高中数学常用方法总结——如何将错位相减法所得结论的公式化

第一篇：高中数学常用方法总结——如何将错位相减法所得结论的公式化

错位相减法的简洁结论----公式化

错位相减法是推导等比数列前n项和公式的最简洁的方法之一,错位相减法还可以推广到求数列{anbn}的前项和,其中{an}是等差数列,公差为不为0,{bn}是等比数列,公比不为1.例:数列{an}的前n项和为Sn,a11,an12Sn,求数列{nan}的前n项和Tn.分析:当n1时,由an12Sn得an2Sn1,两式相减得an13an,所以数列{an}从第二项开始成等比,又a22S12a12,所以an23n2,因为a11不满足此式,所以nan1,n12n3n2,n1.Tn14306318322(n2)3n42(n1)3n32n3n23Tn34316328332(n2)3n32(n1)3n22n3n1两式相减: 2Tn22(3132333n33n2)2n3n1

33n1222n3n1(2n1)3n11

13所以: Tn(n)3n1.又因为T1a11也满足上式,所以: Tn(n)3n1,nN

错位相减法程序化的步骤让学生容易掌握和理解,但因计算量较大,学生常会因为计算的原因导致出错.如果错位相减法可以简化为一种形式简单的结论,我们又何乐而不为呢? 笔者在教学过程中发现,通项形如an(xny)qn,(q1,q0,x0)的数列,其前n项和必定形如Sn(AnB)qn1C,这个结论可以由错位相减法证明,就留给读者去证了,我简单从另外一个方法求得A,B, 因为: SnSn1[(AnB)qn1C][(AnAB)qnC]

12121212[A(q1)nB(q1)A]qn(xny)qn

对比系数得: AxyA,B,此时C可以由S1a1求得.q1q1上例中,设bnnan,则当n1时,b11,当n1时,bn2n3n2.根据公式有: A201111,B,所以Tn(n)3n1C, 3131221212又因为: T1Cb11C 所以:Tn(n)3n1,nN

解题思路和过程固然是重要的,但简洁的结论也很重要,它可以使我们少走弯路,少做重复的工作.单方面去强调过程或结论都是不可取的,在教学中,应让学生掌握好错位相减法的思想精髓上,再引出这个结论,才不会顾此失彼.从例题中可以看出,即使所求数列的首项不满足(xny)qn,也不会影响使用公式求和,但若所求数列前k项不满足(xny)qn,则求和结果必须加上条件nk,此时公式中的C值该由前k项和求出,当nk时,前n

1212项和须看具体情形而定.