吴文俊数学机械化的成就和意义

第一篇：吴文俊数学机械化的成就和意义

吴文俊数学机械化的成就和意义

自1976年冬，中国著名教授吴文俊在中国古代数学机械化思想的启发下，尚不知外国人的研究成果，独辟蹊径，大胆地投入数学机械化的研究，创建了数学机械化方法：从几何公理体系出发，引进坐标，将任意几何问题代数化→将证明题的假设与结论分别表示成多元多项式方程→在电子计算机上运算，以判断定理是否成立。

吴文俊教授运用自己的方法，在电子计算机上完成了西姆森线、费尔巴哈定理、毛莱定理等一系列初等几何的证明。随后，他又把证明的范围扩大到非欧几何、仿射几何、圆几何、线几何、球几何等领域。目前，运用吴文俊教授的方法，已证明出600多条定理，许多定理的证明只需几秒甚至零点几秒就可在电子计算机上完成。甚至有一些定理证明相当繁杂，即便交给杰出的数学家来证，也是相当困难的。

中国数学家吴文俊，终于实现了千百年来几何定理机械化证明的梦想。被誉为“吴方法”的诞生，给两千多年的公理化演绎体系带来了强烈冲击。

吴文俊教授还用自己的方法，证明了可以用计算机程序从刻卜勒定律推导出牛顿定律，这已超出了数学定理机械化证明的范畴，而是属于更广的自动推理。其实，各个科学领域研究的问题，只要涉及到方程求解，“吴方法”都会有用武之地。

美国《自动推理杂志》编委穆尔认为，“吴方法”建立之前，几何定理机械化证明的研究处于一片黑暗，吴不仅冲破了这种沉寂的局面，而且带来了光辉的前景。

美国自动推理的权威人物淮斯认为，吴文俊在自动推理领域的杰出贡献是不可磨灭的，他理应获得最高奖。

吴文俊的心愿：“中国传统数学濒于失传并让位于西方现代数学，已有几个世纪之久了，现在已到了复兴中国数学事业的紧要关头。下个世纪，应该让中国先哲创立的机械化算法体系在数学领域再领风骚”。

机械化数学的典范——评吴文俊的专著《几何定理机器证明的基本原理》--《中国科学院院刊》1987年04期

1899年希尔伯特(Hilbert)出版了他的经典名著《几何基础》,从此奠定了几何公理化体系的基础。1984年科学出版社出版的吴文俊的专著《几何定理机器证明的基本原理》(以下简称《原理》)一书,可以说是奠定了几何机械化体系的基础。它可以与《几何基础》媲美,成为机械化数学的典范著作。

机器定理证明与数学机械化

http://.cn 1999/12/08 11:00 科技日报

1977年，吴文俊证明初等几何主要一类定理的证明可以机械化（即刻板化、程序化、算法化）。1978年，吴文俊又证明初等微分几何中的一些主要定理的证明也可以机械化。其后，他把机器定理证明的范围推广到非欧几何、仿射几何、圆几何、线几何、球几何等领域。

继机器定理证明之后，吴文俊把研究重点转移到数学机械化的核心问题———方程求解上来，得出了作为机械化数学基础的整序原理及零点结构原理，它不仅可用于代数方程组，还可以解代数偏微分方程组，从而大大扩充了理论及应用的范围。国际上公认的“吴方法”不仅在机器定理证明、代数系统求解的理论和算法上，而且在物理学、化学、计算机科学、数学科学和机器人机构学等方面的应用上都取得了国际领先成果。

吴文俊是从对中国传统数学的机械化特征进行深入分析后得出数学机械化的思想和方法的。他的目标是在数学的各个领域全面推行机械化。这一宏伟纲领是继承中国传统文化精华和实现中华民族伟大复兴在数学领域的正确途径。把数学的整类定理（数量可很多甚至无穷尽）整体地考虑，建立统一、确定的证明程序，机械地、按部就班地逐步实施，经有限步即可推断数学命题的真假（真者即为定理），称为数学定理的机械化证明。世界著名数学家、中国科学院院士吴文俊运用以他姓氏命名的“吴氏原理”，在国际上首次实现大量相当困难的数学定理的机械化证明；1997年，在《中国科学》发表划时代论文《初等几何判定问题与机械化问题》；1978年，在微分几何定理的机械化工作方面获突破；1984年，出版极为重要的《几何定理机器证明的基本原理》；1995年，出版专著《吴文俊论数学机械论》。著名数学家张景中院士和杨路教授等人则另辟蹊径，开发数学教育软件，从非线性代数方程组的机器证明入手，发展计算机自动推理，实现了不等式乃至更广泛的数学形式的机器证明，取得国际瞩目的成就。吴文俊荣获首届国家自然科学最高奖，奖金500万元人民币。中国数学机械化学派已处于世界领先地位，正朝着更深入、更全面的各个数学领域的机械证明的宏伟前景进军。

几何定理的机器证明时间:2010-03-26 20:50来源:网络 作者:佚名 点击:234次讲述了用计算机自动证明某一类型几何定理，甚至某一种几何全部定理的原理和方法。

现在大家应该已经形成这样的认识：算法就是针对一类问题的程序性方法，所谓程序性就是每前进一步都有章可循地确定下一步做什么和怎么做。从思想方法上你一定感到这与我们学过的欧氏几何有很大不同，算法思想是从问题解决出发给出算法解而不是按照定义——公理——定理——证明的演绎系统进行的，此二者就是数学发展史中发挥巨大作用的机械化思想和公理化思想。

与源于古希腊的欧氏几何不同，中国古代的几何学乃至整个数学是“术”（算法）的科学，强调构造性、算法化，注意解决科学实验和生产实践中提出的各类问题。例如由观天测地产生的勾股弦公式、日高公式等都是这样的，又如在《四元玉鉴》中己经指出，如果引入天元(即未知数)并建立相应的方程，通过解方程即可自然导出这些几何公式。由此提供了一条证明与发现几何定理的新路：把非机械化的定理求证归结为机械化的方程求解。首届（2001年）国家最高科技奖获得者吴文俊先生曾明确提出，中国古代数学是一种机械化数学，数学机械化思想是中国古代数学的精髓。吴先生的研究起到了正本清源的作用，证实中国古代数学是世界数学的主流之一，促进了西方数学与中国古代数学两大主流的融合，推动了数学的发展，同时也掀起了对中国数学史再认识的新高潮。

吴文俊

公理化体系的几何定理证明非常不机械化。我们都有这样的经验，一个平面几何定理的证明，往往要经过冥思苦想，奇巧构思，无章可循地添加辅助线，迂回曲拆地给出证明。如何利用计算机进行自动推理，特别是进行几何定理的自动证明，是学术界长期研究的课题。所谓定理的机械化证明，就是对一类定理（这类定理可能成千上万）提供一种统一的算法，使得该类定理中每个定理，都可依此方法给出证明。从“一理一证”到“一类一证”，这是数学认识和实践的飞跃。

我们研究的几何机械化问题历史上可以追溯至十二、三世纪宋元时期初次出现的几何学代数化，将几何学问题化为多项式问题，以及相伴而生的多项式组消去法。事实上，早在17世纪大哲学家、大思想家和大数学家莱布尼兹就有机械化证明的设想。只是直到19世纪末及以后由于希尔伯特及其追随者们建立并发展了数理逻辑，这一问题才具有了明确的数学形式。又由于20世纪40年代计算机的出现，才使这一设想有了现实的意义。以下我们按照时间顺序简要介绍一下几何机械化的背景：

在希尔伯特的经典著作《几何基础》中我们可以发现两条机械化定理H和P，这一类可机械化的几何定理的特征是假设部分的代数关系式对于某些特定变量都必须是线性的。这种机械化方法效率最高，即使用手算也可证明颇不简单的定理，但其使用范围过于狭窄。20世纪30年代，美国数学家J.F.Ritt提出了代数几何的构造性理论，并首先提出了多项式组约化整序、特征列等概念，为吴文俊后来的工作铺平了道路。一个必须介绍的人物是波兰数学家Tarski，他在1948的一篇经典著作中解决了实闭域的判定问题，其主要目的之一是给出初等几何定理的机械化证明。只是该方法效率颇低，虽经Seidenberg等人优化仍是繁到不可收拾，因而远远不是切实可行的。1964年Hironaka提出了Grobner基的概念，他称之为“标准基”。1965年B.Buchberger在他的博士论文中深入研究了Grobner基的性质，并给出了Grobner基的算法及改进算法，Grobner基的名称来自于Buchberger的导师W.Grobner(1899~1980)。后文提到的Grobner基方法就是源于对Grobner基性质和算法的应用。吴方法是20世纪70年代末吴文俊先生受中国古代数学机械化思想影响，借助30年代Ritt的理论工作，针对几何定理机器证明问题研究和发展的新方法。吴先生不仅作了许多理论工作，鉴于吴方法的高效性，他还进行了大量的机证实验，证明和发明了不少几何定理。他的工作也影响了国内外一大批数学工作者，将几何机械化乃至整个数学的进程向前推进了一大步。适用吴方法证明的定理有下面特征：假设与结论部分的代数关系式都可以用多项式方程来表示。具体地说：

设A,B,C,D,E,F是平面上的点，借助解析几何知识下列几何性质可以表达为一个或几个多项式方程：

AB平行于CD；

AB垂直于CD；

A,B,C共线；

AB=CD；

C在以A为原点，AB为半径的圆上；

C是AB中点；

锐角ABC与锐角DEF相等；

BD是角ABC的平分线。

一般地，几何定理机器证明问题可以分成下面两个主要步骤：

第一步，用解析几何方法建立坐标系设未知量，将条件表示成所设未知量的多项式方程组G1，将求证表示成多项式方程组G2.（几何的代数化与坐标化）第二步，用一定算法（如吴方法）判断G2是否可以由G1推出。（代数讨论的机械化）

我们也分这两步来介绍。第一步只要看一个简单的例子：射影定理的代数化

求证：直角三角形斜边上的高是斜边两线段的比例中项。

建立坐标系、设未知量如图：

l 条件代数化：

1.AD垂直于BC，斜率互为负倒数，整理得：h1(u1, u2, x1, x2)= x1u1–x2u2 = 0

2.D在BC所在直线上，整理得：h2(u1, u2, x1, x2)= x1u2–x2u1–u1u2 = 0

条件是 四元二次多项式方程组

l求证代数化：

|AD|2 = |CD|·|BD|, 整理得：

g1(u1, u2, x1, x2)=

结论G2: g1(u1, u2, x1, x2)= 0

第二步也就是机械化的核心步骤：判断G2是否可以由G1推出。这样的问题就我们目前所学实在无能为力，甚至说清“推出”二字也很难。比较明显地我们说 可以推出x2–y2–4 = 0还可以推出x = 0等，但是对多元高次的多项式方程组我们就必须借助高等的数学工具和计算机算法来帮忙了。

一种可行的算法是借助前面提过的Grobner基的性质，用计算机去求由多项式组{hi}和g生成的一种代数结构的Grobner基（一组多项式），看这组基中是否包含数字1来判断是否可以推出结论g = 0.吴方法同样是由{hi}构造一组多项式，称为广义特征列。判断g = 0对广义特征列的拟除余式是否为0，就知道求证是否成立了。

上述算法很难理解，事实上多项式方程组求解的问题非常困难，对这个问题的探索理论上引发了代数几何学的建立。我们试着用简单的语言对上面的方法作一点解说：（解释原理，数学上不一定精确）

要证多项式方程g = 0由多项式方程组{hi = 0}推出，就是要证：

g = c1h1 + c2h2 +„+ cnhn, 其中{ci}是和g, {hi}含有相同变元的多项式组。一种朴素的想法是g关于{hi}做除法：用h1去除g, 再用h2去除余式m1, 再用h3去除余式m2„„只要最后hn除余式mn-1为0即可。但是由射影定理的例子可见g关于{hi}实行这样的除法是行不通的。于是我们想办法转化：Grobner基与广义特征列都是多项式组{pi}，使得所有写成d1p1 + d2p2 +„+ dmpm形式的多项式的0点集合就是所有c1h1 + c2h2 +„+ cnhn形式多项式的0点集合（这个集合是令多项式为0的各变元取值的集合，几何上称仿射簇，可以理解为保证多项式方程组同解）。于是问题转化成证明g = d1p1 + d2p2 +„+ dmpm，由于Grobner基与广义特征列具有很好的代数性质，两种算法都可以采用类似多项式除法的办法进行验证。Gröbner基方法中考虑g模{pi}约化的范式（类似于前述多项式除法的最终余式），范式为0说明g = 0 可由{pi = 0}推出，定理得证。吴方法中考虑g关于{pi}拟除的余式Rem(g, {pi}), 余式为0定理得证。

需要指出的是求Grobner基与广义特征列的过程同时也是多项式方程组消元的过程，比证明g = 0用途更广泛的是这两种方法同时给出了求解多项式方程组的有效算法（即使不能求出每个未知量，至少可以保证同解地消掉其中的一部分变元，因而也可用于多参数方程组消参），宏观上这类似前面正文讨论的消元法，因此吴方法也被称为吴消元法。同时吴文俊先生大力倡导数学机械化的应用，如应用于线性控制系统、机构综合设计、平面星体运行的中心构形、化学反应方程的平衡、代数曲面的光滑拼接、从开普勒定律自动惟出牛顿定律、全局优化求解等等。在他的指导和带动下，数学机械化方法还在一些交叉研究领域获得初步应用，如理论物理、计算机科学、信息科学、自动推理、工程几何、机械机构学等等。数学机械化研究正不断开拓更多的应用领域。

关于几何定理的机器证明最后再谈两点，其一文中介绍的Grobner基方法由于在求基的过程中引入大量中间多项式，又可能出现复杂的有理系数，该算法会占用大量的处理时间和存储空间在定理证明中效率远不如吴方法高。二者效率详细对比和大量机证实验可参见.最后一点引用吴文俊先生的话总结数学机械化的实质：

“把质的困难转化为量的复杂。”

这不也是算法思想的实质吗？

第二篇：2012-2013学数学教学工作总结.吴光文

2012-2013学二（1、2）班数学教学工作总结

数学教学，重在初步培养学生的抽象、概括能力，分析、综合能力，判断、推理能力和思维的灵活性，敏捷性等，着眼于发展学生数学能力。通过让学生多了解数学知识的来源和用途，培养学生良好的行为习惯。本学年根据学生的实际情况，采取有效措施，激发学生的学习兴趣，培养学生的学习习惯，引导学生参与学习全过程。在教学过程中主要做到以下几点：

一、以课堂教学为核心。

1、备课。学期初，认真阅读了《数学课程标准》、教材、教参，对学期教学内容做到心中有数；学期中，着重进行了单元备课，掌握每一部分知识在单元中，在整册书中的地位，作用。思考学生怎样学，学生将会产生什么疑难，该怎样解决。在备课中体现教师的引导，学生的主动学习过程。充分理解课后习题的作用，设计好练习。

2、上课。

（1）创设各种情境，激发学生思考。放手让学生探究，动手，动口，动眼，动脑；针对教学重，难点，选择学生的探究结果，让学生进行比较，交流，讨论，从中掌握知识，培养能力；让学生练习在同层次的习题，巩固知识，形成能力，发展思维；尽量让学生自己小结学到的知识以及方法。

（2）及时复习。我的做法是：新授知识基本上是当天或第二天复习，以后再逐渐延长复习时间。该法非常适合低年级学生遗忘快，不会复习的缺点。

（3）努力构建知识网络。一般做到一小节一整理，形成每节知识串；每单元整理复习形成知识链；一学期对整册书进行整理复习。学生经历教材由“薄”变“厚”，再变“薄”的过程，既形成了知识网，又学到了方法，容易产生学习迁移，给学生的创新、实践提供了可能。

3、批改作业。针对不同的练习错误进行面批，指出个性问题，集体订正共性问题。批改作业时，点出错题，不指明错处，让学生自己查找错误，增强学生的分析能力。学生订正后，给予好的评价，鼓励学生独立完成作业。分析练习产生错误的原因，改进教学，提高教师教学的针对性。

4、注重对学困生的辅导。对学困生进行分层次要求。在教学中注意降低难度，放缓坡度，允许他们采用自己的方法慢速度学习，注重学习过程。在教学中

逐步培养他们的学习兴趣，提高学习自信心，对学生的回答采取“扬弃”的态度，从而打破上课发言死气沉沉的局面，使学生敢于回答问题，乐于思考。

5、做好测试评估工作。评估不只是看学生学习成绩如何，更重要的是了解学生学习的心理，作为改进教学的依据。在测试卷中，增加了体现学生思维过程的试题。测试的结果不再作为评价学生唯一依据，而是着重学生的知识掌握情况，学习的态度。在讲评试卷时，按顺序逐题讲解的模式，尝试采用按类讲解。如：将试卷中有关概念的归成一类进行讲解。希望能通过这种方式，让学生从不同角度掌握知识。

二、设计符合小学生年龄特点的实践活动。

小学生掌握的数学知识不算多，接触社会的范围也比较窄。因此根据学生的实际情况设计出“有效”的活动形式。让学生通过测量自己的身高，加深对长度单位的理解。在举行这个活动时，同学们相互测量身高，提高了实践活动的能力。

三、巧妙渗透环保教育，关心环保。

在教育过程中，出现一些应用题，如：用纸折角、拼图等。在完成知识教育后，教育学生将剩余的纸千万不能乱丢，应养成讲卫生，保护环境的良好习惯。

四、勤与家长沟通，实现共同教育。

与家长常联系，搭建良好的沟通平台，让家长及时了解孩子在校的学习生活情况，与此同时，教师更能加深对学生个性的了解，做到因材施教。

五、积极参加教研活动。

每月按时参加校本培训活动，并坚持详细做好笔记。积极参与教研活动。认真参加教学预案设计，听、评课活动，主动与同年级同学科教师探讨教材、教法。通过努力的耕耘使自己的教学水平迈上了一个新的台阶。

五里界小学吴光文

2012年秋教师个人教研教改总结

我努力提高自己的业务水平，向专家请教，向同行请教，虚心学习专业理论，提升自己的整体素养。在学习中，教育专家们对教材和对每一个案例的精彩分析，犹如一缕缕灿烂的阳光，让人温暖，使人感动，催人奋进。优秀教师的精彩的课例是我茅塞顿开。帮助我解决了在教学方面存在的问题和困惑。通过与专家近距离的对话，与学校教师之间相互交流、切磋，感到收获很大。同时在思想上有了观念的更新，了解到新课程的基本理念，以后将会更积极主动地投身于新课程改革的具体实践中。下面就这段时间的学习谈谈自己的学习体会。

一、加强学习，不断培训，自觉走进新课程。

作为一名在教学一线的老师，只有不断的更新自己的知识和观念，不断提高自身素质，才能教好学生。要提高我们的自身素质，这要求我们年轻教师多听取学生和老教师的各种意见。并且自身不断的学习，积极学习，不断开辟新教法。摒弃旧的教学方法，把先进的教学模式引入课堂。

通过学习“合作学习”、“主动探究”、“师生互动”、“生生互动”等新型的教学模式为课堂注入了生机与活力。通过培训我认识到：这些新的教学模式给学生更加自由的学习空间，体现了以学生为本的理念，老师要自觉地把新的教学模式引入课堂，改变课堂的面貌，使课堂气氛活跃；教学民主；学生的学习热情高涨；师生关系融洽。才能充分体现素质教育的根本目标。

一切为了学生，全面促进学生的发展是我们教师的责任。实现这些新的观念，就需要教师和学生的积极互动，共同发展，转变学习的方式，提倡自主、合作、探究的学习方式，倡导学生要富有个性学习。教师不能单纯的讲授，应重视学生的学习态度和学习习惯的养成。学习能力的培养，重视学生全面素质的提高。培养学生的数学意识，合作交流和创新能力。

二、立足课堂，在实践中提升自身价值

教师体现自身价值的主阵地是课堂，在课堂教学中，我本着“一切为了学生，为了学生的一切”的理念，我将自己的爱全身心地融入到学生中。今后的教学中，我将努力将所学的新课程理念应用到课堂教学实践中，立足“用活新老教材，实践新理念。”通过学习我认识到：这些新的教学模式给学生更加自由的学习空间，体现了以学生为本的理念，把新的教学模式引入课堂，改变课堂的面貌，使课堂

气氛活跃同时也提高了自身的素养。学生的学习热情高涨；师生关系融洽。才能充分体现素质教育的根本目标.三、反思教学工作，不断进取

在教学中不断反思自己在工作中的不足之处。时刻提醒自己要不断进取。我要努力提高自己的业务水平，向专家请教，向同行请教，虚心学习专业理论。提升自己的整体素养。

通过学习研修让我如沐春雨，使我明白了许多：教师的成长离不开学习，离不开广博的知识，离不开把握、驾驭课堂的能力，离不开探索、研究的精神；只有通过学习培训才能不断完善自身的素养，提升自己的专业素养。

五里界小学吴光文

第三篇：三年级上册数学教学设计---吴文良.

三年级上册数学《倍的认识》教学设计

教材和学情分析：

我执教的是数学三年级上册第五单元“倍的认识”第一课时。本单元共分三课时，分别是“倍的初步认识”、“求一个数是另一个数的几倍”、“求一个数的几倍是多少”。本课时的教学任务是在操作等活动中获得“倍”概念的直观体验，结合具体情境理解“几倍”和“几个几”的联系，建立“倍”的概念。

首先，我想解释一下为什么选择讲这部分知识。按照教学进度应该讲到第三单元“测量”。但是千米和吨的认识离学生的认知比较远，必须让学生亲自体验。这样一来，空间和教具的使用都要受到限制。第四单元“万以内的加减法”第一课时主要讲解笔算加法，难度不大。而第五单元“倍的认识”是教学中的一个很大的难点，因为“倍”的概念虽然与学生学过的“几个几”相类似，但它涉及到两个量之间的比较，十分抽象、不易理解，所以这部分知识的教学比较有代表性。

不得不提的是学生学习“倍”的困难在哪里。它需要让学生的认知结构发生质的变化。在学习“倍”之前，学生头脑中建构的是加法结构，是数量的合并于多少的比较，未曾学习两个量之间的比率关系。比如当出示胡萝卜与白萝卜的数量之后，如果让学生提出问题，那一定是“两种萝卜一共有多少根？”或“胡萝卜比白萝卜少多少根？”等类似的加减法解决的问题。对两个量或多个量之间的比率关系问题的真正理解需要在学生的头脑中建构起乘法结构，而“倍”的学习正是建构乘法结构的伊始。认知结构的转变是学生学习的最大困难，因此小学生学习“倍”存在困难就很容易理解了。

一、教学目标

（一）知识与技能

结合具体情境，利用旧知迁移，理解“倍”的意义，建立“倍”的概念；

（二）过程与方法

在观察、比较、变化、抽象中，让学生经历建构倍的直观模型学习过程，把握理解“倍”的本质。

（三）情感态度和价值观

培养学生操作、推理、迁移及语言表达能力，发展基本数学素养，培养学生良好的学习习惯。

二、教学重难点

教学重点：理解“一个数是另一个几倍的含义，初步建立倍”的概念。教学难点：初步建立“倍”的模型，理解“倍”的含义。

三、教学准备

课件，实物图片

四、教学过程

（一）复习导入，旧知回顾

师：秋天是丰收的季节，瓜果飘香，蔬菜满仓。我们一起去看看吧。（课件先后出示）

1．先观察再说一说。

（1）先出示第1幅图（2个辣椒），依次出示第2，第3、第4幅图。

问题：先摆了几个2？又摆几个2？现在有几个2？

（2）出示玉米图（3个一组）

问题：几根玉米为一组？有几组？可以说是几个几？

（3）出示紫薯图（5个一组）

2．让学生看图表述（用“几个几”）说出图中的物品： 4个2、5个3、3个5。

3．思考：

（1）5个3，从哪里体现出“5”，又从哪里体现出“3”呢？

（2）3个5，从哪里体现出“3”，又从哪里体现出“5”呢？

（3）3个5与5个3有什么不同？

【设计意图】利用学生熟悉的食物图片，增强了简单情境创设的动感，拉近与学生的距离。通过图片复习旧知“几个几”，与新知“倍”形成知识的对接，做好表示“几个几”的乘法意义和“倍”概念意义的先前储备，为沟通两者的联系做好铺垫。

（二）情景创设，探究新知。

1．初步认识“倍”，建立“倍”的概念

师：在丰收的季节里，勤劳的小兔子也忙着收获呢，一起去看看吧。

课件出示：“小兔子拔萝卜”主题图

2．用“几个几”表述，初悟“倍”的含义。

（1）胡萝卜2根，红萝卜6根，白萝卜10根。

（2）如果把2根胡萝卜看成1份，你能把红萝卜的根数用“几个几”来表述吗？ 一起数一数：1个2，2个2，3个2。

板书：3个2

3．找准关系，用“倍”进行语言表征。

（1）红萝卜的根数有3个胡萝卜那么多，呈现更简单的表述方法：“红萝卜的根数是胡萝卜的3倍”。

板书：的根数是的3倍。

指名说，再集体说。

师：还可以说成几是几的3倍呢？

（2）自主说一说白萝卜与胡萝卜的倍数关系。（白萝卜的根数是胡萝卜的5倍。）

及时追问：你是怎么知道的？（因为白萝卜有5个2。）集体数一数。如果有6个2呢？（就是2的6倍。）10个2呢？（2的10倍。）

师：你发现了什么？（有几个2就是2的几倍。）如果有几个3呢？（就是3的几倍。）有几个4呢？（4的几倍。）你又发现了什么？（有几个几就是几的几倍。）

板书：几个几几的几倍

（3）讨论：师：刚才大家说的都是谁是胡萝卜的几倍。是把胡萝卜看成一份的标准。我们称之为“标准量”，及时板书。

（4）即时练习：圈一圈，填一填（课件出示）

从图中看出，（）的只数是（）只数的（）倍，（）是一份的量（标准量）

【设计意图】学生认识实物带有具体性和直观形象性，需要从感受中获得感性积累，从而上升到理性认识。上述片段中，从几个几过渡到倍的语言表征，让学生经历从对生活中具体实物量的比较中抽象出倍的过程。再让学生自主发现白萝卜的根数与胡萝卜的倍数关系，通过知识的迁移形成对新知的巩固与运用，引出“一个数是另一个数的几倍”的含义。即时练习既是对新知学习进行简单反馈，同时让学生感受到“1份”的标准不管是在哪一行，都不会影响比较量是标准量的几倍关系，要明析谁是“1份”的标准量是关键。

4．动手摆一摆，体会“倍”的关系。（课件出示）

（1）教师在黑板第一行摆5根小棒，出示小精灵的要求，请学生在第二行中摆出的小棒数是第一行的4倍。（指名上黑板摆，其他同学在课桌上操作。）

（2）评价。用笔圈一圈是不是4个5，说一说这是以什么为标准量。

（3）变式练习。

提问：如果要使第二行的小棒数是第一行的3倍，应该摆几个几？5倍呢？„„

（4）检验。示范演示，用笔圈出3个5，或5个5，让学生指出以什么为标准量。（体会标准量的唯一性：“第一行的5根小棒”）

【设计意图】“1份”标准不变，倍数发生变化，比较量也在发生变化，强化标准量的唯一性。逐步解开“倍数关系”的种种类型。在这个片段中，有效的数学学习不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践是学习数学的重要方式。它可以把抽象的数学概念变成学生看得见、摸得着、能理解的数学事实。

5．游戏：拍一拍，深化“倍”的理解。

（1）教师拍2下，请学生拍出2的3倍。想想怎样体现2的3倍，让别人能听出3个2来？（每拍1个2，中间停顿一下。）

（2）教师拍3下，请学生拍出3的4倍。

【设计意图】游戏向来是学生最喜爱的一项活动，通过拍一拍让学生对倍的理解实现了从形到声的过渡，赋予学生对“倍”知识多方面立体的感知，同时还能提高学生的学习兴趣，活跃课堂的氛围。

（三）巩固练习，运用新知

1．圈一圈 说一说。课件出示

师：还可以怎么说？（思考：是的2倍，是是的2倍）的2倍，都是2倍，为什么

和的数量不一样呢？（标准量不一样。）

【设计意图】以图片呈现，让学生通过直观地观察，以表象建立概念。从起初的“1份数不变，几份数变化”到“1份数变化，几份数不变”两个层次的推进，让学生体会“标准量”在变与不变比较中，强化概念的形成过程。

2．想一想，说一说

相同的图形没有放在一起，你还能看出它们的倍数关系吗？你是怎么想的？（找到其中的规律，渗透比例思想，并用苹果的总数与梨的总数进行比较进行检验。）

（）是（）的几倍。3．填一填

图没了，你还会填吗？说说你是怎么想的？ 6是3的（）倍。（因为6里面有2个3。）18是6的（）倍。（）是5的2倍。4．画一画

和 ： ：，画出你想研究的倍数关系。

要求：画

第一行画

第二行画

①（）是（）的1倍。②（）是（）的2倍。③（）是（）的（）倍。

5．反馈交流。平台展示学生作品 ①理解：两个量之间1倍的关系。的个数和

有什么不同？

②分析：相同的2倍，③感悟：一个量是另一量几倍的关系时，辨析“标准量”和“比较量”的关系。

【教学反思】练习的设计体现了层次性与思维性的提升。第1题通过排列整齐的分类图形，发现它们的倍数关系，体会标准量不一样，即使倍数相同，结果也是不同的；第2题物体穿插摆置，但又有规律，渗透了比例思想，可以从一组物体数量中，也可以从整体数量中发现它们的倍数关系，并可以互相检验；第3题脱离了形象物体的参照，抽象成数字，从感性提升到理性；第4题答案不唯一，让学生思维进行拓展，通过练习，沟通“倍”的概念与乘法意义之间的密切联系，帮助学生初步建立倍概念的知识链.通过图形的练习很容易理解。

第四篇：六年级数学百分数的意义和写法_教学设计(吕文平)

《百分数的意义和写法》教学设计

合兴镇中心完小：吕文平

教学内容分析

百分数是在学生学习了整数、小数特别是分数的概念和应用题的基础上进行教学的。百分数在实际生活中有着广泛的应用，也是小学数学中重要的基础知识之一。而百分数的意义和写法又是这部分内容的基础，因为学生只有理解了百分数的意义，才能正确地运用它解决实际问题。所以学好本节知识是本单元的关键。教材联系学生的生活实际，在感知和理解百分数意义的过程中，知道百分数的重要性和应用的广泛性。在总结百分数与分数的联系和区别的过程中，渗透事物的相互联系又相互区别的观点。教学目标

1、结合生活实际认识百分数，理解百分数的具体含义，正确地读、写百分数。理解百分数与分数的异同。

2、感受百分数在生活实际中的应用价值，增进学好数学的信心和乐趣。

3、了解百分数和分数的联系和区别，感悟事物之间的辩证关系 教学过程

一、情境导入

师：同学们在课外的时候收集了很多的关于百分数的信息，有谁愿意把你收集的信息给大家展示一下

抽生展示 师：教材也收集了一些数学信息，谁能向大家介绍一下？ 预设：

生1：学生的近视率应引起高度重视。根据去年年底的统计，我市学生的近视情况：小学生有１８％，初中生有４９％，高中生有６４、2%。

生2：咱们学校有60%的学生参加了兴趣小组。，我们班差不多达到65% 生3：这批产品的合格率市98% 生4：这瓶水的蛋白质含量.>1.0%，果汁含量>15% 生5：这件毛衣的羊毛含量市50%，腈纶含量是50% 随着学生的介绍老师将其中的百分数表示出来 二：探究新知

1、百分数含义

师：那么像上面这样的数如：18%、４９％、６４.2%、、、、叫百分数。

那这些百分数表示的是什么含义呢？比如我市学生的近视情况：小学生有１８％是什么含义？

生１：18%表示每100个小学生就有18个小学生近视 师：很好，还可以怎么说？

生2：把所有小学生分成100份，近视的人数占了18份 生3：小学生中近视的人数占所有小学生的18% 师：同学们理解的非常好，小学生中近视的人数占所有小学生的18%中数字18表示的是什么？%表示的是什么？

生：这里的18表示的是小学生中近视的人数 ；%表示的是全市所有小学生

师：请你按照这种方法理解一下这幅图中剩下的两个百分数的含义

生1：每100个初中生就有49个初中生近视，也就是说近视的初中生人数占所有初中生人数的49% 生2：近视的高中生占说有高中生人数的64、2% 师：那理解了这组百分数的含义，你有什么看法？ 生：学生们的近视随着年龄的增长近视越来越严重，师：看来我们平时要怎么样？ 生：养成良好的用眼习惯

师：剩下的这些资料中你还能理解哪些百分数？请你给你的同桌说说

抽生展示

生:1：这批产品的合格率是98%的含义是：这批产品中合格的产品占所有产品的98% 生2：我们学校有60%的学生参加了兴趣小组中的60%意思是：学校参加兴趣小组的人数占总人数的60%.生3：我们班差不多达到65%的含义是：我们班中参加兴趣小组的人数占全班总人数的65% 生4：这批产品的合格率是98%的含义是：这批产品中合格的产品占所有产品的98% 生5：这瓶饮料中蛋白质的含量占整瓶饮料的1、0% 师：>是什么意思 生:有可能多余1、0% 生4：果汁的含量占整瓶饮料的15%或多余15% 生5：在这件毛衣中羊毛的含量占了整件毛衣的50%，腈纶的含量占了这件毛衣的50% 师：占了50%也就是什么意思呢？

生：也就是在这件毛衣中一半是羊毛，一半是腈纶

师：那理解了这组百分数的含义，你能说说你所收集的百分数所表示的含义吗？

师：我们已经理解了这么多百分数，但是生活中的百分数运用非常广泛，我是举不完的，那么你能概括出百分数所表示的含义吗？ 生：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，（学生说时教师板书）

师：这就是百分数的意义，师：百分数表示几个数之间的一种什么关系？ 生：表示两个数之间相除的关系 生：表示的是两个数倍比关系

师：所以百分数又叫百分率或百分比，那我们还以前还学过什么数也可以表示两者的关系

生：分数 师：是的我们的分数也可以表示两个数的关系，比如：1分米占1米的1/10。那分数还可以表示什么？

生：一个实际的量 师：你能举个例吗？ 生：１根粉笔长1/10米

师：那你认为分数和百分数也什么相同点和不同点？

生：分数和百分数的不同之处是写法不同，百分数只能表示两个数的倍处关系，而分数既可以表示倍除关系，也可以表示一个实际量 设计意图（通过解读百分数在实际生活中的含义，升华学生对百分数在生活中作用的再认识，同时渗透对学生的思想教育，拓宽学生学习数学的视野：学数学不仅仅是为知识而学，更重要的感受数学知识在生活中的价值和作用。）

2、百分数的写法和读法

师:看来百分数的应用很广泛，这是为什么呀？ 请观察这两件毛衣的含量，你有什么发现 生：运用百分数更便于我们进行比较 师：百分数怎么读写呢

抽生汇报：百分之十八

写作：18% 教师补充：我们书写的时候一般不写成分数形式，而是再分子后面加上百分号，注意两个百分号要写小一点，并且要对齐。师：我这里有一组百分数请你出来： 生：写百分数 师：你写了几个？可以用百分数表示出来吗? 生：写了7个，可以用写了80% 师：对吗？你还有有几个没写你可以用百分数表示没有写出来的吗？

生：我有4个没写，我有40%没写

师：说说写了以后你有什么发现？或者有什么问题？

生1：百分数的写法分子和整数的写法一样，只是加了一个百分号

生2：为什么有的百分数是150%? 师：谁能解释一下吗？

生：比如工厂要求生产100个零件，而这个月工厂却生产了170个，那么他就完成了170% 师：还有发现和问题吗？ 生：我发现百分数也可以是小数

师：我发现一个问题，为什么百分数没有单位？是不是你们收集得不够完整？

生:不是没有收集完，百分数就不能带单位。师：为什么？

生：因为百分数表示的是两个数的关系，所以不能带单位。师：那还有什么数也不带单位？

生：分数表示两个数关系的时候也不带单位。

（一）填一填：

1、表示（）是（）百分之几的数叫百分数，百分数也叫（）或（）。

2、百分之七十二写作（），它含有（）个1％。

3、3％读作（），115.6％读作（）

（二）判断：

1、—块布长37％米（）

2、百分之一百写作：1％（）

3、分母是100的分数都是百分数。（）4、25％的单位是1％，它有25个1％。（）

5、大于75％而小于77％的百分数只有76％（）6、1％和1/100 的意义是相同的。（）

7、一次期中考试，六年级数学优秀率是110％（）8、81/100米也就是81％米（）

9、去掉13％的百分号，这个数就扩大100倍。（）

10、生产102个零件，全部合格，合格率是102％。（）

11、甲数比乙数多30％，乙数就比甲数少30％。（）

（三）在横线上填上合适的百分数。

1、某校男生人数占全校总人数的55％，是把（）看作单位“1”，男生人数占它的（），女生人数占它的（）

2、一条水渠，已修了全长的80％，还剩 没有修。

3、某工厂扩建厂房，实际投资是计划的90％，实际投资比计划节约了

（四）思考：根据自己的理解，说说分数和百分数在意义上有何不同。板书设计

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。

2、百分数也叫做百分率或百分比。

2013年8月