轨迹是以N为圆心，半径为的圆，32242 其方程为(x)y，39 而当∠AOQ＝180°时，其角分线为y轴，它与AQ交点为原点O，显然，该点也满足上述轨迹方程。

注：此种解法为定义法。例

2、设过点A1,0的直线与抛物线x24y交于不同的两点P,Q，求线段PQ中点M的轨迹方程。

解：法一：设Mx,y,Px1,y1,Qx2,y2，又由已知可设直线PQ的方程y为：ykx1，则由

ykx1消去x24yy得： x24kx4k0

x1x24k,x1x24k

x222y1x2x1x22x1x21y2444k22k

xx1x22k2消去k得：y1x2x

yy1y2222k22k又直线PQ与抛物线有两个交点

16k216k0即k1或k0

x2或x0点M的轨迹方程为：y12x2x,x2或x0

法二：设Mx,y,Px1,y1,Qx2,y2，由P,Q在抛物线上得

x214y1两式相减得：x2x221x24y1y2 24y2变形得x1x1y224yxx4kPQ

122x4kyPQ又kPQx1，消去k12PQ得y2xx。又由y12x2x得其交点坐标为0,0,2,1 x24yQPoAx因为中点必须在抛物线内，由图可知x2或x0

点M的轨迹方程为：y

四、小结

略。

五、作业

12xx,x2或x0 

21、过抛物线x24y的焦点的弦PQ的中点的轨迹方程？

2、过点A1,0的直线与圆xy221交于不同的两点P,Q则PQ的中点的轨迹方程？ 4

第三篇：数学高考复习名师精品教案：第67课时：第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题

数学高考复习名师精品教案

第67课时：第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题（2）

课题：轨迹问题（2）一．复习目标：

1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）； 2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法． 二．知识要点：

1．相关点法（代入法）：对于两个动点P(x0,y0),Q(x,y)，点P在已知曲线上运动导致点Q运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关x0f(x,y)系并化为然后将其代入已知曲线的方程即得到点Qyg(x,y)0的轨迹方程．

2．参数法（交规法）：当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点P的坐标x,y，从而动点轨迹的参数方程xf(t)消去参数t，便可得到动点Pyg(t)的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t的范围确定出x,y的范围． 三．课前预习： 1．已知椭圆Q分FP x225y2161的右焦点为F，Q、P分别为椭圆上和椭圆外一点，且点的比为1:2，则点P的轨迹方程为（C）

(A)(x6)752y2481(B)(x6)752y2481(C)(x6)2252y21441(D)(2x3)22524y21441

2．设动点P在直线x10上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是（B）

(A)(B)两条平行直线(C)抛物线(D)双曲线

3．已知点P(x,y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(xy,xy)的轨迹是（B）

(B)

抛物线

(C)椭圆

(D)双曲线(A)圆

4．双曲线x24y231关于直线xy20对称的曲线方程是

(y2)42(x2)321

5．倾斜角为的直线交椭圆4x24y21于A,B两点，则线段AB中点的轨迹方程是x4y0(|x|455)

四．例题分析： 例1．动圆C:(x1)2y21，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．

解：

（一）直接法：设OQ为过O的任一条弦P(x,y)是其中点，则CPOQ，则1212CPOQ0 ∴(x1,y)(x,y)0，即(x)y(0x1)

4（二）定义法：∵OPC90120，动点P在以M(2212,0)为圆心，OC为直径的圆上，∴所求点的轨迹方程为(x)y14(0x1)

ykx

（三）参数法：设动弦PQ的方程为ykx，由 得： 22(x1)y1(1k)x2x0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)22，PQ的中点为(x,y)，则：

12)y22xx1x2211k2，ykxk1k2 消去k得(x114(0x1)

例2．求过点A(1,2)，离心率为，且以x轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．

2解：设椭圆下方的焦点F(x0,y0)，椭圆的下方的顶点为

由定义又x0|AF|23212y，∴|AF|1，即点F的轨迹方程是(x，∴点的P轨迹方程为(x1)2201)(y02)1，22x,y0(32y2)1.2例3．设椭圆方程为x坐标原点，点求： y241，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是

N的坐标为(11,)221P满足OP(OAOB)，点

2，当l绕点M旋转时，（1）动点P的轨迹方程；

（2）|NP|的最小值与最大值.（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为ykx1.记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组

① ykx12 的解.2y1② x4将①代入②并化简得，(4k2)x22kxx,1224k于是 8yy.1224k2kx30，所以

OP12(OAOB)(x1x22,y1y22)(k4k2,44k2).设点P的坐标为(x,y),则

kx,24k消去参数4y.24kk得4x2yy0 ③

2当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2yy0.2解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上，所以

21xy1421, ④ x22212y2421.⑤

④—⑤得xx21414(y1y2)0，所以 22(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.当x1x2时，有x1x214(y1y2)y1y2x1x20.⑥

x1x2x,2y1y2并且 ⑦ y,2y1y2y1.x1x2x将⑦代入⑥并整理得 4x2当x10）x2时，点

yy0.⑧

2A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

x2(y1412)21161.五．课后作业： 1．抛物线y2(A)y24x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）

2x1(B)y2(x1)(C)y2x12(D)y22x1

2．已知椭圆x29y241的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）

(A)x29y241(B)y29x241(C)x29y241(D)y29x241

3．已知抛物线yx2mx1(mR)的顶点为A，那么当m变化时，此抛物线焦点F的轨迹方程是___________________________． 4．自椭圆Mx220y241上的任意一点P向x轴引垂线，垂足为Q，则线段PQ的中点的轨迹方程为

x25．已知椭圆9y251的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为 ．

6．如图，7．设x,yRi,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向的轨迹C的方程． 量a(x5)iyj b(x5)iyj，|a||b|8，求点M(x,y)7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s；相关各点均在同一平面上）8．设双曲线C:xa22yb22右准线l1(a0,b0)的离心率为e，与两条渐近线交于P,Q两点，右焦点为F，且PQF为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线yaxb截得的弦长为bea22，求双曲线C的方程；（3）设双曲线C经过点(1,0)，以F为左焦点，l为左准线的椭圆，其短轴的端点为B，求BF中点的轨迹方程．

第四篇：高中数学教学论文 中点弦问题的求解策略 苏教版选修2-1

中点弦问题的求解策略

中点弦问题常见的题型有：1．求中点弦所在的直线方程；2．求弦的中点的轨迹方程；3．求弦长为定值的弦中点的坐标．常用的求解策略是：1．两式相减用中点公式求得斜率；2．联列方程组用韦达定理．

例1．已知直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为 ．

xy2解析：设Ax1,y1,Bx2,y2，由2得y24y80，从而

y4xy1y24,x1x2y1y248，因此，线段AB的中点的坐标为4,2．

例2．椭圆3x24y212中，一组平行弦中点的轨迹是x2y0（在椭圆内的一段），则这组平行弦的斜率为 ．

解析：设Ax1,y1,Bx2,y2是这组平行弦中的一条弦与椭圆的交点，从而x1x22y1y2，把A，B的坐标代入椭圆方程并相减得3x1x2x1x24k3x1x24y1y232y1y2y1y20，即．

22例3．直线l与椭圆x2y2交于P1,P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1k10，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于（）A．2 B．2 C．12 D．12

x1x2212解析：D．设P1x1,y1,P2x2,y2x1x2，从而P,y1y2y1y2k，因此，把P1,P2代入椭2xx212圆方程并相减得k12y1y2，故k1k2．

例4．直线ykx2交抛物线y8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则|AB| ．

2用心

爱心

专心 1

解析：设Ax1,y1,Bx2,y28kykx2，由2得ky28y160，又由6464k0知

y8x1844得k2． kkk1．又y1y2，从而x1x2例5．已知椭圆x216y241，求以点P2,1为中点的弦所在的直线方程．

解析：设所求直线与椭圆相交于Ax1,y1,Bx2,y2，把A，B的坐标代入椭圆方程并相减得又因为点P为弦AB的中点，则x1x24,y1y22，(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，从而得到k12，∴所求直线方程为x2y40．

例6．已知椭圆C的焦点分别为F122,0和F222,0，长轴长为6，设直线yx2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．

解析：设Ax1,y1,Bx2,y2，并根据题意，得椭圆的方程为x29y29，把直线yx2方程代入椭圆方程并整理得10x236x270，从而x1x2AB的中点坐标为91,． 55185,y1y2185425．因此线段

用心

爱心

专心 2

第五篇：3.1.2用二分法求方程的近似解(教学设计)

3.1.2用二分法求方程的近似解

地点：高一（20）班

时间：11月6日上午第二节课

一、教材分析

本节内容是数学必修一第三章第一节《函数与方程》的第二小节，二分法是求方程近似解的常用方法，它体现了函数的思想以及函数与方程的联系，为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学3中算法的内容的学习做了铺垫。二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算、球的表面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基作用。

二、教学目标

1.理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的一种方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器验证求方程近似值的过程；

2.体会二分法的思想与方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力、创新的能力；

3.体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法；感受通过迂回的方法使问题得到解决。

三、教学重点：二分法的原理及其探究过程；用二分法求方程的近似解。

四、教学难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解。

五、教学方法：探究式教学法

六、教学过程

（一）情境导入

问题：11月份，我会选择一天的晚自习让同学们进行必修一的综合测试，那么大家猜一猜我会选在哪一天？猜测之前给大家3个游戏规则：①这天不在1号，不在30号；

②如果大家猜测的日期在考试之前我就说小了，在考试之后我就说大了； ③大家猜测的日期和考试的日期相差一天就算对。

提问1：在刚才的猜测过程中发生了什么样的情境？

15日这个日期是不是基本上位于这个线段的中间的位置？这个时候我说大了，那么原来这个区间1-30这个区间长度是不是由原来的30天缩短为15天？区间猜测的范围是不是缩小了？再猜测7日，我说小了，那是不是区间又由原来的1-15日15天缩短为7-15日？

提问2：在整个的情境发生过程中我们能发现哪几个问题？

1.整个的区间长度在逐渐的缩小，而且这个缩小的区间越来越靠近我考试的精确日期，也就是取中点这个方法是有效的；

2.我之所以说相差一天就算对，实际上作用是什么？控制误差，这个误差在我们数学上叫做精确度，我们把整个的区间长度规定为精确度，这个度精确度越来越小

3.体现了两种思想，第一种思想是越来越逼近于我考试的精确日期，另一种是精确度可以控制我的猜测次数 这个问题能不能抽离它的实际背景，把它放到数学应用中来？ 提问3：我们一起来看一下这个问题：解方程：lnx2x60？

求方程lnx2x60的近似解也就是求它对应的函数f(x)lnx2x6的零点的近似值。这个函数的零点在哪个区间？这个函数为什么在区间（2,3）内有零点？

现在我想让大家求出这个函数的精确零点，或者这个函数对应的方程的精确的根，但是很可惜大家用现有的方法无法解出它的精确的零点。因此我又类比刚刚猜考试日期这个想法，让它逼近精确的零点。我们就会想到求这个函数所对应方程的近似解。这节课我们主要学习求方程的近似解。

（二）新课学习

要把一开始所确定的（2,3）这个区间逐步逐步的缩小，让这个区间缩小后是的这个近似解越来越靠近精确解。那么，如何来缩小这个区间呢？回想刚刚猜测考试日期的过程。

我们要不断缩小（2，3）这个区间使它逐步逼近方程精确的解。取区间的中点。提问4：如何判断到底取中点左侧的区间还是右侧的区间，这个问题如何解决？

猜考试日期时我说大了、小了，在区间端点处都标记了大小，这个大小，实际上对应了我考试日期的正负，请大家计算区间中点处的函数值，并函数值的正负。也就是每次取中点以后我们是不是都要计算中点的函数值。通过看中点处函数值的符号判断零点在中点左侧区间还是右侧区间。

我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．

（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；

（2）用计算器计算f(2.5)0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内；

（3）再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.512，因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．

二分法定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）． 零点所在的区间不停的缩小，那么这个缩小的过程是不是要永无止境的缩小下去？

提问5：零点所在的区间不断缩小，那么这个缩小的过程是不是要永无止境的进行下去？我们要如何终止这个区间的缩小过程？

（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．

本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．

0.01，所以，我们可将x2.53125作为函当精确度为0.01时，由于2.53906252.531250.0078125数f(x)lnx2x6零点的近似值，也即方程lnx2x60根的近似值． 提问6：能否根据刚刚求方程lnx2x60近似解的步骤总结用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤？ 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度； 2）求区间(a,b)的中点c； 3）计算f(c)；

4）判断：（1）若f(c)0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)f(c)0，则令bc（此时零点x0(a,c)）；（3）若f(c)f(b)0，则令ac（此时零点x0(c,b)）．

5）判断：区间长度是否达到精确度？即若ab，则得到零点近似值；否则重复2——5．

（三）课堂练习

求方程x33x10的近似解（精确度为0.1）

（四）课堂小结

1、什么是二分法？具有什么特点的函数适合用二分法求其零点的近似解？

2、利用二分法求方程近似解的步骤

3、本节课运用了哪些数学思想方法

（五）课后作业

P89练习2 阅读课本P89-P91