6-07.资料-算术与几何平均一种证明

第一篇：6-07.资料-算术与几何平均一种证明

湖南省新宁县第一中学李水平专用教案第六章—不等式

资料1：算术平均值不小于几何平均数的一种证明(局部调整法)

结论：设a1，a2，a3，……，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝a1a2an,Ga1a2an，n

则有A≥G.当且仅当a1＝a2＝……＝an时，A＝G.特别地当n＝2时，ab≥ab 2

当n＝3时，abc≥abc.3

证明：用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等.不失一般性，设0＜a1≤a2≤……≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，……，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：

① 两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么

A1＝Aa2a3an1a1anAA n

② 两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1，则

G1＝Aa2a3an1(a1anA)

∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)

由 a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0

则 A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3……an－1(a1＋an－A)＞a1a2……an－1＋an.G1＞G.若第二组数全相等，则A1＝G1，于是A＝A1＝G1＞G证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn，分别用A1(即A)和b1＋bn－A代替，因为有b1＜A1＜bn且A1＝A.因而第二组数中的A，不是最小数b1，也不是最大数bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A，经过n－2次替换，新数中至少出现n－2个A，最多经过n－1次替换，得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A，而几何平均值不断增大，即G＜G1＜G2＜……＜Gk，而Gk＝Ak＝A，因而G≤A成立.17

第二篇：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案

兰州新区永登县第五中学高二数学（文）导学案

班级：小组名称：姓名：得分：

2．若正数x,y满足xy24,计算x2y的最值

三、拓展探究

1．若ab0,计算a

2．若a2,b3,求ab

3．（参考例6）设0x1,求x(1x)的最大值（思考：根据此题你能得到什么结论？）

导学案 §1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式

设计人：薛东梅审核人：梁国栋、赵珍

学习目标：

1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。

学习重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用 学习难点：应用不等式解决应用问题

学习方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟）

一、自学评价

1．三个正数的算术-几何平均不等式

（1）如果a,b,cR,那么a3b3c33abc，当且仅当，等号成立。（2）定理3：

即：2．基本不等式的推广：

思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？

注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致； 3．思考并完成例54．如果x0,如何求2x

二、检测交流

1．已知a,b,cR,求证（8的最值

b(ab)的最小值。

(a2)(b3)的最小值？ x2

abcbca)()9（思考：根据此题你能得到什么结论？）bcaabc

第三篇：算术平均数与几何平均数

6.2.3算术平均数与几何平均数

●教学目标

(一)教学知识点

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤

M

42，等号当且仅当a＝b时成立.＋

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥

2P，等号当且仅当a＝b时成立.(二)能力训练要求

通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标

掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点

基本不等式a＋b≥2ab和

2ab2

≥ab（a＞0，b＞0）的应用，应注意：

(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x＞0时，y＝x2＋

1x

1x的最小值，若写成y＝x2＋

1x

1x

≥

2x

22x，就说“最小值为2x”是错误的，因为x2·

12x

12x

4不是定值，而2x仍为

1x

随x变化而变化的值.正确的解法是：由于x2·

12x

·＝为定值，故x2＋＝x2＋

12x

＋≥3·3x

22x2x





32，即y的最小值为

322

.(3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点

如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y＝x2＋

1x

凑成y＝

x2＋

12x

＋

12x

.●教学方法 启发式教学法 ●教具准备

投影片一张 记作§６.2.2 A

Ⅰ.课题导入

上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：

(1)a＋b≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号；(2)(3)(4)

ab2



ab（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

ba



ab

3≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；



abc

abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号；

(5)a＋b＋c≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课

［例1］已知x、y都是正数，求证：

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值

4S2.［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x，y都是正数

∴

xy

2

xy

xy2



P，(1)当积xy＝P为定值时，有即x＋y≥2

P.上式中，当x＝y时取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(3)当和x＋y＝S为定值时，有xy即xy≤

S2，S2.14

上式中，当x=y时取“=”号，因此，当x=y时积xy有最大值 S2.［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x＋地认为关系式x＋

1x

1x，当x＜0时，绝不能错误

1x

≥2成立，并由此得出x＋

1x

1x的最小值是2.事实上，当x＜0时，x＋＞0－（x＋

1x的最大值是－2，这是因为x＜0－x＞0，－

1x

1x）＝（－x）＋（－

1x）

≥2(x)()＝2x＋≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x＝－1时取得.(2)函

数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a，b，c，d都是正数，求证（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a，b，c，d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0.∴

abcd



abcd＞0，acbd＞0.acbd

由不等式的性质定理4的推论1，得

(abcd)(acbd)

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?

［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为

48003x

m，又设水池总造价为

ｌ元.根据题意，得

ｌ＝1５0×

4800

3＋120（2×3x＋2×3×

1600x

48003x）

＝240000＋７20（x＋）.≥240000＋７20×2x

1600x

＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x＝

1600x，即x＝40时，ｌ有最小值297600.因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋分析：注意到x＋

81x的值最小?最小值是多少?

81x

是和的形式，再看x·＞0.81x

＝８1为定值，从而可求和的最小值.解：x≠0x2＞0，81x

81x

∴x2＋≥2x

81x

81x

＝1８，当且仅当x2＝，即x＝±3时取“＝”号.81x

故x=±3时，x+的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜

2，其面积

S＝x（Ｌ－2x）

＝

·2x（Ｌ－2x）≤

（2xL2x)

L

8当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝

L

L

4时菜园面积最大，即菜园长

L2

m，宽为

L4

m时菜园面

积最大为

m.Lx2

解法二：设矩形的长为x m，则宽为

x(Lx)

(x

Lx)2

m，面积

S＝



（xLx)

≤

L

（m2）.L2

当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝

L4

（m）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为

L

L2

m，宽为

m时，菜园的面积最大，最大面积为

m2.3.设0＜x＜2，求函数f（x）＝3x(83x)的最大值，并求出相应的x值.分析：根据均值不等式：ab８－3x是否为正数；二要考查式子

解：∵0＜x＜2 ∴3x＞0，８－3x＞0 ∴f（x）＝3x(83x)≤

3x(83x)

24312ab2，研究3x(83x)的最值时，一要考虑3x与

［3x＋（８－3x）］是否为定值.＝4

当且仅当3x＝８－3x时，即x＝时取“＝”号.4

3故函数f（x）的最大值为4，此时x＝.Ⅳ.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业

(一)课本P11习题6.24、５、７.(二)1.预习内容：课本P12 §６.3.1不等式的证明.2.预习提纲：

(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：

作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与1的大小)→得证.●板书设计

第四篇：教师版：推理与证明专题资料

第十讲 推理与证明专题资料

一、推理：

（一）合情推理：归纳推理、类比推理.1.归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理。

2.类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理.（二）演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）推导出特殊性命题为真的推理。常用模式“三段论”：大前提、小前提、结论。

【历练巩固】

例1（11，陕西，13）观察下列等式

1=

12+3+4=9

3+4+5+6+7=2

54+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为

解： n(n1)(n2)...(3n2)(2n1)2。

练习1（11，江西，7）观察下列各式：55=3125, 56=15625, 57=78125，···，则52011 的末四位数字为()

A、3125B、5625C、0625D、8125 解：D.例2（09，上海，3）以下是面点师一个工作环节的数学模型： 在数轴上取闭区间0,1，对折（0与1两点重合）后再均匀地拉成一个单位长度线段（原来的和变为，变为1等）算一次操作，重复操作，第n次操作后变为1的点有个.解：用现场折纸条的操作，可知有2n1个.3414121

2ABC三边上的高为hA,hB,hC，例3设P为ABC内一点，P到三边的距离为lA,lB,lC，则有lAlBlChAhBhC

类比到空间中，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为hA,hB,hC,hD，P到四个面的距离为lA,lB,lC,lD，则有：

解：面积法：

llAlBlClll1；体积法：ABCD1 hAhBhChAhBhChD

二、证明：

（一）直接证明：

1.分析法：从欲证结论出发，对结论进行等价变形，建立未知结论和已知的“条件，结论”因果关系；

2.综合法：从已知条件和结论出发，以演绎推理中的“三段论”规则为工具，推出未知结论；

3.归纳法：证明格式为：

①先证当nn0时命题成立（n0为需证的初始自然数）；

②假设nkkn0时命题成立，并在此前提下可以推出nk1时命题也成立；

由①②，命题对一切nn0的自然数恒成立.（二）间接证明：

反证法：证明欲证命题的等价命题——逆否命题.例3（反证法）给定实数a,a0且a1，设函数yx11xR,x.ax1a

求证：经过改函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴.（253-14.4）解：y1y2(x1x2)，即：x11x12(x11)(ax21)(x21)(ax11)ax11ax2

1(z1)(x1x2)0

例4（分析法）在ABC中，A,B,C成等差数列，其对边分别为a,b,c.求证：113.(253.4)abbcabc

ca1a2c2acb2；B600，用余弦定理即可.abac解：变形为

例5（综合法、归纳法）用综合法和归纳法两种方法证明：（255.14.6）

111111111(nN)2342n12nn1n2nn

练习2（08，辽宁，21）在数列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列（nN*）.求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论.2解：由条件得2bnanan1，an1bnbn1

由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425．

猜测ann(n1)，bn(n1)2．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当n=k+1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，2akbk12(k2)2． bk

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立．

【选择题】

1.用数学归纳法证明“Sn

等于（）A.1 211111(nN*)”时，S1n1n2n33n11123111234B.C.D.以上都不对

1.C考查：归纳法初值

【解】当n=1时，左边最后一个式子的分母为4，所以为

2.用数学归纳法证明“1111.234111nn（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k2321

＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是()

A.2k1B.2k1C.2kD.2k1

2.C 考查：归纳法第二步

【解】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为

末项为111;由n=k，末项为到n=k+1，2n12k11k，∴应增加的项数为22k112k12k

11113.设f（n）=+++„+n∈N *），那么f（n+1）－f（n）等于()n1n2n32n

1111A.B.C.+2n12n22n12n2

11D.－ 2n12n2=

3.D 考查：归纳法第二步

11111 + +„+ + +－n2n32n2n12n2

11111111（++„+）=+－=－.n1n2n12n12n2n12n22n2fn1）－（f）n【解】（=

第五篇：资料移交证明

尚品·清河工程监理资料移交证明

尚品·清河工程自2009年底开工以来，历经三年时间，近期已全部完成，并通过了建设主管部门验收。根据监理合同要求，监理单位应向建设单位提交三份监理资料。监理资料内容与城建档案馆提交内容一致，包括：监理规划及监理细则（第一卷）、监理例会会议纪要（第二卷）、监理月报（第三卷）、监理工程师通知单（第四卷）、质量评估报告（第五卷）。

本工程竣工验收备案时，监理单位已向城建档案馆提交一份完整的监理资料，现将合同约定的另外二份监理资料移交建设单位。

特此证明。

监理单位：

移交人：日期：

建设单位：

移交人：日期：