《数学归纳法》练习题

第一篇：《数学归纳法》练习题

《数学归纳法》练习题

一、选择题：

1.用数学归纳法证明“(n1)(n2)...(nn)2n13...(2n1)”从k到k1左端需增乘的代数

（）式为

A．2k1B．2(2k1)C．2k12k3D． k1k

12.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线的条数f(n1)为（）

A．f(n)n1B．f(n)nC．f(n)n1D．f(n)n

23.如果命题p(n)对nk成立，那么它对nk2也成立，又若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是（）

A．p(n)对所有自然数n成立B．p(n)对所有正偶数n成立

C．p(n)对所有正奇数n成立D．p(n)对所有大于1的自然数n成立

4.已知f(n)111(nN)，则f(k1)（）n1n23n1

11B．f(k) 3k23(k1)1

111111D．f(k)3k23k33k4k13k4k1 －A．f(k)C．f(k)5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋„＋n×3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值

为()

1111A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c 244

46.用数学归纳法说明：1+111nn(n1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边232

1增加的项数是()

kkk-1kA.2B.2-1个C.2个D.2+1个

4(k1)152(k1)1可变形为7.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，（）

3Ａ．56·34k125(34k152k1)·34k152·52k Ｃ．34k152k1Ｄ．25(34k152k1)Ｂ．34

18．在数列{an}中，a1Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式()3

A.1111B.C.D.(n－1)(n＋1)2n(2n＋1)(2n－1)(2n＋1)(2n＋1)(2n＋2)

二、填空题：

9．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为_____________________ 10.用数学归纳法证明不等式1111127n1成立，起始值至少应取为． 2426

411.楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为____________

三、解答题：

12.用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)n(3n1)(nN)．

213用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.14.用数学归纳法证明：1nN)．

15．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，„.(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．

12.证明：（1）当n1时，左边2，右边1(31)2左边，等式成立． 2

k(3k1)． 2（2）假设nk时等式成立，即(k1)(k2)(kk)

则当nk1时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)[(k1)(k2)(kk)]3k2k(3k1)3k2

33k27k4(k1)(3k4) 22

(k1)[3(k1)1]，2

nk1时，等式成立． 

由（1）和（2）知对任意nN，等式成立．

13.证明：(1)当n=1时，4+3=91能被13整除

2k+1k+2(2)假设当n=k时，4+3能被13整除，则当n=k+1时，2(k+1)+1k+32k+12k+22k+12k+14+3=4·4+3·3－4·3+4·3

2k+12k+1k+2=4·13+3·(4+3)

2k+12k+1k+2∵4·13能被13整除，4+3能被13整除

∴当n=k+1时也成立.*2n+1n+2由①②知，当n∈N时，4+3能被13整除.14.证明：（1）当n1时，左边1，右边2，12，所以不等式成立．

（2）假设n

k时不等式成立，即12×1+11+2 则当ak

1时，1

 即当nk1时，不等式也成立．

由（1）、（2）可知，对于任意nN时，不等式成立．

15.解：(1)当n＝1时，x－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，12于是(a1－1)－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1

212当n＝2时，x－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，22

121于是(a2－)－a2(a2－a2＝0，22

1解得a2＝.6

(2)由题设(Sn－1)－an(Sn－1)－an＝0，2

S2

n－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①

1112由(1)得S1＝a1，S2＝a1＋a2＋＝226

33n由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，„.4n＋

1下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝

1k＋1，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝Sk＋1＝，故nk＋12－Skk＋2knn＋1对所有正整数n都成立．

第二篇：1年级奥数练习题

例题6小丁丁今年6岁，爷爷说：“你长到10岁的时候，爷爷正好是70岁，”问爷爷今 年几岁？

解答：根据爷爷的话，爷爷比小丁丁大70-10=60岁，那么今年爷爷也是比小丁丁大60岁，小丁丁今年6岁，所以爷爷今年就是6+60=66岁。

例题7 妈妈买来了40个草莓，亮亮第一天吃了一些，第二天又吃了一些，这是还剩下1 2个草莓，亮亮两天一共吃了多少个草莓？

解答：40-12=28（个）亮亮两天一共吃了28个草莓。用草莓的总数减去剩下草莓的个数，就等于两天一共吃掉草莓的个数。例题

8早上上学，小萍走进教室，看见教室里已经来了8名同学，过了一会儿，又来 了5名同学，现在教室里一共有几名同学呢？

解答：8+5+1=14（人）粗心的同学一看题目就回答教室里现在的同学是8+5=13名，但仔细想想题目中说“小萍走进教室，看见教室里已经来了8名同学”，并没有数自己。所以还要算上小萍自己才是现在教室里一共的同学人数。例题91，2，5，6，9，（），（），14 解答：通过观察我们发现：1+1=2，2+3=5，5+1=6，6+3=9……后一个数在前一个数的基础上分别+1，+3，+1，+3，+1，+3……所以后面的数应该是9+1=10，10+3=13，空白处应该填10，13。例题

10小芳用了5元钱后现在有6元钱，小芳原来有多少元？ 解答： 5+6=11（元）

因为原来有的钱数-用了的钱数=剩下的钱数，所以用了的钱数+剩下的钱数=原来有的钱数

【小结】在解还原问题的题目时一般采用倒推法，这种解题方法一般是从结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析，推理直到得出答案

例题11 姐姐今年8岁，爸爸今年32岁，四年后爸爸比姐姐大多少岁？ 解答：32-8=24（岁）

因为爸爸和姐姐的年龄差不变，所以四年后的年龄差等于今年的年龄差。

【小结】 解这类题的关键是理解两人的年龄差是固定不变的，即两人的年龄是同时增长的。例题12计算：21+22+23+24+25+26+27+28+29的和等于多少？ 解答：21+22+23+24+25+26+27+28+29 =21+29+22+28+23+27+24+26+25 =50+50+50+50+25 =225 【小结】 对于这类题目要注意观察数字的规律和符号的规律

例题13 小明在操场上排队做操，老师数了数人数发现在小明的前面有6人，后面有8 人，问这队共有多少人？

由图可知：总人数是 6+8+1=15 【小结】 对于这类题目可以用以下公式：总人数=排在前面的人数+排在后面的人数+1 例题15 今天老师带着一年级的小朋友到路边植树。小朋友们每隔1米种一棵树（马路 两头都种了树），最后发现一共种了11棵，请问这条马路有多少米？ 解答：画示意图如下：

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题。” 【小结】植树问题通用公式：距离=间隔×段数

需要注意的是植树的方式，不同方式之间的主要区别在于棵数与段数的关系。

不封闭体系，两端种树：棵数=段数+1 一端种树：棵数=段数

两端都不种：棵数=段数-1 封闭体系： 棵数=段数 例题 16 把1，2，3，5，7，8填入下面的圈圈中，使得每个三角形上的三个数相加的 和相等，要怎么填呢？

解答：圈圈中填的是1~9，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以旁边三个三角形每个三角形上的和是15，中间的三角形和也是15，中间剩下的那个填5，其余的慢慢填就好了。同学们也可以通过尝试来得到结果的。

图中1和9，3和8，2和7的位置可以互换。

例题17糖果

判断：小易的糖果比薇薇多，薇薇的糖果比欣欣少，那么下面哪个说法是对的？

（1）小易的糖果比欣欣多

（2）小易的糖果比欣欣少

解答：根据题目我们无法知道小易和欣欣谁的糖果多，所以两个判断都是错的。例题18计算

算一算，下面的式子答案是多少？ 1、11+12+14+18+26+29=

2、（3+5+7+9+11）-（2+4+6+8+10）= 例题19 有一根木头，每1米锯一下，每锯一下需要1分钟，总共6分钟锯完，那么这 根木头有多长呢？（假设木头的长度为整数）

解答：每锯一下需要1分钟，共锯了6分钟，所以锯了6下。锯6下共有7 段（这个同学们可以通过实物模拟，了解为什么是7段），每段1米，所以长7米。例题20硬币

有7枚硬币，分给2个人，要求每个人得到的硬币数都是奇数，能做到么？如果分给3个人，要求每个人得到的硬币数都是奇数，能做到么？

解答：7是一个奇数，两个奇数相加一定是一个偶数，所以把7个硬币分给两个人，每个人所得硬币数都是奇数是不可能的。分给3个人的话，可以；7可以拆成一个奇数加上一个偶数，而这个偶数可以拆成两个奇数相加，所以三个奇数相加可以为7；比如1，1，5或1，3，3。

第三篇：四年级奥数练习题

四年级练习题

班级：姓名：.今有鸡、兔同笼，上有三十五头，下有九十四脚，鸡、兔各几只？

2.冬冬的存钱罐里有一些硬币，他倒出来数了数，2角和5角硬币共36枚，共计99角。问这两种硬币各多少枚？

3.同学们参加数学竞赛，男生的平均分是60分，女生的平均分是70分，全体同学一共得了6300分，平均每人得了63分。参加数学竞赛的有多少名男生？多少名女生？

4.鹤壁市数学竞赛，共出15道题，每做对一道得8分，每做错一道扣4分。齐齐做了全题目共得72分，他做对几道题？

5.新学期开学了，学校安排学生宿舍。如果每间5人，则有14人没有床位；如果每间7人，则多6个床位。该校有宿舍多少间？共有多少名学生？

6.一棵石榴树上结有石榴，石榴数目减去6，乘以6，除以6，结果等于6.请你算一算，这棵石榴树上一共有多少个石榴？

7.实验小学进行团体体操表演，如果每行排8人，则多出17人，如果每行排10人，还多出5人，问排成多少行？有多少学生？

8.小朋友们分一堆苹果。先把一半分给年龄较小的，然后再把其余的一半加3人分给年龄较大的，最后还剩下5个苹果。问这堆苹果原来有多少个？

9.小敏用8元钱正好买了面值为20分和100分的邮票共16张，则20分的邮票有多少张？100分的邮票有多少张？

10.在一场NBA篮球赛中，巨星姚明开场后不久连连得分。已知他投中10个球（没有罚球），共得23分，问姚明投中多少个2分球？多少个3分球？

11.老师把练习本奖给三好学生，每人9本少15本；每人7本则少7本。这批三好学生有多少人？有多少本练习本？

12.师徒二人轮流加工一批零件，师傅每小时加工60个，徒弟每小时加工40个，他们一共加工了260个零件，平均每小时加工52个，求师、徒各加工了几小时？

第四篇：奥数等差数列练习题

等差数列

1.一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？

2.自1开始，每隔两个数写一个数来，得到数列：1,4,7,10,13，….，求出这个数列前100项只和？

3.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位。最后一排有94个座位。问这个影剧院共有多少个座位？

4.小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看的页数相同，第25天看了97页刚好看完。问：这本书共有多少页？

5.已知数列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，….，这个数列的第30项是哪个数字？到第25项止，这些数的和是多少？

植树问题

1.在一段公路的一旁栽95棵树，两头都栽，每两棵树之间相距5米，这段公路长多少米？

2.有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处，需要3分钟，全部锯完需多少时间？

3.一座楼房每上一层要走16个台阶，到小英家要走64个台阶。她家住在几楼？

第五篇：猜数游戏练习题

猜数游戏练习题

（一）我们一起填一填。1.含有未知数的（）叫做方程。2.求方程的解的过程叫做（）。

3.使方程左右两边相等的未知数的值叫（）。

（二）判断。（正确的在括号里面画“√”，错的画“×”）1.含有未知数的式子叫方程。（）2.3-2x这个式子是方程。（）3.31=27x这个式子是方程。（）4.x=7是方程2x-3=11的解。（）5.求方程的解的过程叫解方程。（）

（三）解方程，并检验。

3x+8=38 3x-4=11 4x+6=26 8x÷8=1.5 2x-13=25 5x+7=42

（四）解决问题

1.小军心里想了一个数，他用这个数乘3，再减去40，等于20，他心里想的数是多少？（用方程解答）

2.我心里想的一个数，它乘2，再加上10就等于100.你能利用我们学过的方程知识求出这个数是几吗？

3.学校环保活动小组中男生有28人，比女生人数的2倍多6人。环保活动小组中女生有多少人？

4.学校军乐队人数比数学兴趣小组人数的2倍少2人，军乐队有56人，参加兴趣小组的有多少人？

（五）扩展提高

1.从甲地到乙地铁路线全长1392千米，119次列车和118次列车分别从甲、乙两地同时相对开出，6小时后，两车到达同一地点，甲车行了711.3千米，乙车平均每小时行多少千米？

2.方程bx-2.3=0.2与9x+1.2=3的解相同，求b-0.8的值。3.两数相除的商是5，余数是8，并且被除数、除数、商和余数的和是99，求除数。