初中数学命题及解题指导论文-莫道题“任性” 皆因思“随性”

第一篇：初中数学命题及解题指导论文-莫道题“任性” 皆因思“随性”

莫道题“任性” 皆因思“随性”

在本市某中学就读八年级的侄子（以下称生），经常与笔者（以下称师）进行信息交流。一方面，寻求笔者的答疑辅导；另一方面，让我有机会分享到优质教育资源，直接地学习城区教师优秀的选题理念。不久前，他通过QQ给我发来一道题，在给他指导和分发给我的学生做的对比中，受益匪浅，加以整理，与大家分享，寻求指导八年级学生解答动点几何问题的策略。原题呈现

等腰△ABC中，∠CAB=120°，D为BC上一动点，作∠ADE=120°，且DE=AD，连AE，BE，试问∠CBE的度数是否变化，请说明理由。

ACDBE 指导摘录

题目发过来后，正好空闲，我扫了一眼，随手就回了过去: 师：哦，是等腰三角形为背景的动点题，你想想看，这一章你都学了哪些重要定理？你还是先思考下，应该会做得出来的。

生：感觉∠CBE的度数是不会变的，应该是300。师：你是怎么想到是300的? 生：猜的，因为有特殊角1200，然后我量了下，验证了我的想法。

师：这也是一种办法，有时候需要你这种观察猜想得到结论，然后去找思路，你做得好。想想看，这个图中，有没有特殊点?从特殊点画图试试看，或许能打开思路。

生：好像是C和B。

师：解决这类问题通常是从特殊出发，找出哪些是变化的量和关系，哪些是不变量或不变关系，先猜想结论，再去证明对一般情况下也成立，是不是？想想看，这个图中，除C和B点外，还有没有特殊点? 生：有，CB的中点。

师：好，能发现中点很不错，那你先试着从这三个特殊点试试，看你的猜想是不是成立，或许，从这些特殊点分析，你可以找出解题思路。

过了几分钟，侄子把D与特殊点C重合这种情形的证明发了过来，如下：

生：当D与C重合时，有AC=AD=DE=AB，而∠DAC＝∠ADE=1200，则∠ACB=∠ABC=∠EAD=∠DEA=300，所以∠BDA=∠EAB=900，而AB=DE，DB=BD，可得△BDE≌△EAB，得∠AEB=∠DBE，而∠AEB+∠CBE＝∠ACB+∠CAE=600，从而得到∠CBE=300。

生：当D与BC中点重合时，我无法证明。从我平常对侄子的学习能力了解，知道这可能是一道棘手的数学题，我只好搪塞下。师：好，你别急，这会儿我正忙，等我有时间看看。生：不急，明天早上才交的。

接下来，我思索了大约15分钟，仍无头绪。这下可着急了，要做不出，不是丢得大了。找了个安静的地方，重新画了几个D点在BC上不同位置的标准图，果然验证了侄女的结论是对的。怎么去证明呢？要用三线合一吗？试了下，不行。突然，想到三角形全等引入时，旋转、平移、翻折三大变换，我先把△ADE绕着A旋转120度，可时间一分分地过去了，还是没能做出来。就在这时，他又发来一条信息：

生：我通过画图还发现当D从C向B运动过程中，∠BDE是从90度逐渐减小的，当D运动到某一点时，AE恰好是△ABC的中垂线，BC也正好平分△ADE，这时∠CBE仍等于30度。

师：很好，就按这个思路走下去。

生：可是我还是不能完成一般情况下的证明。„„

受他的启示，发现D运动到某一点时，AE恰好是△ABC的中垂线，BC也正好平分∠ADE，这时，∠CBE仍等于30度，发现DA⊥AB，DE⊥EB，再审视∠ABC等于30度，如果∠CBE也等于30度，那不是有角平分线吗？正好是角平分线遇上垂线必有等腰三角形这一基本图形吗？总算找到解决问题的办法了，稍作整理，便把我的解题思路冒失地发了过去：

解：当D在BC上运动到某一位置时，如图1或如图2时，只要把△ADE绕D点逆时针旋转度，分别交AB、BE于M、N，再作DF⊥BA于F，DG⊥BE于G，则有∠MDA=∠EDN=，△ADE≌△MDN，从而有MD=DA=DE=DN，所以有△ADM≌△

11AM，GN= EN，22从而可得AF=GN，又DN=DA，所以Rt△AFD≌Rt△NGD，从而可得DF＝DG，因为在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知∠CBE=∠CBA，而由等腰△ABC中，∠CAB=120°由等边对等角可知∠CBA＝300，从而得到∠CBE＝300。EDN，得到AM=EN，又DF⊥BA于F，DG⊥BE于G，则有AF=MAFABFMBECDCDGEGNN

图

1图2 过了大约15分钟，便收到了回复： 生：谢谢！原来是角平分线遇上垂线这种基本图形，真没发现。可是题中∠ADE=1200没用上，是不是可以只旋转120度就可以呢？另外，根据您的思路，我发现当D运动到某一点时，E与B重合了，这时∠CEB是不是0度？并且当D与B重合时，可得直接得到∠CBE=∠CBA+∠ABE=∠CBA+∠ADE=1500。我：你考虑问题真周到，这个习惯好。好，我再去看看，你也再去钻研下，并把解答这类问题的方法总结下，发给我看看。

生：好的，以后还得请您多帮助，谢谢！3 两点思考

从对角互补的四边形的四个顶点共圆这个角度来解决本题，其实并不难。可是对刚进入八年级学习的学生来说，初做此题，让人觉得有知识就“任性”[1]，如果学生花费时间，找不到解决问题的办法，会不会人为制造学习上的畏难情绪，长此下去，会不会挫伤学生学习积极性？仔细回味解答过程，结合平时对学生解题指导的一些做法，解题指导可能缺少了对基本图形的提炼，对基本方法渗透[2]，以致思考“随性”，学生即使当时听懂，但由于思考习惯、方式不成系统，遇到同样的问题时，思维不能指向集中，总是不能快速寻找到方法。

3.1校正思考“随性”的用力点

为让我们农村中学的学生公平享受下优质教育资源，做好城乡教育对接，更好地激励学生学习，发现优秀人才，下课前10分钟，选择本题作为思考题，在全班进行了尝试。当我告诉他们这题来市区某知名中学时，学生的欲望一下子被激发，那表情，那眼神，让人震撼。等把结果交上来时，统计了下，80%学生都能得到30度，没有一个人得到结论是150度，仅有一人给出了较为规范的证明。与这名学生交流时，他的思路是，当猜出是30度时，发现∠ABC等于30度，这样说明D在∠ABE的角平分线上运动，这样就想到了角平分线定理，作DF⊥BA于F，DG⊥BE于G进行了基本图形的补形与还原，但如何证明DF＝DG，遇上了麻烦，先试着把△ADE绕D点逆时针旋转120度，发现与AB、BE不一定有交点，这样就想到了用圆规以D为圆心，DA为半径画弧，这样得到了解答。

笔者和多名学生交流，发现解答这类问题能力比较好的学生，他们动手能力强，能根据题意迅速画出符合条件的对应图形，并且头脑中积累有一定数量的基本图形。结合这名学生思路，回顾我解答本题过程，发现对这类问题思考和指导上，犯了思考“随性”的偏差，就是解决问题不能指向集中，一会儿想这样作辅助线，一会儿想那样旋转，最终浪费了时间，导致思维混乱。

学之道在悟，解题之道在于关联与溯源。关联基本的解题经验，溯源基本的知识源，从而使自己的思考有序有指向性而不盲目。就本题，可以基于共点等边可旋转，回溯等腰三角形性质，联想见120度旋转120度，从而寻找到更为简洁的思路。

基本图形积累和发现、特殊点和特殊位置思考，从特殊到一般，是解决动态几何的有效策略，理应是我们指导学生，形成解决这类问题的基点。如果坚持这样的指导，学生在解答这类问题时，就会自觉去经历画图过程，找准分类标准，从特殊出发，发现解题思路。

3.2避免用题“任性”的关注点 如果是命题“任性”，就应该改进，使之成为更有利于八年级学生训练的题。好题如诗，一道数学题的命制，凝聚着命题人的心血和智慧，启迪教师去反思和改进课堂教学，提升辅导效率，最终受益的是学生。一道好题，追求表述简约、突出数学本质、理应思前想后[3]，科学无误，思维指向明确。教学选题时，不能见到好题就用，要关注学生实际，要着眼于保护学生兴趣、能力而着眼。就本题而言，命题人借助角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形三线合一、三角形全等为背景而想前；仔细研究发现，E和A、D、B共圆，从同圆或等圆中，同弧所对圆周角相等，以动点方式呈现，提升学生构造全等三角形辅助线做法，着眼于培养学生综合解题能力而想后，不失为一道提升学生思维品质的好题。由于使用的是人教版，八年级学生对勾股定理没有接触，如果要想发 挥本题功能而又不为难学生，就得重新思考，学生为什么不能画出D与B重合图形，为什么想不到角平分线定理而通过作双垂线构建全等三角形？我想，这恐怕还是知识上的一种“任性”，或者表述上对学生学误导所造成的，从而人为地制造了解答困难。任何一道好题，要放在合适的位置，才能最大限度发挥其立意功能，才算真正意义上的对命题人的尊重。教之道在度，在为学生选题时，特别是针对大多数农村学生不知几何画板操作情况下，对动点几何问题的题目，不能一味地“拿来”。在不改变题目命题意图原则下，进行必要的重组，为我们的课堂教学真正服务。基于此，我对本题做了如下修改：

原题改编：等腰△ABC中，∠CAB=120°，AB=43，BD=4，作∠ADE=120°，且DE=AD，连AE，BE：

(1)当D点从图中位置出发，沿射线DC运动，其他条件均不变，试问∠CBE的度数是否变化，请说明理由。

(2)如果D点从图从图中位置出发，在直线CB上运动，其他条件仍不变，（1）中结论是否成立？直接写出你的结论，不必说明理由。

ACDB

改编后，发给学生训练，发现学生从特殊点出发，由等腰△ABC轴对称性质，在D在射线DC上运动时，分别画出了D运动到与BC中点重合、AE过BC中点（即CD=4）、D与C重合三种特殊情形，分类合理。特别是从D运动到AE过BC中点重合时，为本题探求辅助线得到启示，思路自然不“随性”，不断积累解决这类问题的基本经验，获得解决这类问题的基本思考习惯和方法。参考文献：

[1]张晓鹏，谈教学中的“任性”现象[J].中学数学教学参考：中旬，2015(8)：17-19.[2]吴俊杰，我的解题教学缺少什么？[J].中学数学教学参考：中旬，2015(９)：24-26 [3]刘东升，思前想后：值得重视的初中命题取向[J].中国数学教育：初中版，2015(7-8):120-122.

第二篇：初中数学：常用几何题的原理及解题思路

初中数学：常用几何题的原理及解题思路

几何证明题入门难，证明题难做，已经成为许多同学的共识…今天小瑞老师和同学们分享的是几何证明题思路及常用的原理，希望对大家有帮助！

证明题的思路

很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。

对于证明题，有三种思考方式：

1.正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

2.逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。

同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。

例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去…

这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。

3.正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。

初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。

给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

证明题要用到哪些原理

要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键…

下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题… 证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明角的和差倍分 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等 1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。

证明四点共圆

1.对角互补的四边形的顶点共圆。

2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。

4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

5.到顶点距离相等的各点共圆。