《1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积》教学反思

第一篇：《1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积》教学反思

《1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积》教学反思 这节课我通过生活实际引入，提高了学生学习的兴趣，从一个涂漆问题来引入本节课，如果能够说买多少油漆合适，就会使学生更加体会数学是多么有用。在上课时，让学生充分参与课堂，大部分是让学生小组讨论，然后上台展示，这样，就充分突出了学生的主体地位，语言简洁，课堂处理比较到位。但是也存在许多问题。第一，板书不好，很乱。作图不规范，没有用直规作图。第二，在讲多面体展开图时应该强调是在同一平面内。归纳小结时，应该更全面。第三，求表面积时，应该要讲有关于割补法的应用，为以后的学习做好铺垫。

通过这次的讲课，我学习了许多的东西，对于自己的书写是一个急需要解决的问题，在以后的教学过程中，我会不断改进，感谢各位领导的指导和教诲，使我深深的感到自己在成长。

第二篇：柱体、锥体、台体的表面积和体积教学设计

范例：以新课标教材人民教育出版社A版(2004年)必修2《1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积》

一、教学目标

1．知识与技能

(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

(3)培养学生空间想象能力和思维能力。

2．过程与方法

(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。

(2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。(3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。(在解决后面的问题时能主动用化归思想。)3．情感、态度与价值观

(1)通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。

(2)培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。(学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。)

二、学情分析

学生已具备一些直观的对简单几何体的认识，理性思维还不很成熟，所以在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。

三、教材分析

1．本节的作用和地位

本节内容是高中的一个重要内容，它能使学生的认识在理性方面有所提高，通过本节内容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法——化归，因此本节内容十分重要。

2．本节主要内容

该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。

3．重点、难点分析

在解决具体问题时，要用相似三角形求得线段的长，这是本课时的难点。特别是对于基 础比较好的学生，如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式，其难度也是比较大的。

因此确定本课时的教学重点、难点是：

教学重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力。

教学难点：台体的表面积与体积公式推导，以及“特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物的转化”思想在推导公式过程中的渗透与应用。

4．课时要求：2课时

四、教学理念

课程标准强调学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因此教学中要“以人为本”，积极引导学生参与到知识获得的过程中，让学生获得分析问题、解决问题的能力。

五、教学策略

课程标准的要求是：了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式)。而且，新课程的编排体系是从整体到部分，从宏观到微观，也即在本课时学习之前学生对空间中点、线、面的位置关系尚无理性认知，所以，在本课时学习过程中最好通过直观感知、合情推理的方式展开教学。

六、教学环境

本课时涉及的内容比较多，而且其中很多都是再现性的，因此必须借助适当的信息技术手段提前将需要再现的图形准备好，提高课堂教学的效率。提前制作一些由一个棱柱切开成3个棱锥的模具，上课后供学生操作使用。

七、教学过程

引言：通过学习空间几何体的结构特征、空间几何体的三视图和直观图，我们了解了空间几何体与平面图形之间的关系。从中反映出一个思想方法，即平面图形与空间几何体的互化，尤其是空间几何体问题向平面问题的转化，这种化归的思想方法将贯穿立体几何的研究过程，是一个重要的思想方法，在今后的学习中大家应该重视这一思想方法的应用。(设计意图：挖掘旧知识中蕴涵的数学思想方法，使得隐性知识显性化，在本课时的学习中发挥先行组织者的作用。)本课时研究的是柱体、锥体、台体的表面积与体积。空间几何体的表面积是几何体表面的面积，即几何体各个面的面积的和。空间几何体的体积是几何体所占空间的大小。

问题1

（1）试着完成下表1中你会的部分。

(2)比较表1—1和表1—2中空间几何体的侧面积与表面积你完成的部分，是否蕴涵着上述化归思想，并请具体给出阐释。(设计意图：通过完成(1)达到帮助学生复习扫清学习障碍、同时了解学生基础的目的。通过完成(2)进一步明确化归思想方法，为后继解决问题提供思路。)活动方式：学生独立完成之后教师利用展台展示学生完成的情况，讲评纠错。

表1-1部分平面图形的面积 表1-2部分空间几何体的表面积与体积

预设的结果：学生可以完成表1—2中正方体、长方体的表面积和体积，圆柱、圆锥的侧面积、表面积和体积。在教师的引导下，学生进一步明确其中蕴涵的空间几何体问题可以转化为平面几何问题求解的化归思想方法，运用这种方法时，第一步是要得到空间几何体的展开图；第二步是依次求出各个平面图形的面积；第三步将各平面图形的面积相加即可。

实际情况：学生在写圆锥的侧面积时因为对扇形面积公式中字母含义认知不清，所以出现错误。于是对比表1—l进一步解决了利用弧长和半径表示的扇形的面积公式，之后又利用扇形面积公式求得圆锥的侧面积。

在基础比较差的班级上课时，学生只能写出正方体和长方体的表面积和体积。

学生计算正方体、长方体的表面积时由于熟悉并没有展开，而是直接计算求解，但是在回答问题“是否蕴涵有上述化归思想?”时学生还是能很清楚地解释的。

备用图

图2—1 正方体及其展开图 图2—2 长方体及其展开图

图2—3 圆柱体及其展开图 图2—4 圆锥及其展开图 问题2

(1)类比上述求法，利，用化归的数学思想方法，完成练习1和练习2；

机动练习1 如图2—5，已知三棱锥S—ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积。

图2—5 图2—6

机动练习2 如图2—6，四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别是8 cm和14 cm，侧棱长都是5 cm，求它的侧面积。

(2)思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积?它与哪些平面图形有关系?之后在表2—2中写出求这几类空间几何体的表面积的思路。

(设计意图：巩固已有方法。具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础。)活动方式：学生独立完成，展示交流点评。

预设的结果：先完成练习1和练习2，之后抽象得出一般解法。

实际的情况：学生在解决问题时，思路比较顺畅，几乎不存在问题，但是实际计算时出

1a3a现了问题，表现在计算正三角形的面积时出错：，于是求得最后结果23a2，还

222有学生的计算结果是23a；计算梯形的面积时出现的错误是：错认为5是梯形的高。在练习2中只要求计算梯形的侧面积，但是有学生并没有认真审题，仍然计算全面积。

回答如何计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积时学生的思路都没有问题。

问题3 类比上述方法，求圆台的侧面积和表面积，数据如图2—7所示。

图2—7 圆台体及其侧面展开图

(设计意图：巩固已有方法，解决新问题。)

活动方式：学生独立完成，展示讨论，形成正确的解题步骤。

预设的答案：(略)实际的情况：学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题，表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设OBl，使得计算复杂；第二是根据三角形相似列

rOA式时出错，比如有学生列出的比例式是等。

rl 针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误。

问题4 将正方体、长方体的体积公式分别改写为：V正方体a3a2aS底h，其中ha；V长方体abcabcS底h，其中ha。据此猜想棱柱的体积公式是什么?

(设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。)预设的答案：V棱柱S底h，其中h表示棱柱的高。

实际的情况：比较顺利地完成。

问题5 根据圆锥体积与圆柱体积的关系，猜想棱柱的体积公式是什么?

(设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。)1 预设的回答：V棱锥S底h，其中h表示棱锥的高。

3实际的情况：比较顺利地完成。

问题6 我们知道等底同高的三角形的面积相等，类比这个结论针对三棱锥你能得到什么猜想?(设计意图：培养学生根据空间图形与平面图形的关系将平面几何中的结论在空间进行推广的意识和能力，为完成下面的任务做准备。)活动方式：学生独立思考，完成猜想，必要时教师予以帮助。

预设的答案：如果两个三棱锥的底面积相等，高也相等，那么这两个三棱锥的体积相等。

实际的情况：在学生基础较好的班完成得比较顺利，在基础较差的班完成得比较困难，学生不能将平面几何中的三角形、面积与空间中的三棱锥、体积联系起来。

1问题7 你能利用上述猜想解释V棱锥S底h吗?

图2—8

(设计意图：虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生的理性思维习惯。)预设的活动方式：展示操作，由老师利用模型或图4—2—8进行解释。

实际情况：都是学生完成的。(在学生基础较差的班级实际教学时没有进行到这里。)学生不善于改变方向换角度看问题。学生在解释图2—8中三棱锥1与2的体积相等选择的底面是ABC，顶点是点A和点B。这样的选择能直接解释底面积相等，但是就目前的几何知识还解释不了高相等，虽然学生解释了如何做高。又有学生解释时选择的底面分别是AAB和ABB，顶点是C。这个选择比较容易理解，但是还不够直观，也许是因为手头没有模具的原因，后来在老师的提示下将两个三棱锥“扳倒”，使得AAB和ABB所在的面 着地，那么顶点重合高相当，而不需要从顶点到底面做高，既直观又避开了没有学过的知识。

问题8 类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗? 如何求?如图2—9，设圆台的上、下底面积分别为S和S，高为h，试求其体积。

图2—9

预设的答案：转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解。

活动方式：学生独立思考完成。

预备的解决过程(以圆台为例)：如图2—9，设OOx，上、下底面的半径分别为r，和r，圆台的上、下底面积分别为S和S。S因为xrxhrS

SS所以xhS SS11111所以V台=S(hx)SxShSxSx

333331111hSSh(SS)xSh(SS)3333SS

111Sh(SS)hSh(SSSS)333 实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成。

机动练习3 看图填空

机动练习4 四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别为3 cm和5 cm，高是6 cm，求此棱台的体积。

图2—10

(设计意图：检验教学效果。)实际情况：在课堂上没有做这两个练习。

问题9 结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征，再观察它们的表面积公式、体积公式，你能发现什么关系?

(设计意图：从运动变化的观点分析三者之间的关系。)预设的答案：

柱体、锥体、台体的体积之间的关系：

实际情况：只完成了表面积之间的关系。由于棱台的体积公式没有在课堂上推导，所以没有要求学生思考体积之间的关系。

问题10(1)通过本节课的学习你有什么收获，请从数学知识、思想方法、解决问题的经验等方面谈谈。(2)在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑?(设计意图：问题(1)是引导学生对本课时的学习进行归纳总结；

问题(2)引导学生对合情推理过程进行质疑，培养学生思维的严谨性，同时激发学生进一步探究的好奇心，为第五章的学习埋下伏笔。)活动方式：学生独立思考，汇报交流。

实际情况：学生能小结出化归的多种途径，但是谈到质疑，学生只提出一个问题：还没有讲棱台的体积怎么求。对于这个问题我的回答是：“为什么没有讲?”学生能类比解决。

学生没有其他质疑，于是教师提出问题：

(1)为什么计算圆台的侧面积时可以用两个三角形相似?学生说根据定义圆台的两个底面平行。教师进一步追问：两底面平行就能推出两直线平行吗?并举出反例进一步激起学生的疑问。

(2)做三棱锥的高是从一点向平面做垂线，你怎么确定这条线是垂直的? 这些问题都需要到下一章才能解决。

八、目标检测作业

作业：P27练习，习题1．3A组1，2，3。

(设计意图：初步运用公式解决问题。设计理念：将作业作为课堂教学的延伸、联结和必要补充，而不单是模仿训练。)

九、教学反思

1.以研究方法及学生的认知发展规律为主线，旨在发挥数学的教育功能

根据上述的设计思路，这一节2课时的划分办法是：第一课时研究柱体、锥体、台体的表面积，及教材中的例1；第二课时，解决教材中的例

2、例3及相关的公式应用问题，之后完成对球的表面积与体积的学习。

这个设计思路在实际教学中得以充分的实现，学生从一开始对“化归”思想的陌生，不知道该如何解释“类比”，及化归的具体办法，可见他们已经能将之显性化。通过本课时的学习，学生应该比较清楚立体几何初步学习的基本思路，对后继的学习有帮助。

2．注重先行组织者的作用——解释研究方法

在实际教学时，引导学生回忆本章前面学习了哪些知识，其中蕴涵着什么数学思想。通过复习揭示了具体知识中蕴涵的化归思想，这是本课时的核心思想，它贯穿本课时教学的全过程，很好地发挥了先行组织者的作用。

3．注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合

在学生基础较差的班级上课时，确实困难，因为有学生连正方体、长方体的表面积和体积都写不对，更不用说写出圆柱、圆锥的表面积与体积了。怎么办? 落实与完美不可兼得时选择“断臂维纳斯”之美。于是在课堂上“就地卧倒”，和学生一起填写表格，一点一点地落实，并且是看着学生把该填的都填上，否则这一节课就只能是“教师讲课”了。在这一节课上没有按照预设的完成任务，但是学生是有收获的，听课教师也是有收获的。听课教师说听了这节课后要写文章“普通班学生数学缺乏兴趣，问题出在哪里?”或者“如何真正针对普通班学生数学缺乏兴趣，落实因材施教原则”。学生“感觉收获特别大!”“整节课，学生在一种愉快而又紧张(他们怕被提问但又想被问)的思考中，结束了这节课的学习。”

在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。什么是思维层面的参与，可以通过一个具体的事例解释：比如求圆台的侧面积，笔者的处理方式是问题提出后，教师“闭嘴”，由学生独立思考解决，之后再交流。常见的教学方式是，提出问题之后教师先分析思路，确定解法之后由学生完成。后一种方式中学生活动的思 维含量较低，属于“苦力”行为，而且容易养成学生的依赖性，导致在考试中“不怕难题怕新题的现象”。在评课时，授课所用班级的原课任教师也说到，“学生的配合并不是太好，原因是学生不习惯这种教学方式。”事实上只有一开始就把问题交给学生，才能真正发现问题，生成教学，才能培养学生独立性，才能培养学生分析问题的能力。

4．注重直观感知，合情推理，但是争取不失时机地进行说理和推理

课程标准对该部分内容的要求是“了解”，并且不要求记忆公式。但是在写教学设计时一直有一个困惑：难道就直接把公式给学生吗?那样做符合高中的课程目标和学生的思维规律吗?在写教学设计时还是希望不失时机地给学生渗透说理和推理，并在教学实践中予以落实，这样做导致的结果就是容量加大，在规定的2课时内实在是难以完成，包括对实验班的学生。这一节课在我省最好学校的最好班级、城市优质高中的实验班(该校班级分为实验班、普通班)、城市优质高中的普通班(该校班级分为特优班、实验班、普通班)分别上过，每次上完课的感觉都是紧张，容量大，听课教师的感觉也是如此，但是这一课时完不成上述教学设计的内容，那么必定在2课时内完不成这一节的教学内容，就像在普通班“就地卧倒”之后，必须用3课时完成，而这个普通班还不是最差的班级。所以现在依然困惑是教学设计超标了，还是课时给少了? 对于这一节有两种解决课时的办法：第一种办法是不用本教学设计，只把结论给学生，但对这种方法多数教师都持怀疑态度，这样教就可以了吗? 第二种办法是用3课时完成，并如下划分3课时：柱体、锥体、台体的表面积及其应用1课时，体积及其应用1课时，球的体积、表面积和本节习题处理1课时。

5．教材处理有变化，但变化中有不变的规律——尊重教材的处理思路

教材处理中有两点做了明显的变化：其一是调整了教材处理的顺序，将圆柱、圆锥的表面积与体积问题提前，因为这些内容在义务教育阶段已经学过；其二是将问题分化，即将表面积分化为侧面积与底面积。重点解决侧面积问题。实践证明这样处理是正确的，不论在哪种类型的班级上课，只要解决了侧面积问题，表面积问题就水到渠成，一带而过。但是变化中不变的一条是遵循教材的研究思路，与同题授课的老师相比更注重研究思路在教学过程中发挥的作用，在评课中同题授课的教师也认为笔者的处理方式更好。所以建议教师在研读教材时不但要看显性的知识，还要看隐性的知识，将明线暗线相统一。

(注：该案例由山西省教科院薛红霞老师提供)思考与练习：

1．教学设计与教案的关系是什么?选择一个中学数学内容具体详细写一个教学设计与教案，并作比较。

2．你认为数学课堂教学设计要遵循哪些原则?选择一个中学数学内容具体来说明。3．下面是某老师设计的《函数的最大值与最小值》教学目标： [知识和技能目标](1)明确闭区间[。，6)上的连续函数／(J)，在[d，凸]上必有最大值与最小值。-(2)理解上述函数的最值可能存在的位置。I(3)掌握用导数方法求上述函数的最大值与最小值的方法与步骤。I [过程和方法目标] I(1)在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识。I(2)培养学生的数学能力，能够自己发现问题、分析问题并最终解决问题。I [情感和价值目标] ÷

(1)认识事物之间的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义

思想。

(2)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。

请你对该老师设计的这个教学目标作出点评。

4．下面是某老师设计的《数学归纳法及其应用举例》的学情分析：

知识准备：学生对等差(比)数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归

纳的概念是模糊的。

能力储备：学生经过中学前5年的数学学习，已具有一定的推理能力，数

学思维也逐步向理性层次跃进，并逐步形成了辩证思维体系。但学生自主探究

问题的能力普遍还不够理想。

学生情况：我所在的学校是省属重点中学，所教的两个班级是平行班，学

生基础还不错。我按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和数学

实例以烘托重点，突破难点。

你认为该老师的这个学情分析有什么缺陷? 5．数学课堂的教学反思有哪些方法?你常用哪种方法进行课后反思?请

你判断以下的课后反思用的是什么方法。

“充分条件与必要条件”课后反思

(1)本课的学习是为今后进一步学习其他知识作准备，随着后续章节的学习，对充要条件的理解和应用将贯彻始终，学生对逻辑知识的应用将越来越广

泛和深入，相应的对逻辑知识的理解和掌握水平也将越来越高，同时学生的认

知是一个循序渐进的过程，片面地强调求难、求偏均不能很好地完成本课教学

任务，因此本课教学一定要从学生实际和教科书的具体内容出发，提出恰如其

分的教学要求，避免一步到位。(2)对教材中例1选题的几点思考：

①这组题设置由一般(不等关系)到特殊(等量关系)，为什么? ②教材仅设置例1一道例题，要完成本课教学目标，如何把握其设置意

图?学生由此题可得到怎样的知识和心得?教师要如何运用教材更好地体现自

己的教学思想?都值得我们教学人员仔细推敲。

6．下面是某老师“充分条件与必要条件”的教材分析：

学习数学需全面理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对 逻辑知识的掌握和应用。更广泛地说，在日常生活、工作和学习中，基本的逻

辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。作为高中数学起始章节的内

容，充要条件在高中数学中地位是最基本的，也是最重要的。通过本课学习着

重培养学生逻辑思维(如理解、判断、推理、归纳等)的能力。

请你对该老师所做的教材分析作出评价。

主要参考文献：

1．章建跃：《数学课堂教学设计研究》，载《数学通报》，2006(7)。2．王秋海主编：《数学课堂教学技能训练》，第1版，上海：华东师范大 学出版社，2008。

3．蒋永晶、王书臣：《数学课堂教学设计的概念、内容和意义》，载《继续

教育研究》，2002(3)。

4．唐彩斌：《数学课堂教学设计“六问”》，载《研究与探索(数学版)》，2007(6)。

5．杨瑞强：《浅谈利用多媒体在数学课堂教学中的体会和思考》，网址 http：／／www.xiexiebang.com。

6．章建跃：《数学教学反思的内容与方法(指导意见)》，载《中国数学课程

网》，网址http：／／math．cersp．com。

第三篇：【数学】1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)》教案(新人教A版必修2)

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

（二）第二课时

一、教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的体积计算 难点：台体体积公式的推导

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪

四、教学过程

1、复习准备：

(1).提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？(2).提问：正方体、长方体、圆柱的体积计算公式？

2、探究新知

教学柱锥台的体积计算公式：

① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V柱Sh（S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱Shr2h

③ 讨论：等底、等高的棱柱与棱锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

→给出锥体的体积计算公式：V锥13Sh

S为底面面积，h为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

→ 如何计算台体的体积？ ⑥ 给出台体的体积公式：V台

→ V圆台13(S''13(S132'SSS)h

（S，S分别上、下底面积，h为高）

2''SSS)h(rrRR)h（r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

3、例题分析讲解

① 出示例：一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm3）

讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？

→ 列式计算

→ 小结：体积计算公式

② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.4、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用.5、作业：P30 3题； P32习题 3、4题.五、教学后记:

第四篇：高中数学 (1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积)示范教案 新人教A版必修2

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

整体设计

教学分析

本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.三维目标

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.重点难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？ 思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？ 推进新课 新知探究 提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1)长方体及其展开图(2)

图1 ②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？ ⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.2

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为

2l，那么圆柱的底面面积为πr,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积2S=2πr+2πrl=2πr(r+l).图2 图3 圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它2的表面积S=πr+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧22面的面积，即S=π(r+r′+rl+r′l).图4 ⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

1212S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r1+r2)S圆锥表=πr(r+l).rrr2

2r0,rr从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题

①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？

②比较柱体、锥体、台体的体积公式： V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

1Sh(S为底面积，h为锥体的高)； 31V台体=(SSS'S')h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).3V锥体=你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.3

②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？ 讨论结果：

32①棱长为a的正方体的体积V=a=aa=Sh；

长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；

2底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πrh=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.11Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.3311棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=Sh(S为底面面积，h为高).33圆锥的体积公式是V=由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的1.31(S′+S'S+S)h, 3 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：

图5 应用示例

思路1

例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.图6

活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.4

因为BC=a,SD=SBBD22a3a2()2a，22所以S△SBC=13321aa.BC·SD=a224232a3a2.4因此，四面体S—ABC的表面积S=4×点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练

1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为

SS，由题意得圆锥的高为，又圆锥2r2r2的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=r(得

S2)，根据圆锥的侧面积公式2rS2)S圆锥侧=πrl=π·r·r(2r242r4S2.22.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）

A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为（3［r2h)∶

3∶［(2r)2·2h］

3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B 3.三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比是（）

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B 例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）

图7

活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［(-π（1521520)1515］2221.5222)≈1 000(cm)=0.1(m).2涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练

21.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）

解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，2∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，2∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m，10m220因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒.0.5m2点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.11112xyx(4x)(x-2)2+，由于x＞0，则当

332662x=2时，三棱锥的体积取最大值.32答案：

3分析：由题意得三棱锥的体积是例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）

3图8

活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=3102233×12×6×10-3.14×()×10≈2 956(mm)=2.956(cm).42所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练

如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）

图9

解：如图10，设水面的半径为r，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10 在△ABG中，∵EH∥BG，AHEH.∵AH=2分米, AGBG2r214∴.∴r=分米.525∴∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为

142148762)+×4+4］=立方分米，2555876292∴所用的时间为25≈36.69秒.325V水=·3［(13答：所用的时间为36.69秒.思路2

例1（2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）

图11 A.1 B.111 C.D.236活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=1111SABCPA1.3326

图12

答案：D 点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练

1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（）

图13 A.183 B.153 C.2483 D.24163 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为23，正三棱柱的高为

2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为 3×4×2+2×1×4×23=24+83.2

图14

答案：C 2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A.323 B.C.3 D.333分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为

3，所以这个几何体的体积为V=13123.33答案：A 3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为

8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为

6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=1×(8×6)×4=64.3AB28)42()242, 229(2)设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC边上的高为h1=VO（在△VAB中，AB边上的高为h2=VO(2BC26)42()2=5.22所以此几何体的侧面积S=2(64212185)=40+242.2点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）

图17 活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.2解：正方体的表面积为16×6=96（cm），2一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm），2则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm）.2答：几何体的表面积为133.68 cm.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练

图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18

分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.22解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为1×9=9（cm），2222前面的表面积为1×8=8（cm），左面的表面积为1×7=7（cm），2则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48(cm).2答：此几何体的表面积为48 cm.知能训练

1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）

A.486 B.64 C.16 D.96 分析：设正方体的棱长为a，则6a=96，解得a=4，则正方体的体积是a=64.答案：B 2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）

A.π B.2π C.3π D.4π

3分析：设圆锥的母线长为l，则l=31=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.答案：C 3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积是（）

A.27393279 B.C.D.444422分析：可得正三棱锥的高h=(23)(3)=3，于是V=13329333.44答案：D 4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.2分析：圆柱的体积公式为V圆柱=πrh，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为

2原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的4=16倍.答案：4 16 5.图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?

图20

分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.3解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a.三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以AF=AG=

1a.2 11

1111aaa2.又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以2228111113AH=a.所以锯掉的部分的体积为aa2a.2328481311又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.aa3484848所以△AGF的面积为6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是____________.2SlS,分析：如图21，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得2解得r=，所

2l2r,以圆锥的底面积为πr=

2SS.22

图21

答案：S 27.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23 分析：图22中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABCh.又图23中水组成了一个

3SABC2a3334a.直四棱柱，其底面积为SABC，高度为2a，则V=SABC·2a，∴h=

SABC244答案：3a 28.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.12

分析：设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面，可得台的体积是

26h，解得h=3，所以这个圆4622(2+2×4+4)×3=28π.3答案：28π

9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）

图24 A.400080003333 cm B.cm C.2 000 cm D.4 000 cm 33分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,2底面是边长为20 cm的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm，所以该几何体的体积是180003×400×20=cm.33答案：B 拓展提升

问题：有两个相同的直三棱柱，高为

2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它a们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：

2四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a+28，三棱柱有两种，边长为

224a的边重合在一起，表面积为24a+32，边长为3a的边重合在一起，表面积为24a+36，两

2个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a+48, 最小的是一个四棱柱，这说明24a+28＜12a+4812a＜200＜a＜

15.3答案：0＜a＜15 3课堂小结

本节课学习了：

1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.作业

习题1.3 A组 第1、2、3题.设计感想

新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.

第五篇：高中数学 课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)教案 新人教A版

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积

（二）课 型：新授课 教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

教学要求：了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.教学重点：运用公式解决问题.教学难点：理解计算公式之间的关系.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？

2.练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.3.提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？

二、讲授新课：

1.教学柱锥台的体积计算公式： ① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V柱Sh（S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱Shr2h

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

→给出锥体的体积计算公式：V锥Sh S为底面面积，h为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

→ 如何计算台体的体积？

⑥ 给出台体的体积公式：V台(S'S'SS)h（S，S分别上、下底面积，h为高）

→ V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h（r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

1313'1313

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

公式记忆：V锥Sh 131V台(S'S'SS)h

311V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h

332.教学体积公式计算的运用：

例

1、一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估

3算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm）

讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？

→ 列式计算 → 小结：体积计算公式

② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.三、巩固练习：

1.把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，3求这个棱台的体积。（答案：2325cm）

3.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.234.高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm,体积为2800cm，求它的侧面积。

5.仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长2.2m，这堆谷多重？3720kg/m

四、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用

五、作业：P28 2、3题； P30习题 3题.课后记