量子力学导论 第十章 教案(★)

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第一篇:量子力学导论 第十章 教案

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

第10章

定态问题的常用近似方法 §10.0 引言

§10.1 非简并定态微扰理论 §10.2 简并微扰理论 §10.3 变分法

§10.0

(一)近似方法的重要性

前几章介绍了量子力学的基本理论,使用这些理论解决了一些简单问题。如:(1)一维无限深势阱问题;(2)线性谐振子问题;

(3)势垒贯穿问题;

(4)氢原子问题。

这些问题都给出了问题的精确解析解。

然而,对于大量的实际物理问题,Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton量是比较复杂的,往往不能精确求解。因此,在处理复杂的实际问题时,量子力学求问题近似解的方法(简称近似方法)就显得特别重要。

(二)近似方法的出发点

近似方法通常是从简单问题的精确解出发,来求较复杂问题的近似解。

(三)近似解问题分为两类

(1)体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论;

2.变分法。

(2)体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论;

2.常微扰。§10.1 非简并定态微扰理论

(一)微扰体系方程

(二)态矢和能量的一级修正

(三)能量的二阶修正

(四)微扰理论适用条件

(五)讨论

(六)实例 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(一)微扰体系方程

微扰法不是量子力学所特有的方法,在处理天体运行的天体物理学中,计算行星运行轨道时,就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。

例如,地球受万有引力作用绕太阳转动,可是由于其它行星的影响,其轨道需要予以修正。在这种情况下,计算所使用的方法是:首先把太阳和地球作为二体系统,求出其轨道,然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。

可精确求解的体系叫做未微扰体系,待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间,而且可分为两部分:

ˆHˆHˆ H0ˆ0所描写的体系是可以精确求解的,其本征值E(0),本征矢|(0)满足如下本征方Hnn程:

ˆ0|(0)E(0)|(0) Hnnnˆ是很小的(很小的物理意义将在下面讨论)可以看作加于Hˆ0上的微小扰另一部分H动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量H的本征值和本征矢,即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程:

ˆ|E| Hnnn(0)(0)当H0时,|n|n ; , EnEn(0)(0)当H0时,引入微扰,使体系能级发生移动,由En状态由|n En,|n。为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:

ˆW H其中λ是很小的实数,表征微扰程度的参量。

为明确起见,我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为En、|n,请注意与教材中对应

因为En、|n都与微扰有关,可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数:

(0)(1)(2)EnEnEn2En|n|

(0)n|2

(1)n|2(2)n 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)(2)其中En,En,2En,…分别是能量的0 级近似,能量的一级修正和二级修正等;(0)(1)(2)而||n,|n,2|n,…分别是状态矢量 0 级近似,一级修正和二级修正等。

代入Schrodinger方程得:

ˆW)(|(0)|(1)2|(2))(H0nnn(E乘开得:(0)nE(1)nE2(2)n)(|(0)n|(1)n|2(2)n)

(0)(0)ˆ|(0)00HEn|n0n1(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆH0|nW|n1En|nEn|n2ˆ2(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)H0|nW|nEn|nEn|nEn|n

33根据等式两边λ同幂次的系数应该相等,可得到如下一系列方程式: ˆ|(0)E(0)|(0) 0:H0nnnˆ|(1)W|(0)E(0)|(1)E(1)|(0) 1:H0nnnnnnˆ|(2)W|(1)E(0)|(2)E(1)|(1)E(2)|(0) 2:H0nnnnnnnn整理后得:

ˆE(0)]|(0)0[H0nnˆE(0)]|ψ(1)[WE(1)]|ψ(0)[H0nnnn (0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆE]|[WE]|E|[H0nnnnnn(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程,第二、三式分别是|n和|n|所满足的方程,由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。

(二)态矢和能量的一级修正

(0)现在我们借助于未微扰体系的态矢||n和本征能量En来导出扰动后的态矢

(0)|n和能量En的表达式。

(1)(1)能量一级修正En

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(0)根据力学量本征矢的完备性假定,H0的本征矢|n是完备的,任何态矢量都可按(1)其展开,|n 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为:

|ψ(1)n|ψk1(0)kψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)akn|ψk

k1(1)(0)(1)其中aknψk|ψn。

是一组完备基矢。|k(0)(k1,2,,)代回前面的第二式并计及第一式得:

ˆE(0)]a(1)|(0)[WE(1)]|(0) [H0nknknnk1或写成

ak1(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)En]|k(0)[WEn]|n

(0)左乘n|, 有

k1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)En]m|km|W|nEnm|n

考虑到本征基矢的正交归一性:

ak1(1)kn(0)(1)[Ek(0)En]mkWmnEnmn

(1)(0)(0)(1)amn[EmEn]WmnEnmn

考虑两种情况 1.mn

(1)(0)(0)EnWnnn|W|n

2.mn

a(1)mn(0)(0)Wmnm|W|n (0)(0)(0)(0)EnEmEnEm可以给出波函数的展开系数 准确到一阶微扰的体系能量:

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)EnEnEn(0)(0)(0)Enn|W|n(0)(0)(0)Enn|W|n

ˆ|(0)E(0)(0)|Hnnn(0)ˆEnHnnˆ(0)|Hˆ|(0) 其中Hnnnn即能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值

(1)(2)态矢的一级修正|n

令|(1)n(1)akn|k(0)

k1为了求出体系态矢的一级修正,我们先利用扰动态矢|n的归一化条件证明上式展开(1)系数中ann0(可以取为0)

证:

基于|n的归一化条件并考虑上面的展开式

1n|n(0)(1)(0)(1)[n|n|][|n|n](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)n|nn|nn|n2n|n(1)(0)(1)(0)1[aknn|k(0)akn*k(0)|n]2k1(1)(1)1[aknnkakn*kn]2k1(1)(1)1[annann*]

各级波函数都可以是归一的。由于归一,所以

(1)(1)[annann*]0

(1)(1)(1)0,[annann*]0Re[ann]0

(1)(1)(1)的实部为0。ann是一个纯虚数,故可令annanni(为实)。

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)|n|nakn|k(0)k1(0)(1)(0)(1)|nann|nakn|k(0)kn(0)(0)(1)|ni|nakn|k(0)kn

(0)(1)(1i)|nakn|k(0)kn(0)(1)ei|nakn|k(0)kn(0)(1)(0)ei|a|knknkn最后两步用到公式eiλ1iλ。

(三)能量的二阶修正

(0)对|nei(|nakn(1)kn(0)|k)

(1)(0)上式结果表明,展开式中,ann|n项的存在只不过是使整个态矢量|n增加了(1)一个相因子,这是无关紧要的。所以我们可取 = 0,即ann0。这样一来,(1)akn|k(0)kn(0)k(0)|W|n(0)|k(0)(0)EEknnk|n||(0)n(0)n(0)k(0)|W|n(0)||k(0)(0)EEknnkˆ|(0)(0)k(0)|H(0)n|n|k(0)(0)EnEkknHkn(0)|n(0)|k(0)(0)knEnEk(0)n(2)与求态矢的一阶修正一样,将|n按|n 展开:

(0)|(2)n|k1(0)k(0)k|(2)n(2)akn|k(0)

k1(1)与|n展开式一起代入关于 的第三式 6 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

ˆE(0)]a(2)|(0)[WE(1)]a(1)|(0)E(2)|(0) [H0nknknknknnk1k1[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn|(0)k(1)(0)(2)(0)[WE]akn|kEn|n

(1)nk1(0)左乘态矢m|得

[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn(0)m|(0)k(1)(0)aknm|W|k(0)k1

(1)(1)(0)(2)(0)(0)Enm|k(0)Enm|naknk1利用正交归一性,有

[Ek1(0)kE(0)n]a(2)knmkδak1(0)n(2)mn(1)knψ|W|ψ(0)m(0)kE(1)nak1(1)knmkδ(2)Enδmn

[E1.当mn时

(0)mE]a(1)(1)(1)(2)aknWmkEnamnEnmn

k1(1)(1)(1)(2)0aknWmkEnamnEnk1E(2)naWnkWnna(1)knk1(1)nnaWnk(1)knknWknWnk(0)(0)knEnEk*WknWkn|Wkn|2(0)(0)(0)(0)knEnEkknEnEk(1)

利用了aknWkn。(0)EnEk(0)在推导中使用了微扰矩阵的厄密性

*(0)(0)(0)Wknk(0)|W|n*n|W|k(0)n|W|k(0)Wnk2.当mn时

[E(0)mE]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)aknWmkEnamn

k1 7 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(1)(1)aknWmkWnnamn(0)(0)(0)(0)EEEnEmk1nma(2)mnkn(0)[EnWknWmkWnnWmn(0)(0)(0)(0)2Em][EnEk(0)][EnEm]

可以给出波函数的展开系数。能量的二级修正

E2(2)n(0)|Wkn|2|k(0)|W|n|2(0)(0)(0)(0)EEEEknknnknk

(0)(0)22ˆ||k|H|n||Hkn(0)(0)(0)EnEk(0)knknEnEk2在计及二阶修正后,扰动体系能量本征值由下式给出:

EnE(0)nEE(1)n2(2)nE(0)n|2|Hkn(0)Hnn(0)knEnEk

(四)微扰理论适用条件

总结上述,在非简并情况下,受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出:

|2|Hkn(0)EnEHnn(0)knEnEk

H(0)|n|n(0)kn(0)|k(0)knEnEk(0)n欲使二式有意义,则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项,无法判断级数的收敛性,我们只能要求级数已知项中,后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是:

Hkn(0)(0),EE1nk(0)(0)EnEk这就是本节开始时提到的关于H很小的明确表示式。当这一条件被满足时,由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。

上述微扰适用条件表明:

|k|H|n(1)Hkn(0)(0)(0)(0)要小,即微扰矩阵元要小;

(2)EnEk 要大,即能级间距要宽。

例如:在库仑场中,体系能量(能级)与量子数n成反比,即

2En

Z2e422n28,n1,2,3,... 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

由上式可见,当n大时,能级间距变小,因此微扰理论不适用于计算高能级(n大)的修正,而只适用于计算低能级(n小)的修正。

(五)讨论

(1)在一阶近似下:

|n|(0)nknHkn(0)| k(0)(0)EnEk(0)表明扰动态矢|n可以看成是未扰动态矢|k的线性叠加。

(2)展开系数

Hkn(0)表明第k个未扰动态矢|对第n个扰动态矢|n的贡k(0)(0)EnEk(0)献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔,所以能量最接近的态|k混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。

(0)(0)(3)由EnEn加上微扰Hnn可知,扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)Hamilton量H在未微扰态|n中的平均值组成。该值可能是正或负,引起原来能级上移或下移。

(4)对满足适用条件

Hkn(0)Ek(0)1,En(0)(0)EnEk0 就需要微扰的问题,通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正Hnn求二级修正,态矢求到一级修正即可。

(5)在推导微扰理论的过程中,我们引入了小量λ,令:HW只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程,仅此而已。一旦得到了各阶方程后,λ就可不用再明显写出,把W理解为H即可,因此在以后讨论中,就不再明确写出这一小量。

(六)实例

例1.一电荷为 e 的线性谐振子,受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向,用微扰法求体系的定态能量和波函数。

解:(1)电谐振子Hamilton 量

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

2d21ˆH22x2ex 22dx将 Hamilton 量分成H0H两部分,在弱电场下,上式最后一项很小,可看成微扰。

ˆ2d212μω2x2H022μdx Hˆexε(0)(2)写出 H0 的本征值和本征函数E(0), n

(0)nNne2x2/2Hn(x)

,Nn n2n!(0),n0,1,2, En(n12)(1)(3)计算En

E(1)nHnn(0)*n(0)(0)*(0)ˆHndxenxndx0

上式积分等于 0,是因为被积函数为奇函数所致。(4)计算能量二级修正

矩阵元。欲计算能量二级修正,首先应计算HknHkn(0)*k(0)(0)*(0)ˆHndxekxndx

利用线性谐振子本征函数的递推公式:

xn1[nn1n1n1] 22eHkn(0)n1(0)]dxk(0)*1[nn122n1(0)*(0)(0)n1e[kn1dxk(0)*n1n1dx] 22e[nk,n1n1k,n1]22将上式代入能量二级修正公式,得

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

E(2)nkn|2|Hkn(0)EnEk(0)

|e[nk,n1n1k.n1]|222(0)(0)knEnEk11n1(e)2n(0)(0)(0)(0)2EnEn2EE1nn1对谐振子有;

(0)(0)(0)(0)EnEn1, EnEn1

(2)En(e)2[n1n11](e)21222(2)22e22由此式可知,能级移动与n无关,即与扰动前振子的状态无关.(1)nknHkn(0)k(0)(0)EnEkkne[nk,n1n1k,n1]22(0)k(0)EnEk(0)

n11(0)(0)en1n1n1(0)(0)(0)(0)2En2EnEE1nn11(0)1(0)enn1n1n221e123(0)(0)n1nn1n1(5)讨论-----电谐振子的精确解

实际上这个问题是可以精确求解的,只要我们将体系Hamilton量作以下整理:

22d22ˆH12xex22dx2d21ee2e2222[x2x()]22222dx22d12[xe]2e2dx222222222

2d2e2ε2221μωx222μdx2μω2 11 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

其中xxeε,可见,体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时2μωeεe2ε2的线性谐振子的相应能级低,而平衡点向右移动了距离。22μω2μω由于势场不再具有空间反射对称性,所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰

(0)(0)(0)动后的波函数n已变成n,n1,n1的叠加看出。

(0)(0)1[n1nn1n1] 32(0)(1)(0)nnnne01c0 例2.设Hamilton量的矩阵形式为:Hc300c2(1)设c<<1,应用微扰论求H本征值到二级近似;(2)求H 的精确本征值;

(3)在怎样条件下,上面二结果一致。解:

(1)c<<1,可取0级和微扰Hamilton量分别为:

1000c0H0030,Hc00

00200cH0是对角矩阵,是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为:

(0)(0)E1(0)1,E23,E32

由非简并微扰公式

(1)EnHnn|2 (2)|HknEnE(0)E(0)knnk得能量一级修正:

0E1(1)H11(1)0 E2H22(1)cE3H33能量二级修正为: 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

E(2)11|2|2|2|Hk|H31|H211c2 (0)(0)(0)2Ek(0)E1(0)E2E1(0)E3knE1kn(2)3E(2)22|2|2|2|Hk|H32|H121c2 (0)(0)(0)(0)2E2Ek(0)E2E1(0)E2E3E3|2|2|2|Hk|H13|H23(0)(0)(0)0(0)(0)(0)EEEEEEkn3k3132准确到二级近似的能量本征值为:

E11c21212E232c E32c(2)精确解:

设 H 的本征值是 E,由久期方程可解得:

1Ec0c03E00 0c2E(c2E)(E24E3c2)0

解得:

E21c212E221c E2c3(3)将准确解按 c(<<1)展开:

E21c211c21c428121214E221c32c8c E2c3比较(1)和(2)之解

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

E11c2E21c2121212E232c,E221c E2c3E32c可知,微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c及以后高阶项的结果相同 §10.2 简并微扰理论

(一)简并微扰理论

(二)实例

(三)讨论

(一)简并微扰理论

(0)(0)假设En是简并的,那末属于H0的本征值En有k个归一化本征函数:

4|n1,|n2,……,|nk n|n

(0)为描述方便,我们将量子数n对应的能级和k重简并波函数分别写为En、|n,请注意与教材中的|n对应

显然它们满足本征方程:

ˆE(0)]|n0,1,2,3,,k [H0n共轭方程

ˆE(0)]0,1,2,3,,k n|[H0n在用微扰论求解问题时,需要知道0级近似波函数,但我们不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为波函数的0级近似。所以在简并情况下,首先要解决如何选0级近似波函数的问题,然后才是求能量和波函数的各级修正。

0级近似波函数肯定应从这k个|n中挑选,而它应满足上节按幂次分类得到的方程:

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]|(0) [Hnnnn 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(0)根据这个条件,我们选取0级近似波函数|n的最好方法是将其表示成k个|n的线性组合,因为反正0级近似波函数要在|n(1,2,3,,k)中挑选。

(0)n|c|n

1k(0)|n已是正交归一化,系数c由 一次幂方程定出

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]c|n[Hnnn1(1)ˆ|nEnc|ncHkkk

11左乘n|得:

ˆ(0)E(0)]|(1)E(1)cn|ncn|Hˆ|nn|[Hnnn1kkk1Ek(1)n1ccH1k

(1)]c[EnH1ˆ(0)E(0)]0)(由n|[Hnˆ|n。n|H其中H得:1k(1)En[H]c0。

上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零,即

(1)EnH11H21H12(1)EnH222Hk1Hk(1)EnHkk(1)0

(1)解此久期方程可得能量的一级修正En的k个根:En(=1,2,...,k),因为(0)(1)(1)所以若这k个根都不相等,则一级微扰就可以将k度简并完全消除;若EnEnEnEn有几个重根,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(1)为了确定能量En所对应的0级近似波函数,可以把En之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k)系数,将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。

(1)为了能表示出c 是对应与第个能量一级修正En我们在其上加上角标的一组系数,而改写成c。这样一来,线性方程组就改写成:

1k(1)En[H]c0,1,2,,k

(1)则对应En修正的0级近似波函数改写为:

k|

(二)实例

例1.氢原子一级 Stark 效应(1)Stark 效应

(0)nc|n

1氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。

我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用,造成第n 个能级有n度简并。但是当加入外电场后,由于势场对称性受到破坏,能级发生分裂,简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。

(2)外电场下氢原子 Hamilton 量

2ˆHˆHˆ H0ˆ22e2H02r Hˆerezercos取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多,例如,强电场≈107 伏/米,而原子内部电场≈1011伏/米,二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。

(3)H0 的本征值和本征函数

e4n1,2,3,En22 2n(rnlm)Rnl(r)Ylm(,)量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

下面我们只讨论 n=2 的情况,这时简并度 n2=4。

2e2,a0 En22e88a0e4属于该能级的4个简并态是:

1200R20Y00412(a1)3/2(2ar)er/2a0000002210R21Y10412(a1)3/2(ar)er/2acos3211R21Y1181()13/2ra0a00()e0r/2a0sine0i

4211R21Y1181(a1)3/2(ar)er/2asinei其中,|2,1,2,3,4。即

1|21ψ2001|21ψ200(4)求H在各态中的矩阵元

1|21ψ2004|24ψ211

由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上各态的矩阵元。

ˆ|eR|r|RY|cos|Y1|HH12220210010ˆ|eR|r|RY|cos|Y 2|HH21121201000我们碰到角积分Ylm|cos|Ylm需要利用如下公式:

22(l1)2m2lm cosYlmYY(2l1)(2l3)l1,m(2l1)(2l1)l1,m于是

Ylm22(l1)2m2lm|cos|YlmYlm|Yl1,mYlm|Yl1,m(2l1)(2l3)(2l1)(2l1)22(l1)2m2lm(2l1)(2l3)ll1mm(2l1)(2l1)ll1mm欲使上式不为 0,由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件:

ll1lll1ll1 mmm0mm 17 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

,H21不等仅当l1,m0时,H的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有H12于0。

因为Y10|cos|Y00所以

3H21eR20|r|R21H123e(1)3/2(2r)er/2a0r1(1)3/2(r)er/2a0r2dra0a0302a032a0e(1)4(2r)er/a0r4dr24a00a0

r/a044e1()[2erdrrer/a0r4dr]00a24a005e(1)4[a04!(25)]24a03ea0这是微扰矩阵元的表达式(5)能量一级修正

将H的矩阵元代入久期方程:

(1)E23ea0(1)E2000(1)E20000(1)E23ea000解得 4 个根:

0

0(1)E21(1)E22(1)E23E(1)243ea03ea000(0)

由此可见,在外场作用下,原来 4 度简并的能级E2在一级修正下,被分裂成 3 条能级,简并部分消除。当跃迁发生时,原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同,另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图:

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

6)求 0 级近似波函数

(1)分别将E2 的 4 个值代入方程组:

kE)c0(H (1)n11,2,k得 四 元一次线性方程组

(1)E2c13ea0c20(1)03ea0c1E2c2(1)0E2c30000000000

(1)E2c40(1)(1)将E2E213ea0代入上面方程,得:

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0 的0级近似波函数是:

1(0)1[12]1[200210]

22(1)(1)将E2E223ea0代入上面方程,得:

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0的0级近似波函数是:

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

(0)21[12]1[200210]

22(1)(1)(1)将E2E23E240,代入上面方程,得:

c1c20 0的常数c3和c4为不同时等于(0)因此相应与E20的0级近似波函数可以按如下方式构成:

(0)(0)3(4)c33c44c3211c4211

我们不妨仍取原来的0级波函数(经常这样处理),即令:

c31c40(0)3211则(0)。4211orc30 c41(7)讨论

(0)上述结果表明,若氢原子处于 0 级近似态1, 2, 3, 4,那末,氢原子就

(0)(0)(0)好象具有了大小为3ea0的永久电偶极矩一般。对于处在1, 2态的氢原子,其电矩取

(0)向分别与电场方向平行和反平行;而对于处在3, 4态的氢原子,其电矩取向分别与电

(0)(0)(0)场方向垂直。

例2.有一粒子,其 Hamilton 量的矩阵形式为:HH0H,其中

2000H0020,H0002000,1 00求能级的一级近似和波函数的0级近似。

解:H0的本征值问题是三重简并的,这是一个简并微扰问题。

(1)(1)求本征能量

由久期方程HEI0得:

E(1)00E(1)00E(1)0

E(1)E(1)20 2 20 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

解得:E(1)0,。记为:

(1)0,E1(1) E1(1),E2故能级一级近似:

E1E0E1(1)2(1)E2E0E22(1)EEE2303简并完全消除

(2)求解 0 级近似波函数 将E1(1)代入方程,得:

0000由归一化条件:

c1(c1c3)c1c3c0c0 22c20c(cc)133c则ψ1(0)*1c1*0c102|c1|21取实解:c11

2c1110。

21将E20代入方程,得:(1)00由归一化条件:

00000c1c3c2000c1c30 cc3100c2*0c2|c2|21取实解:c21

0 21 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

则2(0)01。0(0)如法炮制,得3110

21

(三)讨论

(1)新 0 级波函数的正交归一性 1.正交性

对处理λ一次幂所带来的系数公式

E]c0[H(1)n1k(1)

取复共厄

)[(H1k*(1)*Enc0 ]ˆ的厄米性,有 由于Hˆ|n*n|Hˆ|n)*n|H(Hˆ|nHn|HE]c0 [H(1)n*1k

改记求和指标

,

(1)*En[H]c0k(2)

1由前知E]c0[H(1)n1k(1)

k(1)c(2)c *11(1)*E]cc[HEn[H]cc0

(1)n*kkkkk1111上式合起来可写为 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

kk[EE]cc0 (1)n(1)n*11或[E(1)n*E]cc0(1)nk1(1)(1)对于EnEn的根,k*c0c(3)

1(0)(1)(0)(1)对应于EnEnEn和EnEnEn的 0 级近似本征函数分别为:

kk|(0)nc|n1|(0)nc|n

1(0)n|(0)n*ccn|nkk11kk**cccc0k

111利用了(3)式cc0。*1k上式表明,新 0 级近似波函数满足正交条件。2.归一性

由于新 0 级近似波函数应满足归一化条件,对于同一能量,即角标,则上式变为:

(0)n|(0)n*cc1k(4)

1Eq.(3)和Eq.(4)合记之为:

cc*1k(5)

(2)可以证明在新 0 级近似波函数n为基矢的 k 维子空间中,H’从而 H的矩阵形式是对角化的。

证:

(0)23 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

kk(0)nˆ|(0)c*cn|Hˆ|n|Hn11kkccHccH**kk11k*11k

cEcE(1)nk(1)n11*cc1(1)Enk第2-3步用到了(1)式

E]c0。[H(1)n1上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以 H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。

[证毕] 因为 H0在自身表象中是对角化的,所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当时,上式给出如下关系式:

(1)(0)ˆ(0)Enn|H|n

也就是说,能量一级修正是 H’在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。

求解简并微扰问题,从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵 S,使 H’从而 H 对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。例如:前面讲到的例 2

200H00200020H0000001

应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是:

1(0)11021(0)20103(0)110

21这是新 0 级近似波函数在原简并波函数i,i = 1,2,3.为基矢所张开的子空间中的矩阵表示,即

cii

(0)i13 24 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

我们求解

i13E(1)li)ci0(Hlil1,2,3

就是为了寻找一个么正变换 S,使原来的 H = H0 + H’ 在以i为基矢的表象中的表示变到(0)为基矢的表象中,从而使 H 对角化。

根据表象理论,若(0)在以i为基矢的表象中的形式由下式给出,1(0)(0)11021(0)20103(0)110

21则由表象到表象的么正变换矩阵为:

12S012其逆矩阵为

0100 121212~*1SSS012H’从表象到(0)0100 1212表象由下式给出:

S1HSHS0100α1221000001α001022000000012012010120 12§10.3 变分法

微扰法求解问题的条件是体系的 Hamilton 量 H可分为两部分

ˆHˆHˆ H0 25 量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

其中 H0 的本征值本征函数已知有精确解析解,而 H’很小。如果上面条件不满足,微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法—变分法。

(一)能量的平均值

(二)< H >与 E0 的偏差和

(三)如何选取试探波函数

(四)变分方法

(五)实例

(一)能量的平均值

设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为:

试探波函数的关系

E0E1E2......En......012......n......上式第二行是与本征值相应的本征函数,其中E0、0分别为基态能量和基态波函数。

为简单计,假定H本征值是分立的,本征函数组成正交归一完备系,即

ˆH|nEn|n|nn|1nm|nmnn0,1,2,

设是任一归一化的波函数,在此态中体系能量平均值:

ˆ|H,则必有EE EH|H0证: 插入单位算符|nnn|1,则

ˆ||Hˆ||EH|HnnnEn|nn|n

E0|nn|E0|E0n即HE0。

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

这个不等式表明,用任意波函数计算出的平均值 总是大于(或等于)体系基态的能量,而仅当该波函数等于体系基态波函数时,平均值 才等于基态能量。

若未归一化,则

ˆ||HHE0

|基于上述基本原理,我们可以选取很多波函数: : (1),(2),…,(k),…称为试探波函数,来计算

HH1,H2,Hk

其中最小的一个就最接近基态能量 E0,即

Min[H1,H2,Hk]E0

如果选取的试探波函数越接近基态波函数,则 H 的平均值就越接近基态能量 E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。

使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题:(1)试探波函数与0之间的偏差和平均值(2)如何寻找试探波函数。

(二)< H >与 E0 的偏差和试探波函数的关系

由上面分析可以看出,试探波函数越接近基态本征函数, 就越接近基态能量 E0

.那末,由于试探波函数选取上的偏差0会引起[-E0]的多大偏差呢?

为了讨论这个问题,我们假定已归一化的试探波函数为:

< H > 与 E0之间偏差的关系;

||0||1

其中是一常数,是任一波函数,满足0所满足的同样的边界条件。显然|有各种各样的选取方式,通过引入|就可构造出在0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差:

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ˆE|HE0|H0ˆE0|*|H0|0|ˆE||HˆE| 0|H0000ˆE|||2|HˆE|*|H000ˆE|||2|H0ˆ|E|)(利用了Hnnn可见,若是一小量,即波函数偏差0|

是一阶小量,那末

ˆE| HE0||2|H0是二阶小量。

这也就是说, 是小量,与0很接近,则< H >与 E0更接近。当且仅当0时,才有< H > = E0。

[结论] 上述讨论表明,对本征函数附近的一个任意小的变化,本征能量是稳定的。因此,我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。

(三)如何选取试探波函数

试探波函数的好坏直接关系到计算结果,但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则,通常是根据物理上的知觉去猜测。

(1)根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数;(2)试探波函数要满足问题的边界条件;

(3)为了有选择的灵活性,试探波函数应包含一个或多个待调整的参数,这些参数称为变分参数;

(4)若体系Hamilton量可分成两部分H=H0+ H1,而H0 的本征函数已知有解析解,则该解析解可作为体系的试探波函数。

例:一维简谐振子试探波函数 一维简谐振子Hamilton 量:

22dˆH12x2 222dx其本征函数是:

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

n(x)Nne22x/2Hn(x)

下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。方法 I:

试探波函数可写成:

c(2x2)(x)0|x|

|x|显然,这不是谐振子的本征函数,但是它是合理的。

1.因为谐振子势是关于 x = 0 点对称的,我们的试探波函数也是关于 x = 0 点对称的; 2.满足边界条件,即当|x| →∞ 时,ψ→ 0; 3.含有一个待定的λ参数。方法 II:

亦可选取如下试探波函数:

(x)Aex2

A ——归一化常数, 是变分参量。这个试探波函数比第一个好,因为 1.(x)是光滑连续的函数;

2.关于 x = 0 点对称,满足边界条件,即当 |x|→∞ 时,ψ→ 0;

3.(x)是高斯函数,高斯函数有很好的性质,可作解析积分,且有积分表可查。

(四)变分方法

有了试探波函数后,我们就可以计算< H >

ˆ|H|H

ˆ()|H|()H()H()能量平均值是变分参数λ的函数,欲使< H(λ)>取最小值,则要求:

dH()dH()0 dd上式就可定出试探波函数中的变分参量λ取何值时 有最小值。

(五)实例

对一维简谐振子试探波函数,前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数,应用变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

方法I 使用第一种试探波函数:

c(2x2)(x)01.首先定归一化系数

|x|

|x|c*dx1

*dx00dxc2(2x2)2dx00dx2155。160165c(x)dxc11522222

2.求能量平均值

H()2ˆdx*H222d2122c(x)x(2x2)dx222dx 222222221c(x)2x(x)dx5221224143.变分求极值

dH()523120 d27235。

2代入上式得基态能量近似值为:

52H42135520.5976

351421410.5,比较二式可以看出,近似结果还2我们知道一维谐振子基态能量 E0不太坏。

方法II 使用第二种试探波函数:

1.对第二种试探波函数定归一化系数:

(x)Aex

2量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

1(x)*(x)dx|A|2e2x2dx|A|2 2|A|22。

2.求能量平均值

H()2ˆdx|A|2*Hx22ˆex2dxexH2222x2d1|A|e[x]edx2dx2222 22x2212222x22|A|edx|A|[]xedx2|A|222221212|A|[]2242带入|A|22,得

21H()21

283.变分求极值

dH()21220 d28121, 2代入上式得基态能量近似值为:

21121H2

2282这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将

代入试探波函数,得:

1 2(x)Aex21/4ex2/20(x)

量子力学 主讲:孟庆田 使用教材:曾谨言《量子力学导论》

正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果,是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性(Hamilton量性质)的分析,构造出物理上合理的试探波函数。

作业

p309 10.1、10.3、10.6 32

第二篇:量子力学导论第4章答案

第四章

力学量用算符表达与表象变换

4.1)设与为厄米算符,则和也是厄米算符。由此证明,任何一个算符均可分解为,与均为厄米算符,且

证:ⅰ)

为厄米算符。

ⅱ)

也为厄米算符。

ⅲ)令,则,且定义

(1)

由ⅰ),ⅱ)得,即和皆为厄米算符。

则由(1)式,不难解得

4.2)设是的整函数,证明

整函数是指可以展开成。

证:

(1)先证。

同理,现在,而。

4.3)定义反对易式,证明

证:

4.4)设,为矢量算符,和的标积和矢积定义为,为Levi-civita符号,试验证

(1)

(2)

(3)

证:

(1)式左端

(1)式右端也可以化成。

(1)式得证。

(2)式左端

()

(2)式右端

故(2)式成立。

(3)式验证可仿(2)式。

4.5)设与为矢量算符,为标量算符,证明

(1)

(2)

证:(1)式右端

(1)式左端

(2)式右端

(2)式左端

4.6)设是由,构成的标量算符,证明

(1)

证:

(2)

(3)

同理可证,(4)

(5)

将式(3)、(4)、(5)代入式(2),于是(1)式得证。

4.7)证明。

证:

利用基本对易式

即得。

因此

其次,由于和对易,所以

因此,4.8)证明

(1)

(2)

(3)

(4)

证:

(1)利用公式,有

其中

因此

(2)利用公式,(Δ)

可得

由①②③,则(2)得证。

(3)

(4)就此式的一个分量加以证明,由4.4)(2),其中

(即)

类似地。可以得到分量和分量的公式,故(4)题得证。

4.9)定义径向动量算符

证明:,,证:,即为厄米算符。

据4.8)(1)。

其中,因而

以左乘上式各项,即得

4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

解:一维谐振子能量。

又奇,,(由(3.8)、(3.9)题可知),由测不准关系,得。,得

同理有。

谐振子(三维)基态能量。

4.11)

利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。

解:类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似,只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成(为氢原子系数)而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径,在类氢原子中变为。

类氢原子基态波函数,仅是的函数。

而,故只考虑径向测不准关系,类氢原子径向能量为:。

而,如果只考虑基态,它可写为,与共轭,于是,(1)

求极值

由此得(:玻尔半径;:类氢原子中的电子基态“轨迹”半径)。代入(1)式,得

基态能量,运算中做了一些不严格的代换,如,作为估算是允许的。

4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。

证:设定态波函数的空间部分为,则有

为求的平均值,我们注意到坐标算符与的对易关系:。

这里已用到最基本的对易关系,由此

这里用到了的厄米性。

这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子,则在或的本征态中,的平均值必为0。

4.13)证明在的本征态下。

(提示:利用,求平均。)

证:设是的本征态,本征值为,即,同理有:。

4.14)

设粒子处于状态下,求和

解:记本征态为,满足本征方程,,利用基本对易式,可得算符关系

将上式在态下求平均,因作用于或后均变成本征值,使得后两项对平均值的贡献互相抵消,因此

上题已证。

同理。

4.15)设体系处于状态(已归一化,即),求

(a)的可能测值及平均值;

(b)的可能测值及相应的几率;

(c)的可能测值及相应的几率。

解:,。

(a)由于已归一化,故的可能测值为,0,相应的几率为。平均值。

(b)的可能测值为,相应的几率为。

(c)若,不为0,则(及)的可能测值为:,0。

1)在的空间,对角化的表象中的矩阵是

求本征矢并令,则,得,。

ⅰ)取,得,本征矢为,归一化后可得本征矢为。

ⅱ)取,得,本征矢为,归一化后可得本征矢为。

ⅲ)取,得,归一化后可得本征矢为。

在态下,取的振幅为,取的几率为;取的振幅为,相应的几率为;

取的振幅为,相应的几率为。总几率为。

2)在的空间,对角化表象中的矩阵

利用,。,本征方程,,。

ⅰ),,本征矢为。在态下,测得的振幅为。几率为;

ⅱ),,,本征矢为。在态下,测得的振幅为,几率为。

ⅲ),,,本征矢为,在态下,测得几率为。

ⅳ),,,本征矢为,在态下,测得的振幅为。几率为;

ⅴ),,,本征矢为,在态下,测得的几率为。

在态中,测(和)的可能值及几率分别为:

4.16)设属于能级有三个简并态,和,彼此线形独立,但不正交,试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。

解:,。

是归一化的。。

它们是正交归一的,但仍然是简并的(可验证:它们仍对应于同一能级)。

4.17)设有矩阵等,证明,,,表示矩阵相应的行列式得值,代表矩阵的对角元素之和。

证:(1)由定义,故上式可写成:,其中是的任意一个置换。

(2)

(3)

(4)

(5)

第三篇:量子力学导论第3章参考答案

第三章一维定态问题

3.1)设粒子处在二维无限深势阱中,求粒子的能量本征值和本征波函数。如,能级的简并度如何?

解:能量的本征值和本征函数为

若,则

这时,若,则能级不简并;若,则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况,如与)

3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动,即

求粒子的能量本征值和本征波函数。如,讨论能级的简并度。

解:能量本征值和本征波函数为,当时,时,能级不简并;

三者中有二者相等,而第三者不等时,能级一般为三重简并的。

三者皆不相等时,能级一般为6度简并的。

3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中,证明处于定态的粒子

讨论的情况,并于经典力学计算结果相比较。

证:设粒子处于第n个本征态,其本征函数

.(1)

(2)

在经典情况下,在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计,且为弹性碰撞,即粒子碰撞后仅运动方向改变,但动能、速度不变)外,来回作匀速运动,因此粒子处于范围的几率为,故,(3),(4)

当时,量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4)设粒子处在一维无限深方势阱中,处于基态,求粒子的动量分布。

解:基态波函数为,(参P57,(12))

动量的几率分布

3.5)设粒子处于半壁高的势场中

(1)

求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。

解:分区域写出:

(2)

其中

(3)

方程的解为

(4)

根据对波函数的有限性要求,当时,有限,则

当时,则

于是

(5)

在处,波函数及其一级导数连续,得

(6)

上两方程相比,得

(7)

(7’)

若令

(8)

则由(7)和(3),我们将得到两个方程:

(10)式是以为半径的圆。对于束缚态来说,结合(3)、(8)式可知,和都大于零。(10)式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当,即,亦即

(11)

时,至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量,位阱深度和宽度的一个限制。

3—6)求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解:仅讨论分立能级的情况,即,当时,故有

由在、处的连续条件,得

(1)

由(1a)可得

(2)

由于皆为正值,故由(1b),知为二,四象限的角。

因而

(3)

又由(1),余切函数的周期为,故由(2)式,(4)

由(3),得

(5)

结合(4),(5),得

(6)

一般而言,给定一个值,有一个解,相当于有一个能级:

(7)

当时,仅当

才有束缚态,故给定时,仅当

(8)

时才有束缚态(若,则无论和的值如何,至少总有一个能级)

当给定时,由(7)式可求出个能级(若有个能级的话)。相应的波函数为:

其中

3—7)设粒子(能量)从左入射,碰到下列势阱(图),求阱壁处的反射系数。

解:势阱为

在区域Ⅰ上有入射波与反射波,在区域Ⅱ上仅有透射波。故

由,得。

由,得。

从上二式消去c,得。

反射系数

将代入运算,可得

3—8)利用Hermite多项式的递推关系(附录A3。式(11)),证明

谐振子波函数满足下列关系

并由此证明,在态下,证:谐振子波函数

(1)

其中,归一化常数

(2)的递推关系为

(3)

3—9)利用Hermite多项式的求导公式。证明(参A3.式(12))

证:A3.式(12):

3—10)谐振子处于态下,计算,解:由题3—6),由题3—7),对于基态,刚好是测不准关系所规定的下限。

3—11)荷电q的谐振子,受到外电场的作用,(1)

求能量本征值和本征函数。

解:

(2)的本征函数为,本征值

现将的本征值记为,本症函数记为。

式(1)的势能项可以写成其中

(3)

如作坐标平移,令

(4)

由于

(5)

可表成(6)

(6)式中的与(2)式中的相比较,易见和的差别在于变量由换成,并添加了常数项,由此可知

(7)

(8)

(9)

(10)

其中

(11)

3—12)设粒子在下列势阱中运动,求粒子能级。

解:既然粒子不能穿入的区域,则对应的S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面,在的区域,这些本征函数和谐振子的本征函数相同(因在这个区域,粒子的和谐振子的完全一样,粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq)。振子的具有的奇宇称波函数在处为零,因而这些波函数是这一问题的解(的偶宇称波函数不满足边条件)所以

3—13)设粒子在下列势阱中运动,(1)

是否存在束缚定态?求存在束缚定态的条件。

解:S.eq:

(2)

对于束缚态(),令

(3)

(4)

积分,得跃变的条件

(5)

在处,方程(4)化为

(6)

边条件为

因此

(7)

再根据点连续条件及跃变条件(5),分别得

(8)

(9)

由(8)(9)可得(以乘以(9)式,利用(8)式)

(10)

此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

当势阱出现第一条能级时,所以,利用,(10)式化为,因此至少存在一条束缚态能级的条件为

(11)

纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时,由于排斥作用(表现为,对)。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。

条件(11)可改写为

(12)

即要求无限高势垒离开势阱较远()。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然,当(即),时,左侧无限高势垒的影响可以完全忽略,此时,式(10)给出

(13)

与势阱的结论完全相同。

令,则式(10)化为

(14)

由于,所以只当时,式(10)或(14)才有解。解出根之后,利用,即可求出能级

(15)

第四篇:量子力学导论第2章答案

第二章

波函数与Schrödinger方程

2.1设质量为的粒子在势场中运动。

(a)证明粒子的能量平均值为,(能量密度)

(b)证明能量守恒公式

(能流密度)

证:(a)粒子的能量平均值为(设已归一化)

(1)

(势能平均值)

(2)

其中的第一项可化为面积分,而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此

(3)

结合式(1)、(2)和(3),可知能量密度

(4)

且能量平均值。

(b)由(4)式,得

(:几率密度)

(定态波函数,几率密度不随时间改变)

所以。

2.2考虑单粒子的Schrödinger方程

(1)

与为实函数。

(a)证明粒子的几率(粒子数)不守恒。

(b)证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为

证:(a)式(1)取复共轭,得

(2)

(1)-(2),得

(3)

即,此即几率不守恒的微分表达式。

(b)式(3)对空间体积积分,得

上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率(),而第二项代表体积中“产生”的几率,这一项表征几率(或粒子数)不守恒。

2.3

设和是Schrödinger方程的两个解,证明。

证:

(1)

(2)

取(1)之复共轭:

(3)

(3)(2),得

对全空间积分:,(无穷远边界面上,)

即。

2.4)设一维自由粒子的初态,求。

解:

2.5

设一维自由粒子的初态,求。

提示:利用积分公式

或。

解:作Fourier变换:,()

(指数配方)

令,则。

2.6

设一维自由粒子的初态为,证明在足够长时间后,式中

是的Fourier变换。

提示:利用。

证:根据平面波的时间变化规律,任意时刻的波函数为

(1)

当时间足够长后(所谓),上式被积函数中的指数函数具有函数的性质,取,(2)

参照本题的解题提示,即得

(3)

(4)

物理意义:在足够长时间后,各不同k值的分波已经互相分离,波群在处的主要成分为,即,强度,因子描述整个波包的扩散,波包强度。

设整个波包中最强的动量成分为,即时最大,由(4)式可见,当足够大以后,的最大值出现在处,即处,这表明波包中心处波群的主要成分为。

2.7

写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。

解:经典能量方程。

在动量表象中,只要作变换,所以在动量表象中,Schrödinger为:。

第五篇:量子力学导论第1章答案

第一章

量子力学的诞生

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,试用de

Broglie的驻波条件,求粒子能量的可能取值。

解:据驻波条件,有

(1)

又据de

Broglie关系

(2)

而能量

(3)

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向,把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x方向,有

(:一来一回为一个周期),同理可得,,粒子能量

1.3设质量为的粒子在谐振子势中运动,用量子化条件求粒子能量E的可能取值。

提示:利用

解:能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为

(1)

其中由下式决定:。

0

由此得,(2)

即为粒子运动的转折点。有量子化条件

(3)

代入(2),解出

(4)

积分公式:

1.4设一个平面转子的转动惯量为I,求能量的可能取值。

提示:利用

是平面转子的角动量。转子的能量。

解:平面转子的转角(角位移)记为。

它的角动量(广义动量),是运动惯量。按量子化条件,因而平面转子的能量,

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