第一篇:立体几何证明(高考篇)文科
立体几何专项习题
1.(11山东19)(本小题满分12分)
如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1, ∠ BAD=60,(Ⅰ)证明:AA1⊥ BD;
(Ⅱ)证明:CC1∥ABD
2.(10山东20)(本小题满分12分)
在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA平面ABCD,PD//MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且ADPD2M.A
(I)求证:平面EFG平面PDC;
(II)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积
之比.3(09山东18)(本小题满分12分)
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.D1 C
1A1 B1
ED1
E
4(08山东文 19)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD2AD
8,AB2DC P(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;(Ⅱ)求四棱锥PABCD的体积.
D
A5、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD的中点,P点E在棱CD上移动.⑴ 当点E为CD的中点时,试判断直线EF 与平面PAC的关系,并说明理由; F⑵ 求证:PE⊥AF.A
B6、如图,四棱锥P—ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,E为PC中点.(I)求证:平面PDC平面PAD;
(II)求证:BE//平面PADM C B EE
C
B
第二篇:文科立体几何证明
立体几何证明题常见题型
1、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC1,E是PC的中
点,作EFPB交PB于点F.
(I)证明: PA∥平面EDB;
(II)证明:PB⊥平面EFD;(III)求三棱锥PDEF的体积.
2、如图,已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高。(Ⅰ)证明:平面PAC平面PBD;
(Ⅱ)若AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。
B3、如图,矩形ABCD中,AD平面ABE,AEEBBC2,F为CE上的点,且BF平面ACE.(Ⅰ)求证:AE平面BCE;(Ⅱ)求证;AE//平面BFD;
(Ⅲ)求三棱锥CBGF的体积.4、如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC,,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF;
C
B
D
B
MA平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为
5、在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MB、PB、PC的中点,且ADPD2MA.(Ⅰ)求证:平面EFG平面PDC;(Ⅱ)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6、如图所示,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-BGF的体积。
D
G
A
C
B
E
7、在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且AC=BC=5,SB=5。(如图 所示)
(Ⅰ)证明:SC⊥BC;
(Ⅱ)求三棱锥的体积
VS-ABC。
1,E为BC边中点
D18、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=(1)求三棱锥D1-DBC的体积(2)证明BD1//平面C1DE
A
9,如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的A
交点,面CDE是等边三角形,棱EFBC。
E
(I)证明FO∥平面CDE;;
(II)设BC,证明EO平面。
10、如图,直三棱柱ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =
A
B
M
D
90°,AA1 =2,D 是A1B1 中点.(1)求证C1D ⊥平面A1B ;(2)当点F 在BB1 上什么位置时,会使得AB1 ⊥平面C1DF ?并证明你的结论。
11,如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面ABC,BD ∥CE,CE =CA =2 BD,M 是EA 的中点,求证:(1)DE =DA ;(2)平面BDM ⊥平面ECA ;(3)平面DEA ⊥平面ECA。
12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点. 求证:(1)C1O//平面AB1D1;(2)A1C⊥平面AB1D1.
DAD
A
BBC
1C13、如图平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF
AD2,G是EF的中点,2(1)求证平面AGC⊥平面BGC;(2)求空间四边形AGBC的体积。
14、如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中,AB8,AC的中点.(Ⅰ)求证:ABA1C;(Ⅱ)求证:A1C∥ 面AB1D;
6,BC10,D是BC边
15,如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.16 在三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABBCCA3,M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上。(1)证明:平面PAB平面PCM;
_P
_A_C
_M
_B17、如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,三角形ACD为等边三角形,ADDE2AB,F为CD的中点
(1)求证:AF//平面BCE;
(2)求证:平面BCE平面CDE;
18、如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点。(I)求证:B1C//平面A1BD;(II)求证:B1C1⊥平面ABB1A
(III)设E是CC1上一点,试确定E的位置,使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由。
P
AD中,PA底
19、如图,四棱锥PABCD面ABCD,ABAD,ACCD,B
ABC60,PAABBC,E是PC的中点.
(1)求证:CDAE;(2)求证:PD面ABE.
20、如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=
AD.2(I)求证:平面PAC⊥平面PCD;
(II)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面
PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.S
A
D
BC21、如图,在四棱锥SABCD中,SA
AB2,SBSDABCD是菱形,且ABC60,E为
CD的中点.
(1)证明:CD平面SAE;
(2)侧棱SB上是否存在点F,使得CF//平面SAE?并证明你的结论.
22、在正三棱柱ABCA1B1C1 中,E是AC中点,(1)求证:AB1//平面BEC1 ;(2)求证:平面BEC1平面ACC1A1 ;
23.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,(I)求证:AC⊥BC1;
(II)求证:AC 1//平面CDB1;,24、如图,在底面为平行四边行的四棱锥PABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PAAB,点E是PD的中点.(Ⅰ)求证:ACPB;
(Ⅱ)求证:PB//平面AEC;
25.三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,P、Q分别为AA1、CC1上的点,且满足AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积是
1112A.VB.VC.VD.V
43B26.如图1,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q是对角 线AC上的点,若PQ
a,则三棱锥PBDQ的体积为2
D
第三篇:2018年高考二轮复习专题——立体几何(文科)
专题五
空间中的平行与垂直
类型一 空间线面位置关系的判断
[典例1](1)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()知识梳理:
1、平面中的平行有哪些?
2、空间中的平行有哪些?如何推导?(定理、性质用图示展示)
3、平面中的垂直有哪些?
4、空间中的垂直有哪些?如何推导?(定理、性质用图示展示)
1.(2017·高考全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()
2.(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
3.(2016·全国卷Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有______.(填写所有正确命题的编号)4.(2017·高考全国卷Ⅲ)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l(2)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
变式1.如本例(2)改为设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是(A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件 B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 [自我挑战]
1.m、n是空间中两条不同直线,α、β是两个不同平面,下面有四个命题: ①m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α⇒n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α⇒n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.其中,所有真命题的序号是________.
(1)证明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥EACD的体积为6
3,求该三棱锥的侧面积.)自我挑战:如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,类型三 立体几何中的折叠、探索问题
[典例3](2017·山东济南模拟)如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置,使A′C⊥CD,如图(2).(1)求证:DE∥平面A′BC;(2)求证:A′C⊥BE;
(3)线段A′D上是否存在点F,使平面CFE⊥平面A′DE?若存在,求出DF的长;若不存在,请说明理由.
PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.[互动迁移1] 在本例条件下,证明平面BEF⊥平面ABCD.[互动迁移2] 在本例条件下,若AB=BC,求证:BE⊥平面PAC.[变式训练](2017·山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.[母题变式]
本例的条件不变,在线段BE上是否存在点H,使平面A′BE⊥平面A′CH?
(1)试在线段A′C上确定一点H,使FH∥平面A′BE.(2)试求三棱锥A′EBC的外接球的半径与三棱锥A′EBC的表面积.
第四篇:立体几何证明
立体几何证明
高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑):
Ⅰ.平行关系:
线线平行:1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行:1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行,一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行:1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
Ⅱ.垂直关系:
线线垂直:1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直,那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直:1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面,那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个,那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直:1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线,那么这两个平面垂直。
四个判定定理:
①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。
③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理:
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
四个性质定理:
①一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
②两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一平面的两条直线平行。
④两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理,在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。
(2)立体几何初步这部分,我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时,要充分发挥几何直观的作用,而不是形式上的推导。例如,平行于同一平面的二直线平行的证明方法,有的老师就是采用了一种很
第五篇:立体几何证明
1、(14分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.(1)求证:EF∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
A
2.如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱
交B1C于点F,BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,(1)求证:A1C⊥平面BDE;
D3.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,BCAC2,AA14,为棱CC
1上的一动点,M、N分别为ABD、A1B1D的重心.(1)求证:MNBC; .
A
B
4.如图,在三棱拄ABCA1B1C1中,AB侧面BB1C1C1,
1N 31 B1
(Ⅰ)求证:C1B平面ABC;
A11
(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1;.A
A1
B1
C
E
C15、如图,P—ABCD是正四棱锥,ABCDA
1BC11D1是正方体,其中AB2,PA
(1)求证:PAB1D1;
6.(本小题满分12分)
如图,矩形ABCD,|AB|=1,|BC|=a,PA⊥平面ABCD,|PA|=1。(1)BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD,并说明理由;(2)若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD,指出点Q的位置,7、如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA面ABCD,PA=AB=1,BC=2(Ⅰ)求证:平面PDC平面PAD;
8.正方体ABCDA'B'C'D'中,求证:平面AB'D'//平面C'BD。
9..(14分)如图所示,在斜边为AB的Rt△ABC中,过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N.(1)求证:BC⊥面PAC;
P(2)求证:PB⊥面AMN.M
A10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、点,且EH∥FG. 求证:EH∥BD.(12分)
11、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面S分)
12、已知正方体ABCDA1BC11D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:(1)C1O面AB1D1;(2)AC面AB1D1.(14分)
1
CD、DA上的A
HD
SBC.(1
2A
F
C
BC
DAD
BC
1C
1.下列命题正确的是………………………………………………()
B
A.三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面D.两条相交直线确定一个平面
2.若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立的是()A.内的所有直线与a异面B.内不存在与a平行的直线 C.内存在唯一的直线与a平行D.内的直线与a都相交
3.平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面
4.正方体ABCDA'B'C'D'中,AB的中点为M,DD'的中点为N,异面直线B'M与CN所成的角
A.0B.45C.60D.90
5.平面与平面平行的条件可以是…………………………()
A.内有无穷多条直线都与平行C.直线a,直线b且a//,b// B.直线a//,a//且直线a不在内,也不在内D.内的任何直线都与平行 6.已知两个平面垂直,下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………()A.3B.2C.1D.0
7.下列命题中错误的是……………………………………()A. 如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 B. 如果平面,那么平面一定存在直线平行于平面
C.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面,,l,那么l
8.直线a//平面,P,那么过点P且平行于的直线…………()A. 只有一条,不在平面内B.有无数条,不一定在内C.只有一条,且在平面内D.有无数条,一定在内 9.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中
①BM与ED平行②CN与BE异面③CN与BM成60
④DM与BN垂直 以上四个命题中,正确命题的序号是()
A.①②③B.②④C.③④D.②③④
1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是__________________ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________ 4.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是______________