数学-立体几何[合集5篇]

第一篇：数学-立体几何

立体几何

1、空间的直线与平面

⒈平面的基本性质

（1）三个公理及公理三的三个推论和它们的用途；⑵斜二测画法． ⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．

（1）公理四（平行线的传递性）．等角定理．

（2）异面直线的判定：判定定理、反证法．

（3）异面直线所成的角：定义（求法）、范围．

⒊直线和平面平行于平面和平面平行

（1）直线与平面平行：直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．

（2）平行平面：两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直

（1）直线和平面垂直：定义、判定定理．

（2）垂线定理及逆定理． 典型例题 例1 如图，P是⊿ABC所在平面外一点，M，N分别是PA和AB的中点，试过点M，N做平行于AC的平面，要求：（1）画出平面分别与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线；

（2）试对你的画法给出证明．

解：（1）过N点作NE//AC交BC于E，过M点作MF//AC交PC于F，连结EF，则平面MNEF为平行于AC的平面，NE，EF，MF分别是平面与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．

（2）∵NE//AC，MF//AC，∴NE//MF.∴直线NE与MF共面，NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．

∵NE//AC，NE平面MNEF，∴AC//平面MNEF．

∴平面MNEF为所求的平面．

2、空间向量

1、空间向量及其运算

（1）空间向量及其加减与数乘运算（几何方法）．

（2）共线向量定理与共面向量定理．

（3）空间向量基本定理．

（4）两个向量的数量积：定义、几何意义．

2、空间向量的坐标运算

（1）空间直角坐标系：坐标向量、点的坐标、向量的坐标表示．

（2）向量的直角坐标运算．

（3）夹角和距离公式．

3、夹角与距离

1、直线和平面所成的角与二面角

（1）平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．

（2）二面角的定义、范围、二面角的平面角、直二面角；互相垂直的平面及其判定定 理、性质定理．

2、距离：点到平面的距离；直线到与它平行平面的距离；两个平行平面的公垂线、公垂线段；异面直线的公垂线及其性质、公垂线段。

典型例题

例1 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°（PD和其在底面上的射影所成⑴若AE⊥PD，垂足为E，求证：BE⊥PD；

⑵求异面直线AE与CD解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz，由题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0)

证明⑴：∵PD在底面上的射影是DA，且PD与底面成2a), ∴∠PDA＝30°，P(0,0,3∵AE⊥PD，||113||a,E(0,a,a)22

2132(a,a,a),(0,2a,3a), 223

0(a)aa22a(a)0,，即BE⊥

223

a3aa2

解⑵：由⑴知(0，),(a,a,0),, 222

又|AE|a,|CD|2a,2，4∴异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2.44、简单多面体与球

1、棱柱与棱锥：（1）多面体；（2）棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质；（3）平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱的性质；（4）棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质；直棱柱和正棱锥的直观图的画法。

2、球

⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．

⑵球的体积公式和表面积公式．

典型例题

例题1．在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两

两垂直，H是△ABC的垂心

求证：⑴PH底面ABC⑵△ABC是锐角三角形

证明：⑴∵PAPBPAPC且PB∩PC=P

∴PA侧面PBC又∵BC平面PBD∴PABC

∵H是△ABC的垂心∴AHBC

∵PA∩AH=A∴BC截面PAH

又PH平面PAH∴BCPH

同理可证：ABPH又ABBC=B∴PH面ABC

⑵设AH与直线BC的交点为E，连接PE

由⑴知PH底面ABC∴AE为PE在平面ABC的射影

由三垂线定理：PEBC

∵PBPC即△BPC是直角三角形，BC为斜边

∴E在BC边上由于AEBC，故B∠C都是锐角

同理可证：∠A也是锐角∴△ABC为锐角三角形

A C

第二篇：2018高二数学立体几何学习方法

2018高二数学立体几何学习方法

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。查字典数学网为大家推荐了高二数学立体几何学习方法，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

一、逐渐提高逻辑论证能力

论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(推出法)形式写出。

二、立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

(1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

(2)培养空间想象力。

(3)得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

三、转化思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用转化这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

(1)两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

(2)异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

(3)面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

(4)三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

四、培养空间想象力 为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形(如：直线和平面)、简单的几何体(如：正方体)开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如：纸、黑板)上，还要能根据画在平面上的立体图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

五、总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。

还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在按步给分的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

六、典型结论的应用

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

小编为大家提供的高二数学立体几何学习方法，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。

第三篇：高二数学立体几何基本知识及定理

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间点、直线、平面的位置关系

（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）

（2）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（5）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

（6）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（7）空间直线与平面之间的位置关系——平行、相交、线在面内

（8）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；相交——有一条公共直线。

3、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。，（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

第四篇：职高数学立体几何教学随笔

职高数学立体几何教学随笔

立体几何中直线和平面的这些内容，是立体几何的基础，也是学好这块知识的关键。学好立体几何，不仅要有丰富的空间想象能力，也要有严密的逻辑论证能力。职高的学生数学基础较为薄弱，对于立体几何的学习更是困难。下面我简要谈谈学习立体几何的几点想法：

一、培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形、简单的几何体开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以题设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

二、提高逻辑论证能力

数学是一门逻辑严密的学科，对于每一个定理的理解都要做到准确无误，在证明时要将定理的所有条件都具备了，才能推出结论。在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法形式写出。

三、总结规律，多加练习

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。学生对立体几何的内容应该勤加练习，巩固对定义、定理及各种推论的理解和记忆。许多学生在论证问题时存在表达不够规范、严谨，因果关系不充分，符号语言不会运用等多种问题。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，平时练习时注重答题格式，多参照课本中的例题，夯实课本基础知识，多加练习，提高自己的论证能力。从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

第五篇：高三数学总复习立体几何复习

高三数学总复习立体几何复习(1)

一、基本知识回顾

(1)重要的几何位置关系；平行与垂直。主要包括线线、线面、面面三种情况。证明的基本思路：一般情况下，利用判定定理。而构造满足判定定理的条件时一般采用性质定理，即利用性质定理逆推来寻找满足判定定理的条件(关键图形)。一般的思路是：线线←→线面←→面面，即高维的位置关系借助低维的位置关系来证明(判定)，低维位置关系作为高维位置关系的性质。下面列表说明证明的一般方法。(需要说明的是，表中的性质定理并不是该表格所判定的位置关系的性质定理。如表1中的性质定理并不仅限于线线平行的性质。)

①线线平行的判定：

平行公理

性质定理

②线面平行的判定：

判定定理

性质定理

③面面平行的判定；

判定定理

性质定理

线面平行

面面平行

④线线垂直的判定：

判定定理

性质定理

⑤线面垂直的判定：

判定定理

性质定理

⑥面面垂直的判定：

判定定理

总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。

(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。

判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。

二、基本例题

例1 已知：

分析：利用线面平行的性质与平行公理。注意严格的公理化体系的推理演绎。

说明：过l分别作平面

∴l∥m同理l∥n

∴m∥n

又

又

例2.已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面AB垂直，设M是a上任意一点，N是b上任意一点。

经过点P且与

求证：线段MN与平面的交点Q是线段MN的中点。

分析：利用线线平行、线面平行的性质。

证明：连结BM，设，连结PR，QR

在平面ABM中，AB⊥PR，AB⊥AM

∴AM∥PR，同理可证

∵BNÌ平面BMN且平面

且R为BM中点

∴BN∥RQ

△BMN中，由R为BM中点可知Q为MN中点。

例3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点。

(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD

分析：利用性质定理来构造满足判定定理的条件。

(1)法一：取PD中点E，连结NE，AE

∴△PCD中NE，又AM，∴AMNE

∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE

∴MN∥平面PAD

法二：连结CM并延长与DA延长线交于F，连结PF

∴M为CF中点，∴MN∥PF，∴MN∥平面PAD

法三：取CD中点G，连结NG，MG

∴NG∥PD，MG∥AD，∴平面AD∥平面MNG

∴MN∥平面PAD

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

由(1)知CD⊥AE(或PF)，∴CD⊥MN

[或CD⊥平面MNG，∴CD⊥MN]

例4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1上一点，平面AMC1⊥平面A1ACC1，N是A1C1的中点，P是A1A的中点，求证：平面AMC1∥平面B1NP

证明：在平面AMC1中作MD⊥AC1

∴MD⊥平面ACC1A1

由正三棱柱的性质，B1N⊥平面ACC1A1

∴MD∥B1N

又△A1AC1中，DN∥AC1且AC1∩MD=D，DN∩B1N=N

∴平面AMC1∥B1NP

例5 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD。过A且垂直于PC的平面分别交PB、PC、PD于E、F、G。求证：AE⊥PB，AG⊥PD

分析：利用线面垂直的性质。

证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

由已知BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE ∵PC⊥平面AGFE，∴PC⊥AE

∴AE⊥平面PBC

∴AE⊥PB，同理AG⊥PD

例6.已知：三棱锥A-BCD，AO1⊥平面BCD，O1为垂足，且O1是△BCD的垂心。求证：D在平面ABC上的射影是△ABC的垂心。

分析：利用线面垂直的性质。

证明：连结DO1，AO1设D在平面ABC内的射影为O2，连结DO2，AO2，∵AO1⊥平面BCD，∴DO1为AD在平面BCD内射影

同理AO2为AD在平面ABC内射影

∵O1为BCD的垂心 ∴DO1⊥BC ∴BC⊥AD ∴BC⊥AO2同理AB⊥CO

2∴O2为△ABC的垂心

例7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1

分析：三垂线定理的逆定理的应用(线面垂直的性质)

证明：取AB、A1B1中点DD1，连结A1D，CD，C1D1

由正三棱柱的性质C1D1⊥平面ABB1A1，CD⊥平面ABB1A1，∴A1D、BD1分别为A1C与BC1在平面ABB1A1内的射影

∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1。

在矩形ABB1A1中A1D∥BD1，∴AB1⊥A1D ∴AB1⊥A1C

例8 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点。

求证：平面MND⊥平面PCD。

证明：取PD中点E，连结NE、AE 由例3，MN∥AE，CD⊥MN，CD⊥平面PAD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD ∴等腰Rt△PAD中AE⊥PD Rt△PCD中NE∥CD，∴NE⊥PD ∴PD⊥平面MNEA，∴PD⊥MN ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD