第一篇：2014年高考数学(文)真题分类：计数原理
2014年高考数学（文）真题分类汇编：计数原理
2014年高考数学（文）真题分类汇编：计数原理
J1 基本计数原理
J2 排列、组合7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()
A．60种B．70种
C．75种D．150种
7．C
J3 二项式定理
13．[2014·全国卷](x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
13．－160
J4 单元综合
第二篇：近五年（2018-2022）高考数学真题分类09 计数原理
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
九、计数原理
一、单选题
1．（2021·全国（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A．0.3
B．0.5
C．0.6
D．0.8
3．（2021·全国（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A．60种
B．120种
C．240种
D．480种
4．（2020·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）
A．2种
B．3种
C．6种
D．8种
5．（2020·北京）在的展开式中，的系数为（）．
A．
B．5
C．
D．10
6．（2020·海南）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
A．120种
B．90种
C．60种
D．30种
7．（2020·全国（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i A．5 B．8 C．10 D．15 8．（2020·全国（理））的展开式中x3y3的系数为（） A．5 B．10 C．15 D．20 9．（2019·全国（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A． B． C． D． 10．（2019·全国（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24 11．（2019·全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． B． C． D． 12．（2018·全国（理））的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 13．（2017·全国（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为 A．-80 B．-40 C．40 D．80 14．（2017·全国（理））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 15．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 16．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 17．（2021·浙江）已知多项式，则___________，___________.18．（2020·浙江）设，则________；________． 19．（2019·浙江）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.20．（2017·浙江）已知多项式2=，则=________________，=________.二、填空题 21．（2020·天津）在的展开式中，的系数是_________． 22．（2020·全国（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 23．（2020·全国（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.24．（2019·天津（理））展开式中的常数项为________.25．（2019·上海）在的二项展开式中，常数项的值为__________ 26．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示） 27．（2018·上海）在的二项展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）． 28．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 29．（2018·浙江）二项式的展开式的常数项是___________． 30．（2018·天津（理））在二项式的展开式中，的系数为__________． 31．（2018·全国（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 32．（2017·天津（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 33．（2017·山东（理））已知的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.34．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 四、解答题 35．（2019·江苏）设.已知.（1）求n的值； （2）设，其中，求的值.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 九、计数原理（答案解析） 1．C 【分析】 采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【解析】 将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.2．C 【解析】 解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.3．C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【解析】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.4．C 【分析】 首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【解析】 第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 5．C 【分析】 首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【解析】 展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【小结】 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 6．C 【分析】 分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【解析】 首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C 【小结】 本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.7．C 【分析】 根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足 从开始，利用列举法即可解出． 【解析】 根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． 【小结】 本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 8．C 【分析】 求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【解析】 展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 【小结】 本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9．D 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【解析】 两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D． 【小结】 本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 10．A 【分析】 本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【解析】 由题意得x3的系数为，故选A． 【小结】 本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 11．A 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【解析】 由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 【小结】 对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 12．C 【解析】 分析：写出，然后可得结果 解析：由题可得 令,则 所以 故选C.小结：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 13．C 【解析】，由展开式的通项公式可得： 当时，展开式中的系数为； 当时，展开式中的系数为，则的系数为.故选C.14．C 【解析】 因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.小结:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.15．D 【解析】 4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种． 故选D.16．D 【解析】 4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种． 故选D.17．; .【分析】 根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【解析】，所以，所以.故答案为：.18． 【分析】 利用二项式展开式的通项公式计算即可.【解析】的通项为，令，则，故； .故答案为：；.【点晴】 本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.19． 【分析】 本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【解析】的通项为 可得常数项为，因系数为有理数，有共5个项 【小结】 此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.20．16 【解析】 由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得． 【小结】 本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 21．10 【分析】 写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出． 【解析】 因为的展开式的通项公式为，令，解得． 所以的系数为． 故答案为：． 【小结】 本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 22．【分析】 写出二项式展开通项，即可求得常数项.【解析】 其二项式展开通项： 当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【小结】 本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.23． 【分析】 根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 先取2名同学看作一组，选法有： 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种 故答案为：.【小结】 本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.24． 【分析】 根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项． 【解析】，由，得，所以的常数项为.【小结】 本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 25．15 【分析】 写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【解析】 二项展开式通项为： 当时，常数项为： 本题正确结果： 【小结】 本题考查二项式定理的应用，属于基础题.26．24 【分析】 首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【解析】 在天里，连续天的情况，一共有种 剩下的人全排列： 故一共有：种 【小结】 本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.27．21.【分析】 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解析】 二项式（1+x）7展开式的通项公式为 Tr+1=•xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21． 故答案为21． 【小结】 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.28．1260.【解析】 分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.解析：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数.小结：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.29．7 【解析】 分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.解析：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为 小结：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.30．.【分析】 由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【解析】 结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【小结】 （1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 31．【分析】 首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【解析】 根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.【小结】 该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.32．1080 【解析】 33．【解析】（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr． ∵含有x2的系数是54，∴r＝2． ∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案为4． 34．660 【解析】 第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.35．（1）；（2）-32.【解析】 （1）因为，所以，． 因为，所以，解得． （2）由（1）知，． ． 解法一： 因为，所以，从而． 解法二： ． 因为，所以． 因此． J单元 计数原理 J1 基本计数原理 J2 排列、组合7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有() A．60种B．70种 C．75种D．150种 7．C [解析] 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医 21疗小组，不同的选法共有C6C5＝75(种)． J3 二项式定理 6313．[2014·全国卷](x－2)的展开式中x的系数为________．(用数字作答) 6r6－rr13．－160 [解析](x－2)的展开式的通项为Tr＋1＝C6x(－2)，令6－r＝3，解得r 333＝3.因为C6(－2)＝－160，所以x的系数为－160.J4 单元综合2．[2014·汕头一模] 某同学有2本同样的画册，3本同样的集邮册，从中取出4本赠送给4位朋友，每人1本，则不同的赠送方法共有() A．4种B．10种 C．18种D．20种 12．B [解析] 本题可分两类：一是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C4＝ 24(种)；二是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C4＝6(种)．故赠送方法共有10 种． 3．[2014·惠州调研] 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案的种数为() A．12B．14 C．16D．10 43．B [解析] 从6人中选4人的方案有C6＝15(种)，没有女生的方案只有1种，所以 满足要求的方案共有14种.4．[2014·成都一诊] 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为() A．12B．1.C．8D．6 34．D [解析] 把甲、乙作为一个整体后全排列，则不同的分法共有A3＝6(种)． 精品 2018年普通高等学招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。 1、设z=，则|z|= A、0 B、C、1 D、22、已知集合A={x|x-x-2>0}，则 A= A、{x|-1 3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是： A、新农村建设后，种植收入减少。 B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。 D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。 4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 325、设函数f（x）=x+(a-1)x+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为： A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 6、在A、C、ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则---+ B、D、---= 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 精细；挑选； 精品 A、8.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为 A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 的直线与C交于M，N两点，则 · = B、C、3 D、2 A.[-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则 A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 11.已知双曲线C：-y²=1，O为 坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣= A.B.3 C.D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为.14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作 精细；挑选； 精品 答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分） 在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=18.（12分） 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BP.（1）证明：平面PEF（2）求DP与平面 ，求BC.⊥平面ABFD； ABFD所成角的正弦值.19.（12分） 设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.20、（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0 （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点。 （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为P的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。 （i）（ii）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX： 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ .的单调性； 存在两个极值点, ,证明： .21、（12分）已知函数（1）讨论（2）若 精细；挑选； 精品 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为p²+2p-3=0.（1）求C₂的直角坐标方程:（2）若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集； （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.精细；挑选； 精品 成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。这个过程因为信念而牢固，因为 平衡而持久。 生活才需要目标，生命不需要目标。 就像驴子面前吊着个萝卜就会往前走。正因为有那个目标，你才有劲儿往前走。在做的过程中，你已体验到生命是什么。问题是，没有几个人，能够在没有目标的情况下安详当下。因为没有目标，他都不知 道要做什么。 穷人生活的成本，要比富人高多了。 穷人考虑价钱而不考虑价值，最后什么都得不到。富人考虑价值并且果断决定，于是他获得了最好的机会。 这就是为什么穷人越穷，富人越富的原因。 精细；挑选； 精品 精细；挑选； 分类计数原理和分步计数原理教案1 教学目标 正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点和难点 重点：分类计数原理和分步计数原理． 难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用． 教学用具 投影仪． 教学过程设计 (一)引入新课 师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它． 今天我们先学习两个基本原理． (这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课．讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础) 师：(板书课题) (二)讲授新课 1．介绍两个基本原理 师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1)． 问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 师：(启发学生回答后，作补充说明) 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4＋2＋3=9 种不同的走法． 这个问题可以总结为下面的一个基本原理． (打出片子——分类计数原理) 分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (教师放慢速度读一遍分类计数原理) 师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)． 问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9－1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 师：(启发学生回答后加以说明) 这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法． 一般地，有如下基本原理： (找出片子——分步计数原理) 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法． (教师要读一遍分步计数原理) 2．浅释两个基本原理 师：两个基本原理是干什么用的呢？ 生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数． (如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示) 师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？ (学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘．) 两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关． 师：请看下面的分析是否正确． (打出片子——题1，题2) 题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个． 1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数． 题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？ 第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法． 生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法． (此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力) 师：为什么会出现错误呢？ 生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求． 师：(教师归纳) 进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以． 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理． 也就是说：类类互斥，步步独立． (在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质) (三)应用举例 师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．请看例题1．(板书) 例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书． (1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ (2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ (3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ (让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法) 师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是 N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14． 故从书架上任取一本书的不同取法有14种． 师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是 N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90． 故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法． 师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是 N=3×5＋3×6＋5×6=63． 即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种． 师：请大家再来分析和解决例题2． (板书) 例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？ 师：每一个三位整数是由什么构成的呢？ 生：三个整数字． 师：023是一个三位整数吗？ 生：不是，百位上不能是0． 师：对！百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0．那么要组成一个三位数需要怎么做呢？ 生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上的数字；第三步确定个位上的数字． 师：很好！怎样表述呢？ (教师巡视指导、并归纳) 解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100． 答：可以组成100个三位整数． (教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高． 教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础) (四)归纳小结 师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？ 生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理． 师：应用两个基本原理时需要注意什么呢？ 生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的． (五)课堂练习 P222：练习1～4． (对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示) (六)布置作业 P222：练习5，6，7． 补充题： 1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？ (提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数) 2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数． (提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式) 3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？ (提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数) 4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？ (提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3) 课堂教学设计说明 两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头．中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键．所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题． 正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件．而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立．教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的． 分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练．教学中给出了例题 1、例题2．这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯．为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础． 考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪．要是有实物投影仪那就更方便了．第三篇：2014年高考数学分类(高考真题+模拟新题)计数原理 文
第四篇：2018理数高考真题
第五篇：分类计数原理和分步计数原理教案1
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