南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练01集合的概念与运算(学生版)

第一篇：南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练01集合的概念与运算(学生版)

§01集合的概念

姓名等级

一、填空题：

1．已知集合A={1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝

2．集合{1,2,3,4}共有

3．已知集合A{1,1,2,4},B{1,0,2}, 则A∩B＝

4．设集合A={－1,1,3}，B={a+2,a2＋4}，A∩B={3}，则实数a＝________．

5．如果集合A＝{x| ax2＋2x＋1＝0}只有一个元素，则实数a的值为．

6．已知集合Axlog2x2,B(,a)，若AB则实数a的取值范围是(c,)，其

中c=．,ðUA5，则m＝． 7．设U2,3,m2m3,A|m1|,2，∁UA＝{5}2



8．已知Ax|x22x30，Bx|x2axb0，若A∪B=R，AB3,4，则ab

＝．

9．若A=xx13x7，则A∩Z的元素的个数为．

2

x2x20MxxZ,且10．己知集合2={－2}，则k的取值范围为 2x(52k)x5k0

二、解答题：

11．已知全集I=R，A={x|x2－3x＋2≤0}，B={x|x2－2ax＋a≤0,a∈R}，且BA，求a的取值

范围．

12．设平面点集A(x,y)(yx)(y)0,B(x,y)(x1)(y1)1，求

1x22

AIB所表示的平面图形的面积.13．已知全集I=R，A={x|x2－x－6＜0}，B={x|x2＋2x－8＞0}，C={x|x2－4ax＋3a2＜0}．

(1)求实数a的取值范围，使A∩BC；

(2)求实数a的取值范围，使∁IA∩∁IBC．

三、反思与小结：

第二篇：集合的概念与运算 南师附中一轮复习题 吐血推荐

南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练

姓名等级

一、填空题：

1．已知集合A={1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝{1，2，4，6}

2.集合{1,2,3,4}共有个子集.16

3．已知集合A{1,1,2,4},B{1,0,2}, 则A∩B＝－1,2}

4．设集合A={－1,1,3}，B={a+2,a2＋4}，A∩B={3}，则实数a=． 1.5．如果集合A＝{x| ax2＋2x＋1＝0}只有一个元素，则实数a的值为．1或0

6．已知集合Axlog2x2,B(,a)，若AB则实数a的取值范围是(c,)，其中§01集合的概念

c.4

2,ðU5，则m＝．－4或2 7．设U2,3,m2m3,A|m1|,2，∁UAA＝{5} 

8．已知Ax|x22x30，Bx|x2axb0，若A∪B=R，AB3,4，则ab

＝．12

9．若A=xx13x7，则A∩Z的元素的个数为．6 2

x2x2010．己知集合MxxZ,且2={－2}，则k的取值范围为 2x(52k)x5k0

3≤k＜2

二、解答题：

11．已知全集I=R，A={x|x2－3x＋2≤0}，B={x|x2－2ax＋a≤0,a∈R}，且BA，求a的取值范

围.解：Ax|1x2

①当4a24a0，即0a1时，B，满足BA；

②当4a24a0，即a0或a1时，若a0，则B0，不满足BA，故a0应舍去；

若a1，则B1，满足BA，故a1满足条件；

③当4a24a0，即a0或a1时，fxx22axa的图象与x轴有两个交点，∵BA，∴方程x22axa0的两根位于1，2之间，4a24a0,1a2,∴，解集为空集。综上可知，a的取值范围为0a1。f10,f20,

12．设平面点集A(x,y)(yx)(y)0,B(x,y)(x1)2(y1)21，求AIB

1x

所表示的平面图形的面积.答案： 2

13．已知全集I=R，A={x|x2－x－6＜0}，B={x|x2＋2x－8＞0}，C={x|x2－4ax＋3a2＜0}.（1）求实数a的取值范围，使A∩BC；

（2）求实数a的取值范围，使∁IA∩∁IBC。

解答：(1)a1,2(2)a(2,)4

第三篇：2014届 高三数学高考复习数学1.1 第1讲 集合的概念与运算

集合与常用逻辑用语

第1讲 集合的概念与运算

1.设集合A={-1,0,1},B={0,1,2},若x∈A,且x∉B,则x等于()

A.-1 B.0 【答案】A C.1 D.2 【解析】由题意可知x=-1.2.若集合A={x|-24},N=,则右图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|12或x<-2},集合N={x|13}.所以A∩(∁RB)={x|3

③G={平面向量},⊕为平面向量的加法;④G={二次三项式},⊕为多项式的加法.其中G关于运算⊕为“融洽集”的是()A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】B 【解析】②错,因为不满足条件(2);④错,因为不满足条件(1).故选B.8.已知集合A={3，2,a},B={1,a2},若A∩B={2},则a的值为

.【答案】-【解析】因为A∩B={2},所以a2=2,所以a=或a=-.当a=时,集合A中元素不符合互异性,故舍去,所以a=-.9.已知集合A={x∈R||x-1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于

.【答案】 3 【解析】∵|x-1|<2,即-2.即实数a的取值范围是.(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=.当a≠0且Δ=0,即a=时,方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素.故当a=0或a=时,A中只有一个元素,分别是.11.已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A⊆B,求a的取值范围;(2)若A∩B={x|30时,B={x|a0, 则B={x|a

12.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;(2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;(3)当x∈R时,若A∩B=⌀,求实数m的取值范围.【解】(1)①当m+1>2m-1,即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.②当m+1≤2m-1,即m≥2时,要使B⊆A成立, 需可得2≤m≤3.综上,m的取值范围是m≤3.(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}，所以A的非空真子集个数为28-2=254.(3)因为x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又A∩B=⌀, 则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2,满足条件.②若B≠⌀,则要满足的条件是

解得m>4.综上,m的取值范围是m<2或m>4.

第四篇：2013届高三数学全程复习01 第一编 集合与常用逻辑用语(共19页)教学案 新人教版

第一编 集合与常用逻辑用语 §1.1集合的概念及其基本运算

基础自测

1.（2008²山东，1）满足Ma1,a2,a3,a4,且Ma1,a2,a3a1,a2的集合M的个数是.答案 2 2.设集合A=1,2，则满足AB=1,2,3的集合B的个数是.答案 4 3.设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a-5|},MU, UM={5,7},则a的值为。

答案 2或8

4.(2008²四川理，1)设集合U=1,2,3,4,5,A1,2,3,B2,3,4,则U（AB）等于.答案 1,4,5

5.（2009²南通高三模拟）集合A=x||x2|2,xR，B=y|yx2,1x2，R（AB）=.答案（-∞,0）(0, +∞)

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

例1 若a,bR,集合1,ab,a0，b,求b-a的值.ab解 由1,ab,a0，b可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：

aab0①或bab1abab0baab1②由①得a1b1,符合题意；②无解.所以b-a=2.例2 已知集合A=x|0ax15，集合B=x|1x2.2(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)若BA，求实数a的取值范围；

（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.解 A中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a=0，则A=R;②若a＜0，则A=x|4x1aa;③若a＞0，则A=x|1x4

aa,(1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a＜0时，若AB，如图，418则a2aa＜-8.1,∴1∴2，aa2当a＞0时，若AB，如图，11则a2a2,∴.∴a≥2.综上知，此时a的取值范围是a＜-8或a≥2.4a2a2(2)当a=0时，显然BA；当a＜0时,若BA，如图，41则a8a2，∴11∴-a0；1a2当a＞0时，若BA，如图，a22,则11a2,∴a2,∴0＜a≤2.综上知，当BA时，-1a2.0 4a22a2（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.例3（14分）设集合Ax|x23x20,Bx|x22(a1)x(a25)0.（1）若AB2,求实数a的值；（2）若AB=A求实数a的取值范围；

（3）若U=R，A（UB）=A.求实数a的取值范围.解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=1,2.2（1）∵AB2,∴2B，代入B中的方程,得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;当a=-1时，B=x|x2402,2,满足条件； 当a=-3时，B=x|x24x402,满足条件；

综上，a的值为-1或-3.4（2）对于集合B，=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵AB=A∴BA，分 分 ①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件； ②当=0，即a=-3时，B=2，满足条件；

③当＞0，即a＞-3时，B=A=1,2才能满足条件，6分 则由根与系数的关系得

5a122(a1)2,矛盾； 即2a2712a5综上，a的取值范围是a≤-3.9分（3）∵A（UB）=A，∴AUB，∴AB=； 10分

①若B=，则＜0a3适合；

②若B≠，则a=-3时，B=2，AB=2，不合题意；

a＞-3，此时需1B且2B.将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）； 将1代入B的方程得a2+2a-2=0a13.∴a≠-1且a≠-3且a≠-13.13分

综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-3或-1-3＜a＜-1或-1＜a＜-1+3或a＞-1+3.14分 例4 若集合A1、A2满足A1=A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=1,2,3的不同分拆种数是.答案 27

1.设含有三个实数的集合可表示为a,ad,a2d,也可表示为a,aq,aq2,其中a,d,qR,求常数q.解 依元素的互异性可知，a≠0,d≠0，q≠0,q≠1.adaq,adaq2,由两集合相等，有（1）或（2） 2a2daqa2daq.由（1）得a+2a（q-1）=aq,∵a≠0, ∴q-2q+1=0,∴q=1(舍去).由（2）得a+2a(q2-1)=aq,∵a≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=-.21

22∵q≠1, ∴q=-12,综上所述,q=-.212.（1）若集合P=x|x2x60,Sx|ax10,且SP,求a的可取值组成的集合；（2）若集合A=x|2x5,Bx|m1x2m1,且BA，求由m的可取值组成的集合.解（1）P=3,2.当a=0时，S=，满足SP； 当a≠0时，方程ax+1=0的解为x=-为满足SP,可使1a1a1a，1313或2,即a=

或a=-.故所求集合为0，.21123（2）当m+1＞2m-1，即m＜2时，B=，满足BA；若B≠，且满足BA，如图所示，m12m1,m2则m12,即m3,∴2≤m≤3.2m15m3综上所述，m的取值范围为m＜2或2≤m≤3,即所求集合为m|m3.3.已知集合A=x|x2(2a)x10,xR,BxR|x0，试问是否存在实数a，使得AB=？

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解 方法一 假设存在实数a满足条件AB=，则有

（1）当A≠时，由AB,B=xR|x0，知集合A中的元素为非正数，设方程x+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得

(2a)240得a0;

x1x2(2a)0,解xx10122（2）当A=时，则有△=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1,x2至少有一个为正，因为x1²x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得2(2a)40a0或a4,即a4.,解得a2x1x2(2a)0又∵集合a|a4的补集为a|a4,∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.4.(2007²陕西理，12)设集合S=A0,A1,A2,A3，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数，i,j=0，1，2，3,则满足关系式(xx)A2=A0的x(xS)的个数为.答案 2

一、填空题

1.(2008²江西理，2)定义集合运算：A*B=z|zxy,xA,yB.设A=1,2,B0,2,则集合A*B 的所有元素之和为.答案 6 2.已知全集U={0，1，3，5，7，9}，A∩UB={1}，B={3，5，7}，那么（UA）∩(UB)=.答案 {0，9} 3.设全集U=R,集合M={x|x≤1或x≥3},集合P=x|kxk1,kR，且UMP≠，则实数k的取值

答案 0＜k＜3 4.集合A={y∈R|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，1，2}，则(RA)∩B=.答案 {-2，-1} 5.已知集合P={（x，y）||x|+|y|=1}，Q={（x，y）|x2+y2≤1}，则P与Q的关系为.答案 PQ 范围是.26.（2009²徐州模拟）设A，B是非空集合，定义A³B=x|xAB且xAB，已知A=x|y2xx， B=y|y2x,x0，则A³B=.答案 0,1(2,)

7.集合A={x||x-3|＜a，a＞0}，B={x|x2-3x+2＜0}，且BA，则实数a的取值范围是.答案 ［2，+∞）

8.(2008²福建理，16)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、b≠0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b2|a,b∈Q}也是数域.有下列命题: ①整数集是数域;

②若有理数集QM,则数集M必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是.(把你认为正确的命题的序号都填上) 答案 ③④

二、解答题

9.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；

（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围. 解 集合A是方程mx-2x+3=0在实数范围内的解集.（1）∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.∴Δ=4-12m＜0,即m＞（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2-2x+3=0只有一个解. 若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=1332132ab∈P（除数

.

;若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=

13.

∴m=0或m=.

13(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m≥10.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；

（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值. 解（1）由题意知：a+2=1或（a+1）2=1或a2+3a+3=1，

∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.

1a2a2aa0a0ab4（2）由题意知,或或或, 2b1b01bbb2ab21a04或11b2.根据元素的互异性得ab即为所求.11.已知集合A=x|21,xR,B=x|x2xm0, x16（1）当m=3时，求A（RB）；

（2）若ABx|1x4，求实数m的值.解 由6x11,得x5x10.∴-1＜x≤5,∴A=x|1x5.（1）当m=3时，B=x|1x3，则RB=x|x1或x3，∴A（RB）=x|3x5.(2)∵A=x|1x5,ABx|1x4,∴有42-2³4-m=0,解得m=8.此时B=x|2x4,符合题意，故实数m的值为8.12.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N},B={(x,y)|y=ax-ax+a,x∈N}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，*

2*请求出a的值；若不存在，说明理由. 解 假设A∩B≠，则方程组y2x1yax2有正整数解，消去y，axa得ax2-(a+2)x+a+1=0.（*）由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-233a233.因a为非零整数，∴a=±1，

当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）, 解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,此时A∩B={（1，1），（2，3）}.§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

基础自测

1.(2009²成化高级中学高三期中考试)若命题“对xR，x2+4cx+1＞0”是真命题，则实数c的取值范围是.答案(11,)22

2.（2008²湖北理，2）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是.(填序号) ①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件  ② “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件  ③ “x∈C”是“x∈A”的充要条件

④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案②

3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的 命题.答案 否 4.（2008²浙江理，3）已知a,b都是实数,那么“a2＞b2”是“a＞b”的 条件.答案 既不充分也不必要

5.设集合A、B，有下列四个命题：

①AB对任意x∈A都有xB;②ABA∩B=;③ABBA;④AB存在x∈A,使得xB.其中真命题的序号是.（把符合要求的命题序号都填上） 答案 ④

（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；

（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.

解（1）原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”.

例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.

逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.

否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.

逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.

（2）原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等.”

逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）. 逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.

（3）原命题即是“已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d”.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p，“a+c=b+d”是结论q，所以

逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等. 否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+c≠b+d. 逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等.

例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.

（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.

解（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件. 例3（14分）已知ab≠0，

求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 证明（必要性）

∵a+b=1，∴a+b-1=0，2分 ∴a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）5分 =（a+b-1）（a-ab+b）=0.7分（充分性） ∵a+b+ab-a-b=0，

即（a+b-1）（a2-ab+b2）=0，9分 又ab≠0,∴a≠0且b≠0,

22∴a-ab+b=（a-)2332222b342b＞0, 2∴a+b-1=0,即a+b=1, 12分 综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是

a+b+ab-a-b=0.14分 3322

1.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：

（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.

解（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题.

（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” 原命题是真命题，否命题是假命题.

（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题.2.（2008²湖南理，2）“|x-1|＜2成立”是“x(x-3)＜0成立”的 条件.答案必要不充分

3.证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明 充分性：若ac＜0,则b2-4ac＞0,且

ca＜0,

∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b2-4ac＞0,x1x2=综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.ca＜0,∴ac＜0.

一、填空题

1.下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b,则a+c＞b+c”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为.答案 1

2.（2008²重庆理，2）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的 条件.3.“x＞1”是“x2＞x”的 条件.答案 充分不必要 答案

充分不必要 4.（2009²成化高级中学高三期中考试）已知函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则“a+2b＞0”是“f(x)＞0”恒成立的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）答案 必要不充分 5.在△ABC中，“sin2A= 答案

必要不充分性

6.（2008²安徽理，7）a＜0方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的 条件.答案 充分不必要

7.设集合A=x||x|4,Bx|x24x30,则集合x|xA且xAB=.答案 x|1x3

8.设A=(x,y)|x2(y1)21,B(x,y)|xym0,则使AB成立的实数m的取值范围是.答案 m

二、解答题

9.求关于x的方程x-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.

解 设方程的两根分别为x1、x2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是

m24(3m2)0,m212m80, (x11)(x21)0，即(x1x2)20，xx(xx)10.（x1)(x21)0,12112232”是“A=30°”的 条件.21

m627或m627,又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,∴m2,1m.2故所求的充要条件为m≥6+27.10.已知x,y∈R.

求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明（充分性）

若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.

（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2, ∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上，命题得证.11.a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则 Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,∴Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0. ∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a2≤0, 即a-4a+5≤0.但是a-4a+5=(a-2)+1＞0,故矛盾.

所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.12.设、是方程x-ax+b=0的两个根，试分析a＞2且b＞1是两根、均大于1的什么条件？

解 令p:a＞2,且b＞1;q: ＞1,且＞1,易知+=a, =b. ①若a＞2,且b＞1,即21，不能推出＞1且＞1. 22

2216可举反例：若则2，361所以由，2p推不出q

②若＞1,且＞1，则+＞1+1=2, ＞1.所以由q可推出p.综合知p是q的必要不充分条件，也即a＞2,且b＞1是两根、均大于1的必要不充分条件.§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础自测

1.已知命题p:xR,sinx1,则p为.答案 xR,sinx1

2.已知命题p:3≥3;q:3＞4，则下列判断不正确的是（填序号）.①pq为假，pq为假, p为真 ③pq为真，pq为假，p为真 ③pq为假，pq为假，p为假 ④ pq为真，pq为假，p为假

答案 ①②③

3.(2008²广东理，6)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题

①(p)q ②pq

③(p)(q)④(p)(q)的是（填序号）.答案 ④

4.下列命题中不是全称命题的是(填序号).①圆有内接四边形 ②3 ＞2  ③3≤

2④若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形 答案 ②③④

答案 所有点都不在函数y=kx(k≠0)的图象上 5.命题：“至少有一个点在函数y=kx(k≠0)的图象上”的否定是.例1分别指出由下列命题构成的“pq”、“pq”、“p”形式的命题的真假.(1)p:3是9的约数,q:3是18的约数;

(2)p:菱形的对角线相等,q:菱形的对角线互相垂直;(3)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同, q:方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等.(4)p:是有理数,q: 是无理数.

解（1）∵p是真命题，q是真命题，∴pq是真命题，pq是真命题，p是假命题.(2)∵∵p是假命题,q是真命题,∴pq是真命题，pq是假命题，p是真命题.(3)∵p是假命题，q是真命题，∴pq是假命题，pq是假命题，p是真命题.（4）∵p是假命题，q是真命题，∴pq是真假命题，pq是假命题，p是真命题.例2(14分)已知两个命题r(x):sinx+cosx＞m,s(x):x2+mx+1＞0.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围实心.解 ∵sinx+cosx=2sin（x+

4）≥-2，

∴当r(x)是真命题时，m＜-2 3分 又∵对x∈R，s(x)为真命题，即x2+mx+1＞0恒成立，

有Δ=m-4＜0,∴-2＜m＜2.6分 ∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜-2，

同时m≤-2或m≥2,即m≤-2;当r(x)为假，s(x)为真时，m≥-2且-2＜m＜2,

即-2≤m＜2.例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假.

（1）p：x∈R，x2-x+1

9分

12分

综上，实数m的取值范围是m≤-2或-2≤m＜2.14分

≥0；

（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：x∈R，x2+2x+2≤0；（4）s：至少有一个实数x，使x+1=0. 解（1）p:xR,x2x因为xR,x2x1414120

3，这是假命题，恒成立.(x)02(2)q:至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3)r:xR,x2x2＞0，是真命题，这是由于xR,x22x2(x1)211＞0成立.3(4)s:xR,x1≠0，是假命题，这是由于x=-1时，x+1=0.23

1.分别指出由下列命题构成的“pq”、“pq”、“p”形式的命题的真假.（1）p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}；（2）p：1是奇数，q：1是质数；

（3）p：0∈，q：{x|x2-3x-5＜0}R；（4）p：5≤5，q：27不是质数；

（5）p：不等式x2+2x-8＜0的解集是{x|-4＜x＜2}, q：不等式x2+2x-8＜0的解集是{x|x＜-4或x＞2}.

解（1）∵p是假命题，q是真命题，∴pq为真，pq为假，P为真.（2）∵1是奇数，∴p是真命题，又∵1不是质数，∴q是假命题，因此pq为真，pq为假，p为假.(3)∵0，∴p为假命题，又∵x2-3x-5＜0,3229x3292，∴x|x23x50x|3229x329R成立.2∴q为真命题.∴pq 为真命题，pq为假命题，p为真命题.（4）显然p：5≤5为真命题，q:27不是质数为真命题，∴pq 为真命题，pq为真命题，p为假命题.（5）∵x2+2x-8＜0, ∴(x+4)(x-2)＜0.2即-4＜x＜2，∴x+2x-8＜0的解集为x|4x2,∴命题p为真，q为假.∴pq 为真，pq为假，p为假.2．已知a＞0,设命题p：函数y=a在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.

解 由函数y=ax在R上单调递减知0＜a＜1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0＜a＜1，令y=x+|x-2a|，则y=2x2a2a12x(x2a)(x2a)不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，只要ymin＞1即可，而函y在R上的最小值为2a,所以2a

12＞1，即a＞.即q真a＞.

12所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0＜a≤3.写出下列命题的否定并判断真假.

（1）p：所有末位数字是0的整数都能被5整除；（2）q：x≥0，x2＞0;

(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°;(4)t:某些梯形的对角线互相平分.

或a≥1.解(1)p:存在一个末位数字是0的整数不能被5整除,假命题.（2）q:x0,x20.真命题.(3)r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题.(4)t:每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题.一、填空题

1.今有命题p、q，若命题m为“p且q”，则“p 或q”是m的 条件.答案 充要

2.已知命题p:0,q:11,2,由它们组成的“p或q”, “p且q”和“p”形式的复合命题中，真命 题的个数为.答案 1

3.“p∨q”为真命题”是“p∧q为真命题”的 条件.答案 必要不充分

4.命题“存在x∈Z使2x2+x+m≤0”的否定是.答案 对任意x∈Z，都有2x2+x+m＞0 5.若命题p:xAB，则p是.答案 xA或xB

6.若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有p，q.(用“真”、“假”填空).答案 假 假

7.（2009²姜堰中学高三综合卷）已知命题P:“xR,x2+2x-3≥0”,请写出命题P的否定：.答案 xR，x+2x-3＜08.令p(x):ax2+2x+1＞0,若对x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是.答案 a＞1

二、解答题

9.指出下列命题的真假：

（1）命题“不等式（x+2）≤0没有实数解”；（2）命题“1是偶数或奇数”；（3）命题“22

2属于集合Q，也属于集合R”；

(4)命题“AAB”.解（1）此命题为“p”的形式,其中p:“不等式(x+2)2≤0有实数解”，因为x=-2是该不等式的一个解，所以p是真命题，即p是假命题，所以原命题是假命题.

（2）此命题是“p∨q”的形式，其中p:“1是偶数”，q:“1是奇数”，因为p为假命题，q为真命题， 所以p∨q是真命题，故原命题是真命题.

（3）此命题是“p∧q”的形式，其中p:“2属于集合Q”，q:“2属于集合R”，因为p为假命题,q为真命题，所以p∧q是假命题，故原命题是假命题.（4）此命题是“p”的形式，其中p:“AAB",因为p为真命题，所以“p”为假命题，故原命题是假命题.10.写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假:(1)若m＞0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根;(2)若x、y都是奇数，则x+y是奇数；（3）若abc=0，则a、b、c中至少有一个为零.

解（1）否命题：若m≤0，则关于x的方程x2+x-m=0无实数根；（假命题） 命题的否定：若m＞0，则关于x的方程x+x-m=0无实数根.（假命题）（2）否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是奇数;（假命题） 命题的否定：若x、y都是奇数，则x+y不是奇数.（真命题）（3）否命题：若abc≠0,则a、b、c全不为0；（真命题） 命题的否定：若abc=0，则a、b、c全不为0.（假命题）

211.已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围.

m240解 由p得：则m＞2.，m0由q知：Δ′=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0,则1＜m＜3.

∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真.

m2m2则或,解得m≥3或1＜m≤2.1m3m1或m312.（1）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x-x-2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；（2）是否存在实数p,使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围. 解（1）当x＞2或x＜-1时,x2-x-2＞0,由4x+p＜0,得x＜-“x＜-

2p4,故-

p4≤-1时，

p4”“x＜-1”“x2-x-2＞0”.∴p≥4时，“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件.

（2）不存在实数p满足题设要求.单元检测一

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.(2008²北京理，1)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合A∩(uB)=.答案 x|1x3

2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 条件.答案 充分不必要

3.（2009²江安中学第三次月考）已知集合N=x|a1x2a1是集合M=x|2x5的子集，则a的取值范围为.答案 2＜a≤3 4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 条件.答案 充要

5.设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 条件.答案

必要不充分

6.已知命题p:x∈R，使tanx=1,命题q：x2-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：

①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧q”是假命题； ③命题“pq”是真命题； ④命题“pq”是假命题.其中正确的是（填序号）.答案 ①②③④

7.(2008²天津理，6)设集合S={x||x-2|＞3},T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是.答案-3＜a＜-1

8.若集合A={1，m2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的 条件.答案

充分不必要 9.若数列{an}满足an1an22=p（p为正常数，n∈N），则称{an}为“等方比数列”.*甲:数列{an}是等方比数列；

乙：数列{an}是等比数列，则甲是乙的 条件.答案 必要不充分 10.（2008²浙江理，2）已知U=R，A={x|x＞0},B={x|x≤-1}，则（A∩UB）∪（B答案 {x|x＞0或x≤-1}

11.设集合A={5,log2（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=.答案 {1，2，5}

12.已知条件p：|x+1|＞2,条件q:5x-6＞x，则非p是非q的 条件.

答案 充分不必要

13.不等式|x|＜a的一个充分条件为0＜x＜1,则a的取值范围为.

答案 a≥1 14.下列命题中：

①若p、q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件； ②若p为：x∈R，x2+2x+2≤0,则p为：x∈R，x2+2x+2＞0; ③若椭圆x2

2U

A）=.16y225=1的两焦点为F1、F2，且弦AB过F1点，则△ABF2的周长为16；

2④若a＜0,-1＜b＜0,则ab＞ab＞a. 所有正确命题的序号是. 答案 ②④

二、解答题（本大题共6小题，共90分）

15.（14分）设命题p：（4x-3）2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知A={x|

12≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.

1aB，∴2,a11由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A

故所求实数a的取值范围是［0，12］.16.（14分）已知集合U=R,UA=x|x26x0，B={x|x2+3（a+1）x+a2-1=0}，且A∪B=A，求实数a的取值范围.解 ∵A={0，-6}，A∪B=A，∴BA.（1）当B=A时，由(2)当BA时，

①若B=，则方程x2+3(a+1)x+a2-1=0无实根.即Δ＜0,得9(a+1)2-4(a2-1)＜0,解得-②若B≠，则方程x2+3(a+1)x+a2-1=0有相等的实根，即Δ=0,即a=-1或a=-1351350(6)3(a1)0a12,得a=1,

＜a＜-1.

.由a=-1得B={0},有BA； 由a=-135,得B={125}不满足BA，舍去，综上可知，-x13135＜a≤-1或a=1.17.（14分）已知p：|1-范围.|≤2，q：x2-2x+1-m2≤0（m＞0），且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值解 方法一 由x2-2x+1-m2≤0，得1-m≤x≤1+m, ∴q:A={x|x＞1+m或x＜1-m,m＞0},由|1-x13|≤2，得-2≤x≤10，

∴p:Bx|x10或x2，∵p是 q的必要而不充分条件，

m0∴AB1m2,解得m≥9.1m10方法二∵p是 q的必要而不充分条件，

∴q是p的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，由x2-2x+1-m2≤0.得1-m≤x≤1+m(m＞0)，∴q:B=x|1mx1m.又由|1-x13|≤2，得-2≤x≤10，∴p：A=x|2x10.又∵p是q的充分而不必要条件.

∴BAm01m2，解得m≥9.1m1018.（16分）求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.

解 方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a≠0，则方程至少有一个正根等价于

a1aa10 0或a2a10aa2a10aa1或0a(a2a1)24a(a1)0-1＜a＜0或a＞0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a＞-1. 方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0,

∴x=1满足条件；若a≠0，∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1) =(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.

a2a10a,解得a≤-1, 故而当方程没有正根时，应有a10a∴至少有一正根时应满足a＞-1且a≠0, 综上：方程有一正根的充要条件是a＞-1.19.（16分）记函数f(x)=2（1）求A； x3x1的定义域为A，g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1)的定义域为B.（2）若BA，求实数a的取值范围.解（1）由2-x3x10,得x1x10,∴x＜-1或x≥1，即A=（-∞,-1）1,.(2)由（x-a-1）(2a-x)＞0,得(x-a-1)(x-2a)＜0.∵a＜1,∴a+1＞2a,∵B=(2a,a+1).又∵BA,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥

12或a≤-2.∵a＜1,∴

12≤a＜1或a≤-2, 故BA时，a的取值范围是,2,1.2120.（16分）设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0,其中a＜0；q：实数x满足x2-x-6≤0，或x2+2x-8＞0，且p是q的必

不充分条件，求a的取值范围.

解 设A={x|p}={x|x2-4ax+3a2＜0,a＜0}={x|3a＜x＜a,a＜0}, B={x|q}={x|x-x-6≤0或x+2x-8＞0}={x|x-x-6≤0}∪{x|x+2x-8＞0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x＜-4或x＞2}=x|x4或x2.∵p是q的必要不充分条件,∴qp,且p则x|q22

q.Rx|p.而x|qRB=x|4a4,或综上可得-a0.x2,x|p=A=x|x3a或xa,a0，∴x|4x2则3a2,a0,x|x3a或xa,a0，23a0或a4.