[■数学爆强公式集中营■]秒杀填空选择!

第一篇：[■数学爆强公式集中营■]秒杀填空选择!

1■，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA＝（x－1）/（x＋1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式；如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

2■，函数的周期性问题（记忆三个）：

1、若f(x）＝－f（x＋k），则T＝2k ；

2、若f（x）＝m/（x＋k）（m不为0），则T＝2k ；

3、若f（x）＝f（x＋k）＋f（x－k），则 T=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y＝sinx y＝sin派x 相加不是周期函数。

3■，关于对称问题●（无数人搞不懂的问题）● 总结如下：1，若在R上（下同）满足：f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，对称轴为x＝（a＋b）/2 ；

2、函数y=f（a＋x）与y=f(b－x）的图像关于x=（b－a）/2对称；

3、若f(a+x)＋f（a－x）＝2b，则f（x）图像关于（a，b）中心对称

4■，函数奇偶性

1、对于属于R上的奇函数有f（0）＝0 ；

2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项 3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空

5■，数列 爆强定律：1，等差数列中：S奇＝na中，例如S13=13a7（13和7为下角标）；2等差数列中：S(n)、S(2n)－S(n)、S(3n)－S（2n）成等差 3，等比数列中，上述2中 各项在公比不为负一时成等比，在q＝-1时，未必成立 4，等比数列爆强公式：S(n＋m)＝S(m)＋q^m S(n)可以迅速求q

6■，数列的终极利器，特征根方程。（如果看不懂就算了）。首先介绍公式：对于an＋1＝pan＋q（n＋1 为下角标，n为下角标），a1已知，那么特征根x=q/(1－p)，则数列通项公式为an＝（a1－x）p^（n－1）＋x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造（两边同时加数）

7■，函数详解补充：

1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2，复合函数单调性：同增异减 3，●重点知识●关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

8■，常用数列bn＝n×(2^n)求和Sn＝（n－1）×（2^(n＋1)）＋2 记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个

29■，适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭＝-｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝ k双＝｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝ k抛＝p/yo 注：（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10■，强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x＋b1y＋c1＝0 直线L2：a2x＋b2y＋c2＝0 若它们垂直：（充要条件）a1a2＋b1b2＝0 ；若它们平行：（充要条件）a1b2＝a2b1 且a1c2 ≠a2c1 [这个条件为了防止两直线重合）●注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀！

11■，经典中的经典：相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于Sn＝1/（1×3）＋1/(2×4)＋1/（3×5）＋…＋1/[n(n＋2)]＝1/2[1＋1/2－1/(n＋

1)－1/(n＋2)] ▴▴ 注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁！

12■，●爆强△面积公式：S＝1/2∣mq－np∣ 其中向量AB＝（m，n），向量BC

＝（p，q）■注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题！

13■，●▲●你知道吗？空间立体几何中：■以下命题均错■：1，空间中不同三点确定一个平面；2，垂直同一直线的两直线平行 ；3，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；4，如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面 ；5，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；6，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥 注：对初中生不适用。

14■，一个小知识点：■■■所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。15■，求f(x)＝∣x-1∣＋∣x-2∣＋∣x-3∣＋…＋∣x－n∣（n为正整数）的最小值。答案为：当n为奇数，最小值为（n^2－1）/4，在x＝（n＋1）/2时取到；当n为偶数时，最小值为n^2/4，在x＝n/2 或n/2 ＋1时取到。

16■，√〔（a^2＋b^2）〕/2≥（a＋b）/2≥√ab≥2ab/（a＋b）（a、b为正数，是统一定义域）

17■，椭圆中焦点三角形面积公式：S=b^2tan(A/2)在双曲线中：S＝b^2/tan(A/

2)说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

18■，■■■爆强定理：空间向量三公式解决所有题目：cosA＝|｛向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模] |一：A为线线夹角，二：A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）三：A为面面夹角 ■注：以上角范围均为[0，派/2]。19■，.■■■爆强公式1^2+2^2＋3^2＋…＋n^2＝1/6（n）（n＋1）（2n＋1）； 1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3＝1/4（n^2）（n＋1）^

220■，爆强■■■切线方程记忆方法：写成对称形式，换一个x，换一个y。举例说明：对于y^2＝2px 可以写成y×y＝px＋px 再把（xo，yo）带入其中一个得：y×yo＝pxo＋px ★★

21■，■■■爆强定理：（a＋b＋c）^n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+2 2，n+2在下，2在上

22■，[转化思想] ■■■切线长l＝√（d^2-r^2）d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

23■，对于y^2＝2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。爆强定理的证明：对于y^2＝2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔（sinA）^2〕，所以与之垂直的弦长为2p/[（cosA）^2]，所以求和再据三角知识可知。(题目的意思就是弦AB过焦点，CD过焦点，且AB垂直于CD)24■，关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强●■●：∣|a|－|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣＋∣b∣

25■，关于解决证明含ln 的不等式的一种思路：爆强■■■：举例说明：证明1＋1/2＋1/3＋…＋1/n＞ln（n+1）把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。解：令an＝1/n，令Sn＝ln（n+1），则bn＝ln（n＋1）－lnn，那么只需证an ＞bn即可，根据定积分知识画出y＝1/x的图。an＝1×1/n＝矩形面积＞曲线下面积＝bn。当然前面要证明1＞ln2。■注：仅供有能力的童鞋参考！另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。

26■，★★★爆强简洁公式：向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。记忆方法：在哪投影除以哪个的模

27■，说明一个易错点■■■：若f(x+a）[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)＝-f(-x＋a）〔 等式右边不是-f(-x-a）〕，同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a）＝f（-x+a）牢记！

28■，离心率爆强公式：■■■ e＝sinA/（sinM＋sinN）注：P为椭圆上一点，其中A为角 F1PF2，两腰角为M，N

29■，椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。比如x^2/4＋y^2＝1 求z＝x＋y的最值。解：令x=2cosa y=sina 再利用三角有界即可。比你去▲=0不知道快多少倍！

30■，[仅供有能力的童鞋参考]]爆强公式：和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] ■积化和差sinαsinβ =

[cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/

231■，■■爆强定理：直观图的面积是原图的√2/4倍。

32■，■■三角形垂心爆强定理：1，向量OH＝向量OA＋向量OB＋向量OC（O为三角形外心，H为垂心）2，若三角形的三个顶点都在函数y＝1/x 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

33■，维维安尼定理●（不是很重要(仅供娱乐)），－－正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值，这定值等于该三角形的高。

34■，■■爆强思路：如果出现两根之积x1x2＝m，两根之和x1＋x2＝n，我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数，再利用△大于等于0，可以得到m、n范围。●

35■，■■■常用结论：过(2p，0)的直线交抛物线y^2＝2px 于A、B两点。O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度

36■，■■■爆强公式：ln（x＋1）≤x（x>-1）该式能有效解决不等式的证明问题。举例说明：ln（1/(2^2）+1）＋ln(1/(3^2)＋1）＋…＋ln（1/(n^2)＋1）＜1（n≥ 2）证明如下：令x＝1/(n^2)，根据ln（x+1)≤x有左右累和右边再放缩得：左和＜1-1/n<1证毕！

37■，■■函数y=（sinx）/x是偶函数。在（0，派）上它单调递减，（-派，0）上单调递增。利用上述性质可以比较大小。

38■，■■■函数y＝(lnx)/x在（0，e）上单调递增，在（e，＋无穷）上单调递减。另外y=x^(1/x)与该函数的单调性一致。

39，■■■■■几个数学易错点：1，f`(x)＜0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件；2，在研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称！；3，不等式的运用过程中，千万要考虑“=”号是否取到！4，研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要分项！

40■，■■■■■提高计算能力五步曲：1，扔掉计算器；2，仔细审题（提倡看题慢，解题快），要知道没有看清楚题目，你算多少都没用！；3，熟记常用数据，掌握一些速算技巧；4，加强心算，估算能力；5，[检验]！。

41■，一个美妙的公式…：■■■■爆强！已知三角形中AB＝a，AC＝b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC（即数量积）＝(1/2)[b^2-a^2]强烈推荐！★证明：过O作BC垂线，转化到已知边上

42■，①函数单调性的含义：大多数同学都知道若函数在区间D上单调，则函数

值随着自变量的增大（减小）而增大（减小），但有些意思可能有些人还不是很清楚，若函数在D上单调，则函数必连续（分段函数另当别论）这也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增，因为它的图像被无穷多条渐近线挡住，换而言之，不连续.还有，如果函数在D上单调，则函数在D上y与x一一对应.这个可以用来解一些方程.至于例子不举了.②函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设f（x）为R上的函数，对任意x∈R（1）f（a±x)=f(b±x)T=（b-a）（加绝对值，下同)(2)f（a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)设T≠0，有f（x+T）=M[f（x）]其中M（x）满足M[M(x)]=x,且M（x）≠x则函数的周期为

243■，③奇偶函数概念的推广：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a，b满足时，f（x）为周期函数T=2（b-a)（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a，b满足时，f（x）为周期函数T=2（b-a)

（3）有两个实数a，b满足广义奇偶函数的方程式时，就称f（x）是广义（Ⅱ）型的奇，偶函数.且若f（x）是广义（Ⅱ）型偶函数，那么当f在[a+b/2，∞）上为增函数时，有f（x1）＜f（x2）等价于绝对值x1-（a+b/2）＜绝对值x2-（a+b）/

44■，④函数对称性：（1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（a+b/2，c/2）成中心对称（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=a+b/2成轴对称⑤柯西函数方程：若f（x）连续或单调（1）若f(xy)=f(x)＋f(y)(x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax（2）若f(xy)=f(x)f(y)(x＞0,y＞0),则f(x)=x^u(u由初值给出)（3）f(x＋y)=f(x)f(y)则f（x）=a^x（4）若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax²＋bx（5）若f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax＋b特别的若f（x）+f（y）=f（x+y），则f（x）=kx

45■，与三角形有关的定理或结论中学数学平面几何最基本的图形就是三角形①正切定理（我自己取的，因为不知道名字）：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC②任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在△ABC中a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA③任意三角形内切圆半径r=2S/a+b+c（S为面积），外接圆半径应该都知道了吧④梅涅劳斯定理：设A1,B1，C1分别是△ABC三边BC，CA，AB所在直线的上的点，则A1，B1，C1共线的充要条件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=

144，■■■易错点：1，函数的各类性质综合运用不灵活，比如奇偶性与单调性常用来配合解决抽象函数不等式问题；2，三角函数恒等变换不清楚，诱导公式不迅捷。

45■，■■易错点：3，忽略三角函数中的有界性，三角形中角度的限定，比如一个三角形中，不可能同时出现两个角的正切值为负；4，三角的平移变换不清晰，说明：由y=sinx变成y=sinwx的步骤是将横坐标变成原来的1/∣w∣倍 46，■■易错点：5，数列求和中，常常使用的错位相减总是粗心算错，规避方法：在写第二步时，提出公差，括号内等比数列求和，最后除掉系数；6，数列中常用变形公式不清楚，如：an＝1/[n（n＋2）]的求和保留四项

47，■■易错点：7，数列未考虑a1是否符合根据sn－sn-1求得的通项公式；8，数列并不是简单的全体实数函数，即注意求导研究数列的最值问题过程中是否取到问题

48，■■易错点：9，向量的运算不完全等价于代数运算；10，在求向量的模运

算过程中平方之后，忘记开方。比如这种选择题中常常出现2，√2的答案…，基本就是选√2，选2的就是因为没有开方；11，复数的几何意义不清晰

49■，关于辅助角公式：asint＋bcost＝[√(a^2+b^2)]sin(t+m)其中tanm＝b/a[条件：a>0] 说明：一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。举例说明：sinx＋√3cosx＝2sin(x+m)，因为tanm＝√3，所以m=60度，所以原式＝2sin(x+60度)

第二版：■■1：A、B为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上任意两点。若OA垂直OB，则有1/∣OA∣^2+1/∣OB∣^2=1/a^2+1/b^

2【真题精析】 例1:(2009．河南)1×2×3+2×3X4+3×4×5+…+28×29×30=()

A.188690B.188790C.188890D.188990 [ 答案] B [ 秒杀] 每一项都是三个连续自然数的乘积，则结果一定能被3整除。分析选项，只有B符合。

【真题精析】 例l：(2004．山东)某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？ A．33B 39C．17D．16 [ 答案] D [ 秒杀] 根据题意，答对的题目数十答错的题目数一总题目数50（偶数），故二者之差也应是偶数。分析选项，只有D符合。

【真题精析】 例1：（2006．国考）一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有： A ． 5 个 B ． 6 个 C ． 7 个 D ． 8 个 [ 答案] A [ 秒杀] 周期为4，5，9的最小公倍数9×5×4 =180。由于1000÷180=5------100，而满足条件的最小三位数一定大于100，故共有5个数字。[ 解析] 运用中国剩余定理，计算出最小的符合题意的数字为187，而4，5，6的最小公倍数为180，则 187+180n<1000，有5个数字。

【真题精析】 例1：(2008．江西)A、B、C、D、E这5个小组开展扑克比赛，每两个小组之间都 要比赛一场，到现在为止，A组已经比赛了4场，B组已经比赛3场，C组已经比赛了 2场，D组已经比赛了1场。问E组比了几场？ A．0B．

1C．2D．3 [ 答案] C [ 秒杀] 将五位人的比赛关系用右图表示，因此，选C。[ 解析] 显然A组与B、C、D、E都比赛了一场，则D组只能和A组比赛了一场，B组只能和A、C、E各比赛一场，C组只能和A、B各比赛一场，因此D组只和A、B各比赛一场，答案为C。

第二篇：2018考研数学选择填空解答题解题技巧

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2018考研数学选择填空解答题解题技巧

纵观历年真题，考研数学的题型和分值分布是一样的：选择题8个，每个4分，共32分;填空题6个，每题4分，共24分;解答题9个，共94分。整个试卷满分为150分。建议各位考生，把握好各个题型出题点和答题方法。今天为大家分享一些考研数学题型的答题方法，希望能够帮助大家。

▶选择题

对于选择题来说，只有一个正确选项，其余三个都是干扰项，做题的时候只需给出正确选项的字母即可，不用给出推导过程，选对得满分，选错或者不选均得0分，不倒扣分。在做选择题的时候大家还是有很多方法可选的，常用的方法有：代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话，大家还可以选择猜测法，至少有25%的正确性。选择题属于客观题，答案是唯一的，并且考研数学考试中的多选题也是以单选的形式出现的，最终的答案只有一个，评分是不偏不倚的。选择题的难度一般都是适中的，均为中等难度，没有特别难的，也没有一眼就能看出选项的题目。选择题主要考查的是考生对基本的数学概念、性质的理解，要求考生能进行简单的推理、判断、计算和比较即可。所以选择题对于考生来说，要么依靠扎实的知识得分，要么靠自身的运气得分，这32分要想稳拿需要考生在复习的时候深入思考，不能主观臆想，要思考与动手相结合才行。

▶填空题

填空题的答案也是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答对得满分，答错或者不答得0分，不倒扣分。这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下，也是适中。填空题总共有6个，一般高数4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。

▶解答题

解答题的分值较多，占总分的60%多，类型也较复杂，有计算题、证明题、实际应用题等，并且一般情况下每道大题都会有多种解题方法或者证明思路，有的甚至有初等解法，得分率不容易控制，所以考试在做解答题是尽量用与《考试大纲》中规定的考试内容和考试目标相一致的解题方法和证明方法，每一步的表述要清楚，每题的分值与完成该题所花费的时间以及考核目标是有关系的。综合性较强、推理过程较多、或者应用性的题目，分值较高;基本的计算题、常规性试题和简单的应用题分值较低。解答题属主观题，其答案有时并不唯一，要能看到出题人的考核意图，选择合适的方法解答该题。计算题的正确解答需要靠自己平时对各种题型计算方法的积累及掌握的熟练程度。如二元函数求最值的方法和步骤，曲线积分、曲面积分的计算方法及其与重积分的关系，以及格林公式、高斯公式等，重积分的计算方法及一些特殊结论(如积分区域对称，被积对象具有一定的奇偶性时的情形)等都需要非

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常熟悉。证明题是大多数考生感到无从下手的题目，所以一些简单的证明题在考试中也会得分率极低。证明题考查最多的是中值定理(微分中值定理及积分中值定理)，其次从题型来说就是不等式的证明，方法却比较多，但仍然是有章可寻的。这就需要考生在平时多留意证明题的类型及其证明方法。解答题除考查基本运算外，还考查考生的逻辑推理能力和综合运用能力，这需要考生在复习的过程中不断的加强与提高。

最后，预祝同学们在考研数学的复习过程中如鱼得水!2 页 共 2 页

第三篇：2018年全国各地中考数学真题：四边形(填空+选择40题)-

2018年中考数学真题汇编:四边形(填空+选择40题)

一、选择题

1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

A.B.2 C.D.4 【答案】A

2.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）

A.6

B.7

C.8

D.9 【答案】D

3.下列命题正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分 【答案】D

4.如图，将矩形 则 沿对角线

折叠，点

落在

处，交

于点，已知 ,的度为（）

A.B.C.D.【答案】D 5.如图，在 中，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）

A.B.【答案】C

C.D.6.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）

A.112° B.110° C.108° D.106° 【答案】D

7.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）

A.B.C.D.【答案】C

8.下列命题，其中是真命题的为（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 9.如图，点 若四边形 是正方形 的边 上一点，把，则

绕点 顺时针旋转 到 的位置，的面积为25，的长为（）

A.5 B.【答案】D

C.7 D.10.□ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）

A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF 【答案】B

11.在 中，若

与 的角平分线交于点，则 的形状是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】B

12.如图，E是边CD的中点，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）

A.50° B.40° C.30° D.20° 【答案】B

13.如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D

14.如图，在正方形 下列线段的长等于 中，分别为，的中点，为对角线

上的一个动点，则最小值的是（）

A.B.C.D.【答案】D

15.如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数 原点O，已知点A(1，1)，∠ABC＝60°，则k的值是（）的图像上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标

A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.﹣2 【答案】C

16.如图，直线 都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于

之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）

A.B.C.D.【答案】A

17.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，则该矩形的面积为（）

A.20 B.24 C.D.【答案】B

18.如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设，，若，则（）

A.B.C.D.【答案】A，19.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数 象上，横坐标分别为1，4，对角线

轴．若菱形ABCD的面积为

（，）的图，则k的值为（）

A.B.【答案】D

C.4 D.5

二、填空题

20.一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.【答案】8

21.若正多边形的内角和是 【答案】8

22.等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为________。

【答案】30°或110°

23.如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：，则该正多边形的边数是________．

①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE ③AF：BE=2：3 ④

其中正确的结论有________。（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④

24.如图，B的坐标分别为0）0）若菱形ABCD的顶点A，（3，（-2，点D在y轴上，则点C的坐标是________。

【答案】（－5，4）

25.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是________。

【答案】0或1＜AF＜ 26.如图，在菱形 使 的对应线段 或4

中，经过顶点，当

分别在边 时，上，将四边形 的值为________.沿

翻折，【答案】

27.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________.【答案】3或1.2

28.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 影区域的概率为________.，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴

【答案】，∠EAF=45°，则AF的长29.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= 为________．

【答案】30.设双曲线 支沿射线 点

与直线 的方向平移，使其经过点，交于，两点（点

在第三象限），将双曲线在第一象限的一的方向平移，使其经过，将双曲线在第三象限的一支沿射线，平移后的两条曲线相交于点 两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）的眸径为6时，的值为________.为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线

【答案】 31.如图，在矩形ABCD中，，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是________（结果保留）．

【答案】

与 轴、轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四32.如图，直线

边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．

【答案】

33.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

【答案】或3

34.如图，四边形ACFD是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是________．

【答案】8

35.如图，平行四边形 的周长为________.中，、相交于点，若，则

【答案】14

36.如图，AB=2，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，ME．在菱形ABCD中，∠B是锐角，连结MD，若∠EMD=90°，则cosB的值为________。

【答案】

37.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________。

【答案】3或 38.如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE________.【答案】60°

39.已知，, , , 是反比例函数

图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(阴影部分)，则这四个橄榄形的面积总和是________(用含 的代数式表示)．

【答案】

40.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（－10,0），对角线AC和OB相交于点D且AC·OB=160.若反比例函数y= △OCE

(x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E,则S∶S△OAB=________.【答案】1:5 41.如图，四边形 叠，点 落在点 是矩形，点 处，则点 的坐标为，点 的坐标为，把矩形 沿 折的坐标为________．

【答案】

42如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则 的值是________．

【答案】

中，点

为线段

上的动点，将

沿

折叠，使43.如图，在矩形 点 落在矩形内点 处.下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）

①当 ②当 ③当 ④当 为线段 为线段 中点时，中点时，； ；

；.三点共线时，三点共线时，【答案】①③④

44..如图，以 为直径的、的圆心

到直线 的距离，、的半径，则四边形 ,，直线

不垂直于直线，过点 值为________.分别作直线 的垂线，垂足分别为点 的面积的最大

【答案】12

第四篇：全国各地2018年中考数学真题 四边形(填空+选择40题)

四边形(填空+选择40题)

一、选择题

1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A.6 B.7 C.8 D.9 2.下列命题正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直平分

B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等

D.正方形的对角线互相垂直平分 3.如图，将矩形 则 沿对角线

折叠，点 落在 处，交

于点，已知 ,的度为（）

A.B.C.D.4.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

A.B.2

C.中，D.4，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）5.如图，在

A.B.C.D.6.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）

A.B.C.D.7.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）

A.112°

B.110°

C.108°

D.106° 8.下列命题，其中是真命题的为（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形

D.一组邻边相等的矩形是正方形 9.如图，点 是正方形 若四边形 的边

上一点，把，则

绕点 顺时针旋转

到 的位置，的面积为25，的长为（）

A.5

B.C.7

D.10.□ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）

A.BE=DF

B.AE=CF C.AF//CE

D.∠BAE=∠DCF 11.在 中，若

与 的角平分线交于点，则 的形状是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不能确定

12.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）

A.50° B.40° C.30° D.20°

13.如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个 14.如图，在正方形 下列线段的长等于 中，分别为 最小值的是（），的中点，为对角线

上的一个动点，则

A.B.C.D.的图像上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标15.如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数

原点O，已知点A(1，1)，∠ABC＝60°，则k的值是（）

A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.﹣2 16.如图，直线 都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于 之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）

A.B.C.D.17.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，则该矩形的面积为（）

A.20 B.24

C.D.，，18.如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设，若，则（）

A.C.B.D.19.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数 象上，横坐标分别为1，4，对角线

轴．若菱形ABCD的面积为

（，）的图，则k的值为（）

A.B.C.4

D.5

二、填空题

20.一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.21.若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是________．

22.等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为________。

23.如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE ③AF：BE=2：3

④

其中正确的结论有________。（填写所有正确结论的序号）

24.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0）点D在y轴上，则点C的坐标是________。

25.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是________。

26.如图，在菱形 使 的对应线段 中，分别在边 时，上，将四边形 的值为________.沿 翻折，经过顶点，当

27.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________.28.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 阴影区域的概率为________.，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在

29.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= 为________．，∠EAF=45°，则AF的长

30.设双曲线 一支沿射线 与直线 交于，两点（点 在第三象限），将双曲线在第一象限的的方向平移，使其经的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线

过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线 的眸径为6时，的值为________.31.如图，在矩形ABCD中，，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是________（结果保留）．

32.如图，直线 与 轴、轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．

33.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

34.如图，四边形ACFD是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是________．

35.如图，平行四边形 的周长为________.中，、相交于点，若，则

36.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为________。

37.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________。

38.如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE________.39.如图，在矩形 中，点 为线段 上的动点，将 沿 折叠，使点 落在矩形内点 处.下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）

①当 为线段 ②当 为线段 ③当 ④当 中点时，中点时，； ；

；.三点共线时，三点共线时，40.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（－10,0），对角线AC和OB相交于点D且AC·OB=160.若反比例函数y=(x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E,则S△OCE∶S△OAB=________.41.如图，四边形 是矩形，点 的坐标为，点 的坐标为，把矩形 沿 折叠，点 落在点 处，则点 的坐标为________．

42.如图，以 为直径的 的圆心 到直线 的距离，的半径 ,，直线 不垂直于直线，过点、分别作直线 的垂线，垂足分别为点、，则四边形 值为________.的面积的最大

43.如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则 的值是________．

44.已知，, , , 是反比例函数 图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(阴影部分)，则这四个橄榄形的面积总和是________(用含 的代数式表示)．

中考数学真题汇编:轴对称变换

一、选择题

1.下列图形中是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.【答案】D 2.下列图形中一定是轴对称图形的是（）

A.B.C.D.【答案】D 3.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.【答案】B 4.如图，将一个三角形纸片

沿过点 的直线折叠，使点 落在

边上的点 处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）

A.【答案】D B.C.D.5.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）

A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条 【答案】C 6.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）

A.112° B.110°

C.108°

D.106° 【答案】D

7.如图，将矩形 则 沿对角线 折叠，点 落在 处，交 于点，已知 ,的度为（）

A.B.C.D.【答案】D 8.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= 则△PMN周长的最小值是（），若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，A.B.C.6

D.3 【答案】D 9.如图，在正方形 列线段的长等于 中，分别为 最小值的是（），的中点，为对角线

上的一个动点，则下

A.B.C.D.【答案】D 10.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）

A.B.C.D.【答案】A

二、填空题 11.已知点 是直线 为________.【答案】（，）

12.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________． 【答案】 13.如图，在菱形 使 的对应线段 中，分别在边 时，上，将四边形 的值为________.沿

翻折，上一点，其横坐标为

.若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标经过顶点，当

【答案】

14.在平面直角坐标系中，点 的坐标是

.作点 关于 轴的对称点，得到点，再将点 向下平移 个单位，得到点，则点 的坐标是（________），（________）.【答案】；

15.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

【答案】或3，得到 16.如图，把三角形纸片折叠，使点、点 都与点 重合，折痕分别为，若

厘米，则 的边 的长为________厘米.【答案】

中，点 为线段

上的动点，将

沿

折叠，使17.如图，在矩形

点 落在矩形内点 处.下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）

①当 为线段 ②当 为线段 ③当 ④当 中点时，中点时，； ；

；.三点共线时，三点共线时，【答案】①③④

18.如图，四边形 是矩形，点 的坐标为，点 的坐标为，把矩形 沿 折叠，点 落在点 处，则点 的坐标为________．

【答案】

三、解答题

19.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。连接MN。

（1）求直线BC的解析式；

（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。【答案】（1）解：设直线BC解析式为：y=kx+b，∵B（0，4），C（-3，0），∴，解得：

∴直线BC解析式为：y= x+4.（2）解：依题可得：AM=AN=t，∵△AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合，∴四边形AMDN为菱形，作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3,OB=4，∴AB=5, ∴M（3-t，0），又∵△ANF∽△ABO，∴ = = , ∴ = = , ∴AF= t，NF= t，∴N（3-t，t），∴O′（3-t, t），设D（x,y）, ∴ =3-t，= t，∴x=3-t,y= t，∴D（3-t，t），又∵D在直线BC上，∴ ×（3-t）+4= t，∴t=，∴D（-，）.（3）①当0

∵AM=AN=t，AB=BC=5，∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t，又∵△CNF∽△CBO，∴ ∴ = = , , ∴NF=（10-t），∴S=-= ·AC·OB-·CM·NF，= ×6×4-×（6-t）×（10-t），=-t + t-12.20.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：

（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； ②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；

（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.【答案】（1）解：如图所示，C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）

（2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2），∴直线l的函数解析式：y=-x.21.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设

BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；

（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.【答案】（1）解：由折叠性质可知：BE=ME=x，∵正方形ABCD边长为1 ∴AE=1-x，在Rt△AME中，∴AE2+AM2=ME2，即（1-x）+ 解得：x=.（2）解：△PDM的周长不会发生变化，且为定值2.连接BM、BP，过点B作BH⊥MN，2=x，2

∵BE=ME，∴∠EBM=∠EMB，又∵∠EBC=∠EMN=90°，即∠EBM+∠MBC=∠EMB+∠BMN=90°，∴∠MBC=∠BMN，又∵正方形ABCD，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠AMB=∠MBC=∠BMN，在Rt△ABM和Rt△HBM中，∵ , ∴Rt△ABM≌Rt△HBM（AAS），∴AM=HM，AB=HB=BC，在Rt△BHP和Rt△BCP中，∵ , ∴Rt△BHP≌Rt△BCP（HL），∴HP=CP，又∵C△PDM=MD+DP+MP，=MD+DP+MH+HP，=MD+DP+AM+PC，=AD+DC，=2.∴△PDM的周长不会发生变化，且为定值2.（3）解：过F作FQ⊥AB，连接BM，由折叠性质可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，∴∠EBM+∠BEF=∠EMB+∠MEF=∠QFE+∠BEF=90°,∴∠EBM=∠EMB=∠QFE，在Rt△ABM和Rt△QFE中，∵ , ∴Rt△ABM≌Rt△QFE（ASA），∴AM=QE，设AM长为a，在Rt△AEM中，∴AE2+AM2=EM2, 即（1-x）2+a2=x2, ∴AM=QE= ∴BQ=CF=x-,，∴S=（CF+BE）×BC，=（x-

=（2x-又∵（1-x）2+a2=x2, ∴x= =AM=BE，BQ=CF=-a+ 2+x）×1，），-a，∴S=（）×1，=（a-a+1），=（a-）2+，∵0

（1）求证：（2）若点 是 是 的切线；，求图中阴影部分的面积； 边上的动点，当

取最小值时，直接写出 的长.的中点，（3）在（2）的条件下，点 是

【答案】（1）解：过 作 垂线，垂足为

∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平分，为⊙ 的半径，为⊙ 的半径，是⊙ 的切线

且 是，即 的对称点，交

于，连接

交

于，的中点（2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴

（3）解：作 关于 此时 由（2）知 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∽，即，最小，，∵ ∴ ∴ 即

，23.对给定的一张矩形纸片 进行如下操作：先沿 折叠，使点 落在 边上(如图①)，再沿

折叠，这时发现点 恰好与点 重合(如图②).（1）根据以上操作和发现，求 的值；

重合，折痕与

相交于点，再（2）将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点 与点 将该矩形纸片展开，求证：

.②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的 点，要求只有一条折痕，且点 在折痕上，请简要说明折叠方法.(不需说明理由)【答案】（1）解：根据题意可知AD=BC=BE∴ ∵再沿 ∴CE=CD= ∴ 折叠，这时发现点 恰好与点 重合(如图②)

（2）①如图2，设CB=AD=BE=a，则CE=CD=AB= ∴AE=

根据折叠的性质可知:AE=DM= 设AH=x=HM，则HD=a-x ∴ 解之：

设AP＝y，则BP＝ ∴，AH=HM，∠M=90°

a﹣y，因为翻折PH＝PC，即PH2＝PC2，解得y＝a，即AP＝BC，在Rt△AHP和Rt△BCP中 PH=PC，AP=BC ∴Rt△AHP≌Rt△BCP（HL）∴∠APH=∠BCP ∵∠BCP+∠BPC=90° ∴∠APH+∠BPC=90°

∴∠HPC=180°-（∠APH+∠BPC）=180°-90°=90°

②沿着过点D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB交于点P．