第三回彩虹为何眩目且听统计描述

第一篇：第三回彩虹为何眩目且听统计描述

第三回彩虹为何眩目且听统计描述

如果人总是从一滴水中观察光线的反射，他就很难理解美丽的彩虹现象

——凯特莱

有一句歌词写的挺好：―不经历风雨怎能见彩虹‖。好就好在写得有些道理。

第一，这句歌词写清楚了风雨和彩虹的关系。风雨在前，彩虹在后；风雨是因，彩虹是果；风雨是

解释变量，彩虹是被解释变量。

第二，这句歌词还告诉我们，透过一滴雨水是看不见彩虹的。虽然歌词没有讲清楚能够看见彩虹的雨是中雨、大雨、还是暴雨，但必须是有足够多的雨滴组成的雨。词作者可能不懂统计，但他有大数定律的朴素思想。

但是，歌词写得虽好，在理论上还存在一些问题。在自然现象中，风雨一般是结伴而行的，有一句话叫―风雨交加‖嘛。但经科学分析，我们可以得出结论，风和彩虹没什么相关关系，将风雨加在一起写进歌词，好像风和雨对彩虹的出现各有50%的贡献，与事实不符。显然，词作者在这方面的知识不如凯特莱，至少他不懂变量筛选技术。更严重的问题是，词作者遗漏了一个更重要的变量，即雨后的阳光。不论雨量

大小多么适合彩虹出现，如果雨停的时间正好是后半夜，也绝见不到彩虹。

如果笔者写这句歌词，绝不会出现上述的不严密。

比较准确的表述是：雨后的天空，当雨滴还飘散在空气中，来自远距离的太阳光线投射在雨滴上，产生一系列的彩色圆弧，可分解为赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光带，此时天空中的景色异常美丽，这就是人们通常所说的彩虹现象，简称彩虹。有时在彩虹的外侧还能看到第二道虹，光彩比第一道彩虹稍淡，称为霓。虹和霓的色彩排列次序正好相反。虹的色序是外赤内紫，而霓的色序是外紫内赤。以上表述便是彩虹的比较全面的定义。此定义虽比原歌词严密，但估计谱上曲子唱出来，可能没有原歌词上口。

多少年来，在人们看来，彩虹是美丽而神秘的。史书有记载，民间有传说，少女借其抒情，词人借其咏志。早年间，希腊女神Iris把彩虹作为警示和希望的征兆；在非洲的神话中，彩虹被认为是暴风雨过后出来掠物的巨蟒；我国殷代甲骨文中，认为彩虹是龙在雨后的显形，所以虹字带上了―虫‖字旁，并一直

沿用至今。

科学家，这里主要指物理学家和统计学家忒不会浪漫，他们非要打破人们对彩虹的七色梦幻，还其以一个用科学解释和变量描述的本真。经过他们几百年的努力，彩虹的谜团正在解开。

―赤橙黄绿青蓝紫，谁持彩练当空舞‖。是什么东西决定了彩虹的出现，彩虹为什么有七种颜色，七种颜色为什么又有特殊的排列，彩虹为什么在当空舞成一个抛物线，即一段圆弧，―当空‖到底有多高，即什么决定了彩虹的高度，为什么虹出现以后，有时还会出现霓，等等。从十四世纪开始，科学家包括笛卡尔、牛顿等一些科学巨匠就开始捉摸这些问题。逐渐地，人们开始认识到彩虹与雨滴对光的反射和折射有关。

任何一门应用统计，都是统计理论与方法和所应用领域学科的结合。经济统计学就是统计理论与方法和经济理论的结合。彩虹问题也不例外，应当是光学与统计学的结合。但笔者的光学知识甚少，只停留在光线太暗了什么都看不见，光线太强了刺眼的水平上。所以，在彩虹问题上笔者出现的系统误差请读者

不要太挑剔。

远在1657年，法国数学家、物理学家、概率统计的奠基人费尔马（Pierre de Fermat，1601—16

65）提出了著名的Fermat原理。费尔马发现光线是沿直线传播的，遇到障碍物又能拐弯，由于介质不同

或不严格地说障碍物不同，光线的拐弯可分为反射和折射。

我们假定天空中的雨滴是一个球体。太阳光从远处通过空气射到雨滴，由于远处很远，所以可以假定太阳光线是相互平行的。阳光从空气穿过雨滴的过程中，一部分光线被反射，另一部分光线通过折射而进入雨滴内部，进入雨滴内部的光线又经过反射和折射，最后再折射回空气中，便形成了虹。如图所示：

α α

A点为光线的照射点，即光线通过空气和雨滴的交接点。一部分光线经过A点反射出去，其余光线通过雨滴而折射，α是入射角，β是折射角，当光线折射到B点，再B点光线又经过反射通过C点，最后

在C点折射回到空气中，这一过程称为一次反射途径。

如图所示，只要A点在雨滴的左侧上方任何一点，它都在雨滴的下半部离开雨滴。虹的出现与光线离开雨滴时的方向折射情况有关，即与光线的折射的角度有关。若光线是沿着圆的直径方向进入雨滴，则入射角为0°，折射角也是0°，最后光线从雨滴的后面反射出来退出雨滴，从顺时针方向来看，总的折射角是180°。由于圆是对称的，因而只需考虑左上部的四分之一圆上的点即可，即对于。在A点经折射，折

转了，在点经反射又折射了，最后在C点再折射，设为光线折射的角度，则：

根据折射定理：入射角的正弦与折射角的正弦之比为常数，即有，称为折射率。因此，令，得

由可以得到，即

实验证明，光在空气中的速度大于在水中的速度。由于雨滴是水，折射率，所以有。并且有：。

由于。其中。

所以，故，这表明在时，取得最小值。这就是虹出现的位置，射入角为59.6°的光线为虹光线，42.5°=180°– 137.5°为虹角。因此，雨滴在观测者的特定角度下，它将呈现较亮的光线。如果观测者处于顶角为二倍虹角的圆锥顶点处，这时用垂直于轴的平面去截圆锥，就会得到一个圆形的截面，每个锥表面

上的雨滴都构成虹角，于是观测者就看到了天空中一条明亮的圆弧，这就是虹。

虹出现的高度依赖于太阳的高度。对于地面上的观察者来说，虹最多是个半圆。如果观察者能飞行

到一定高度，虹则是一个完整的圆。

虹为什么有七种颜色呢，因为光线是一种电磁波，具有连续的波长光谱。波长在6470—7000，看到的是红色，波长在4000—4240，看到的是紫色，其它颜色的波长介于二者之间。而且，水的折射也依赖于所通过的光的颜色，红光的折射率为1.3318，紫色的折射率为1.3435。针对不同颜色的光，可以重复计算最小折转角。红光的最小折转角为137.7°，相对应的虹角为42.3°，紫光的最小折转角为139.4°，相对应的虹角为40.6°。也就是说，观测者在观看彩虹时，看到的红光圆弧略高于紫光圆弧，混有不同波长的阳光射在雨滴上，折射出各种不同颜色的圆弧，顺序为赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫。

我们构造的彩虹模型只是一个理论模型，相当于回归分析中设定的理论曲线。在实际观测中，我们会发现彩虹的高度是有时高有时低，长度是有时长有时短，亮度有时明有时暗，弧度是有时弯有时缓，更接近一幅散点图。很多年来，时有学者对其进行观测和计算。牛顿经过测算，更正了―平行光线‖的假定，得出了太阳直径允许有0.5°的偏差，虹的宽度约为2.2°的结论，与实际观测结果基本一致。

虹是由阳光的第一次反射形成的，而霓则是由第二次反射形成的，建立模型的基本道理一样，只是

更复杂一些。为避免言多语失，让物理学家看见笑话，恕不赘述。

读者看罢此回，可能产生不满，统计是有用处，但彩虹用处不大。它

不顶吃,不顶喝，远在天边，只有视觉享受。不如将有用的统计用于我们身边。笔者十分理解读者感受，我们不仅要将统计应用于我们身边，还要应用于我们身上。请看第四回：君欲减肥成功统计授你秘诀。