(冬令营培训材料)山东省济南外国语学校八年级数学 奥术三级 第二跳(思维训练) 第二讲 分式的化简求值（范文模版）

第一篇：(冬令营培训材料)山东省济南外国语学校八年级数学 奥术三级 第二跳(思维训练) 第二讲 分式的化简求值（范文模版）

第二讲：分式的化简求值

【知识梳理】

1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。

给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略：

（1）适当引入参数；

（2）拆项变形或拆分变形；

（3）整体代入；

（4）取倒数或利用倒数关系等。

2、基本思路

（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；

（2）两边同时变形为同一代数式；

（3）证明：左边右边0，或

3、基本方法

在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。

【例题精讲】 左边1，此时右边0。右边

x23xyy

2【例1】（1）已知x2y0，求2___________________； 22xxy3y

（2）已知

（3）若

112x5xy2y5，则___________________； xyx2xyyabc，则3a2bc____________________； a2b3c34

5【例2】若x

abbcca

，求x的值？ cab

【例3】已知abc0，且

【巩固】若

abc3a2bc

，求的值？ bcaa2b3c

abcdabcd

，则的值是 __________________； bcdaabcd

【例4】已知：xx10，求x的值。x

4【巩固】

a

3（1）已知a3a10，则代数式6的值为_______________；

a

1x42x1

_______________；（2）若xx10，则

x5

【例5】已知a、b、c为实数，且

ab1bc1ca1abc

，，，那么ab3bc4ca5abbcca的值是多少？

【例6】已知abc1，求证：

abc

1。

aba1bcb1acc1

思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。

【巩固】已知：abc0，abc0，求a()b(

【例7】已知a

1b1c1c111)c()3的值。aab

1，b1，求c的值。bca

【

例

】

已

知

x

abbccab，ybc，za

ca，求证1x1y1z1x1y1z。

思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。

【巩固】已知abcd3，求证：a2c2b2d2abcdacbd

abcd。

：

第二篇：(冬令营培训材料)山东省济南外国语学校八年级数学 奥术三级 第一跳(分析试题) 第6讲 全等三角形

第6讲：全等三角形

【知识梳理】

1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。

2、全等三角形的判定方法有：

“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”

3、全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。

（2）全等三角形的周长、面积相等。

4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三

角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某

条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

【例题精讲】

◆例1：已知，如图△ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是_________.BDC

1【巩固】如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证: AF＝EF.◆例2：已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，求证：AB＝BC＋CD【巩固】

1、已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB＞AC，求证：AB－AC＝BD－DC

B

D

FC

B

CDA

D2、如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求证: BC＋DC＝AC.B

◆例3：如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O 求证：OE＝OD

◆例4：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM ⊥AC于点M 求证：BN＝CM

◆例5：AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A，E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB。求证PB＞PA.【拓展】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数.E

B

D

C

A

DF

B

E

C

【课后练习】

1、如图，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q 求证：AB＋BP＝BQ＋AQ

A

B

P2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE＋CF与EF的大小.3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE＝CF的理由；

（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的长.B

E

G

CFA

A

E

F

B

D

C

D

第三篇：(冬令营培训材料)山东省济南外国语学校八年级数学 奥术三级 第一跳(分析试题) 第12讲 因式分解的应用

第12讲因式分解的应用

【知识梳理】

许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：

（1）abba1a1b1；

（2）abab1a1b1；

（3）a44a22a2a22a2；

（4）4a412a22a12a22a1；

（5）a2b2c22ab2bc2acabc； 2

（6）a3b3c33abcabca2b2c2abbcac。

【例题精讲】

◆例1：若ABC的三条边a、b、c满足关系式abcacb0，则ABC的形状是_________________________。

【巩固】

1、已知a、b、c是三角形三边长，则代数式a2abcb的值是（）

A.大于0B.等于0C.小于0D.符号不定

2、设a、b、c是三角形三边长，化简ca2b2c22ab2bc2ca。

【拓展】已知a、b、c是一个三角形的三边，则abc2ab2bc2ca的值 1 ***224

是（）

A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负

◆例2：已知x24x10，则2x48x34x28x1的值是多少？

【巩固】

1、已知a2b24a6b130，求ab的值。

2、已知a

1a2aaa12，求121

2aa2的值。

3、设3ba2c，求a29b24c24ac的值。

◆例3：已知a、b是自然数，且a2b22007，求a与b的值。

【巩固】设a、b是自然数，ab7，求a、b的值。

【拓展】设a、b是相邻的两个自然数，问abab4ab是否为平方数？

◆例4：（1）求证：81279能被45整除；

（2）证明：当n为自然数时，22n1形式的数不能表示成两个整数的平方差。

【课后作业】

1、ABC的三边满足a2bcc2ab，则ABC是（）22791322223

3A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形

2、如果100x2kxy49y2是一个完全平方式，那么k等于（）

A.4900B.700C.140D.703、若x2y2mx5y6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）

A.1B.1C.1D.24、若n为奇数，则12n1（）4

A.一定是奇数B.一定是偶数

C.可能是奇数，也可能是偶数D.可能是整数，也可能是分数（分母不是1）

5、若a、b为有理数，且ab4a2b50，则b______________。

6、已知xy1，x2y22，那么x4y4________________。

7、计算：1.210.792.420.79。

8、已知abab113，求a、b的值。

2222a

第四篇：(冬令营培训材料)山东省济南外国语学校八年级数学 奥术三级 第一跳(分析试题) 第2讲 实数(二)

第2讲实数

（二）【知识梳理】

一、实数的性质

1、设x为有理数，y为无理数，则x＋y，x－y都为无理数；当x≠0时，xy，yx,都是无xy理数；当x＝0时，xy，x就是有理数了； y2、若x、y都是有理数，m是无理数，则要使xym＝0成立，须使x＝y＝0;

3、若x、y、m、n都是有理数，m,n都是无理数，则要使xmyn成立，须使x＝y，m＝n

二、实数大小的比较

常用方法：直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法

三、证明一个数是有理数的方法：

证明这个数是一个有限小数或无限循环小数，或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。

【例题精讲】

◆例1：比较下列两数的大小：

（1（2

3（4a

2【

23（3）62 a（53222a1（62232 a3巩固】设1

abca、b、c的大小？

◆例2：若3 的小数部分为a，35的小数部分为b，则ab的值为。

【巩固】

1、已知a为2 的整数部分，b1是9的平方根，且abba，求ab的值。

x，小数部分为y，试求xy的整数部分为m，小数部分为n

a，小数部分为b，试计算：2(ma)(bn)的值。

◆例3：已知m、n是有理数，且(2）m (32)n70，求m、n的值。1的值。y

【巩固】

13119b21a30，求a、b的值

1、已知a、b是有理数，且324124202、已知x、y是有理数，并且x、y满足2x23y2y232，求xy的值。

◆例4：设a，b，试用a、b的代数式表示0.9

【巩固】：已知3a，21b，试用a、b的代数式表示0.28

◆例

5(*)

◆例6：a与b是两个不相等的有理数，由。(*)

【拓展】：

(*)

◆例5：若a、b满足3a5|b|7,求

【巩固】：已知x2y1，求x和y的取值范围；22是有理数还是无理数，并说明理s2a3|b|的取值范围。

【课后练习】

1、比较大小：

2、设a、b是正有理数，且满足(3a2)a(b2)b230，求ab的值。

x，小数部分为y，试求xy(y的值。

4、已知9与9的小数部分分别是a、b，求ab－3a＋4b＋8的值。

5、已知a、b为有理数，x、y分别表示5的整数部分和小数部分，且axyby1，求a＋b的值。

(*)

26