【精品】高一数学 4.6两角和与差的正弦余弦正切(备课资料) 大纲人教版必修

第一篇：【精品】高一数学 4.6两角和与差的正弦余弦正切(备课资料) 大纲人教版必修

●备课资料

1.下列命题中的假命题是（）．．．A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ 答案：B 2.在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？ 解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π 且A＋B＋C＝π 即：A＋B＝π－C

由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0 即：cos（A＋B）＞0 ∴cos（π－C）＝－cos C＞0 即cos C＜0 ∴C一定为钝角

∴△ABC一定为钝角三角形.3.已知sinα+sinβ=

22，求cosα+cosβ的最大值和最小值.分析：令cosα+cosβ=x，然后利用函数思想.解：令cosα+cosβ＝x，则得方程组：

①2+②2得2+2cos(α－β)=x

2+∴cos(α－β)=2x234

∵|cos(α－β)|≤1 ∴|2x234|≤1 解之得：－142x142 ∴cosα+cosβ的最大值是14142，最小值是－2.●备课资料 1.已知：α∈（353，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）5＝－1213 求：cos（α＋β）.解：由已知：α∈（3，）

－α∈（－3，－）－α∈（－，0）又∵cos（3－α）＝5

∴sin（4－α）＝－5

由β∈（0，）＋β∈（，2）

又∵sin（54＋β）＝sin［π＋（＋β）］

＝－sin（12＋β）＝－13

即sin（12＋β）＝13

∴cos（5＋β）＝13

又（＋β）－（－α）＝α＋β

∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］

＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α）

＝531213513(45)3365 2.已知：α、β为锐角，且cosα＝4165，cos（α＋β）＝－65，求cosβ的值.解：∵0＜α·β＜

∴0＜α＋β＜π 由cos（α＋β）＝－1665 得sin（α＋β）＝6365 又∵cosα＝45，∴sinα＝35 ∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］

＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα 2 ＝（－＝463316）×＋×

5655655 1335，cosB＝，求cos C的值.513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.3.在△ABC中，已知sinA＝分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sinA＝32＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，5251，∴60°＜B＜90°，13212∴sinB＝

13又cos B＝若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.4.516∴cos C＝－cos（A＋B）＝.65∴0°＜A＜45°，即cos A＝●备课资料

1.对等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ的正确认识是()A.一定成立 B.一定不成立

C.只有有限对α、β的值使等式成立

D.有无穷多对α、β的值使等式成立，但不是对所有α、β成立 答案：C 说明：sin（α＋β）是两角α与β的和的正弦，它表示角α＋β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比，在一般情况下，sin（α＋β）≠sinα＋sinβ.只有在某些特殊情况下，sin（α＋β）才等于sinα＋sinβ.111，sin（0＋）＝sin＝，sin0＋sin＝0＋＝，222这时有sin（0＋）＝sin0＋sin.例如：当α＝0，β＝2.若sinα·sinβ＝1，则cosα·cosβ＝.分析：由于sinα、sinβ∈［－1，1］

仅当sinα＝sinβ＝±1时，sinα、sinβ才有可能等于1，这时α、β的终边一定同时落在y轴的正半轴或负半轴上，此时cos α＝0，cosβ＝0，故cosα·cosβ＝0.答案：0 3.（2003·上海·理1）函数y=sinxcos(x+

)+cos xsin(x+)的最小正周期T=_________.解：∵f(x)=sin(2x+∴T=

)2=π.答案：π.●备课资料

1.已知cosθ＝－，且θ∈（π，解：∵cosθ＝－且θ∈（π，∴sinθ＝－ 则tanθ＝

）＝4tantan434535353），则tan（θ－）的值为多少? 243)24 ∴tan（θ－

1tantan44113 ＝47132.若tan（α＋β）＝，tan（β－

251）＝，求tan（α＋）的值.444）＋（β－）＝α＋β，所44分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（α＋以可将α＋化为（α＋β）－（β－），从而求得tan（α＋）的值.444）4)］ 4解：tan（α＋＝tan［（α＋β）－（β－tan()tan()4 ＝

1tan()tan()42112543 将tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，则，原式＝

21224451543.已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α).解：∵α＋（α－β）＝2α－β

∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］ ＝－tan（2α－β）12254 ＝－tan［α＋（α－β)］ ＝tantan()

tantan()112()5 ＝212()125＝－1 123xx2sinx－tan＝ 22cosxcos2x3xx3xx＋＝2x，－＝x 22224.证明tan分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：∴sinx＝sin3xx3xxcos－cossin 22223xxcos 22

① ② cosx＋cos2x＝2cos①÷②即得：

3xxsin2sinx22 3xcosxcos2xcosxcos22sin＝tan3xx－tan.22●备课资料

1.已知α、β为锐角，cosα=，cos(α+β)=－

1711，求β的值.14分析：注意观察α、α+β及β间的关系，先求角β的一个三角函数值，再根据β为锐角求出β.解：∵α为锐角，且cosα=，∴sinα=1cos243.717又∵α、β均为锐角 ∴0＜α+β＜π 且cos(α+β)=－11，14∴sin(α+β)=1cos2()=

53.14则cosβ=cos［(α+β)－α］

=cos（α+β)cosα+sin(α+β)sinα =(－11153431)×+×= 1427147∴β=.35 评述：（1）在和（差）角公式的运用中,要注意和、差的相对关系，如（α+β)－α=β.(2)求角的基本步骤：①求角的范围；②求角的一个三角函数值；③写出满足条件的角.2.已知3123＜β＜α＜，cos(α－β)=，sin(α+β)=－，求sin2α的值.24135分析：注意观察α－β、α+β和2α间的关系，再选择适当的公式进行计算.解：由题设知α－β为锐角，所以sin（α－β）=又∵α+β是第三象限角 ∴cos(α+β)=－，由2α=(α+β)+(α－β)得sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)=－56 655，1345评述：在三角变换中，角的变换是常用技巧，本题是将角2α变换成（α+β)+(α－β)，使已知式中的角与待求式中的角联系起来.3.若A+B=，求（1+tanA)(1+tanB)的值.4分析：注意待求式与正切和角公式间的联系，将正切和角公式变形解题.解：（1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB.又tan(A+B)=且A+B= 4tanAtanB

1tanAtanB∴tan(A+B)=1 ∴tanA+tanB=1－tanAtanB 即tanA+tanB+tanAtanB=1 ∴(1+tanA)(1+tanB)=2.评述：在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系，并将公式进行变形加以运用.4.化简3tan1813tan183tan1813tan18

分析：注意把所要化简的式子与正切的差角公式进行比较.解：=tan60tan18

1tan60tan18=tan(60°－18°)=tan42°

评述：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形.5.化简（tan10°－3)

cos10 sin50分析：切、弦混合式在不能直接运用公式的情况下，考虑将切化弦.解：原式=（tan10°－tan60°)cos10sin50 =(sin10sin60coscos10cos60)10sin50 =sin(50)coscos10cos60·10sin50

=1cos60 =－2.评述：（1）切化弦是三角函数化简的常用方法之一.（2）把函数值化成tan60°在本题的化简中是必经之路.●备课资料 1.求证：sinxcosxsinxcosx＝tan(x－4)2sin(x)证明：左边＝

2cos(x4)＝tan(x－4)＝右边 或：右边＝tan(x－4)sin(x＝4)cos(x 4)sinxcoscosxsin＝4cosxcos4 4sinxsin4＝sinxcosxsinxcosx＝左边 2.若0＜α＜β＜4，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则()A.ab＜1

B.a＞b C.a＜b

D.ab＞2 解：sinα＋cosα＝2sin(α＋4)＝a sinβ＋cosβ＝2sin(β＋

4)＝b 又∵0＜α＜β＜4 ∴0＜α＋4＜β＋4＜2 ∴sin(α＋∴a＜b 答案：C )＜sin(β＋)443.已知tanA与tan(－A+



2)是x+px+q=0的解，若3tanA=2tan(－A)，求p和q的44值.分析：因为p和q是两个未知数，所以须根据题设条件列出关于p、q的方程组，解出 p、q.解:设t=tanA，则tan(由3tanA=2tan(得3t=

1tanA1t－A)=

1tanA1t4－A)42(1t)1t1解之得t=或t=－2.311t1当t=时，tan(－A)==，341t25p=－［tanA+tan(－A)］=－，64111q=tanAtan(－A)=×=.32641t当t=－2时，tan(－A)==－3，41tp=－［tanA+tan(q=tanAtan(－A)］=5，4－A)=6 4∴满足条件的p、q的值为：

5p6p5或 1q6q6评述：(1)“列方程求解未知数”是基本的数学思想方法.(2)如果tanα、tanβ是某一元二次方程的根，则由韦达定理可与公式T(α+β)联系起来；若

22cosα、sinα是某一元二次方程的根，则由韦达定理与公式sinα+cosα=1联系起来.●备课资料

1.tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝_____.解：原式＝tan2A［tan(30°－A)＋tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］ ＝tan2Atan［(30°－A)＋(60°－A)］［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］

＝tan2Atan(90°－2A)［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］

＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］ ＝1 ［师］评述：先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.222.已知tanα、tanβ是方程x－3x－3＝0的两个根，求sin(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.解：由题意知tantan3

tantan3∴tan(α＋β)＝tantan31tantan＝1(3)34

sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos

2(α＋β)＝cos2(α＋β)［tan2

(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝11tan2()［tan2

(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝1［(3)2－3×3－31(3)244］＝－3 43.已知α、β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值.解：由α为锐角，cosα＝45，∴sinα＝35.由α、β为锐角，又tan(α－β)＝－13

∴cos(α－β)＝31010 sin(α－β)＝－1010 ∴cosβ＝cos［α－(α－β)］

＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝45×31010＋35×(－1091010)＝50

第二篇：两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

两角和与差的余弦、正弦、正切

教学目标

知识目标：两角和的正切公式；两角差的正切公式 能力目标：掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征；能用它们进行有关求值、化简

情感态度：提高学生简单的推理能力；培养学生的应用意识；提高学生的数学素质 教学重点

两角和与差的正切公式的推导及特征 教学难点

灵活应用公式进行化简、求值.教学过程

Ⅰ.复习回顾

首先，我们来回顾一下前面所推导两角和与差的余弦、正弦公式.(学生作答，老师板书)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））

要准确把握上述各公式的结构特征.Ⅱ.讲授新课

一、推导公式

［师］上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出： 当cos（α＋β）≠0时

tan（α＋β）＝sin()sincoscossin cos()coscossinasin如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以 将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到： tan（α＋β）＝tantan

1tantan不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.同理可得：tan（α－β）＝tantan

1tantan或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，简记为T（α＋β），T（α－β）.但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于因为tan（＋kπ）不存在.2＋kπ（k∈Z）.2二、例题讲解

［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝tan45tan30

1tan45tan30 313＝=2+3 313tan15°＝tan（45°－30°）

3tan45tan30323 ＝＝1tan45tan303131［例2］求下列各式的值（1）tan71tan26

1tan71tan261tan275（2）

tan75(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.解：tan71tan26

1tan71tan26＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝1tan2751tan275得：＝2²

tan752tan752tan75

1tan275＝2²1＝2cot150° tan150＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23 ［例3］利用和角公式计算1tan15的值.1tan15tan45tan15

1tan45tan15分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.解：∵tan45°＝1 ∴1tan15tan45tan15

1tan151tan45tan15＝tan（45°＋15°)＝tan60° ＝3

课后作业

课本P41习题4.6 4，6

第三篇：《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计（范文）

三角函数式的化简

化简要求：

1）能求出值应求值?

2）使三角函数种类最少

3）项数尽量少

4）尽量使分母中不含三角函数

5）尽量不带有根号

常用化简方法：

线切互化，异名化同名，异角化同角，角的变换，通分，逆用三角公式，正用三角公式。

例

1、三角函数式给值求值：

给值求值是三角函数式求值的重点题型，解决给值求值问题关键：找已知式与所求式之间的角、运算以及函数的差异，角的变换是常用技巧，给值求值问题往往带有隐含条件，即角的范围，解答时要特别注意对隐含条件的讨论。

例

2、三角函数给值求角

此类问题是三角函数式求值中的难点，一是确定角的范围，二是选择适当的三角函数。

解决此类题的一般步骤是：

1）求角的某一三角函数值

2）确定角的范围

3）求角的值

例3.总结：

解决三角函数式求值化简问题，要遵循“三看”原则：

①看角，通过角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，尽量向特殊? 角和可计算角转化，从而正确使用公式。

②看函数名，找出函数名称之间的差异，把不同名称的等式尽量化成 同名或相近名称的等式，常用方法有切化弦、弦化切。

③看式子结构特征，分析式子的结构特征，看是否满足三角函数公式，若有分式，应通分，可部分项通分，也可全部项通分。

“一看角，二看名，三是根据结构特征去变形”

第四篇：两角和与差的正弦余弦正切公式的教学反思

1、本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。

2、本节课中，自主学习的内容主要有两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共8个，二倍角公式及其变形；合作探究三角函数公式的基本应用与逆用,三角函数公式的变形应用,角的变换三类问题。

3、通过学生课前预习，达到对基本公式的掌握；通过课堂探究，培养学生自主解决问题的能力。

4、自主学习的内容主要是通过展示，在这个过程中，提出公式的证明与公式的推导等问题，达到对公式的掌握；合作探究的三个问题通过分组探究，各组讨论，推选代表进行展示。

第五篇：高中数学 3.1.3两角和与差的正切教学设计 新人教B版必修4

《两角和与差的正切》教学设计

课前预习问题串：

1、两角和与差的正切如何推导？

2、两角和与差的正切有何限制条件？

3、公式特点是什么？如何记忆？

4、公式有什么用处？有什么变形？

一、教学目标

1、知识目标：掌握公式的推导过程，理解公式成立的条件；会利用公式求值。

2、能力目标：培养学生观察、分析、类比、联想能力。

3、情感态度价值观目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。

二、教学重点：两角和与差的正切公式推导及应用

三、教学难点：公式的逆向和变形应用

四、教学过程

1、复习引入：写出两角和与差的正、余弦公式

2、公式推导

3、公式深化

（1）两角和与差的正切公式有什么限制条件？

（2）公式的特点是什么？如何记忆？

4、应用举例

tan170tan430 例

1、求值(1)tan75(2)000

变式练习(1)tan150

通过这几个练习，你有什么收获？、不查表求值 1tan750例21tan750

1tan17tan43tan530tan230(2)1tan530tan230

cos150sin150变式练习

cos150sin150

收获：

例

3、求值 tan150tan300tan150tan300

变式练习：求证 tan800-tan200-3tan800tan200=3

收获：

五、巩固训练

1(1)tan4,cot,则tan()________

3(2)已知向量a(cos,2),向量b(sin,1),且a//b,则tan()______

4(3)若锐角、满足(13tan)(13tan)4,则+=_______

(4)若角、为锐角，且tan=cossin,则tan()_____

cossin

六、归纳小结

（1）知识总结：

（2）思想方法总结：

七、布置作业

1、课本140页课堂练习3-1A5、B1

2、课后思考题：

当ABCk(kZ),并且tanA,tanB,tanC存在时，tanAtanBtanC与tanAtanBtanC有何关系？其逆命 题成立吗？为什么？