平方数(教案 )

第一篇：平方数(教案 )

平方数(教案)

一、平方数的性质

性质

1、完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.性质

2、奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数.性质３、如果一个平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数． 性质

4、平方数被8除的余数只可能是0，1，4 性质

5、平方数被9除的余数只可能为0，1，4，7；平方数的各位数字之和被9除的余数也只能为0，1，4，7 2性质

6、ab为完全平方数的充要条件是b为完全平方数.2ppa性质

7、如果质数能整除,但不能整除a,则a不是完全平方数.2性质

8、若n

9、一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个正约数(包括1和n本身).即平方数的正约数的个数为奇数。

性质

10、平方数的个位数字为非零数字，若末几位数字相同，则该数字应为4.最多只有三位相同 练习：

1、求证:11,111,111,„,111„1(n个1)这串数中没有完全平方数。

2、若n2的十位数字是7，求其个位数字。3、8k+7（k∈N）型自然数能否写成平方数的和。

解：8k+7=x2+y2+z2，由性质知，x2，y2，z2被8除余数只能为0，1，4 x2+y2+z2被8除只能余0，1，2，3，4，5，6，没有7 即8k+7≠x2+y2+z2的形式

4、一个整数 a与1512的乘积为完全平方数，求a 的最小值与这个平方数。解：151223337

则a237

421512×42=63504

一、平方数性质的应用

例

1、试证：数列49，4489，444889，„，222448967444889667497证明 ,，4448889nn1为平方数.1

n44488891(9991)81111444108881411nn1nn1nnn

4111911141118111136111121111nnnn22nn

(61111)266672nn1即

4448889nn1为平方数

所以数列49，4489，444889，„，每一项都是完全平方数.99...9600..04n练习：

1、证明：数列9604，996004，„，n的每一项均为平方数。

nn14448889证明：99„9600„04=99„96×10n+1+4=(10n+1－4)×10n-1+4=102(n+1)－4×10n+1+4 =(10－2)n+12 ∴数列9604，996004，„，99„9600„04的每一项均为平方数。

nn2、证明数列1089，110889，11108889，…，111...10888...89中的每一项均为平方数

例

2、求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方.证明：设四个连续的整数为n,(n1),(n2),(n3)加上1为m,则mn(n1)(n2)(n3)1[n(n3)][(n1)(n2)]1(n23n)(n23n2)1

(n23n)22(n23n)1(n23n1)2[n(n1)(2n1)]2

而n(n1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n1是奇数,因而n(n1)2n1是奇数.这就证明了m是一奇数的平方.练习：

1、两个连续偶数（或奇数）的乘积加1，即为平方数

2、连续四个偶数的乘积再加上16，一定是一个平方数

3、证明任意五个连续整数的平方和不能是某个整数的平方。证明：设五个连续整数为n-2，n-1，n，n+1，n+2 ∴(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5 n2+10=5(n2+2)若为平方数5整除n2+2，n2的末位数字只能为3或8 由性质1知，n2的末位数字不可能为3或8 ∴5(n2+2)不能为平方数 ∴任意五个连续整数的平方和不能是某个整数的平方

4、求证：三个连续奇数的平方和加1能被12整除但不能被24整除。

证明：设三个连续奇数为2n-1，2n+1，2n+3 S=(2n+1)2+(2n-1)2+(2n+3)2+1=12n2+12n+12=12(n2+n+1)∴12︱S n2+n+1=n(n+1)+1一定为奇数 ∴2不整除n2+n+1 ∴24不整除S∴结论得证 例

3、试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同 解 设这个四位数为aabb ∵它是一个平方数

232(a10b)11a0b11 a10a10b10baabb ∴所以,欲使它是完全平方数,三位数a0b必须含质因数11,则当且仅当11|(ab).而a,b是0,1,2,„各数码之一(a≠0),故共有(2,9),(3,8),(4,7),„(9,2)等8组可能值.直接验算,可

2774488知 所求的四位数为.练习：

1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数.解:设此自然数为x,依题意可得

2222 x45m x44n(m,n为自然数)可得nm89

(nm)(nm)89

但89为质数,它的正因子只能是1与89,于是解得 n45 m44

22∴ x444545441981 故所求的自然数是1981.2、求满足下列条件的所有自然数: ① 它是四位数;②被22除余数为5;③它是完全平方数.解 设m22n5N2,其中n,N为自然数,可知N为奇数

N21611(2n1)(N4)(N4)11(2n1)11N4或11N4

所以N11k4,N11l4 ,k,l均为正奇数 又1000

4、求出所有这样的两位数:它们中的每一个比它的倒序数大一个非零完全平方数.解：设nab10ab(ab)为所求的两位数,则它的倒序数n'ba10ba,于是nn'9(ab)若nn'是非零的完全平方数,则ab也为非零完全平方数

因为 0ab9,故有下列三种可能(1)ab1 有 10,21,32,„,87,98(2)ab4 有 40,51,62,73,84,95(3)ab9 有 90 练习：

1、求一个四位数xyzt,它是一个完全平方数。求适合x=y+z,x+z=10t。

解：∵ 0

2、求完全平方数abcd，使ab=cd+1。

解：设cd=x,ab=x+1 设abcd=t2 100（x+1）+x=t2 101x+100=t2 101x=t2-100=(t+10)(t-10)1000≤＜10000 30＜t＜100 20＜t-10＜90 40＜t+10＜110

∴t+10=10

1∴t=91 ∴abcd=t2=912 例

5、数n是一个不以0结尾的正的完全平方数，抹去最后两个数码之后，所得新数仍是正的完全平方数。试求具有这样性质的最大数。

解：n=100m2+ab=t2,ab=(t-10m)(t+10m)t-10m=k,t=k+10m.ab=k(20m+k)＜100 所以当k=1时，m取最大值，即m=4 所以t=41,n=412

二、平方数的速算

1、个位数字是5的数的平方: 222(x5)(10x5)100x100x25100x(x1)2

5算理：如152=

252=

352=

452=

552=

652=

752=

2、个位是1 的两位数的平方

2算理：（a1）=（10a1)2100a220a1

底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。

222===如712=5041

812=6561

918281

613721

411681

2512=2601

31=961

3、求11～19 的平方

2算理：（1a）=（10a)210020aa2

如172= 289 162=256 192=361 152=225 4、40—60的数的平方: 算理：(50x)22500100xx2=100（25x)x2

计算时,可用25加上超过50的“过剩数 ”或减去50的“亏损数”,并在此基础上加上“过剩数”或“亏损数”的平方.如下: 412(259)(92)1681 422(258)(82)1764 432(257)(72)1849 512(251)0(12)2601 522(252)(22)2704 532(253)(32)2809

如412 =1681 422 =1764 4321849 4421936 4522025 4622116 4722209 482 2304 5122601 5222704 5322809 542 2916 562 3136 572 3249 5823364 5923481 5、90—110之间的数的平方: 计算时一般按照如下的公式进行:

(100x)210000200xx2(1002x)100x2(100xx)100x2 验证效果如下:

1022(10022)0(22)10404 1012(10021)0(12)10201992(10021)0(12)9801 922(10028)(82)8464

如9128281 9228464 9328649 9428836 9629216 9729409 9829604 9929801 101210201 102210404 103210609 104210816 105211025 106211236 107211449 108211664 109211881

第二篇：完全平方教案

完全平方公式

教学设计

一、教学目标

1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．

2．熟练运用公式进行计算．

3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．

4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．

5．渗透数学公式的结构美、和谐美．

二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．

2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：

（1）切勿把此公式与公式

ab2ab22 混淆，而随意写成ab2a2b2 ．

（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．

（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．

三、重点·难点及解决办法

（一）重点

掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．

（二）难点

综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．

（三）解决办法

加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．

四、课时安排

一课时．

五、师生互动活动设计

1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．

2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．

3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．

4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．

六、教学步骤

（一）明确目标

本节课重点学习完全平方公式及其应用．

（二）整体感知

掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．

（三）教学过程

1．计算导入；求得公式

（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；

（2）用简便方法计算

①103×97

②103 × 103

（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．

学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．

要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘

法公式”．

引例：计算

学生活动：计算ab2，a-b

22ab，a-bab22a22abb2，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．

或合并为：abab2aa22abbba2

222ab2

ab222abb2

教师引导学生用文字概括公式．

方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

【教法说明】

①复习近平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．

②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出．

2．结合图形，理解公式

根据图形完成下列问题：

如图：A、B两图均为正方形，（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）

图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。

（2）图B中，正方形的面积为____________________，Ⅲ的面积为______________，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。

分别得出结论：

abab2aa22ab2abbb2 222

学生活动：在教师引导下回答问题．

【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。

3．探索新知，讲授新课

（1）引例：计算

教师讲解：在x2y2x2，3y2

x2y 中，把x看成a，把2y看成b，在2x23y2 中把2x看成a，把3y看成b，则

x2y2x2、3y22，就可用完全平方公式来计算，即

x2y2x2x22x2y2y2x4xy4y2

3y22x222x3y3y24x212xy9y2

【教法说明】

引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为运用公式打好基础．

（2）例1 运用完全平方公式计算：

①4ab2

1②y2

2③

-2x12

学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．

【教法说明】

让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成-2x122x12x122

然后再进行计算，同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力．

4．尝试反馈，巩固知识

练习一

运用完全平方公式计算：

（1）

a62（2）

4x

2（3）

x722

（4）-2x5y2

（5）

（6）

1x3y223x342

学生活动：学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存在的共性问题要集中解决．

5．变式训练，培养能力

练习二

运用完全平方公式计算：

（l）（2）

（3）

（4）

10221992498279.82

学生活动：学生分组讨论，选代表解答．

练习三

（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里．

甲的计算过程是：原式 =33

x2y222x2yx2yx432224xyy9

4乙的计算过程是：原式 =33 x2yx2y223x2y222x24y6y94

丙的计算过程是：原式=3x2y23x2y22 xx2232y2y246y32

丁的计算过程是：原式=33

x2yx2y223x2y222xx24y4294942y2

（2）想一想，（a+b）与 相等吗？为什么？

与 相等吗？为什么？

学生活动：观察、思考后，回答问题．

【教法说明】 练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使学生进一步理解解代数中“a”具有的广泛意义．

与

之间的相等关系，同时加深理

练习四

运用乘法公式计算：

（l）

（2）

（3）

（4）

学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目．

【教法说明】 这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛．

（四）总结、扩展

这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式．

引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．

七、布置作业

第三篇：完全平方数的性质与特征

完全平方数的性质与特征

1=1×1=2=2×2=3=×=4=×= 52=×=62=×=72=×=82=×= 92=×=102=×=112=×=122=×= 13=×=14=×=15=×=16=×= 172=×=182=×=192=×=202=×= 212=×=222=×=232=×=242=×= 252=×=262=×=272=×=282=×= 292=×=302=×=312=×=322=×=

1、观察你所填出的平方数，个位数字分别是（）、（）、（）、（）和（）。

（1）abcd5它可能是平方数。（）（2）abcd2它可能是平方数。（）

（3）abcd8它可能是平方数。（）（4）abcd9它可能是平方数。（）

2、观察上面奇数的平方，平方数的个位一定是（），十位也都是（）。

（1）572=ab69（）（2）abc35它可能是平方数。（）

（3）abc87它可能是平方数。（）（4）abc69它可能是平方数。（）

3、观察上面偶数的平方，平方数的个位一定是（），个位分别可以是（）、（）、（）；平方数的十位可以是（）或（），当平方数的十位是（）时，它的个位是（）或（），当平方数的十位是（）时，它的个位是（）。

（1）577a它是一个平方数，a一定是6。（）（2）ab46它可能是平方数。（）

（3）abc54它可能是平方数。（）（4）abc70它可能是平方数。（）

（5）如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

（6）如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是（）。

（7）如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是（）。

（8）如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是（）数。

4、观察上面偶数的平方，这些平方数不仅是2的倍数还都是（）的倍数；如果把奇数的平方分别除以4，可以发现（）都是（），也就是说如果一个平方数是奇数，将它减去（）后就是4的倍数了。

5、偶数可以用字母表示为（），那偶数的平方就可以表示为（）或（）；奇数可以用字母表示为（），那奇数的平方就可以表示为（）。22222222

第四篇：认识平方千米教案

《认识平方千米》教案 四年级数学上册第二单元第二课时

第二实验小学刘齐

教学目标

一、知识与能力

1、在现实情境中了解平方千米的概念，理解它的意义，掌握平方千米与公 顷、平方米之间的换算关系。

2、能用平方千米计量较大面积。情感、态度与价值观

1、在现实情境中初步认识平方千米，了解它的作用。

2、体验数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，培养应用数学的能 力。

3、培养团结协作的精神和实事求是的科学态度。

二、过程与方法

1、通过合作讨论和小组交流认识并运用平方千米。

2、通过具体情景的创设，使学生在生活中发现数学问题，感受到平方千米 在生活中的运用。

三、情感、态度与价值观

1、在现实情境中初步认识平方千米，了解它的作用。

2、体验数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，培养应用数学的能力。

3、培养团结协作的精神和实事求是的科学态度。教学重、难点

了解平方千米的概念，掌握平方千米、公项与平方米之间的换算关系，并 能准确地运算。教学方法

动手操作、合作探究、观察想象、验证归纳等方法。教学准备 多媒体课件 课时安排 一课时 教学过程

一、创设情境，导入新课

以前我们学习了平方厘米，平方分米，平方米，公顷这些面积单位。下面请同学们完成这些填空题。

1、（1）4公顷=（）平方米（2）73000平方米=（）公顷

2、填一填

（1）边长为（）的正方形面积为1平方厘米。（2）边长为（）的正方形面积是1平方分米。（3）边长为（）的正方形面积是1平方米。

（4）边长为100米的正方形，面积是（）平方米，相当于（）出示课件1.指名答 设计意图

通过让学生课前先收集资料的方式对土地面积有所了解，课上提出要解决的问题，充分发挥学生的自主性。为学生提供了一个广阔而真实，真实而有意义的情景。让学生联系图片初步感知平方千米是一个很大的面积单位，也为学习新知设置一个知识悬念，激发学生学习的欲望。

揭示课题：这节课，我们来认识一位新朋友：认识平方千米（板书）二丶新授: 1.看到平方千米，你想到了哪个长度单位？（齐说）谁能说边长多大的正方形面积是1平方米呢？（指名答并说理由，评价）

出示课件2，边长为1千米的正方形面积是1平方千米（生读）2.推算平方千米和平方米的进率。

我们都知道1千米=1000米，1平方千米等于多少平方米呢？（小组讨论，并说明理由，看看哪个小组表现最棒。）指名答：你们同意吗？表扬说得好的同学 板书2 1000×1000=1000000 1平方千米=1000000平方米。齐读2遍 出示课件3，边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米，也就是1000000平方米。

3.推算平方米与公顷的进率，刚才我们推算出来平方千米与平方米的进率，上节课我们学习了1公顷=10000平方米。下面我们一起来看看公顷与平方千米的关系吧!出示课件4 引导学生讨论，得出结论，及时评价。板书3 1平方千米=100公顷。小结：

三、巩固练习

学了这么多，我们来运用一下，先思考，再举手答，看哪些人答得又对又快。

四、看课件

1、请同学们看一组图片，想想表示什么面积用平方千米作单位。

2、小结：平方千米是比较大的面积单位，通常用来表示县、省、城市的面积。

五、拓展练习

六、全课小结

谈谈收获！这节课同学们表现很好，希望大家再接再厉。

七、板书设计

认识平方千米

1平方千米=1000000平方米=100公顷

第五篇：完全平方公式教案

人教新课标八年级上15.2完全平方公式表格式教案

一、复习旧知

探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．

答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．

二、探究新知

1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．

（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即

学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳

教师让学生利用多项式的乘法法则进行推理.教师让学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

这里是对前边进行的运算的复习，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图（a+b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2 3．归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍． 4.【例1】运用完全平方公式计算：

⑴ ； ⑵ 【点拨】展开后的式子有三项，能合并的要合并.5．利用完全平方公式计算：（1）（－x+2y）2；（2）（－x－y）2；（3）（x+y－z）2；

解析：（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再运用完全平方公式；（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；

（3）题利用加法结合律变形为［（x+y）－z］2，或［x+（y－z）］

2、［（x－z）+y］2，再用完全平方公式计算； 思考

⑴（a+b）2与（－a－b）2相等吗？为什么? ⑵（a－b）2与（b－a）2相等吗？为什么? ⑶（a－b）2与a2－b2相等吗？为什么? 6．添括号：∵4+5+2与4+(5+2)的值相等;4-5-2与4-(5+2)的值相等.所以可以写出下列两个等式:(1)4+5+2=4+(5+2)(2)4-5-2=4-(5+2)左边没括号,右边有括号,也就是添了括号,•同学们可不可以总结出添括号法则来呢? 添括号其实就是把去括号反过来。

教学程序及教学内容

学生分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特征。

部分学生板演，然后学生交流分析过程：此题需灵活运用完全平方公式。学生思考，教师点拨。

学生在做题时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生理解每一步的运算理由。.学生分组讨论,最后总结。

师生行为 的思想方法：特例—归纳—猜想—验证一用数学符号表示． 的设置是由浅入深，让 每个学生感到学有所成，感

受到学习数学的乐趣.整个过程贯穿完全平方公式的结构特征及由一般到特殊的思想的体验，亲身 经历了数学魅力所在.注意完全平方公式中容易出现的问题，让学生掌握。