20150523--0526借助几何画板实现定积分定义教学中的基本思想的直观解释（定稿）

第一篇：20150523--0526借助几何画板实现定积分定义教学中的基本思想的直观解释（定稿）

借助几何画板实现曲边梯形面积教学中的基本思想的直观解释

万州上海中学高二数学备课组 刘印学（20150525）

在定积分的教学中，曲边梯形的面积问题是首先提出的问题，其基本思想是将自变量的区间n等分，每一等分的“小”曲边梯形面积可近似用长方形面积代替，将所有近似代替的长方形面积求和，当n无限增大时，所有长方形面积和趋近于预先给定的曲边梯形面积。如何借助几何画板中的深度迭代、构造、计算、绘图等功能做出如下的效果图？直观反映“分割—近似代替—求和—取极限”四步法求曲边梯形面积，让学生直观感受无限逼近的数学思想，改变参数n的值或拖动区间端点的位置，图形的逼近效果也随着改变，下面以几何画板汉化版本5.06做详细操作步骤，供初学者参考。本人也是初学，自学、探究了好几天，怕以后忘了就整理了后面的详细操作步骤，不当之处相互商榷。例如： 将CD区间8等份:

将CD区间20等份：

改变区间的起点，并把区间15等分：

详细操作步骤：

1、在工具菜单中，点“绘图—绘制新函数”，并在新建函数对话框中输入新函数的表达式。检查无误后“确定”。在显示图像中适当调整比例。

2、在x轴上任意取两点，A、B（可以改变点标签）注意用“点工具”，指到x轴变色后点击鼠标左键即可，不画点后就将鼠标指针指向选择工具，选点后右键，在出现的下拉菜单中，选择“显示点的标签”，同时也可点菜单中的横坐标，也可改变其他属性。可以选“点的标签”在对话框中修改标签的字母。这样画出的点只能在x轴上拖动，如果用绘图工具下的绘制点，就不能拖动，后面的操作就无法进行，此时，可以选中点，右键，-在下拉菜单中选“横坐标”则在操作界面中就显示出XA、XB的值。

3、找到AB之间的第一个分点B1（或A1）

方法

一、利用 “变换”下的 “缩放”功能找到，线段AB之间的一个分点B、（1）点“数据”菜单下的“新建参数”

（2）在对话框中改变参数为n，后面的值就是我们要想将AB等分为多少等分，自己可任意输入一个大于2的数字就可以。,再点点“数据”菜单下的“计算”，在对话框中输入计算式，n-1.只需把箭头指向新建的参数那里就在算式编辑框中显示n后再输入运算号-1，确定，也是为后面深度迭代做准备，深度迭代的默认第一次为

0，所以只迭代N-1次即可。“数据”—“计算”输入算式1/n,为缩放比值。

（3）选项工具，指向“1/n”，然后，在“变换”菜单下找到“标记比值”，双击点A，（也可以单击A---“变换”---“标记中心”），再点B，--“变换”—“缩放”，这时就会在x轴上显示出AB之间的一个N 等分点，编辑标签。

“缩放之前要在” 变换“菜单下”标记比值“，”标记中心“才知道哪个点一哪个点为中心缩放多少比例。

方法二：利用 “变换”下的 “平移”功能找到线段AB之间的一个分点A1

（1）在绘制新函数图像，并在横轴上选定两点A、B后，点“数据”菜单下的“新建参数”（同方法一）

（2）在对话框中改变参数为n，后面的值就是我们要想将AB等分为多少等分，自己可任意输入一个大于2的数字就可以。,再点点“数据”菜单下的“计算”，在对话框中输入计算式，n-1.只需把箭头指向新建的参数那里就在算式编辑框中显示n后再输入运算号-1，为后面迭代做准备，确定，（与方法一同）

（3）用见图片工具选定A，B，“构造”---线段，再选定线段，“度量”—“长度” 也可以，直接选定两点后“度量”—两点间的距离。改变距离标签。计算AB/n(4)选定AB/n的计算值，“变换”—标记距离，也可以“双击”（连续两次点击）AB/n的计算值，选A---“变换”---“平移”，在对话框中的“水平距离”中自动显示“标记距离”，在垂直方向距离选项中改直角坐标为0，确定，显示出A1。

4、右建在3步中做出的第一个分点，“横坐标”,（1）分别利用 “数据”中“计算“功能，按照函数表达式，计算出A与第一个N等分点的纵坐标（函数值）

（2）利用 “绘图”菜单下拉菜单中的“绘制点”，在绘制点的对话框中，用箭头

工具指向，计算出的对应点的横坐标和纵坐标，确定，如图显示EF。右键，画出的点可以改变点的标签字母、属性。

5、选择AF.“构造”---线段；E/B、”构造菜单的下拉菜单中选“线段”

（1）在图中先选中线段EB/,再选点A,构造—垂线（也可以先选X轴，再选点A，“构造—平行线”）

（2）选中构造出的垂线（平行线）和线段EB/,“构造”下拉菜单中的“交点，选中上步构造出的直线右键-，在右键出来的子菜单中的选“隐藏直线”（3）一次选中点A、F、E、B/,“构造”---四边形的内部

6、运用“变换”中的深度迭代功能，实现重复做出对应的矩形。

（1）用箭头工具，选择点A---,参数N，---计算值n-1，(注意三个的顺序不能改变，检查拖动A点时，对应的坐标都要随之改变，参数点在后面，否则，不会出现后面的深度迭代)后再按住shift建，点“变换”会出现 “深度迭代”对话框，在选项框中用箭头工具确定，A---选B/点，n—选n-1，点击对话框中的迭代即可

只要前面步骤没问题的话，在出现图形时同时出现一个数据表。

（2）现在你可以随意改变参数中的n后面框内对应的值，制作的图、表就会随着改变

（3）也可以自由拖动端点A、B，大功告成，哈哈！

注意：

1、用第3步中的平移方法确定第一个N等分点后，同（4）（5）步一样做出第一个近似代替的矩形

这个方法便于计算每个矩形的面积，利用“数据”—计算，分别计算起点与分点的横坐标的差，再计算差与起点的纵坐标的积作为第一个矩形的面积S1，深度

迭代后的效果表图如下，注意表格中的数据区别。S1对应的一列数据就是相应的每个矩形面积。

7、再次新建参数t=0,计算S1+t,将标签改为T，T表示所有矩形的面积和.选点A，参数t,参数N，参数N-1，按住shift,---深度迭代，A—A1,t---T,n---n-1,迭代，得到下面面积累计和数据表。T列数据就是曲边梯形的近似面积。再改变分割次数N，就可以观察到曲边梯形面积的近似值了

8、不断改变N的次数，为了显示清晰，可以隐藏其他过程。

深度迭代100次时的过剩近似值：T

深度迭代100次后的不足近似值和：T2