毕业论文线性方程组的欲条件解法

第一篇：毕业论文线性方程组的欲条件解法

学校代码：10206 学生学号：051074210

白城师范学院

毕业论文

线性方程组的预条件解法

Pre-conditions for Solution of System of Linear Equations

学生姓名：孙雷 指导教师：牟欣 讲师 学科专业：数学与应用数学 所在单位：数学系

2011年 6 月

摘要

摘 要

随着计算机的发展，在许多实际应用和数学研究中，经常遇到求解线性方程组的问题，而数值代数己经成为处理这些问题的强大工具。在本文中，主要研究了对线性方程组的几种预条件迭代解法。使用预条件矩阵来加速迭代方法的收敛性是通常所采用的方法，预条件迭代法对于解决系数矩阵是大型稀疏矩阵的情况有较好的效果。

证明了当线性方程组的系数矩阵A为不可约L-矩阵时的预条件AOR方法，并且证明了其收敛性，最后用数值试验验证所提出的理论结果。当选取最优参数时，通过数值试验可看出我们的方法所得迭代矩阵的谱半径比小。

提出以SSOR多分裂作为内分裂的松弛不定常二级多分裂法，然后研究了所提出的方法在求解当系数矩阵为H-矩阵的线性系统的收敛性，最后具体给出此方法收敛性的论证及其应用。

关键词： L-矩阵，H-矩阵，M-矩阵，预条件AOR法，SSOR多分裂

I

Abstract

Abstract With the development of the computers, numerical analysis concerned with the solution of linear systems of equations is always used in the practical and mathematic problems.For a linear system, we study the several preconditioning method in this paper.It is quite common to use preconditioning to accelerate the convergence of a basic iterative scheme which is very useful to solve the large sparse coefficient matrix.We improve the preconditioned AOR iterative scheme for irreducible L-matrices considered and then we prove the convergence of our method.Lastly, numerical experiments to illustrate the theoretical results are provided.When choosing the approximately optimal parameters, our scheme has small spectral radii of the iterative matrices than the spectral radii of AOR iterative scheme, which is shown through numerical examples.We present the relaxed nonstationary two-stage multisplitting method using an outer splitting and the SSOR multisplitting as inner splitting.Then, we study the convergence of the proposed method for solving the linear system whose coefficient matrix is an H-matrix.At last, we give the specific convergence of this method of argumentation and its application.KeyWords： L-matrix, H-matrix, M-matrix, preconditioned AOR method, SSOR multisplitting

II

目录

目 录 绪论.............................................................................................................................................1

1.1引言....................................................................................................................................1 1.2常见的预条件方法............................................................................................................2 2 预条件AOR迭代法....................................................................................................................4

2.1概论....................................................................................................................................4 2.2预备知识............................................................................................................................5

2.2.1本章中用到的定义................................................................................................7 2.2.2本章中用到的定理................................................................................................7 2.3主要结果............................................................................................................................7 2.4小结..................................................................................................................................13 3 预条件多分裂迭代法...............................................................................................................14 3.1概论..................................................................................................................................14 3.2预备知识..........................................................................................................................14 3.2.1本章中用到的定义..............................................................................................14 3.2.2几种常见的分裂方式..........................................................................................15 3.2.3本文中用到的定理..............................................................................................16 3.3主要结果..........................................................................................................................17 3.4小结..................................................................................................................................19 结论................................................................................................................................................20 参考文献.........................................................................................................................................21 致谢................................................................................................................................................22

I

绪论 绪论

1.1引言

很多科学问题的解决都需要解这样一个线性方程组，求解线性方程组是数值线性代数的一个基本问题，即给定ACnn,bCm，寻找解向量xCn使得Axb。解线性方程组的传统方法是用Gaussian消元法，假设系数矩阵A是一个这样用Gaussian消元法直接解的运算量是On3。并且许多微nn的非退化阵，分方程经过适当差分或有限元离散所产生的线性代数方程组的系数矩阵，不仅具有大型稀疏的特性，而且常常呈现出规则的分块结果。当n很大且A稀疏时，用直接法就很不划算，而且需要很大的存储空间，人们开始考虑和研究用迭代法求方程组Axb的近似解，即用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，常见的如Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。

即若系数矩阵A的一个分裂：A=M-N，M为可逆矩阵，线性方程组

Ax=b

(M-N)x=b Mx=Nx+b

x =M1Nx+M1b

得到迭代方法的一般公式：

x(k1)Hx(k)d

其中：HM1N，dM1b，H称为迭代矩阵，它的收敛性直接关系到方程组的求解，收敛性迭代矩阵M1N的谱半径有关，谱半径小于1时就收敛，否则就发散，而且谱半径越小，迭代矩阵收敛速度就越快。

若假设A是nn阶矩阵，且AILU，L和U分别是的严格下三角和严格上三角部分，则经典的Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为H(IL)1U。迭代法解线性方程组时都假设矩阵A是非奇异矩阵，当矩阵A是奇异矩阵时，可以通过变换把Axb变为一个和它同解的新的系数矩阵为非奇异的线性方程组。

为改善迭代法的收敛性和收敛速度，Hadjidioms于1978年提出一种快速超松弛迭代法(简称AOR迭代法)，它含有两个参数ω，τ，当时ω=τ，这种方法就

绪论

变为逐次超松弛迭代法(简称SOR迭代法)；随着并行计算机的发展，1983年Misirlis提出一种解线性方程组的方法，称为并行Jacobi型方法，它的突出优点是适合大型并行机的计算。胡家赣[1]在1992年提出了两参并行的Jacobi型方法(简称2PPJ型方法)，使Misirlis提出的方法成为2PPJ型方法的特例。另外，结合实际的需要，还产生了一些如SSOR型迭代法、SAOR型迭代法、PSD型迭代法等一系列迭代方法，目的都在于改善迭代矩阵的收敛性和收敛的速度。

1.2常见的预条件方法

在实际的计算过程中，收敛性的改善不仅取决于迭代方法以及迭代矩阵中参 数的选取，而且同方程组自身的某些变化也密切相关，例如可以对方程组两边左 乘一个非奇异矩阵P(预处理)。通过这种技巧，线性方程组Ax=b等价变为

PAx=Pb

(1-1)如果PA还有分裂PAMANA，那么(1-1)对应的迭代格式为

x(k1)MA1NAx(k)MA1Pb,k0,1,...(1-2)

式(1-1)称为预条件方法。1991年，Gunawardena等提出了修改的Gauess-Seidel方法（简称MGS方法）如下：令(1-2)式中的P=I+S，其中

a1200000a023

S000an1,n0000文献[3]证明了该预条件用于Gauess-Seidel迭代法的收敛性。为了进一步研究MGS方法并改善其收敛速度，1997年Kohno等利用带有n-1个参数的预条件矩阵PIS，其中



S0000a1a120000a2a23000 an1an1,n00并采用与文献[3]相同的迭代格式（只把S改成S），将文献[3]的结果进行了推广。随后文献[5]将文献[4]中的预条件方法应用到H-矩阵类。国内外很多学者对于这类方法都进行了进一步的研究，如GAOR迭代法，并且给出了当A为H-矩阵时的一些收敛性结论。

本文的第二章将考虑用如下两种预条件矩阵形式：

绪论

PPS1 和 PPS2

这里PS1IS1,PS2IS2，其中

0a2a21S1a3a31aann10000000S200000a1a120000a2a23000

an1an1n,00

并讨论了该预条件用于AOR迭代法的收敛性。当选取不同的参数值时，通过实例可以看出，我们所提出的预条件迭代矩阵的谱半径要比文献中所提到的预条件迭代矩阵谱半径小的多，在一定程度上改进了迭代法的收敛速度。

若A=MN是A的一个分裂，则三角阵(Mk,Nk,Ek),k1l称为A的一个多分裂，Ek是非负矩阵，并且

Ek1lkI。由此多分裂，我们得到了求解线性系统Ax=b的多分裂法，Bai，Sun和Wang在统一的算法框架下建立了矩阵多分裂迭代算法的收敛理论。多分裂法首先由O’Leary和White所提出，后来又被许多学者进行了进一步的研究。多分裂法被广泛的应用于二级分裂迭代法中，其中ILU多分裂法在文献里对于系数矩阵为H-矩阵或M-矩阵等的收敛性以及由此做出的预条件矩阵已做了深入研究和讨论，并得到了较好的收敛效果，但还有许多分裂法仍可用于二级迭代法中，及其他一些特殊类型的矩阵的多分裂法还可做进一步讨论。本文第三章将考虑当系数矩阵为H-矩阵时用SSOR多分裂作为内分裂的二级多分裂法的预条件法，并讨论了该预条件迭代法的收敛性，并与SSOR多分裂法进行了比较，数值表明我们的算法要优于SSOR多分裂法。

预条件AOR迭代法 预条件AOR迭代法

2.1概论

在第一章中已经提到，当线性方程组Axb的系数矩阵A是大型稀疏矩阵或具有某些特殊性质时，对方程组的系数矩阵A进行预条件处理是一种不但常用而且较为有效的方法。其基本思想就是寻找一个特殊的可逆矩阵P，左乘方程组Axb后，使得矩阵PA相应分裂的迭代矩阵的谱半径较小。近年有好多学者对系数矩阵为特殊情形进行了深入的研究。

在本章中，我们考虑当线性方程组的系数矩阵A为不可约L-矩阵时，预条件迭代法的构造及其具体应用。主要构造了二种预条件矩阵，把这二种预条件矩阵应用到AOR迭代法中，比较在此迭代法中的作用，还讨论了预条件AOR迭代法收敛性同预条件矩阵的参数之间关系。

考虑线性方程组

Axb

(2-1)

其中x,b∈Rn，A(aij)nn在实际应用中，Gauss消去法及Cholesky分解法是常见的直接解法，但当系数矩阵A具有某些特殊性质时，这时迭代法具有了相当的优势，相比之下，直接解法往往很不实用，效果不佳。

上面我们已就相关内容的展开作了铺垫性的说明，对于应具备的理论背景作了扼要的介绍，下面我们就系数矩阵为不可约L-矩阵的线性方程组预条件矩阵的选取作详细的论证。

为了更好的求解线性方程组Ax=b，这里A(aij)nnRnn是非奇异矩阵，常用某些非奇异矩阵P对(1-1)式进行预处理，即考虑方程组

PAx=Pb 这里P称为预条件矩阵。1991年，Gunawardena提出了修改的Gauess-Seidel方法（简称MGS方法）如下：令上式中的P=I+S，其中

a1200000a023S

000an1,n0000文献[3]证明了该预条件用于Gauess-Seidel迭代法的收敛性。为了进一步研究MGS方法并改善其收敛速度，1997年Kohno利用带有n-1个参数的预条件矩阵PIS，其中

预条件AOR迭代法



S0000a1a120000a2a23000 an1an1,n00并采用与文献[3]相同的迭代格式（只把S改成S），将文献[3]的结果进行了推广。随后文献[5]将文献[4]中的预条件方法应用到H-矩阵类。

本文则考虑用如下两种预条件矩阵形式：

PPS1 和 PPS2 这里PS1IS1，PS2IS2，其中

0a2a21S1a3a31aann100000000S20000a1a120000a2a23000

an1an1,n00并讨论了该预条件用于AOR迭代法的收敛性。

2.2预备知识

考虑线性方程组Ax=b，这里A(aij)nnRnn是非奇异矩阵，我们考虑用迭代法求解此方程组。对于矩阵A的一个分裂AMN，其中M0，则有求解线性方程组(2-1)的基本迭代法为：

xj1M1NxjM1b k0,1,...不失一般性，设矩阵A的一个分裂形式为ADLU，这里D，L和U分别是A的对角、严格下三角和严格上三角矩阵。不妨设D=I，则定义A的AOR迭代矩阵为：

x(j1)(IrL)1[(l)I(r)LU]x(i)(IrL)1b

(2-2)

则有AOR迭代法的迭代矩阵为：

Tr(IrL)1[(l)I(r)LU]

(2-3)这里参数ω和r都为正的。

现在我们将原来的线性方程组(2-1)转换为预条件系统

PAx=Pb

(2-4)

这里矩阵P称为预条件矩阵。则求解线性方程组(2-4)的基本迭代法为：

xk1Mp1NpxkMp1Pb(2-5)

预条件AOR迭代法

其中x0为初始向量，PAMpNp是矩阵PA的一个分裂。

i(i2,3,...,n)是实参数并且对所有的i=2,3,…,n都有i >0。特别的，若令i1(i2,3,...,n)，则所对应的预条件矩阵就为[6]中所讨论的形式。

令

PA, SUDLU

A1S1这里D，L和U分别是A的对角、严格下三角和严格上三角矩阵。由于S1L=0，我们可得

(IS)(ILU)ILDSSUDLU(2-6)A111ID,LLSL,UUU。其中D1令APS2A和S2LD*L*，其中D*是对角矩阵，L*是严格下三角矩阵，则我们可得到：

LU(2-7)A(IS2)(ILU)ILDS2S2UD其中D =I D*，LL L*，UUS2S2U。

若我们将AOR迭代法用在预条件线性系统（2-4），则我们得到预处理AOR迭代法，其迭代矩阵为：

(DrL)1((1)D(r)LU)

若PP

(2-8)TS1r或

Tr(DrL)1((1)D(r)LU)

若PPS(2-9)

当ω=r时，则（预条件）AOR迭代法就是（预条件）SOR迭代法[5]。对ω=r及，T，由(2-3)，(2-8)，(2-9)可得到相应的迭代矩阵T，T，迭代矩阵Tr，TrrT，即：

T(IrL)1((l)IU)

(2-10)(DrL)1((l)DU)

(2-11)

T

T(DrL)((l)DU)

(2-12)

1

预条件AOR迭代法

2.2.1本章中用到的定义

定义2.2.1.1设A(aij)为n×n的矩阵，若aij0(ij),则我们称之为Z-矩阵。

定义2.2.1.2记所有n×n实矩阵A(aij)所组成的集合为Rnn,Rnn的子集为Znn{A(aij)ARnn,aij0,(i,j,ij)}。当AZnn，且aij0()i成立时，称矩阵A为L-矩阵。

定义2.2.1.3设Aaij,Bbij是同阶矩阵，若i,j,aijbij，则称AB;i,j,a则称AB。ijbij,2.2.2本章中用到的定理

定理2.2.2.1设A为n阶非负不可约方阵，则

(a)ρ(A)为A的一个正特征值；

(b)A对于ρ(A)，相应地存在一个正的特征向量x>0；(c)ρ(A)为A的一个简单特征值。

定理2.2.2.2设A为n阶非负方阵，则有如下结论成立：

(a)若存在一非负向量x，x≠0，使得Ax≥βx，则有ρ(A)≥β；

(b)存在一正向量x，使得Ax≤γx，则有ρ(A)≤γ；进一地的，如果A是不可约的且0≠βx≤Ax≤γx对某一非负向量成立，则β≤ρ(A)≤γ成立，并且是一正向量。

2.3主要结果

nn

定理2.3.1设AaijR是一个L-矩阵，A2:n,2:n是A的不可约子

阵。假设存在一个非空集N12,3,n和实参数i0，i=2,3,…,n，使得

i0ia1iai11,  若

aa0,iN11ii1若0≤r≤ω≤1(ω≠0,r≠1)，则有：

设(2-3)和(2-8)定义的矩阵分别为Tr和Tr；(a)若Tr1，则TrTr；(b)若Tr1，则TrTr

预条件AOR迭代法

。(c)若Tr1，则TrTr

证明 由(2-3)，Tr可表示为

Tr= 1I1rLUH

(2-13)

这里H是一个非负矩阵。由于A是一个L-矩阵，故L和U也是非负的。由(2-13)可得

Tr0。由于A2:n,2:n是不可约矩阵，对所有的i∈β，都有a1iai10，所以可得矩阵A也是不可约的。由于ω≠0,r≠1，A是不可约矩阵，得1rLU是不可约矩阵。故由(2-13)得Tr是不可约矩阵。由定理2.2.2.1，则存在一个正向量x，使得Trxx，我们很容易的可得：

1I1rLUxIrLx

S1Ux1S1x

(2-14)

由(2-8)和(2-14)有：

1rLUDrLx

TrxxDrL1D1rrLUx

DrL1DrL11DrrLSUx D1rL11D1rLrrSSUx D111DrL1DrLrr1S1x

rL1DrL1rSx

(2-15)1D1LU也是L-矩阵，,L由于0ia1iai11，得D,L和S1是非负的。由于A则D都为非负矩阵。经简单计算，T可表示为： 和Ur1T1112

Tr1I1rDLDUH

(2-16)T220是一非负矩阵，0是1n1阶矩阵，0是n1n1阶矩阵。这里H TT1222是一非零矩阵A2:n,2:n是不可约的，我们由于对所有的i∈β，a1i0，故T128

预条件AOR迭代法

2:n,2:n也是不可约的。由于ω≠0,r≠1,由(2-16)得很容易得到A2:n,2:nT是不可约的。令 Tr221

及

zDrLyDrL1rS1x y

(2-17)

对所有的i∈β，ai10，当r1及x>0时y0是一非负向量且y向量的第一个rL元素都为0。由于D1是非负的下三角矩阵，故z≥0是一非负向量且z向量的第一个元素都为0。所以，我们可令

x10

x

及

z

(2-18)

x2z2这里x1R10,x2Rn10,z2Rn10是一非负向量。由(2-15)-(2-18)，得

xx1z，故 Trx

(2-19)

1x1T122xx1z

(2-20)

T22222当λ>1时，由(2-20)，我们可得：

xx

及

Txx

(2-21)

T22222222。由于011，有： 由式(2-20)及定理2.2.2.2，有T22TT

Tr22r当λ<1时，由(2-20)，我们可得：

xx

及

Txx

(2-22)

T222222220是不可约的且x0，由(2-22)式及定理2.2.2.2得 T222T22

(2-23)

0是非负的且x0，有Tx0。由(2-19)，1xx，及 由于T21212211

(2-24)

T。max1,T,由(2-23)及(2-24)得T由于Trrr22xx。因此，由定理2.2.2.2可得： 当λ=1时，由式（2-15）TrT Trr9

预条件AOR迭代法

推论2.3.2设AaijRnn是一个L-矩阵，A(2:n,2:n)是A的不可约子阵。假设存在一个非空集N12,3,...,n和实参数ai0,i2,3,...,n,使得

i0aia1iai11  若

aa0iN1ii11。若0<ω<1，则有： 设(2-10)和(2-11)所定义的矩阵分别为T和TT;

（1）若T1,则TT;（2）若T1,则TT。（3）若T1,则T注: 若r=ω=1时，则（预条件）AOR法就是我们所说的（预条件）Gauss-Seidel

不一定可约，故定理法。对于r=ω=1，由于在定理2.3.1的证明中矩阵Tr和T222.3.1就不一定成立。因此，当r=ω=1时，推论2.3.2就不一定成立。在今后的工作中我们会进一步讨论当r=ω=1时推论2.3.2成立的条件。

引理2.3.3设AaijRnn是一个L-矩阵，假设存在一个非空集

i0,i2,3,...,n使得对所有的iN2，都有N21,2,3,...n,和实参数1ai1ai,j1ai1,j1设(2-3)和(2-9)定义的矩阵分别为Tr和Tr。如果0≤r≤ω≤1(ω≠0,r≠1)，且A是不可约的，对所有的i,令ai,j10,则有Tr和Tr是非负不可约的。

证明由已知对所有的i,ai,j10,A是不可约的，故AILU是不可约的。因此由(2-13)，Tr是非负不可约矩阵。令：

AP2AIS2ADLU

这里D,L及U为(2-7)式中所定义的矩阵。由于A是L-矩阵，并且对所有的iN2,有i1ai,j1ai1,j1故可得A是L-矩阵，并且D,L和U为全都是非负矩阵。对所有的i∈γ，当ai,j10时A矩阵的非零结构与A的非零结构相同，故由假设可知A也是不可约的。这时Tr可表示为如下形式：

预条件AOR迭代法

11

Tr1I1rD1L1DUH

(2-25)这里H是一个非负矩阵。由(2-25)可得，Tr也是非负的。由于ω≠0,r≠1，A是不可约的，则1rD1L1D1U1也是不可约矩阵。因此，由(2-25)，Tr是不可约矩阵。

nn

定理2.3.4设AaijR是一个L-矩阵，假设存在一个非空集

N21,2,3,...,n1使得对所有的i∈γ满足条件ai,j10，以及实参数ai0,i=2,3,…,n，使得对所有的iN2，都有i1ai,j1ai1,j1。设(2-3)和(2-9)所定义的矩阵分别为Tr和Tr。如果0≤r≤ω≤1(ω≠0,r≠1)，且A是不可约的，对所有的i∈γ，令ai,j10，则有：

(1)若Tr1，则TrTr；(2)若Tr1，则TrTr；(3)若Tr1，则TrTr。证明

由引理2.3.4，Tr是非负不可约矩阵。由定理2.2.2.1得，存在一个正的向量x>0，使得Trxx，这里Tr。由Trxx，我们很容易得到：

1IrLUxIrLx

1SrrSLxSUx

(2-26)

2221由(2-9)和(2-26)得： TrxxDrL1DrLUDrLx

1DrrLUx DrLDrLDrLDrL111DrrLSUSx22

11(DS2)rr(LS2L)S2x211D1SrrDx11

预条件AOR迭代法

DrL1rr1D1Sx

2

1DrL1rD1S2x

(2-27)由于0ia1iai11，得D，D，L和S2是非负的。令

y((1r)DS2)x

及

z(DrL)1y

(2-28)

对所有的i∈γ，ai,j10，当r≠1及x>0时有y(yi)0是一非负向量且对所有

rL)1是非负的下三角矩阵，故z≥0是一非负向的i∈γ，yi都不为零。由于(D量且对所有的i∈γ，zi都不为零。由(2-27)和(2-28)，我们可得：

Trxx1z

(2-29)

当λ=1和λ>1时，由定理2.3.1和定理2.3.3，我们可直接相应的得到Trxx及Trxx(Trxx)。当λ<1时，由(2-29)得Trxx和(Trxx)。由引理2.3.3可知Tr是不可约的，故由定理2.2.2.2可得TrTr。故由定理2.2.2.2，结论成立。

推论2.3.5设A(aij)Rnn是一个L-矩阵，假设存在一个非空集N21,2,3,...,n1使得对所有的i∈γ满足条件ai,j10，以及实参数使得对所有的iN2，都有i1ai,j1ai1,j1。设(2-10)和(2-12)ai0,i2,3,...,n，所定义的矩阵分别为Tr和Tr。如果0<ω<1，且A是不可约的，对所有的i∈γ，都有ai,j10成立，则有：

(1)若Tr1，则TrTr；(2)若Tr1，则TrTr；(3)若Tr1，则TrTr。

注: 若r=ω=1时，由于在定理2.3.4的证明中矩阵Tr和Tr不一定可约，故定理2.3.4就不一定成立。因此，当r=ω=1时，推论2.3.2就不一定成立。在今后

预条件AOR迭代法 的工作中我们会进一步讨论当r=ω=1时推论2.3.6成立的条件。

2.4小结

在这一章中，我们首先提出了对于不可约L-矩阵的AOR迭代法的预条件矩阵，并且证明了其收敛性。特别的，我们还可以讨论如何选取一组参数值，使得我们所提出方法的收敛速度有进一步的提高。如何选取一组最优参数将是我们今后继续研究的课题。

预条件多分裂迭代法 预条件多分裂迭代法

3.1概论

对方程组的系数矩阵A进行预条件处理是一种不但常用而且较为有效的方法，因而，众多学者致力于系数矩阵A的预条件研究，比如Pool和Ortega[23]所用不完全矩阵因子分解预条件方法；Johnson和Saad所用多项式矩阵分裂预条件方法。在本章中，我们首先提出以SSOR多分裂作为内分裂的松弛不定常二级多分裂法，并且研究了所提出的方法在求解当系数矩阵为H-矩阵的线性系统的收敛性。通过具体的数据实例，我们可以看出，当选取一组近似最优参数时，所提出的方法的收敛速度比松弛SSOR多分裂法快。下面我们就具体给出此方法收敛性的论证及其应用。

3.2预备知识

考虑线性方程组Ax=b，这里A(aij)Rnn是非奇异H-矩阵，我们考虑用迭代法求解此方程组。自从O’Leary和White基于矩阵的多分裂提出了并行多分裂迭代法。

3.2.1本章中用到的定义

下面对本文将要涉及的矩阵理论作简单介绍。

定义3.2.1.1记所有n×n实数矩阵A(aij)所成集合为Rn,n，Rn,n的子集为nnRA(aij)ARnn,aii0,(i) ZnnA(aij)ARnn,aii0,(i,j,ij)当ARnn且aii0,(i)时，称A为L阵。

定义3.2.1.2设A(aij)，B(bij)是同阶矩阵，若i,j,aijbij，则称A≥B；若i,j，aijbij，则称A>B。

定义3.2.1.3 若ARnn，且A可表示为A=sI-B，I为n阶单位矩阵，B≥0，14

预条件多分裂迭代法

那么当sB时，称A为M-矩阵，特别的当sB时，称A为非奇异M-矩阵，如果有sB，则称A为奇异M-矩阵。

定义3.2.1.4 若AZnn，A可逆且A10，则称A为非奇异M-矩阵。定义3.2.1.5 若A为L阵，且有分解ADC,Ddiag(A)那么A为非奇异M-矩阵的等价条件为(D1C)1。

由定义可看出，定义3.2.1.3，定义3.2.1.4，定义3.2.1.5是等价的，L-矩阵在线性迭代理论中很大程度上指M-矩阵，M-矩阵在迭代法中主要指非奇异M-矩阵，很少涉及奇异M-矩阵。

定义3.2.1.6 Aij称为A的比较矩阵，若满足条件

(a)当i=j时，ijaij；(b)当i=j，ijaij。

定义3.2.1.7 若A的比较阵A是M-矩阵，则称A为H-矩阵。

3.2.2几种常见的分裂方式

定义3.2.2.1如果A是方阵，且M为非奇异M-矩阵，N≥0，那么A=M-N称为矩阵A的M-分裂。

定义3.2.2.2如果A是方阵，A有分裂A=M-N，则(1)如果M10，N0，那么这种分裂叫正规分裂。

(2)如果M10，M1N0，那么这种分裂叫弱正规分裂。

(3)如果M10，N0，且M为非奇异M-矩阵，那么这种分裂叫M-分裂。显然，M-分裂正规分裂弱正规分裂。

定义3.2.2.3 称MkNkEkk1是矩阵A的一个多分裂，若：(1)AMkNk,k1,2,...,l是A的一个分裂；

(2)Ek0,k1,2,...,l，是一个非负对角矩阵，称为权矩阵；(3)EkI，这里I是一个单位矩阵。k1l

预条件多分裂迭代法

对于矩阵A的一个多分裂MkNkEkk1，松弛参数β为一个正数，对于求解线性系统Ax=b的松弛多分裂算法如下：

算法3.2.2.4松弛多分裂法：

给定一个初始向量x0

For i=1,2,…,直到收敛

for

k =1 to l

MkykNkxkb, EkIMkykNkxkbxiEkyk(1)xi1

k1k1ll

注3.2.2.5 若MkNkEkk1是矩阵A的一个多分裂的一个多分裂，对每一个k，MkBkCk是Mk的一个分裂，松弛参数β为一个正数，则对于求解线性系统Ax=b的松弛非定常二级多分裂算法如下：

算法3.2.2.6松弛非定常二级多分裂法：

给定一个初始向量x0

For

i=1,2,…,直到收敛

for k=1…l

ykoxi1

for

j =1 to sk,i

yk,jBk1(Ckyk,j1Nkxi1b)(1)yk,j1

xiEkyk,sk,i

k1l 注3.2.2.7在算法3.2.2.6中，分裂AMkNk称为外分裂，分裂MkBkCk称为内分裂。当A是一个单调矩阵（即, A10）或A是一个H-矩阵，在算法3.2.2.6中当内迭代数sk,i用一个常量s代替，即s与变量k和i无关时，则我们得到了松弛二级多分裂法(即算法3.2.2.8)。3.2.3本文中用到的定理

引理3.2.3.1 设ADB是H-矩阵，这里D=diag(A)，则有以下结论成立：

预条件多分裂迭代法

(a)A和D是非奇异矩阵，且(D(b)A1A11B)1。

s 定义3.2.3.2 设0<ω<2，ADLkUk(k1,2,...,l)，这里D=diag(A)，Lks是一般矩阵。若MkNkEkk1,k1,2,...,l是A的一个多是严格下三角矩阵，Uk分裂，则称MkNkEkk1,k1,2,...,l是A的SSOR多分裂。其中

Mk()1/2DLkD1DUk

Nk()1/2(1)DLkD1(1)DUk

3.3主要结果

定理3.3.1 设A是一个n×n阶的H-矩阵，且

ss是严格下三角矩阵，UkADBDLkUk(1kl，这里D=diag(A)，Lk是一般矩阵，若

MkNkEkk1,k1,2,...,l是A的一个多分裂，ADLkUk,k1,2,...,l。则当0<ω<2/(1+α)时，有如下结论成立，这里D1B： 1；

(a)Mk1Mk；(b)NkMk1N。

(c)Mk1NkMkk其中：

11/2DL MkkDDU

1k(1)if01Nk Nk(2)

if12/1Nk(1)1/2((1)DL)D1((1)DU)

Nkkk(2)1/2((1)DL)D1((1)DU)Nkkk17

预条件多分裂迭代法

证明 显然，当ω>0时，设CDUk，则CDUDLk是H-矩阵。111k是矩阵C的一个正规分裂。当ω<2/(1+α)，ω<1/α，由引理3.2.3.1，得α<1, 从而我们可得(DUk)(DB)1并且C0。即当0<ω<2/(1+α)时DUk是H-矩阵。由于DLk和DUk是H-矩阵，由引理3.2.3.1，我们可以得到

DLkD1DL1kD(DLk)1

(DU1k)D(DL1k)DU1kDDL1k

(DU11k)D(DLk)由(3-1)，M1k()M1k()。(a)证毕。下面我们证明(b)和(c)。情况1：令0<ω≤1，则

1DLkD11DUk

1DL1kD1DUk

1DLD1k1DUk

因此M1k()Nk()M1k()Nk()M(1)k()N(1)k()M1k()Nk()情况2：令1<ω<2/(1+α)，则

((1)DL1k)D(1)DUk

(1)DL1kD(1)DUk

(1)DL1kD(1)DUk

因此N)N(2)k(k()Nk()，则 M1k()Nk()M1k()Nk()M1k()N(2)k()M1k()Nk()至此，(b)和(c)证毕。

(3-1)

(3-3)

(3-2)预条件多分裂迭代法

3.4小结

在本章中，我们讨论了在求解线性系统Ax=b（这里ARnn是一个H-矩阵）时，用SSOR多分裂作为内分裂的松弛非定常二级多分裂法的收敛性。

为了有效的加快我们所提出方法的收敛性，如何选取一组参数将是我们今后所要探讨的问题，有待于进一步的研究。

结论

结论

我们首先提出了对于不可约L-矩阵的AOR迭代法的预条件矩阵，并且证明了其收敛性。特别的，我们还可以讨论如何选取一组参数值，使得我们所提出方法的收敛速度有进一步的提高。如何选取一组最优参数将是我们今后继续研究的课题。

我们在本文中还讨论了在求解线性系统Axb(这里ARnn是一个H矩阵)时，用SSOR多分裂作为内分裂的松弛非定常二级多分裂法的收敛性，当选取近似最优参数时，我们所提出的算法其收敛速度更快。为了更有效的加快我们所提出方法的收敛性，如何选取一组参数将是我们今后所要探讨的问题，还有许多多分裂法仍可用于二级迭代法中，及其他一些特殊类型的矩阵的多分裂法还有待进一步讨论。

参考文献

参考文献

[1]A.D.Hadjidimos.Accelerated over relaxation method [J].Mathematics of computation, 1978, 32:149-157 [2]胡家赣.双参并行Jacobi型方法及其收敛性[J].计算数学,1992,14(1):70-78 [3]Gunawardena A.D., Jain S.K., Snyder L.Modified iterative methods for consistent linear Systems[J].Linear Algebra Appl, 1991, 12:123-143

[4]Kohno T.Improving modified iterative methods for Z-matrices [J].Linear Algebra Appl, 1997, 267:113-123 [5]孙丽英.解线性方程组的预条件迭代方法[J].高等学校计算数学学报,2002,24(2):155-162 [6]胡家赣.线性代数方程组的迭代解法[M].北京:科学教育出版社,1991 [7]Niki H, Harada K, Morimoto M, Sakakibara M.The survey of preconditioners used for accelerating the rate of convergence in the Gauss-Seidel method [J].Comput Appl.Math, 2004, 13:587-600 [8]张谋成,黎稳.非负矩阵论[M].广州:广东高等教育出版社,1995 [9]Usni M, Niki H, KohnoT.Adaptive Gauss-Seidel method for linear systems[J].Int J of Comput and Math, 1994,51:119-125 [10]曹志浩.数值线性代数[M].上海:复旦大学出版社，1996

致谢

致谢

在论文撰写过程中，得到了系里各位老师的支持与鼓励，尤其是指导教师牟欣老师，从确定题目到定稿打印，一直不顾劳累，抽出时间对论文的写作目的和方向予以指导和改正。对论文中出现的疑难问题，牟欣老师又帮忙查阅资料、文献，使论文能够顺利完成。在此对牟欣老师及系里的各位老师表示深深的感谢。

第二篇：本科生毕业论文缩写件

本科毕业论文缩写规范

具体要求：

1． 校级优秀论文须经各专业教研室评审，且成绩为优秀者；

2． 题目用3号黑体，专业班级及作者姓名、指导教师姓名（5号宋体）； 3． 中、外文摘要（约300字，关键词不超过5个，5号宋体）；

4． 缩写正文部分的格式要求与原论文相同（3~5页，单倍行距，5号宋体）； 5． 主要参考文献不超过10篇 ； 6.论文缩写用word软件输入计算机； 7.校级优秀论文按每专业1~2篇推荐。参考样张：

复杂数字系统设计与验证平台的设计(小3号黑体)

(空一行)电子97—2 ＊＊＊ 指导教师 ＊＊＊（5号宋体）

(空一行)摘 要 当前集成电路设计，特别是在大规模复杂数字系统的SOC设计，成为我国重点发展的方向。本文围绕目前比较流行的IC设计方法之一----软/硬件协同设计、验证、仿真，设计一个复杂数字系统设计与验证平台，以期在平台上能利用新的设计方法进行进行各种识字系统的开发和现场验证；…

关键词 大规模复杂数字系统；协同设计；验证；仿真；SOC Abstract The design of integrated circuit,especially SOC design of large-scaled compiex digital system has currently become very important in the development of computer science in our country.In this paper ,how to design the designing and verifying platform of a complex digital system on which the popular IC design can be spplied, is discussed in detail.…

Key Word large-scaled complex digital system；co-design；verification；simulation；SOC 前言

协同设计、验证、仿真是复杂数字系统设计技术，在嵌入式系统设计中成为新的研究方法。它可以使软件开发人员尽早接触到硬件设计部分。… 1 数字系统设计方法

以软硬件协同设计（Software/Hardware Co-Design）具有知识产权的内核（Intellectual Property Core，简称IＰ核）复用和超深亚微米技术为支撑的系统集成芯片是国际超大规模集成电路的发展趋势和新世纪集成电路的主流〔3〕。… 2平台设计思想

2.1 以高性能FPGA为核心

FPGA(field programmable gates array, 现场可编程门阵列)是当今集成电路（IC）领域中发展迅速、应用广泛的一种新型数字集成电路。… 2.2 软硬件协同设计、仿真、验证

通过使用公用接口技术，使用多个公司的FPGA做为核心芯片。… 3平台的设计实现 3.1平台的设计规划

平台设计中一个关键问题就是I/O资源的分配。显然，在我们的这个实验平台上面，…

3.2平台设计的实现

按以上的思想和规划设计的电路原理和PCB图如下：图略 … 4 复杂数字系统设计与验证平台的应用

在平台上，可以进行CPU的设计、研究、开发，进行计算器组成原理和计算机体系结构的研究，进行各种数字专用集成电路的设计和开发，进行… … 5 结论 参考文献（不超过10篇）

第三篇：鱼我所欲也 说课稿件

尊敬的各位老师、亲爱的同学们： 大家好！

今天说课的题目是《鱼我所欲也》，这是九年级语文教材的学习内容。下面我将重点从教材分析、教学目标、教学内容、教学结果，这四个部分来进行说明。

一、教材分析

1.这是九年级人教版语文教材中的一篇经典文言文篇目，也是儒家经典篇目之一，其意蕴深长，寓意丰富，值得学生深刻钻研学习。

2.文章以形象生动的比喻，将“生”与“义”和鱼与熊掌相类比，从而道出了舍生取义，坚守道义的哲理，层层深入，由表及里，由浅入深，化抽象为具体，使学生能够更好地接受理解作者的思想成果，从而受到教育。

3.这篇文言文生字生词少，难字难词不多，是一篇很好的基础文言文教学的文章，整篇文章除个别词语需要稍加解释以外，基本能够自主学习，可以激发学生自主学习文言文的兴趣与激情。

4.语文课程应重视提高学生的品德修养和审美情趣，使他们能逐步形成良好的个性和健全的人格，促使德、智、体、美的和谐发展。因此在说课时，注意将课文与实际相结合。

二、教学目标

（一）知识目标

1．积累文言文常用的实词、虚词，扩充文言词汇量，逐步提高文言文阅读能力。

2．了解孟子的道德主张，领会文章的思想内涵。

（二）能力目标

1．强化朗读训练、品味《孟子》散文的语言特色。

2．把握古人运用具体事例、正反对比或比喻说理的方法，理解作者的观点。

（三）德育目标

引导学生正确选择，摒弃一己之私利，将正义、道义放在首位，明辨是非，永葆善良之心，做一个大写的人。

（四）教学重点、难点

1．理解文意，理清论证思路，背诵课文。

2．掌握本文的论证方法。

3．理解“失其本心”中“本心”的内涵，辨析“失其本心”与“舍生取义”的关系，把握本文的主旨。

三、教学内容

（一）导入新课

以脑经急转弯“如何做到鱼与熊掌兼得？”“养一只会抓鱼的熊。”开头激发学生兴趣。并由此引向课文标题鱼我所欲也。

（二）介绍作者

提问学生本文作者是谁，引导学生关注课文下角注解作者生平简介。并拓展作者生平（孟子是孔子之孙孔伋的再传弟子，是战国时期伟大的思想家、教育家，儒家学派的代表人物。与孔子并称“孔孟”。代表作有《鱼我所欲也》、《得道多助，失道寡助》、《生于忧患，死于安乐》和《寡人之于国也》。后世追封孟子为“亚圣公”，尊称为“亚圣”，其弟子及再传弟子将孟子的言行记录成《孟子》一书，属语录体散文集，是孟子的言论汇编，由孟子及其弟子共同编写完成,倡导“以仁为本”。提倡性善论。）。

（三）朗读作品

朗读课文，标识读音。

（四）课题讲解

孟子主张人性是善的，他认为人生而具有恻隐之心、羞恶之心、礼让之心、是非之心。只要不使这些“善心”丧失，就在道德方面具备“仁义礼智”。本文就是从这种理论出发，阐明了义重于生，义重于利和不义可耻的道理。提出“舍生取义”的主张。孟子认为，如果把生命看得比义更重要，就会做出各种不义的事情来。他对比了两种生死观，赞扬了那些重义轻生、舍生取义的人。斥责了那些苟且偷生。见利忘义的人。告诫人们要辨别义和利，不要失去“本心”。

本文行文流畅，论证严密；引譬设喻，生动形象；排比铺陈，气势恢弘。体现了《孟子》一书的文笔特点。

（五）字词讲解

逐字逐句讲解文言实词及虚词释义。

（六）自主翻译

在老师已经讲解过词语的基础上，学生自主理顺句意。并请同学起立朗读自己的翻译。

（七）概括段意

在翻译的基础上，分小组概括课文段意，提炼中心思想。

（八）提问探究

1、提问：文章开头写“鱼”和“熊掌”有什么作用？

2、提问：“所欲有甚于生者”“所欲”可以指哪些事情？

3、提问：“所恶有甚于死者”“所恶”可以指哪些事情？

4、提问：“故患有所不辟”“患”指什么？

5、提问：“非独贤者有是心“是心”指什么？

6、分析本文是如何展开论证的？

（九）课堂总结

本文阐明了的道理，提出了“舍生取义”的中心论点。作者对比了两种人生观，赞扬了那些舍生取义的人，斥责了那些苟且偷生安于富贵享乐的人。告诫人们不辨礼义而贪求富贵的行为是不可取的。

（十）作业布置

复习课文，熟记实词虚词含义，背诵课文。

四、教学结果 1.拓展了学生的文学常识 2.丰富了学生的文言词库 3.引导学生树立正确的价值观

附原文如下：

鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。生，亦我所欲也，义，亦我所欲也，二者不可得兼，舍生而取义者也。生亦我所欲，所欲有甚于生者，故不为苟得也。死亦我所恶，所恶有甚于死者，故患有所不避也。如使人之所欲莫甚于生，则凡可以得生者何不用也。使人之所恶莫甚于死者，则凡可以避患者何不为也！由是则生而有不用也；由是则可以避患而有不为也。是故所欲有甚于生者，所恶有甚于死者。非独贤者有是心也，人皆有之，贤者能勿丧耳。一箪食，一豆羹，得之则生，弗得则死。呼尔而与之，行道之人弗受；蹴尔而与之，乞人不屑也。

万钟则不辨礼义而受之，万钟于我何加焉！为宫室之美，妻妾之奉，所识穷乏者得我欤？向为身死而不受，今为宫室之美为之；向为身死而不受，今为妻妾之奉为之；向为身死而不受，今为所识穷乏者得我而为之：是亦不可以已乎？此之谓失其本心。

第四篇：配合件毕业论文

工具钳工技师资格考评论文

论文题目：样板设计

单位名称：

作 者：

年月日

工具钳工技师资格考评论文

论文题目：样板设计

作 者： 职业技能鉴定等级：工具钳工技师 单位名称： 单位地址： 指导老师：

年月日

目 录

绪论.....................................................1 摘要.....................................................2 第一章 对图纸的工艺分析..................................3 1.1相配件的技术要求...................................3 1.2工艺分析..........................................4 第二章 凸件的加工.......................................5 2.1凸件中心孔的加工...................................5 2.2凸件轮廓的加工.....................................6 2.3计算与测量......................................................8 第三章 凹件的加工.......................................13 3.1凹件加工的路线....................................13 3.2凹件的划线.......................................13 3.3凹件的加工.......................................13 第四章 配合............................................16 4.1公差配合.........................................16 4.2透光和研点的配合..................................17 4.3加工表面3×ø8H7的孔..............................18 4.4引钻凹件中心孔....................................18 总结....................................................20 致谢....................................................21 参考文献................................................22

绪 论

钳工大多数时使用手工工具，并经常在台虎钳上进行手工操作的一个工种。钳工的主要工作是加工零件及装配，安装，调试和检修机器和设备。机器零件经过车削，铣削，刨削，磨削等机械加工后，还有一些采用机器加工方法不太适合或不能解决的工作，需要钳工来完成。如零件加工中的划线，锉配样板，配作，以及机器和设备的组件，部件的装配和总装配等。

随着科学技术的发展和工业技术的进步，现代化机械设备不断出现，钳工所掌握的技术知识和技能，技巧越来越复杂，钳工的分工也越来越细。钳工一般分为普通钳工，划线钳工，工具钳工，装配钳工和机修钳工等。

钳工操作技术内容很广泛，主要有划线，錾削，锉削，锯削，钻孔，扩孔，铰孔等基本操作。此外，还有机器和设备的装配，安装和修理等工作。

无论何种钳工，进行何种钳工操作，都离不开钳工基本操作。钳工基本操作是各种钳工的基础。

摘 要

本次技师设计的是样板相配，经过几天的设计和操作，已经完成此次任务。此次相配件分为2个部分，凸件和凹件，凸件是此相配件的关键，尺寸的要求全部在凸件上面，因为凹件没尺寸要求，所以主要是做凸件保证两者的配合间隙。还要注意凹凸件打的中心孔，要保证垂直度，在插入芯棒不影响换位换向，保证配合间隙。关键词：钻孔 研点 配作

第一章 对图纸工艺分析

1.1对相配件的技术要求

1相配图

图1-1

2.技术要求

1）件Ⅰ是基准件，件Ⅱ是配作件；

2）配合时凹凸件注意换向，凹凸件配合间隙≤0.04； 3）︱ a-a′︱≤0.10mm 4）锐边去毛刺、倒角。

1.2工艺分析

1.对孔进行分析

件1，件2，件3共有三个孔，打孔时要注意各孔的加工顺序，以免给工件的测量、精度的保证以及换向换位带来影响。其中主要的是件1和件3上的定位孔，打孔时一定要保证三件配合的对称度。在配合时插入芯棒不影响换向。2.对件1进行分析

件1备的是一块60.26×44×10的料，件1的加工面多且复杂，精度要求高，要用到量块、正弦台、杠杆表来测量加工，保证其角度尺寸精度，锉削时按件1的加工工艺路线去做，以方便测量和尺寸要求的保证。3.对件2进行分析

件2是一块31.11×31.11×10的料，件2是配作件，没有过多精确的尺寸要求，只有一个插销的尺寸要求。，最主要的还是与件1和件3的配合和Ф8H7孔的位置精度，保证三者配合间隙和于件3孔的位置精度。件2尺寸尽量做大一点，做件1的下线尺寸。4．对件3进行分析

件3是一块80×80×10的料，件3也是配做件，要保证与另外两个件的配合精度，另外最重要的是与件2的直线度要符合要求。5.配合分析

相配件的主要工艺尺寸在件1上，件1为基准，件2件3配做。

想要做好这个工件主要在于基准件各个尺寸要求的把握和两个Ф8H7的孔位精度的保证。在配合一起钻芯棒孔的时候一定要注意装夹！确定孔的垂直与对称。保证在件1和件2插入芯棒的翻转时的配合间隙都在规定范围内从而达到技术要求。

第二章 件1的加工

2.1件1中心孔的加工

图2-1

1.加工中心孔

拿到凸件毛坯料之后，首先精修85×10的两个对面，保证表面的平面度，以其中一个表面为基准面用高度尺在这个面的中心画出ø6的孔位线以及方框线，画孔位加工线时必须画方框线，这样可以消除划

规样冲等积累误差。然后打上样冲眼，进行钻铰孔（用ø5.8的钻头钻孔，ø6的铰刀铰孔）。

2.注意事项

为了保证打孔的对称度、垂直度要注意以下几点：

① 钻孔前先把孔中心的样冲眼打大一些，这样可以使横刀刃预先落入样冲眼的锥坑中，钻孔时钻头不易偏离中心。

② 装夹时，工件一定要摆正，工件表面一定要与台虎钳装夹面垂直，为了保证工件表面的水平，可以连同台虎钳一起搬到平板上用杠杆表去打平行度，来保证工件表面水平！还要注意台虎钳上是否有毛刺，及时清理台虎钳并夹紧。

③ 钻孔时使钻尖对准钻孔中心，先试钻一浅坑，如钻出的锥坑与所划的钻孔圆周线不同心可及时予以纠正，如偏离较少，可靠移动工件或移动钻床主轴（摇臂钻床钻孔）来解决。如果偏离较多，可用尖錾或样冲在偏移的相反方向錾出几条槽来，以减少此处的切割阻力而让钻头纠正偏心。

3.确定凸件的对称度

以孔为基准去做两边。铰好孔之后插上一根长10×ø6的芯棒，在选用芯棒的时候，芯棒的尺寸不能大于ø6，不然在插入孔时因为挤压容易使孔变形，最好比ø6小4～5um。然后利用杠杆表和粘合好的量

块组（量块组尺寸为48.5）去测量。选用量块时，数量不可以多，一般在3～5块，避免造成误差。测量时芯棒的两头一起测量去做来保证孔与面的平行度；上下面测量来保证孔两个面的对称度。

图2-2

2.2凸件轮廓的加工

1.画线

图2-3

画线过程中我们在将用到画线平板，高度尺等，如上图所示，根据图面画出所标注的轮廓线。

凸件可用高度尺配合划针和钢尺找点画出凸件的形状。也可以通过计算并利用正弦台（用量块垫出60°的正弦台），根据各点的尺寸测量出各斜面到平板的距离，从而划出各斜线。但需要注意的是凸件为基准件与凹件配做。画线时格外注意，避免之后的制作中产生偏差。最后画出ø8H7的孔位线及方框线。

2.凸件的工艺路线

1→2→3→4→5→6

图2-4

加工凸件应先从工件的一边做起，将工件夹持于台虎钳端面，锯除需剔除部分，余量根据自己的锯削经验而定，一般为20～50丝。锉削时注意手法，单面锉削不可触碰其他表面。首先加工1面，利用杠杆表和量块去做，这样即省掉了其他量具的使用又提高了精度高！在使用比较法测量尺寸时，注意应经常在量块上校验，以防百分表尺寸变换，造成尺寸超差。加工好1面之后接着做2、3两面，这样方便得到1面需要部分的尺寸和便于锉削。做2、3两个斜面就必须要用到杠杆表，正弦台（100）、量块这样精密的量具搭配，来保证其角度尺寸以及对称度，这样来控制凹凸件配合间隙。使用正规测量角度面时，特别注意角度偏差方向，因为在使用杠杆表时，容易看错方向和尺寸，造成尺寸超差。做好一边1、2、3面之后用同样的方法去做4、5、6三个面。这样做保证精度便于测量减少误差。注意3和6面不易用锉削的方法得到，可以在划好线后在3面和6面上面打排孔，注意最后

錾削时不要让工件变形影响工件加工。

2.3计算与测量

此工件为相配件，必须保证较高的角度、尺寸精度以及对称度，我们在测量过程中 必须要用到精密量具：杠杆表、正弦台、量块。并了解其使用方法加以计算。1）正弦规垫块的高度计算

正规的使用方法：使用时，将正弦规放置在精密平板上，工件放在正弦规工作台的台面上。在正弦规一个圆柱的下面垫上一组量块。量块组的高度根据被测工件的锤度，通过计算获得。然后用百分表检查锤面上母线两端的高度，若两端高度相等，说明锤度正确，若高度不等，说明工件的锤度有误差。所需量块组的高度可按下式计算： h=Lsina 式中h-量块组高度，mm；

L-正弦规中心距，mm； a-被测工件锥角

根据公式h=Lsina得h=100×sin60°=86.6 所以量块垫的高度为86.6mm。

注意：为了减少累计误差应选取较少的量块组，并且要是使量块之间沿合在一起。

图2-5

2)正弦规“尖点”到平板的尺寸计算

要利用正弦规结合杠杆表对工件的尺寸进行控制，必须测量并计算出正弦规的“尖点”（正弦工作面和正面挡板相交的直线在正投影面上的交点）到平板的尺寸h，根据a=45°的角度如图在正弦规的动作面和正面挡板之间放一个直径适当的验棒（ø10）用杠杆表和量块测量出验棒最高点到平板的尺寸H=32.81（本人所使用的正弦台），通过直角三角间的关系可求出“尖点”到验棒中心的距离，即可得出公式：

h=H-R(1+sina+cona)h—“尖点”到平板的尺寸

R—验棒的半径 a—正弦规和平板的角度

根据公式:h=H-R(1+sina+cosa)得h=32.81-11.83=20.98 从而得出“尖点”到平板的尺寸为20.98mm

图2-6

3）角度面到平板尺寸的计算与测量

根据凸件图中所给的各个尺寸计算出正弦规“尖点”到被测角度面的垂直距离。用求得的垂直距离加上尺寸h（“尖点”到平板的尺寸）即是要测量的角度面到平板的尺寸

① 求得2面到“尖点”的垂直距离为37.99加上“尖点”到平板的距离20.98得到2面到平板的尺寸为58.97，由于2面朝下应用杠杆表反打表来做。

② 求得3面到“尖点”的垂直距离为68.12加上“尖点”到平板的距离20.98，得到2面到平板的尺寸为89.1。

图2-7

用同样的方法去做4、5、6面！达到技术要求。注意：杠杆表使用中，一般吃表0.2mm，在使用时注意不要将测量头突然碰到工件表面，以免造成测量头的损坏。

第三章 凹件的加工

3.1凹件的加工路线 1→2→3→4→5

图3-1 凹件为配作件，不仅仅要达到自己需要的精度范围还要去配合凸件的各个尺寸来完成，从而达到配合技术要求。做凹件时注意尽量把1面和3面做大一些,这样做是为了凹凸件最后配合时会比较容易完成。

根据工艺路线去做，避免尺寸误差。

3.2凹件划线

凹凸件需要划线的图形一致，只是基准面的选择和划线的尺寸有所改变。凹件和凸件一样用高度尺和方箱或者是利用正弦台划各尺寸点，用划针和钢尺连接起来。打倾角孔2×ø 3。

3.3凹件的加工 1.打排孔

由于此凹件加工的是半封闭的内表面，不能够直接采用锯削，所以采用打排孔的方法先去除中间多余的材料。

打排孔也有两种方法：

一种是沿线打完排孔，直接錾下。

打排孔的时候要注意，排孔与线的距离不能太远，也不能打到线上，并且孔与孔之间的距离要短，最好有连孔。离线太远，会造成加工余量大，浪费加工时间；当孔打到线上就会使工件产生缺陷；孔与孔之间的距离短，在排孔打好后容易錾下，否则不容易錾下，在錾削时用力过大，容易使工件变形，所以不容易錾下的时，最好换个大点的钻头再打几个排孔。（这个方法如果排孔钻的孔与孔的之间的距离相距较远的话，在錾削的时候容易是工件变形）第二种是用大点的钻头沿边钻几个孔，然后锯下。

在凹件去除部分用大钻头钻孔，接着把锯条的宽度弄削点，是锯条比

较容易的放入孔中，安装好锯弓去锯下剔除部分。（这个方法会使得凹件的锉削余量变的很少，有利于加工，但是锯削不过关的人也很容易锯到线上，使工件作废）

注意：以上的两种方法可以根据自己的实际条件去做。錾削时对准自己用力的地方，不可用力过猛导致工件变形，也不可錾到凹件上，使凹件产生缺陷，影响工艺！锯削时同样注意自己不要锯到线上，使工件作废！2.去除余量

打完排孔去除余料后，会产生大量的余量在工件上，这时首先要逐边去除余量，但各边锉削的过程中要留少许的余量，为后面的加工做好准备，以免加工好一个面，再加工它的一个邻边时锉刀碰擦到已经加工好的面，或者在邻边的角处清根时清不干净。

3.计算与测量

如图用去做凸件一样的做法，利用量块、正弦台、杠杆表并计算出斜面到平板的距离来做好凹件。注意做的时候凹件尺寸根据凸件尺寸来做，做凸件的下线尺寸，尤其是1面和3面稍微做大一下。这样凹凸件做配合时会比较容易!① 1面到平板的距离 = 斜面到“尖点”的距离37.99+“尖点”到平板的距离20.98=58.97mm ② 2面到平板的距离= 斜面到“尖点”的距离68.12 +“尖点”到平板的距离20.98=89.1mm（由于2面朝下应用杠杆表反打表）

图3-2 用同样的方法去做好3、4面。最后去做5面的时候，做5面的时候把工件凹面朝下摆放在平板上，用杠杆表反打表和粘合好的量块去做35mm的高度，做出5面。

第四章 配合

4.1公差配合

做凹凸件的时候，都有尺寸的计算，计算的基本尺寸都有上公差和下公差。公差的配合，就是凸件和凹件在做的时候，两者都有尺寸公差，凸件做下偏差，做小；凹件做下偏差或者上偏差，将槽做大；但是两者的尺寸公差都要在要求范围以内。

图4-1

4.2透光和研点的配合

透光就是凸件和凹件配合后，插入ø6×10芯棒，去做配合。通过相配合时，每个配合面的透光程度，来判断修配高的尺寸面。

研点就是在配合时，凸件和凹件配合时相互摩擦出的黑点，而黑点就是需要修配的高点。

在前面已经分析过，凸件为主要工件，尺寸要求分布在凸件上面，凹件为配作件没有尺寸要求。凹件主要是在配合后，插入芯棒能与凸件换位换向，能够和凸件的间隙保持在0.04mm以内就行。

所以在凸件完成后，配合时发现高点都只是修配凹件，使凹件和凸件能够很好的配合。

在凹件做的过程中计算过的尺寸，每个尺寸都留有0.01mm的修配余量，用凹件来配作凸件，首先用透光法来判断凹件和凸件是否能够配合。以凸件比对凹件的外形，估出大概余量，等凸件稍微能够进入凹件时，是用研点法和透光法结合。

先将两者能配合的部位配合，然后用透光法看光线从个配合的间隙处穿透的是否均匀，如果均匀，则通过研点法直接去除研出的高点。如果透出的光线不均匀，则需要分析是不是相配面是否有高处或者修配面是否不平整。这时候研点法就能够研出高点，然后锉去高点就可以了。但是有些时候研出的高点，并不准确，只是因为由于其他的高点的干扰，才出现的。

每个点都分析过，将高点去除，先固定一个方位配合，等配合间隙达到后，再换位。由于之前凸件尺寸的计算控制，在有一个方位进

去后，其他方位也能够互换，只是个配合面配合时的配合间隙大小有些许的差别。

4.3加工表面3×ø8H7的孔

加工凹凸工件表面上的3×ø8H7的孔，在打好孔位线以及方框线的地方打上样冲眼，然后分别装夹在台虎钳上。装夹时，工件表面一定要与台虎钳装夹面垂直，为了保证工件表面的水平可以连同台虎钳一起搬到平板上用杠杆表去打平行度，来保证工件表面的平行。打好孔之后保证凹凸件间孔的距离

注意：由于中心孔ø6与凸件 ø8孔与孔之间重合，应多铰几次孔去掉重合处毛刺，直到ø6的芯棒能插入孔中。

4.4引钻凹件中心孔

图4-2

把做好的凹凸件配合在一起装夹在台虎钳上，利用凸件的ø6H7的孔去引凹件上的孔。这样做省去画线时间并且能很好的保证配合精度，装夹过程中一定要保证凹凸件配合后平行，且夹紧。凹件引好孔之后把凸件拿下来重新装夹好凹件，保证表面水平之后，利用引好的孔眼去钻孔铰孔。之后凹凸件配合插入芯棒换位，如果换向之后出现一点间隙，在公差范围内可以再次利用铰刀把换向后的凹凸件装夹好再铰一次。最后去毛刺倒角。

总 结

样板的配合。工件在插入芯板后换位很简单，只要孔钻的正和凸件的公差控制好就很容易互换。在控制公差时，工件用精密量具（杠杆表、正弦台、量块）朝着基本尺寸去做是最好的，每个边的边长尽量靠近基本尺寸，并且各边的尺寸保持在比要求的公差范围小，配合就能够互换，并且互换后对应的间隙也不会有太大的差别。

在做配合件时，方法很多，但是计算工艺尺寸是必不可少的。当有些边的划线尺寸和测量尺寸没有直接告诉我们时，那么我们就要自己计算。一般在计算斜边的时候，为了更容易算出尺寸，我们就要借助三角形来计算，将所要计算的边放到构筑的三角形中。有时只是知道一个角度，没有其他尺寸，这时我们可以借助芯棒来测量一个尺寸，芯棒的直径和半径构建到三角形中可以当做已知的尺寸来计算。

有了计算好的尺寸，如果不是盲配的话，那么就要用配合时的研点和透光来修配。在研点时，往往会出现假点，这时分清假点很重要。去除真正的高点，保留假点，间隙才能够得到修配。

致 谢

对几年来辛勤教导我的老师和学校致以最崇高的敬意！

对本次毕业设计指导我的老师表示我最衷心的感谢!毕业设计开始以来，有幸多次聆听老师的教诲。老师以她宽广的知识、高瞻远瞩的学识、在实际生产中所积累的经验。拓宽了我的视野和思维，更为重要的是老师以她对事业孜孜不倦的追求和待人接物谦逊的态度和豁达的胸襟，时刻都在潜移默化地影响着我，这将使我终生受益。

通过本次毕业设计，获得实践动手能力而一个重要的实践性一次综合性实践。在专业技术应用能力上达到培养目标的基本要求，为今后的学习工作打下坚实的基础。

参考文献

1《公差配合与技术》 中国劳动社会保障出版 2 《CAD/CAM技术》 中国劳动社会保障出版社 3《钳工工艺学》 中国劳动出版社 4《钳工工艺与技能训练》5《机械制图》 6《机修钳工》 7《钳工速算手册》

中国劳动社会保障出版社 中国劳动社会保障出版社 机械工业出版社 机械工业出版社

第五篇：数学_学年论文_毕业论文_行列式解法小结

行列式的解法小结

摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。

关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式

行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般n阶行列式，特别是当n较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算n阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n阶行列式的计算问题。升阶法

在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。

ca21例1计算n阶行列式 Dna1a2ana2ana1an1a1ana1c00a2a1ana1ca2a2an22can，其中c0

10a1ca21a2a1ana1a2a1a2ana2a2an0c000 ca1an解 Dn00ca2a2ana222can将最后一个行列式的第j列的c1aj1倍加到第一列（j2,3n1)，就可以

1n变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+cai12i,c,c,,c

n1n故

Dncnc

ai12i

1x1x21x1n2x1n1x2x22nx21xn2xn例2 计算n阶行列式Dnxnn

n2n2x2xn解

好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令

1x1x121x22x21xn2xn1yy2 yn2yn1yn

Dnx1n2x1n1x1nn2n2x2xnn1n1x2xnnx2nxn

按第n1列展开，则得到一个关于y的多项式，yn1的系数为(1)n1nDnDn。另一方面Dn11jin(xixj)*(yxi)

i1n显然，Dn1中yn1的系数为所以Dnxi*i1n1jin(xixj)(x1x2xn)

1jin(xixj)

2利用递推关系法

所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。

abacbbacc例3计算n阶行列式 Dn，其中bc,bc0

解 将Dn的第一行视为(ac)c,0c,0c,据行列式的性质，得

accbacbbaac00bacbbacccbacbba

Dn0c0c

Dn(ac)Dn1c(ab)n

1(1)

于b与c的对称性，不难得到Dn(ab)Dn1b(ac)n1

(2)联立（1），(2）解之，得Dn(bc)1b(ac)nc(ab)n

ab1000abab1000ab000000000abab例4计算n阶行列式 Dnab

ab

10ab0000100 ababab解将Dn按第一行展开，得DnabDn1ab00ab于是得到一个递推关系式Dn(ab)Dn1abDn2，变形得DnbDn1a(Dn1bDn1)

易知 DnbDn1a2(Dn2bDn3)a3(Dn3bDn4)

an2(D2bD1)an2(ab)2abb(ab)an

所以DnanbDn1，据此关系式在递推，有

Dnanb(an1bDn2)anan1bb2Dn2



anan1ba2bn2bn1D1anan1babn1bn

如果我们将Dn的第一列元素看作ab,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行 列式的和，那么可直接得到递推关系式DnanbDn1，同样可得Dn的值。化三角形法

此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号

ababbbabba1an1b00b0b0abbb1bab11例5计算N阶行列式Dn

解 Dnan1b

ab

a(n1)b(ab)n1 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法

著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。

1x1(x11)1x2(x21)2x2(x21)1xn(xn1)2xn(xn1)

例6 计算n阶行列式Dnx12(x11)n1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)

解 将第一行可视为x1(x11),x2(x21),xn(xn1)，再由行列式的性

x1质，得Dnx2x2(x21)xnxn(xn1)

x1(x11)n1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)4

x11

x21x2(x21)xn1xn(xn1)n1xn(xn1)x1(x11)

n1x1n1(x11)x2(x21)把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i1行；第二个行列式的第i列提取xi1(i1,2,3n),得

x1Dnx12x1nx2xn(xi1)i1n1x1(x11)1x2(x21)1xn(xn1) 22x2xnnnx2xnn1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)nn=xi(xi1)*(xixj)

i1i11jin5 利用乘法定理法

在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。

1a1b1例7计算n阶行列式Dn1a1b21b11001a1bn10 01a2b11a2b21a2bn1anb11anb21anbn

1a1a2an000000

解 Dn11b2bn00所以，当n2时，Dn0；

当n2时，D2(a2a1)(b2b1)当n1时，D11a1b1 利用拉普拉斯（Laplace）定理法

拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。

aabbabaabbabaabbaban1b例8 计算2n阶行列式D2nn

ab解 D2n(1)12n12nabba2n1

ab

(1)12(n1)12(n1)abba2n2

 abba*abba(a2b2)n 提取公因式法

若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a,a,,a型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。

xa1例9计算N阶行列式 Dna2a26

anan

a1a1xa2xan

n解 该行列式各行元素之和都等于 xai，属于“全和型”，所以

i11Dn(xai)i1na2xa2a2ananxan(xai)i1n1a200x0an0x11

xn1(xai)

i1n总结:计算行列式的方法很多,除了以上常见的方法外还有一些特殊的方法,如n阶轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等。对于一个给定的行列式可以有多种方法求解，这是则要求我们注意方法的灵活性，要在众多方法中选取一种最简便的方法。