几何比例证明中的等量代换

第一篇：几何比例证明中的等量代换

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几何比例证明中的等量代换

作者：蔡俊剑

来源：《数理化学习·高三版》2012年第11期

高中课标数学选修4-1《几何证明选讲》，将现初中数学中删去的内容，又增补进来.而各省市课标高考题中的平面几何题，几乎都与圆有关.本文介绍圆中一类关于a2=bc和a∶ b=c∶ d的几何题，借助等量代换的证明方法.现归类举例如下，供学习参考.

第二篇：等量代换和简单的几何证明复习课

《等量代换和简单的几何证明复习课》教学设计

浙江省诸暨市暨阳街道新世纪小学 蒋望雷（初稿）浙江省诸暨市教育局教研室 汤 骥（统稿）

一、教学目标

（一）知识与技能

体会一些数学思想方法在解决问题中的作用，灵活掌握一些数学思想和数学方法，会灵活运用这些方法解决生活中的问题。

（二）过程与方法

引导学生经历并理解推理的过程，进一步发展解决问题的能力。

（三）情感态度和价值观

感受数学的魅力，增强数学学习的兴趣。

二、教学重难点

引导学生经历并理解推理的过程，进一步发展解决问题的能力。

三、教学准备

多媒体课件。

四、教学过程

（一）复习引入

上一节课我们学习了什么内容？（预设：找规律和列表推理，课件出示相关内容）今天这节课，一起来学习例3和例4，继续享受由数学思考带来的“思维盛宴”。

（二）自主探索

1．教学例3。

课件出示题目：△、□、○、☆、◎各代表一个数。

（1）已知△+□=24，△=□+□+□。求△和□的值。

教师：你能解决这道题吗？请在草稿本上试一试。

学生练习，指名回答。

预设：△=18，□=6。

教师追问：你是怎么想的？ 预设：因为一个△等于3个□，可以把第一个算式中的△换成三个□。这样，第一个算式就转化成了4个□相加等于24，□就等于6。接下来求△，用6×3=18就行了。

教师：大家听懂这种方法了吗？在解决问题的过程中，最重要的是哪一步？（预设：把第一个算式中的△换成3个□）这样的方法就叫做等量代换。同桌之间互相说一说。

该怎样用数学的方法表示这一过程呢？我们一起来看（课件出示）。

【设计意图】学生有能力独立解决这一问题，应让学生把代换的过程（思路）讲清楚，通过教师的提问理解关键步骤是该环节的教学重点。在解题过程的表述上，充分发挥教师的引领作用，通过多媒体课件逐步呈现过程，使学生体会数学证明的方法，感受数学语言的严谨性。

我们再来看第（2）小题：已知○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？

想一想，你的结论是什么？（相等）能用什么方法证明你的结论呢？

预设：两个等式中都有☆，只要把☆分别减去就可以知道○和◎是相等的。

教师追问：把☆分别减去的依据是什么？ 预设：等式的性质：在等式的左右两边同时减去一个数，两边依然相等。

教师：你能用第（1）题的方法表述这个过程吗？

学生练习，教师强调每一步都要写清楚依据。

交流汇报，逐步引导得出：

教师小结：在解决第（1）小题的过程中，我们用到了什么数学思想？（等量代换）第（2）小题则是根据什么？（等式的性质）将解题过程用这样的形式表示出来，采用的是数学证明的方法。

【设计意图】表述的逻辑性和严谨性是该环节的教学重点，在学生已经得出结论的基础上，逐步引导他们用规范的数学语言加以表述，充分体会数学证明的方法和逻辑推理的思想。

2．教学例4。

教师：运用数学证明的方法，还可以解决几何知识中的推理问题。（课件出示题目）什么是平角？平角与直线有什么区别？谁来说一说？

预设：①平角是个角，而直线是条“线”；②平角可度量，1平角=180度；直线不可度量；③最明显的区别是：平角有一个顶点和两条边，而直线没有。

如图，两条直线相交于点O。

（1）每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？

教师：谁来说说对题意的理解？

预设：每相邻两个角可以组成一个平角，在图中有四组角是相邻的。

预设：平角的两边在一条直线上，在同一条直线的两旁可以找到两个以O为顶点的平角。

教师：那么，我们可以找到几个平角呢？（4个）它们分别是由哪两个相邻的角组成的？（∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1）

课件出示第（2）题：你能推出∠1=∠3吗？

学生独立思考，互相交流后汇报思路。预设：∠1和∠2可以组成平角，∠2和∠3可以组成平角，在两个平角中同时减去∠2，就可以得出∠1=∠3。

预设：还可以这样想，∠1和∠4可以组成平角，∠3和∠4可以组成平角，在两个平角中同时减去∠4，可以得出∠1=∠3。

教师：这两种方法中都用到了同时减去同一个角，依据是什么？（等式的性质）你能用例3中学到的方法表示这个过程吗？

学生练习，教师巡回指导。

展示作业，逐步归纳得出：

你能用同样的方法推出∠2=∠4吗？

学生练习，反馈讲评，突出强调表述的逻辑性和严密性。

【设计意图】题目中平角的概念和平角与直线的区别这两个问题是新知的生长点，教师在实际教学中应使学生理解到位。第（1）小题既可以由题意“每相邻两个角可以组成一个平角”出发，也可以从平角的特征考虑加以解决。第（2）小题的解决根据第（1）小题的结论，同时例3中的第（2）小题为本题的推理提供了知识基础，这个教学环节以学生自主探索为主，引导学生充分经历并理解推理的过程。

（三）课堂练习

1．课件出示教材第104页练习二十二第9题。

第（1）小题可采用等式的性质，将三个等式的两边分别相加，求出○+□+△=100，然后依次求出结果；第（2）小题先根据上面两式求出○和□，然后代入第三式求值。

2．课件出示教材第104页练习二十二第10题。

该题实际上是“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的知识，是例4的配套练习，利用三角形的内角和等于180°和平角的概念进行推理。

【设计意图】针对性的练习设计，强化了等量代换、等式的性质、数学证明的方法和几何证明等知识，在解决问题的过程中使学生直观感受数学推理的应用价值。

（四）课堂总结 这节课学习了什么？你有什么收获？在数学证明中需要特别注意的是什么？

第三篇：《等量代换》教案

《等量代换》教案

教学目标：

1．通过分析和解决简单实际问题，感知等量关系，初步感悟等量代换的思想方法。

2.在具体情境中初步理解用等量代换方法解决简单实际问题的基本策略，进一步培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力。教学重点：

理解等量代换的意义，感悟等量代换与实际生活的密切联系。教学难点：

学会用等量代换的思想解决简单实际问题。教学过程：

一、创设情境，引入新课。

师：上课。

生：起立，老师好。

师：同学们好。请坐。今天老师给同学们讲一个故事。话说齐天大圣惹怒了如来佛祖，被压在五指山下。500年后唐僧去西天取经，路过此地。悟空向他求救。唐僧说：“要我救你可以，你得先回答我几个问题，答对了，我就救你。”悟空爽快地答应了。（出示曹冲称象图片）见多识广的悟空马上就说出了故事的内容。同学们，你们知道这个故事吗？

生：《曹冲称象》。

师：谁能简单的用几句话将故事的内容说出来？ 生：„„

师：表扬他。本来是要称象的，结果却称起了„„ 生：石头。

师：这是为什么？

生：因为大象的重量和石头的重量一样。师：所以大象的重量换成了称石头的„„ 生：重量。师：诶~~可别小看这么一换，这一换却换出了一个重要的解题方法——等量代换（板书课题。）

二、新课。

师：孙悟空顺利的通过了第一关，正高兴地哈哈大笑。谁知，唐僧在地上画出了这么一个图形，（出示课件）从来没有学过数学的悟空一下子傻眼了。我们一起帮帮他吧。图上的东西有谁认识？

生：我。

师：那你告诉大家这是什么啊？ 生：这个叫天平，这个叫砝码，师：它们用来干什么的？是用来测量物体重量的。生：称重的。„„

师：你们从图上能获得哪些信息？（出示图片）生：一个西瓜等于4千克，四个苹果等于1千克。

师：换句话说就是一个西瓜和四个1千克的砝码一样重，四个苹果和一个1千克的砝码一样重。那8个苹果和几个一千克的砝码一样重？

生：2个。

师：3个砝码和几个苹果一样重？ 生：12个。

师：你真聪明，表扬他。那一个西瓜和几个苹果一样重？（出示问题：一个西瓜和几个苹果一样重？）请用课前所发的学具，在学习小组内换一换，将你的方法边摆边说，看一个西瓜和几个苹果一样重？开始。（学生操作老师适时参与）。

师：时间到。老师请一个同学到黑板上来摆一摆。（示意学习举手）你来。（生上台摆。）

生：因为一个砝码和四个苹果一样重，和学生摆老师协助。师：经过摆一摆，我们发现几个苹果和一个西瓜一样重？ 生：１６个。

师：谁会列式算呀？ 生：４×４＝１６（个）

三、巩固练习1．练习1 师：承蒙各位“大侠”的顶力相助，齐天大圣又顺利地通过一关啦！大圣那个高兴啊，可就在这时，唐僧又出了一道题。（出示课件）诶～～从图中你们能获得哪些数学信息？

生：一头牛和四只猪一样重，两只猪和三只羊一样重。师：表扬他。（出示图片：一头牛等于？只羊）那这个问题怎么解决？先小组内说一说。开始。

生小组合作。

师：时间到。谁来说一说？（示意学生举手）你来。生：等于＊只羊。师：你来。

生：等于6只羊。师：你是怎么想的。

生：因为两只猪等于三只羊的重量，所以两只猪换三只羊，再将剩下的两只猪换三只羊。所以一头牛等于六只羊的重量。（生边说，师边出示课件。没说对或不完整则请其它同学帮忙）

师：列式为„„ 生：3×2＝6（只）师：两头牛呢？

生：可以换12只羊。师：列式为„„

生：3×2×2＝12（只）师：嗯，真不错，表扬！2．练习2 师：（出示课件）谁来说说，从图中你能获得哪些信息？ 生：一只鹅和两只鸭一样重，两只鹅比四只鸡重。

师：你真是个会观察的好孩子。那你们认为“１只鸡和１只鸭，谁重一些？”

生：鸭。

师：你是怎么想的？ 生：因为一只鹅和两只鸭一样重，所以两只鹅就和四只鸭一样重，而两只鹅比四只鸡重，所以四只鸭比四只鸡重，所以一只鸭比一只鸡重。

师：表扬他。3．练习3 师：齐天大圣在你们这些“小英雄”的帮助下果然无所不能啊，这么难的关都闯过来了。可哆嗦的唐僧还不罢休，想验证一下悟空的火眼金睛。于是又出了第四道难题：（出示第四关：火眼金睛判正误。）我们也和孙悟空一起来炼就“火眼金睛”，好不好？（出示图）

生：错。

师：为什么？（示意学生举手）

生：一个汉堡等于两个鸡腿，两个鸡腿等于六个冰淇凌。所以一个汉堡应该等于六个冰淇凌。

师：表扬他。（出示下一张图）生：对。

师：你们真棒！（出示下一张图）生：错。

师：为什么？（示意学生举手）

生：因为苹果比香蕉重，而香蕉比梨重，所以苹果大于香蕉大于梨。

师：表扬他。（出示下一张图）生：对。

师：不错呀，你们的“功夫”也越来越厉害了啊。

四、运用拓展

师：就在孙悟空以为自己马上可以得救时，唐憎又出示了最后一道难题。（出示第五关）“用一个杯子往空瓶子里倒水，如果倒进3杯水，连瓶带水共重500克，如果倒进5杯水，连瓶带水共重700克，问一杯水和一个空瓶子各重多少克？”（用“○”表示一杯水的重量；用“□”表示空瓶子的重量。列出等式。）请同学们在纸上画一画、算一算。

„„

师：好，谁来说一说你是怎么做的。

生：因为○+○+○+□=500，○+○+○+○+○+□=700。所以3个○+□可以用500替换。也就是○+○+500=700，所以○=100，□=200。所以一杯水重100克，空瓶子重200克。

师：你真聪明，表扬他。好了，通过大家的帮助，孙大圣终于如愿以偿地地获救了。同学们，也学了一身过硬的数学“本领”。大家说说，你都学了哪到了哪些“功夫”？

第四篇：等量代换-最终教案

教学内容：北京版数学教材三年级上册，第八单元数学百花园，第85页《等量代换》。教学目标：

1、在解决简单实际问题的过程中初步体会等量代换的思想方法。

2、在观察、操作、分析推理的过程中，体会“中间量”作用，并培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力。

3、引导学生用不同的等量代换的方法去解决问题，经历策略的形成过程，获得解决问题的成功经验。

4、在丰富的数学情景中，让学生感受数学在现实生活中的广泛应用，感受等量代换在解决问题中的价值，提高学生的学习兴趣。教学重点：初步掌握等量代换的方法。

教学难点：学会运用等量代换的方法解决简单的实际问题或数学问题。

一、情境导入.师：同学们都喜欢听故事吗？（喜欢）今天老师也给大家带来了一个有趣的故事。1.曹冲称象

师：故事里的的曹冲是怎样称出来大象的重量？ 生：先让大象上船，然后做好标记，再用石头代替，最后称出石头的重量就行了。师：聪明的曹冲，用石头替代了大象。这样的代换，在我们数学上叫等量代换。这就是我们今天要学的内容——等量代换。(3分钟)【设计意图：利用讲故事吸引孩子的注意力，同时能调动起学生学习的积极性，提高学生的学习兴趣，并且引出课题，为学生学习新知识作铺垫】

二.自主探究，体验等量代换思想

师：同学们都玩过跷跷板吧！今天呀，森林里的小动物们也玩起了跷跷板，想去看看吗？

师：谁来说说通过观察你有什么发现？（一只小猫和一只小鸭同样重，一只小猫和一只小狗同样重）

师：你从哪看出了小猫和小鸭的体重一样。（跷跷板平衡了，说明左右两边的小动物同样重）

师：谁还有补充？你还发现了什么？（一只小鸭和一只小狗同样重）

师： 小鸭和小狗没有在同一个天平上出现过，你怎么知道它们的质量相等呢？（生：一只猫的质量=一只鸭的质量，一只猫的质量=一只狗的质量，可以把一只猫换成一只鸭，所以一只鸭的质量=一只狗的质量）

教师：为什么能把一只猫换成一只鸭？（因为一只猫的质量=一只鸭的质量）【设计意图：借助跷跷板平衡的直观信息，让学生学会从图中找到等量关系。初步尝试让学生结合观察到的信息分析和解决问题。通过中间量的简单代换过程，使学生感知等量代换在解决问题时存在的价值。】

（7分钟）

三、合作分享，应用等量代换思想解决问题 1.体重大比拼

师：老师刚刚得到一个消息，今天，小动物们正在进行一场别开生面的体重大比拼，非常热闹！想看吗？（想！）快坐好让我们一起去看看吧！现在小动物们有了一个难题，需要大家帮助：两只小羊和几只小猫一样重呢？

小组合作要求：

1.先独立思考并用自己喜欢的方式解决问题。（3分钟）

2.小组内进行交流（7分钟）

（1）按顺序发言。一人说，另外三人倾听，不插话。

（2）下个人如果同意说：我认可你的想法。如果不同意：我和你的想法不同，我是这样想的。我有补充。我有新的想法。

（3）发言人要认真倾听，最后把大家的想法融合自己的想法再说一遍。3.全班分享（5分钟）

预设1：文字表达的——1只狗的质量=2只猫的质量，所以两只狗的质量就等于4只猫的质量，那么1只羊的质量=4只猫的质量。预设2：图上做标注的。

预设3：列算式的——2×2=4。

预设4：因为1只狗的质量=2只猫的质量，那么每只狗都能换成2只猫，两只狗就能换成4只猫，所以1只羊的质量=4只猫的质量。总结：同学们真是很聪明，用这么多的方法解决了问题。你们有一个共同的特点，都是借助谁找到了2只羊和8只猫之间的等量关系的呢？（借助小狗）对！通过小狗我们才将小猫和小羊之间建立起了等量关系，在这里小狗就是它们的“中间量”，换句话说，也就是应用等量代换解决问题的时候，关键是找？（中间量）【设计意图：借助平衡秤呈现的“相等”关系，引导学生观察、分析，并找准中间量。在解决问题的过程中，通过找中间量，来感知事物之间的等量关系，运用“等量代换”的方法进行简单推理，并能有条理地表达自己的想法。】

四.引入经典，深化等量代换内涵

师：早在古代的时候，人们就已经开始使用等量代换的办法来解决问题的。因为那时候钱还没有产生，如果他们想要得到自己想要的东西，会怎么办呢？（换）老师带着大家一起去体验一下他们的生活？

出示：用4个番薯可以换两棵大白菜，用8棵大白菜可以换2斤米，用2只鸡可以换10斤米

思考：老爷爷：“我今天带了一只鸡，可以换些什么呢？” 学生独立思考 小组进行交流 全班汇报展示 【设计意图：这是一道开放题，目的是考察学生对等量代换的方法的灵活应用情况，通过体验古代人的生活，让学生们感受到等量代换思想是从古至今一直延续着的，体会到数学知识与实际生活之间的紧密联系。】（7分钟）

五、归纳小结。

师：谁来说说通过学习这节课，你有什么收获？

师：我们在进行等量代换时要注意什么？（只有相等的量才能代换，找准代换中的中间量）

师：那么在我们以后的学习和生活中，还会遇到许多类似的问题，只要我们留心观察，用心思考，相信很多问题都会迎刃而解的，你们也会变得比曹冲更聪明。（3分钟）

第五篇：等量代换教案

《等量代换》教学设计

双丰局一小：李春朵

教学内容：三年级下册教材109、111页内容。教学目标：

1.初步体会等量代换的数学思想；初步运用其思想解决一些简单的数学问题。

2.通过观察、猜测、操作、计算、推理等活动，亲历学习过程，体验思考的快乐。感受数学服务于生活。

3.培养学生有序、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。教学重点：

利用天平原理初步体会等量代换的思想，为以后学习简单代数知识做准备。教学难点：

初步用等量代换的数学思想解决一些简单的实际或数学问题。教学准备：课件

课前谈话:老师早就听说伊春黎明小学的学生可聪明了，尤其是三年一班的学生，最善于思考，善于倾听。是这样的吗？今天让李老师见识一下好吗？今天老师还为你们准备了神秘礼物呢？但老师可不是白送的哟！你们哪个组的同学在学习参与过程中善于思考，勇于回答问题，就可以为你们组得一个青苹果，五个青苹果换一个红苹果，四个红苹果就可以换到老师手中的一份神秘礼物，有信心得到老师的神秘礼物吗？开始上课。教学过程：

一．

激趣导入，引入课题。

1，分别用一支水彩笔换学生和手中一桶水彩笔；用一个小本子换学生手中的一个大本子;用1个1千克的小西瓜换学生手中10千克的大西瓜。

分别提问：你们换吗？为什么？（引导学生说出不换的原因，让学生初步感知等量代换的意义。）

2.师小结：刚才在我们的交换过程中，同学们提到了数量相等，价钱相等，重量相等。这样相等的量在数学中叫做等量。根据我们的日常生活经验，相等的量是可以替换的，在数学中叫做等量代换。（师板书课题：等量代换）生齐读课题。其实等量代换是一种很重要的数学思想方法，今天我们就来用这种方法解决我们生活中的数学问题。二.创设情境，探究新知。

1.（出示课件），老师讲述：妈妈给芳芳买了一个大西瓜，但今天芳芳不想吃西瓜，想吃苹果，芳芳就来到水果摊前想把西瓜换成苹果，到了水果摊前，芳芳犯了难，她不知道一个西瓜能换几个苹果。卖水果的叔叔笑着说：“苹果和西瓜的价钱相等，只要重量相等就可以了，叔叔在天平做百年托盘上放上西瓜。”

1）（课件出示一个西瓜等于4千克）问：谁知道天平右边托盘上放的是什么？（生答：砝码）。这个西瓜有多重？（生答：4千克）

2）.(课件出示4个苹果等于1千克)问：这又是什么意思？（生答：4个苹果重1千克。）3）（课件出示一几个苹果和一个西瓜同样重）请你用喜欢的方法解决这个问题，可以动笔画一画，算一算，换一换，和同桌说一说。（学生交流）2.（1）学生汇报。（老师及时引导评价。）（生答：16个苹果和1个西瓜同样重。）（2）能不能用换的方法来想一想呢？

（生答：把一个砝码换成4个苹果，4个砝码就换成了16个苹果。）3.师课件演示代换的过程。

4.小结：西瓜和苹果之间本来没有关系，是通过砝码找到了它们之间的等量关系，然后进行了代换。（板书：西瓜­——（砝码）——苹果）

（设计意图：在解决“几个苹果和1个西瓜同样重”问题的过程中，让学生独立探究多种不同的解决方法，再用课件演示换的过程，让学生初步摆脱具体的形象思维。学生亲历了整个探究过程，在全过程中感知，体验等量代换的数学思想。）三.解决问题，应用等量代换思想

1.(1).(出示小朋友玩跷跷板课件)，瞧！小朋友在干什么？其实森林里的小动物也在玩跷跷板，但是它们遇到了问题，老师知道你们是热心的孩子，你们愿意帮助它们吗？

（2）.(出示课件109页做一做图)问：它们遇到了什么问题？（生答：？只羊和2头牛同样重。）

（3）.小组讨论交流。（4）.汇报。（生1：先把4头猪换成8只羊，1头牛和8只羊同样重，2头牛就和16只羊同样重。生2:1头牛和4头猪同样重，2头牛就和8头猪同样重，把8头猪换成16只羊，2头牛就和16只羊同样重。）

（5）.师问：两种方法都是把什么换成了什么？（生答：都是把猪换成了羊。）

过渡：我们为猪，牛，羊解决了问题，瞧，鸡鸭鹅也来凑热闹了。

2.(1)(出示111页4题图)生观察。发讨论提纲，让学生分项讨论，并填充空白处。

（2）学生讨论交流。

（3）汇报。（生1：把两只鹅换成4只鸭，4只鸭就比4只鸡重，那么1只鸭就比一只鸡重。生2：把鹅和鸡都减半，1只鹅就比2只鸡重，再把1只鹅换成2只鸭，2只鸭就比两只鸡重，1只鸭就比一只鸡重。）

（4）两种方法都是把什么换成了什么？（生答：都是把鹅换成了鸭。）

（再次呈现以问题解决为核心的教学重点，从中发现解决问题的最佳策略，把等量代换的思想应用到解决实际问题中去。）四．拓展应用。

1.（1）(课件出示“优”换笑脸图)，你们看懂了什么？

（2）生观察思考。

（3）汇报（生1：把30个优换成10张笑脸卡，再用10张笑脸卡换2颗星。生2:15个优能换一颗星，30颗星能换2颗星。）

过渡：你们真了不起，老师这里还有一座聪明屋，你们敢闯吗？ 2.（1）出示115页第一题。

（2）老师说题意。

（3）学生交流。

（4）汇报。（把三角形换成三个正方形。）

（使学生对等量代换的内涵，有了更为深刻的理解，有助于学生思维的拓展。）

过渡：同学们，你们闯过了聪明屋，老师真为你们高兴。其实早在1700年以前，就有一个和你们一样聪明的小朋友，用等量代换的方法解决了大人们都没有解决的问题，知道这个小朋友是谁吗？（生答）

3.（1）边讲边课件演示曹冲称象的过程。（有人送给曹操一头大象，曹操想知道这头大象有多重。大臣们说：“称一称吧。”可是大象太重了，把称称坏了。怎么办呢？这是七岁的曹冲说：“我有办法了！”他让人把大象赶到一艘船上。看看船下沉了多少，就在船舷上划条线，把大象赶回岸，再往船上装石头，装到船沉到划线的地方为止，这样称一称石头的重量，就知道了大象的重量了。

（2）你们有没有比曹冲更高明的办法吗？用什么代替石头石头称出大象的重量。

（3）生思考后汇报。（用人代替石头称出大象的重量。）

（课件演示曹冲称象的故事，让学生感到既新鲜又好奇，从而也了解“等量代换”的数学思想来源于生活，真正感受到数学与生活的密切联系。）五．拓展活动。

1.收集每组获得的青苹果数，然后分别换红苹果和神秘礼物。2.送神秘礼物。

老师寄语。