第一篇:高等数学易错问题总结
关于大学数学遇到的一些疑难问题解析
1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数?
答:当函数在x=a处右连续的情况下结论成立,用洛必达罗比达法则,根据导数的定义分子分母分别求导,就可以得到正确的结论,在一个分段点(该点是函数的第一类间断点,右间断)两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例,如y=2x+1(x<=1),y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同?
答:对于离散型随机变量成立,对于连续型随机变量最好不要下这样的结论,因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性,把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算,被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方,所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E(Z),也可用此方法显得简便,被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x,下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。为什么有第一类间断点的函数不存在原函数?并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。
答:用反证法,假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值,又因为F(x)处处可导,所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数= F(x)的导函数
在x=a处的函数值,换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值,(因为F(x)连续,所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限),这样f(x)在x=a处连续,与题设条件矛盾,所以原命题正确。
考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0, f(x)=0当x=0时,当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在,所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x)x不等于0,F(x)= 0当x=0时。对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分?
答:这是要把思路拓宽,想一想一张平面除四个象限,两根轴以外,还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素,这时就可以设参数t=y-ax(截距式参数)t=y除x(斜率式参数),根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围,从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限,再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内,就化为一个简单的关于t的定积分。
从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种,一是我们书本里经常看到的直角坐标,二是极坐标即r与角度(逆时针方向增大)的关系,第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。关于复合函数连续与可导的问题
答:对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在,y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续,则极限符号可以提到括号里面去,如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导,u=f(x)在x=a处不可导,则y=g(f(x)))在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导,u=f(x)在x=a处不可导,则y=g(f(x)))在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+(x的绝对值),外函数为y=g(u)=u+(u的绝对值),虽然u=f(x)在x=0处不可导,y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。可积一定有界,但反过来不一定成立,举个反例
答:狄利克雷函数,因为此函数当x趋于有理数时极限等于1,趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数,所以该函数有无穷多个第一类间断点,与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。如果一个函数在一个点x0处可导,能不能推出它在x0的某一领域内可导?
答:不能,反例,f(x)=x平方,当x为无理数。f(x)=0,当x为有理数,先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时,导数为x平方除x,为x。又x=0,所以导数为0。当函数从有理数趋于0时,导数为0除x,为0。所以函数在0处可导。当x不为0处(设为x0处)的导数,分两种情况,一是在有理数处的导数,当函数从无理数趋于x0时,导数为x平方除x,为x,当函数从有理数趋于x0时,导数为0除x,为0,不相等所以不可导。二是在无理数处的导数,当函数从无理数趋于x0时,导数为0除x,为0,当函数从有理数趋于x0时,导数为负x平方除x,为负x,不相等所以不可导。如何求两条异面直线的公垂线?
答:思路一:根据给出的两条空间直线L1与L2的方程(可以是一般方程或是对称方程),求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1}, S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3},然后取包含S3的第一个平面上的一点(x,y,z)(任意一个未知的代数点)与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4, S1, S3三向量共面,混合积等于0,列出一个行列式,把它化为一个平面的一般方程。同理取包含S3第二个平面上的一点(x,y,z)(任意一个未知的代数点)与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5, S2, S3三向量共面,混合积等于0,列出一个行列式,把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程,就得到了公垂线的一般方程。思路二:设两个参数t与m, t为起始点的参数,m为步长参数,把L1先化为对称式方程,并设它等于t,然后写出x=x(t),y=y(t),z=z(t),再在L1上取一起始点A{ x(t), y(t), z(t)}
然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c},(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m,,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终
点为
B{ x(t)-am, y(t)-bm, z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去,便可求出参数t与m的值,这样便可求出公垂线的方程。注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别
分析:前者是无穷限积分,把函数与x分之一的p次方做比较,当p>1时,由审敛公式极限等于0或常数时,积分收敛。当p<=1时, 由审敛公式极限等于常数或无穷大时,积分发散。后者是在x=a处的被积函数为无界的积分,把函数与(x-a)分之一的p次方做比较,当p<1时, 由审敛公式极限等于常数或0时,积分收敛。当p>=1时,由审敛公式极限等于无穷大或常数时,积分发散。需要注意的是此时a=0,(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方,所以此处很容易出错,最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界,有界属于前者,无界属于后者。审敛时p的取值范围正好相反。证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序,且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。
证明:根据数学归纳法,设一个排列为k阶排列,先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当k=1时,结论显然成立。假设当k=n-1时结论也成立,即j1j2到
Jn-1可以变成123到n-1。则对于k=n,当jn=n时,结论显然成立。当jn不等于n时,则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换,接下来的对换方法如同jn=n时,因为一个n阶排列可变为自然排列,所以自然排列也可以变为这个n阶排列,且变换次数相同,又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列,经过偶数次对换变成偶排列,所以命题得证。隐函数求导的三大法则
一 等式两边对x求导
二 利用隐函数求导公式
三 等式两边取全微分关于二重积分的保向性的理解
分析:因为积分区间相同,被积函数有大小比较关系,所以把两个积分相减,得到的式子大于零,就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体,它在xoy面上方大于零,在xoy面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大)Yn=0?
答:不能,设数列{Xn}为0,1,0,2,0,3,0,4一直下去,其通项为1加上1的n次方的和除以二再乘以n。设数列{Yn}为1,0,2,0,3,0,4,0一直下去,其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变,但收敛域的变化有什么规律?
答:设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2,幂级数逐项积分的收敛域为I3,则I1< I2< I3,即幂级数逐项求导在端点(此处端点可分单侧和双侧两种,各针对这两种情况)处收敛,则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛,幂级数逐项积分在端点处发散,那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛,那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散,幂级数逐项求导在端点处发散,那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗?
答:不是,前者是要满足三个条件的后者,一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值,二
是余项的极限要为零,三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。16注意divrotgrad的对象与结果
分析:div是指散度,是把一个场A的分量PQR分别对x,y,z求偏导,然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式,即先对空间一个场A,求出divA对它在作用区域(注意该区域一定是体积封闭的)内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量,即把该点处的曲面微元向量化,变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场A的向量(PQR)与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量,是一个数。Div的对象是一个三维向量,divA的结果是一个三元函数,代入具体某一点时表一个数。
Rot表示旋度,对象是一个三维向量,把场A的向量(PQR),rotA为向量(R对y求偏导-Q对z求偏导,P对z求偏导-R对x求偏导, Q对x求偏导-P对y求偏导),结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式,即对于一个曲面(不封闭),用rotA点乘(dydz, dxdz,dxdy)再在这个曲面上取第二类曲面积分等于向量(PQR)绕底部空间曲线(一定是封闭的)的曲线积分,注意曲线的绕向与所取曲面的侧的法向量必须满足右手定则,如不满足,在结果前加一个负号,结果是一个数,表示环流量。
要注意用高斯公式和斯托克斯公式,前者在封闭曲面,后者在封闭曲面内向量(PQR)必须有连续一阶偏导数,即PQR在积分区域内连续,且处处可偏导,无奇点。有奇点对于高斯公式要画一个包括奇点的单位球,要求曲面外侧,则结果为球面内侧通量,要求曲面内侧,则结果为球面外侧通量。注意球面外侧通量与球面内侧通量互为相反数。同理高斯公式对于二维的就是格林公式,逆时针封闭曲线积分与顺时针封闭曲线积分互为相反数。
Grad表示梯度,对象为二元函数或三元函数。f(x,y)分别对x,y求偏导,f(x,y,z)分别对x,y,z求偏导。Grad的结果是一个三维向量。主要用于画等值线,等高线。正梯度方向是函数值上升最快的方向,负梯度方向是函数值下降最快的方向,垂直于梯度的方向,即等值线和等高线的切线方向,函数值保持不变。
第二篇:高等数学易错问题总结
关于大学数学遇到的一些疑难问题解析
1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数?
答:当函数在x=a处右连续的情况下结论成立,用洛必达罗比达法则,根据导数的定义分子分母分别求导,就可以得到正确的结论,在一个分段点(该点是函数的第一类间断点,右间断)两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例,如y=2x+1(x<=1),y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同?
答:对于离散型随机变量成立,对于连续型随机变量最好不要下这样的结论,因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性,把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算,被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方,所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E(Z),也可用此方法显得简便,被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x,下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。为什么有第一类间断点的函数不存在原函数?并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。
答:用反证法,假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值,又因为F(x)处处可导,所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值,换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值,(因为F(x)连续,所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限),这样f(x)在x=a处连续,与题设条件矛盾,所以原命题正确。
考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0, f(x)=0当x=0时,当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在,所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x)x不等于0,F(x)= 0当x=0时。对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分?
答:这是要把思路拓宽,想一想一张平面除四个象限,两根轴以外,还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素,这时就可以设参数t=y-ax(截距式参数)t=y除x(斜率式参数),根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围,从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限,再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内,就化为一个简单的关于t的定积分。
从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种,一是我们书本里经常看到的直角坐标,二是极坐标即r与角度(逆时针方向增大)的关系,第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。关于复合函数连续与可导的问题
答:对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在,y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续,则极限符号可以提到括号里面去,如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导,u=f(x)在x=a处不可导,则y=g(f(x)))在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导,u=f(x)在x=a处不可导,则y=g(f(x)))在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+(x的绝对值),外函数为y=g(u)=u+(u的绝对值),虽然u=f(x)在x=0处不可导,y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。可积一定有界,但反过来不一定成立,举个反例 答:狄利克雷函数,因为此函数当x趋于有理数时极限等于1,趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数,所以该函数有无穷多个第一类间断点,与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。如果一个函数在一个点x0处可导,能不能推出它在x0的某一领域内可导? 答:不能,反例,f(x)=x平方,当x为无理数。f(x)=0,当x为有理数,先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时,导数为x平方除x,为x。又x=0,所以导数为0。当函数从有理数趋于0时,导数为0除x,为0。所以函数在0处可导。当x不为0处(设为x0处)的导数,分两种情况,一是在有理数处的导数,当函数从无理数趋于x0时,导数为x平方除x,为x,当函数从有理数趋于x0时,导数为0除x,为0,不相等所以不可导。二是在无理数处的导数,当函数从无理数趋于x0时,导数为0除x,为0,当函数从有理数趋于x0时,导数为负x平方除x,为负x,不相等所以不可导。如何求两条异面直线的公垂线?
答:思路一:根据给出的两条空间直线L1与L2的方程(可以是一般方程或是对称方程),求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1}, S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3},然后取包含S3的第一个平面上的一点(x,y,z)(任意一个未知的代数点)与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4, S1, S3三向量共面,混合积等于0,列出一个行列式,把它化为一个平面的一般方程。同理取包含S3第二个平面上的一点(x,y,z)(任意一个未知的代数点)与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5, S2, S3三向量共面,混合积等于0,列出一个行列式,把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程,就得到了公垂线的一般方程。思路二:设两个参数t与m, t为起始点的参数,m为步长参数,把L1先化为对称式方程,并设它等于t,然后写出x=x(t),y=y(t),z=z(t),再在L1上取一起始点A{ x(t), y(t), z(t)} 然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c},(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m,,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终点为
B{ x(t)-am, y(t)-bm, z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去,便可求出参数t与m的值,这样便可求出公垂线的方程。注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别
分析:前者是无穷限积分,把函数与x分之一的p次方做比较,当p>1时,由审敛公式极限等于0或常数时,积分收敛。当p<=1时, 由审敛公式极限等于常数或无穷大时,积分发散。后者是在x=a处的被积函数为无界的积分,把函数与(x-a)分之一的p次方做比较,当p<1时, 由审敛公式极限等于常数或0时,积分收敛。当p>=1时,由审敛公式极限等于无穷大或常数时,积分发散。需要注意的是此时a=0,(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方,所以此处很容易出错,最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界,有界属于前者,无界属于后者。审敛时p的取值范围正好相反。证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序,且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。
证明:根据数学归纳法,设一个排列为k阶排列,先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当k=1时,结论显然成立。假设当k=n-1时结论也成立,即j1j2到
Jn-1可以变成123到n-1。则对于k=n,当jn=n时,结论显然成立。当jn不等于n时,则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换,接下来的对换方法如同jn=n时,因为一个n阶排列可变为自然排列,所以自然排列也可以变为这个n阶排列,且变换次数相同,又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列,经过偶数次对换变成偶排列,所以命题得证。隐函数求导的三大法则 一 等式两边对x求导 二 利用隐函数求导公式 三 等式两边取全微分 关于二重积分的保向性的理解
分析:因为积分区间相同,被积函数有大小比较关系,所以把两个积分相减,得到的式子大于零,就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体,它在xoy面上方大于零,在xoy面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大)Yn=0?
答:不能,设数列{Xn}为0,1,0,2,0,3,0,4一直下去,其通项为1加上1的n次方的和除以二再乘以n。设数列{Yn}为1,0,2,0,3,0,4,0一直下去,其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变,但收敛域的变化有什么规律? 答:设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2,幂级数逐项积分的收敛域为I3,则I1< I2< I3,即幂级数逐项求导在端点(此处端点可分单侧和双侧两种,各针对这两种情况)处收敛,则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛,幂级数逐项积分在端点处发散,那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛,那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散,幂级数逐项求导在端点处发散,那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗? 答:不是,前者是要满足三个条件的后者,一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值,二是余项的极限要为零,三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。
注意div rot grad 的对象与结果
分析:div是指散度,是把一个场A的分量P Q R分别对x,y,z求偏导,然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式,即先对空间一个场A,求出divA对它在作用区域(注意该区域一定是体积封闭的)内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量,即把该点处的曲面微元向量化,变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场A的向量(P Q R)与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量,是一个数。Div的对象是一个三维向量,divA的结果是一个三元函数,代入具体某一点时表一个数。
Rot表示旋度,对象是一个三维向量,把场A的向量(P Q R),rotA为向量(R对y求偏导-Q对z求偏导,P对z求偏导-R对x求偏导, Q对x求偏导-P对y求偏导),结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式,即对于一个曲面(不封闭),用rotA点乘(dydz, dxdz,dxdy)再在这个曲面上取第二类曲面积分等于向量(P Q R)绕底部空间曲线(一定是封闭的)的曲线积分,注意曲线的绕向与所取曲面的侧的法向量必须满足右手定则,如不满足,在结果前加一个负号,结果是一个数,表示环流量。
要注意用高斯公式和斯托克斯公式,前者在封闭曲面,后者在封闭曲面内向量(P Q R)必须有连续一阶偏导数,即P Q R在积分区域内连续,且处处可偏导,无奇点。有奇点对于高斯公式要画一个包括奇点的单位球,要求曲面外侧,则结果为球面内侧通量,要求曲面内侧,则结果为球面外侧通量。注意球面外侧通量与球面内侧通量互为相反数。同理高斯公式对于二维的就是格林公式,逆时针封闭曲线积分与顺时针封闭曲线积分互为相反数。
Grad表示梯度,对象为二元函数或三元函数。f(x,y)分别对x,y求偏导,f(x,y,z)分别对x,y,z求偏导。Grad的结果是一个三维向量。主要用于画等值线,等高线。正梯度方向是函数值上升最快的方向,负梯度方向是函数值下降最快的方向,垂直于梯度的方向,即等值线和等高线的切线方向,函数值保持不变。
第三篇:城建税教育费附加易错问题总结
城建税教育费附加易错问题总结
1.实际交纳的三税为计说依据。凡是涉及到三税的,除了两个特殊情况外,即(1)机关服务取得的收入免征(2)进口不征以外,其他全部要征收。征收中涉及到一个减半征收,即生产卷烟的单位交纳教育费附加减半征收。
2.进口不征,出口不退问题。进口涉及到三税的,不用交纳城建,内销环节涉及到三税的,其中增值税不考虑进口环节增值税抵扣,即用内销实际应纳增值税额来计算城建。(尚在讨论)
3.三个税率的问题。城建市区为7%,县城镇为5%,其他为1%。其中教育费附加只有一个税率3%
4.税率确定问题。以交纳或代收代缴三税的纳税人的地区确认税率。委托加工时,除受托人为个体经营者外,代收代缴消费税,则消费税的城建按照受托人所在地确定税率。这里注意,凡是涉及到代缴三税情形的,就要以代缴人的地区确定税率了,很容易忽视的一个地方!
5.退城建问题。出口城建不退,但涉及到减免退税的,城建可以相应退回。这里要注意,减免部分的三税来计算减免退回的城建。
6.罚城建问题。这是本章的重难点,涉及到税务部门要求查补三税的,城建应相应查补,由于查补而交纳的罚款,滞纳金应将城建计算进去,而税务部门追收的罚款和滞纳金不得计算城建。这里注意查补和追收的区别,另外是容易出客观计算题的地方。千万要注意计算哪些该计算城建,那些不该计算。而且要注意计算滞纳金天数,题目一般不会告诉滞纳金的比例,一般为每日0.05%。
例:税务部门2004年3月1日查获某县城A企业上月尚未交纳增值税100万,消费税50万。税务机关要求企业补缴税款并征收滞纳金和2倍罚款(滞纳金按天数计算),计算企业应补交税款合计。(假设税务部门将教育费附加也要求计入)
解答:上月3月10日为交纳税款最后期限,按11日算起,企业滞纳天数为22天。应补交税款(100×3+50×3)×[1+(5%+3%)]
第四篇:初中化学易错知识点总结
初中化学易错知识点总结
一、中考化学:初中化学各阶段易错知识点
1.明明冰和水混合了,偏说它是纯净物。
这是关于混合物与纯净物的概念。纯净物:由一种物质组成是纯净物;混合物:由多种物质组成的是混合物。冰和水的混合物,虽然看上去是两种物质,但是水——冰之间的变化是物理变化,不是化学变化。因此在化学上,冰水混合物还是纯净物。
2.明明只含是一种元素,偏说它是混合物。
与第一题相反,有时候由同一种元素沟成的物质,反而是混合物,例如:还有石墨和金刚石(均由碳元素构成)、红磷和白磷,等等。
3.明明讲的是原子核由质子和中子构成,非说氢原子核不含中子。
原子由原子核构成,原子核由质子和中子构成,这是正确的。
但是有例外,元素周期表中的第1号元素、也是最轻的元素——氢原子的三种同位素中,有一种不含有中子。
4.明明一瓶水是无色透明的,还说它不一定是纯净物。
是否是纯净物,判断的依据是看其中是含有一种物质、还是多种物质。生活中的水中含有大量金属离子例如镁盐、钙盐、钠离子、钾离子等等,当然属于混合物。有色无色,是否透明,不作为判断纯净物的标志。
5.明明说燃烧是可燃物跟氧发生的反应,又说没有氧气也行。
燃烧,通常情况下是可燃物与空气或氧气发生的反应。后来扩充了定义为:燃烧是发光、光热的剧烈的化学反应,所以有些可燃物也可以在氯气、氮气中燃烧,没有氧气也行。
6.明明说爆炸是在有限空间内急速燃烧造成的,却说锅炉爆炸不是化学变化。
锅炉爆炸,包括物理变化和化学变化。锅炉中的可燃物质爆炸,属于化学变化;锅炉本身的金属破碎,是物理变化。
7.明明合金“合”的是金属,却说铁和碳也能形成合金。
合金,是一种金属与其他物质熔化在一起形成的混合物。铜和金属锡能形成合金(青铜),铁和非金属也能形成合金(钢)。
8.明明说二氧化碳可以灭火,又说镁着火不能用它来灭。
我们知道二氧化碳的化学性质:不能燃烧,也不支持燃烧。这是一般情形,一些活泼金属可以在二氧化碳、氮气这样的惰性气体中燃烧,比如Mg就可以在CO2中燃烧,生成氧化镁和单质碳。
9.明明写的是“铅笔”,非说它不是用铅做的。
铅笔是习惯用的名字,中文名字,与金属铅不搭界。
10.明明催化剂的“催”字是加快的意思,却说减慢也算。
催化剂,开始的时候指的是“加快反应速率的物质”,但是后来科学进步了,发现减慢反应速率也是一门很深的学问,就把前者叫做正“催化剂”,后者叫做负“催化剂”,通称还是催化剂。例如核反应的时候就需要减慢反应速率,需要负催化剂(重水)。类似地,经济上也不说减慢增速,而叫做负增长;管理上也不叫惩罚,叫做负激励。
11.明明说是水银,可是偏偏说水银不是银。
水银是汞元素(Hg)的中文习惯称呼,水一样的银,与银不搭界。
12.明明铁生锈不发热,非说它产生了热。
铁生锈,是反应速率非常慢的化学反应,它发热了你也不会感觉到。
13.明明一种溶液能使石蕊试液变蓝,非说它不一定是碱溶液。
根据酸碱性的定义:能够使石蕊溶液变蓝的是碱性溶液,而不一定是碱溶液。最有代表性的是一些钠盐、钾盐、铵盐等,例如醋酸钠、碳酸氢铵等等。
14.明明是同种溶质的饱和溶液和不饱和溶液,还说不饱和溶液可能更浓。
溶液的溶解度,与温度有密切关系,见教材上的溶解度曲线。以硝酸钾为例,20°时候的饱和溶液中,溶质的溶解度大约30克,溶液的质量分数大约
23%。而在更高温度、例如50°时候的饱和溶液中,溶质的溶解度可以达到90克,溶液的质量分数可以达到
41%。即便不饱和,50°的硝酸钾溶液也可能比20°时候的溶液更浓一些。
15.明明是50毫升水与50毫升酒精倒在一起,非说不到100毫升。
两种液体混合,分子之间会互相“填空”,大小搭配,因此体积可以减小。
16.明明白金更宝贵,还说白金丝毫不含金。
白金,是铂元素(Pt)的俗称,中文意思是“白色的金子”,像金子,当然不含金。
17.明明大家都叫“银粉”,非说它不是银做的。
银粉,是形象的说法,银子一样的粉,是铅粉和铝粉的混合物,与银不搭界。金粉也是如此,是研细的铜粉,同样不含金。
18.明明纯碱就是碱不应怀疑了,偏说纯碱它是盐。
纯碱,是碳酸钠的俗名,是生活中的习惯用法。说它是盐,是从化学结构上讲,由金属离子和酸根组成的是盐,碳酸钠是盐。
19.明明说分子由原子构成,又说分子不一定比原子大。
分子由原子构成,这是正确的。但是世界上有
114
种元素、几百种原子,最大的原子是钫原子(Fr,半径1.53A),最小的分子是氢分子(H2,半径1.15A)。二者的比较示意图如下。
20.明明KClO3中含氧元素,却说它不是氧化物。
这是源自于“氧化物”的定义:由两种元素组成、其中一种是氧的化合物叫做氧化物。KClO3由三种元素组成,当然不属于氧化物了。
21.明明书上写着盐是由金属离子和酸根离子组成的,又说硝酸铵也是盐。
盐是由金属离子和酸根离子组成的,正确。但是,铵根离子和钠离子有很多相似之处。结构上,铵根离子和钠离子都是一价的阳离子,都含有11个质子、10个电子;化学性质上,钠离子和铵根离子的很多盐都具有良好的可溶性。因此,常常把铵根离子看成是金属离子。铵盐例如硝酸铵、硫酸铵、碳酸氢铵、氯化铵等等都算作是盐。
22.明明饱和食盐水已经饱和了,却说它还能溶解硝酸钾。
溶液是否饱和,指的是在特定温度下、针对特定的溶质,不可再溶解了为饱和溶液。因此,食盐水饱和了,还可以溶解硝酸钾,即使食盐和硝酸钾都饱和了,还可以溶解碳酸钠……等等。
23.明明瓶内只含一种元素,还说它不一定是纯净物
还是纯净物的概念,只含同一种物质是纯净物。例如氧气和臭氧的混合物,虽然都只含同一种元素,但是含有两种物质,因此不符合纯净物的定义。
24.明明说含碳的化合物是有机物,可是CO、SiC、碳酸盐等等还算是无机物。
有机物的定义:含碳的化合物。有机物的性质:有机物一般熔点较低,受热易分解、容易燃烧,反应比较缓慢,并常伴有副反应发生。
含碳的简单分子(CO、CO2、SiC、碳酸盐等等),或者受热不分解,或者不容易燃烧,参加化学反应都很快,副反应很少,所以不像有机物,就算无机物了。
25.明明5克溶质在95克水中全溶解了,还说溶质质量分数不一定是5%。
质量分数的定义:是溶质占溶液的百分比。
如果5克溶质A
在95克水中溶解了,而水中原来还有其他溶质,A溶质的质量分数就小于5%。
只有在只有
A溶质和水存在、溶解后没有气体生成并放出的时候,A的质量分数就是5%。
二、易错点练习
(下面的说法都有错,一定要注意,红色部分就是错误的)
1.氧气可以燃烧,具有可燃性。
2.物质跟氧气发生的化学反应叫氧化反应。
3.氮气占空气78%,故100g空气中氮气的质量为78g。
4.我们吸入的气体是氧气,呼出的气体是二氧化碳。
5.蜡烛燃烧的实验现象是有水和二氧化碳的生成。
6.红磷或白磷燃烧时生成大量白雾。
7.催化剂都能加快其他物质的化学反应。
8.灭火的方法之一是降低物质的着火点。
9.在双氧水分解反应中只有二氧化锰才能作为反应的催化剂。
10.冰水共存物是混合物,因为冰和水是两种不同的物质。
11.含一种元素的物质一定是单质。
12.原子构成分子,所以分子一定比原子大。
13.物质的膨胀现象说明,分子的体积可以变大。
14.任何原子核都含有质子和中子。
15.n个氧原子可表示为On。
16.水是由氢氧两种元素组成的,也是由氢氧两种原子构成。
17.水是取之不尽,用之不竭的。
18.所谓硬水就是硬度大的水。
19.矿泉水是纯净物,长期饮用对人体有益。
20.某元素在同一种化合物中,只显一种化合价。
21.反应前物质的质量总和等于反应后生成物的质量总和,这个规律叫质量守恒定律。
22.agA物质跟bgB物质充分反应,生成物的总质量为(a+b)g。
23.根据质量守恒定律,8g酒精和8g水互溶之后总质量为16g。
24.镁在空气中燃烧产生明显的白色烟雾。
25.二氧化碳能使紫色石蕊试液变红色。
26.燃着的木条伸入集气瓶,火焰熄灭,可推知瓶中的气体是二氧化碳。
27.可用硫酸溶液清洗附有碳酸钙的玻璃仪器。
28.Na2CO3、NaHCO3、NH4HCO3等物质都含有碳元素,属于有机化合物。
29.任何化学式的书写,正价部分(元素或原子团)一定写前面,负价则放在后头。
30.在化合物中氧元素一般显-2价,故在H2O2中氧元素也显-2价。
31.涂改液中含有有毒成分二氯甲烷(CH2Cl2),它是由多种原子构成的。
32.合金一定由两种或两种以上的金属熔合而成的。
33.溶液都是无色透明的液体。
34.任何无色透明的液体一定是纯净物。
35.A溶液的体积为V1L,B溶液的体积为V2L,互溶后体积为(V1+V2)L。
36.降温之后,任何饱和溶液都会析出晶体。
37.浓溶液一定是饱和溶液,稀溶液都是不饱和溶液。
38.ag某物质溶于(100-a)g水中,得到的溶液的质量分数为a%。
39.某物质的饱和溶液一定比其不饱和溶液浓。
40.中性溶液的pH=0。
41.紫色石蕊试液遇碱(如氢氧化铜)一定变蓝色,无色酚酞试液遇碱一定变红色。
42.复合肥就是多种肥料混和而成的,一定是混合物。
43.碘酒中溶质是碘,溶剂是酒。
44.最外层的电子数为8个电子的微粒一定处于稳定结构,且该微粒一定是稀有气体元素的原子。
45.铁跟盐反应生成铁盐和另外一种金属;它跟酸(盐酸、稀硫酸)起置换反应时也是生成铁盐,同时生成氢气。
如:2Fe+6HCl=2FeCl3+3H2↑。
46.由于锌的活动性比银强,故Zn+2AgCl
=
ZnCl2+2Ag。
47.二氧化碳通入氯化钙溶液,能观察到白色沉淀生成。
48.盐一定含金属离子和酸根离子。
49.酸(碱)液就是酸(碱)性溶液。
50.复分解反应,就是两种化合物互相交换成分生成另外两种化合物的反应,如:CuSO4
+
H2O
=
CuO↓+H2SO4
51.干燥氧气可以选择浓的氢氧化钠溶液。
52.纯碱即碳酸钠,其化学式为NaCO3。
第五篇:2008~2009易错点总结(最终版)
附件一
2008~2009易错点总结
一、关于价格取定
1.改性沥青卷材的厚度,3厚时选SBS I PY PE3 GB 18242,4厚时选SBS I PY PE4 GB 18242。2.聚苯乙烯泡沫塑料板自熄性与挤塑聚苯板,两种材料注意“挤塑”两字,调价格时注意板厚,套用定额时注意安装部位(屋面、楼地面还是天棚)。
3.商品砼,把粒径号去掉(如“商品泵送混凝土 C20(20)”→“商品泵送混凝土 C20”(现浇现拌砼不去,非泵送商品砼软件中的工料机窗口中的材料名称“非”字加上)。4.泵送砼选择注意泵送高度(3-28换有梁式带形基础^泵送砼C25_20M以下→有梁式带形基础^泵送砼C25_0M以下)。
5.一般情况下,乳胶漆、外墙涂料调成品(注意调成品后单位是m2,看清油漆遍数)。6.铝合金门窗等调成品(门窗市场信息价含五金配件、玻璃及制作、运输安装)。7.综合毛砂,选择低价砂(图纸所示垫层及回填处用粗砂是有误的)。
8.综合人工按定额价判断是几类人工再按人工类别选择价格(见定额总说明及文件规定)。9.一般情况下,水泥选散装。10.水泥425#为水泥32.5级,(参见http://www.xiexiebang.com/news/ShowIt.aspx?TreeID=1325&ID=951)。11.94定额有些材料不调价差(见允许按实调整差价的材料品种)。12.信息价中油毡宽1米。13.轻钢龙骨以平米计。14.镀锌白铁皮即镀锌钢板。15.预算时同一时期信息价注意一致。16.水(椒江、黄岩、路桥三区不同)。17.副刊上的信息价需打折计入。
18.94市政,汽油(机具用)、柴油(机具用)、电(机具用),不调价内差。
二、关于取费
1.新颁布的各项规定的执行。2.检验试验费,装饰为0。
3.同一个工程项目在计取了缩短工期增加费后,不得再计取夜间施工增加费。4.建筑类别划分94与03不同。
三、关于套用定额
1.周长几米内的判断一下(如面砖300*300套周长1200内)。
2.水泥砂浆配合比及厚度不同需换算,砌筑砂浆注意是水泥砂浆还是混合砂浆(03定额,参见http://www.nbzj.net/homepage/about.php?category=100,94定额见定额(天棚不作换算))。3.砼强度等级换算。
4.综合土方定额、9-100混凝土台阶、9-92砼墙脚护坡等定额,综合了哪些内容(注意已经综合了的内容不要重算)。
5.注意定额计算单位是以m2还是以m3计(2-71人工铺装碎石底层厚5cm工程量以m2计;11-56混凝土檐沟抹水泥砂浆以m计)。
6.17-3建筑物垂直运输 檐高20m内,P264八(软件自动换算有误,需手动调整)。7.入岩增加费(岩石层的定义P26,二)。
8.未计价主材(2-92 桩木,见94定额P39,11-28)。9.16-1综合脚手架 檐高7m内~层高6m内→16-3(注意檐高)。
10.板材换算,有些板需注明厚度(红榉夹板,核对一下是否为橡木夹板;6-105彩钢夹心屋面板 厚75mm→6-104(图示为50mm))。
11.18-B25花岗岩磨边,人工、机械*1.30,见94定额P64注。12.沉降观测P104,13,不需另计。13.地面垫层不需模板。14.贴瓷砖处抹灰→11B-1。
15.构件运输需判断为几类构件,见P230。
16.除锈,见P238,工作内容,除锈刷防锈漆一遍及成品堆放。17.防锈漆注意刷几遍,构件制作中已含一遍,定额上P230,7。18.7-5→10-1(屋面处是找平层非保护层)。19.16-37→16-37*0.6(P248,10)。20.2-618铜芯电力电缆敷设,换算。21.挖桩承台土方系数。
22.2-137凿钻孔灌注桩桩头φ800mm以内,凿人工挖孔桩桩头时注意换算,见P64 注5。23.安装,需另计的主材:荧光灯管、灯泡、雨水斗。24.安装,刚套管套用定额见培训教材P122 二 6。25.参03定额时,人工定额单价改成16.5。
26.94定额,预制构件增值税,项目编号19-6,工程量为预制构件合价。27.市政2-193路面构造筋,分圆钢、螺纹钢套定额。
四、易漏项
1.雨篷、预制构件、楼梯的模板。
2.各种外加剂(掺10%UEA,掺5%防水剂,加10%建筑胶等)。
3.机械台班单独计算费用、脚手架等各种技术措施项目(3027转盘式钻孔桩机场外运输费P318,看清P310说明)。
4.散水处沥青砂浆嵌缝,屋面分仓缝、成品排气槽、上人孔。5.钢丝网、纤维布、刷界面剂,纯水泥浆一道,箱后防火隔板。6.花岗岩水簸箕。7.墙面分隔线。
8.雨篷处排水管(03定额,94定额不另计)。9.地面塘渣回填。10.闭水试验。11.地面防水涂料。12.外露铁件油漆。
13.市政道路中,模板、钢筋、路床整形。14.市政给排水中,松木桩。15.基础防潮层。
16.试桩等图纸角落里的文字描述项目。17.厨房、卫生间素砼带。18.窗台等压顶。
19.预制构件安装及其中的钢筋、03定额化粪池钢筋。20.盖板。
五、关于清单
1.项目特征(节点详图引用图集的可在项目特征中写上引用的图集;梁、板、柱的项目特征中注明层高(圈、过梁、GZ除外);雨篷见计价培训教材P83;010702003001屋面刚性防水“内配双向直径为4钢筋,中距150”,删除,细石砼土内的钢筋,按砼及钢筋砼工程另行计算,不出现在此项目特征中;挖土方清单中写上“运土及堆置处理”;门窗以樘计时要写明洞口尺寸)。
2.出现多个计算单位的,如“个;套”,选择一下单位;暂定价输入时不要忘记输入单位。3.项目编号有无重复(右击-清单重新编号)。
4.现浇构件、预制构件、桩钢筋笼钢筋分别分圆钢、螺纹钢列清单。5.注意定额计量单位与清单不同时。
六、关于软件
1.03定额工程“分解机械台班”前的“∨”去掉(软件默认“∨”已去掉)。2.修改了取费表后,需打印预览查看格式是否正确。3.是主要材料的设为主要材料。4.优惠费率优惠了否(加负号否)。
5.94品茗钢筋量差、价差设置(右击-钢筋量差|价差设置-输入量-确定)。6.结算工程,软件中工程预算书→工程结算书。7.工程量是0的检查一下是否属实,确为0,删除。
8.管理费率、利润率的设置(广达软件使用说明书P41设置综合单价公式)。9.注意工程量保留小数位数:t,三位,m2、m3、kg,两位。
10.2-103*2+2-101,这种多条定额进行合并做法有误,详见品茗帮助-索引-
四、多条定额进行合并。
11.超高施工增加费,工程量设置。
七、审核易忽略处
1.6-374非定型井砌筑及粉刷砖砌井矩型,实际可能没有安装铁梯,见94定额P347。2.11-49砖砌窨井,扣井盖否,实际深度不同,套用“每增减20cm”定额按比例进行调整,见94定额。3.取费程序按投标时。4.次要材料和机械费下浮。
5.点工的综合单价含义,一般情况下是设置成计税不计费的,但有例外(已含税金、规费),需查看合同专用条款等。
6.一般情况下,天棚有吊顶处无粉刷。7.材料是否甲供(扣除水、电)。8.土方运输运距,构件运输运距。
9.土方类别的判断,人工挖土还是机械挖土的判断。10.合同有无下浮。
11.批灰含在涂料中,不得重复计价。12.招标代理费设置成不计税不计费。
13.挖道路、化粪池等土方不能套用综合土方定额。14.砼,注意泵送OR非泵送,及合同等的规定。
15.法兰阀门安装,注意各种短管甲、乙,是否已另计了。16.机械以台班计与以小时计单价或不同。17.石碴二次利用(挖出多于回填时用负数计)。18.签证中的计算过程或源数据可能有误,需核。
八、关于工程量计算
1.GZ的马牙槎P101,5。
2.03定额钢筋工程量计算不需*1.02。3.油漆工程量计算见P168(注意系数)。
4.砼构筑物脚手架计算P249九(注意是基础顶面以上部分)。5.回填土计算应扣除各种井所占的体积。6.螺栓,工程量计算见P231 一、十。7.土方工程量计算规则定额与清单不同。