弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明

第一篇：弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明

肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师1820366037

3弦切角、切割线、相交弦

三条圆这一章已删定理的证明

一、弦切角定理

1、弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图（1）所示，AB为圆的一条弦，BC为圆的切线，∠ABC即为圆的的弦切角。

图（1）

BC2、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。证明如下：

A

图（2）

如图（2）所示，已知AB为⊙O的直径，BD为过圆上B点的切线，求证：（1）∠CBD=∠CAB,∠CBD=∠CEB（2）∠CBD=∠COB 21证明：（1）∵AB为⊙O的直径，BD为过B点的切线∴AB⊥BD

∴∠ABD=90º

肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师***∴∠ABC＋∠CBD=90°

∵AB为⊙O直径

∴∠ACB=90°

则∠ABC＋∠CAB=90°

∴∠CBD=∠CAB

∵∠CAB和∠CEB同弧所对的圆周角∴∠CAB=∠CEB

则∠CBD=∠CEB

（2）∵∠CAB和∠COB是同弧所对的圆周角和圆心角∴ ∠CAB=∠COB

21又∵∠CBD=∠CAB

∴∠CAB=∠COB 21

二、切割线定理及推论

1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。证明如下：

图（3）

如图（3）所示，直线PA与圆相切于A点，直线PC与圆相交于B、C两点，求证：PA²=PB·PC

证明：连结BA、CA

∵PA为圆的切线∴∠PAB=∠PCA（弦切角定理）

∵∠PAB=∠PCA，∠BPA=∠APC（公共角）∴△PAB∽△PCA

∴PA

PC = PB

PA

∴ PA²=PB·PC

第二篇：郭氏数学 圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

郭氏数学内部资料

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知

结论 证法 相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，理

于P.△APC∽△DPB.相交弦定⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC2＝PA·PB.用相交弦定理.理的推论

于P.证：郭氏数学内部资料

切割线定理

⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 割线PB交⊙O于A

连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT

切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C

过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理

圆幂定理

⊙O中，割线PB交⊙O于P'C·P'D＝r2－延长P'O交⊙O于M，延A，CD为弦 OP'2 长OP'交⊙O于N，用相交

PA·PB＝OP2－r2 弦定理证；过P作切线用

r为⊙O的半径

切割线定理勾股定理证

8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|圆幂定理。

【典型例题】

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。|（R为圆半径），因为

叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为

图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，郭氏数学内部资料

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2 解：由相交弦定理，得

AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，∴，即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故应填3或4。

点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 解：∵∠P＝∠P

∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，________。

∴。

又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得

∴，即，故应填PC。

点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。郭氏数学内部资料

图3 解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得 ∴ ∴，∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

设圆心O到AB距离为d cm，由勾股定理，得

故应填。

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：

；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4 点悟：要证 证明：（1）连结BE，即要证△CED∽△CBE。

（2）。

又∵，∴厘米。

点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。郭氏数学内部资料

例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

图5 求证：

证明：连结BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD

∵AB为⊙O的直径

∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°

∴△ADE∽△BAD

∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

图6 点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA

∴

同理可证△PCD∽△PBC

∴

∵PA、PC分别切⊙O于A、C ∴PA＝PC ∴

郭氏数学内部资料

∴AD·BC＝DC·AB

例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

图7 求证：BC＝2OE。

点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。

证明：连结OD。

∵AC⊥AB，AB为直径

∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B ∵∠ODE＝90°

∴ ∴∠C＝∠EDC

∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位线

∴BC＝2OE

一、选择题

1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A.B.C.5 D.8 2.下列图形一定有内切圆的是（）

A.平行四边形 B.矩形

C.菱形 D.梯形

3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）

图1 A.50° B.40° C.60° D.55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm 5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A.B.C.D.6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD 郭氏数学内部资料

＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）

A.20 B.10 C.5 D.二、填空题

7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。

8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。

9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，则PC的长为_____________。

10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。

三、解答题

11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。

图2

12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。

图3

13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。

图4