任意角的三角函数教案

第一篇：任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数

合肥市二十八中学

漆学龙

教学目标 <一> 知识目标

1、掌握任意角的三角函数的定义。

2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。

3、记住三角函数的定义域和诱导公式

（一）。<二> 能力目标

1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。<三> 德育目标

1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。

2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点

任意角的正弦、余弦、正切的定义

（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。教学过程

问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?

在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆

即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示

推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为:

我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1：

解：

例2：

事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

问题4: 根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?

例3：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角

解略

问题5:根据三角函数的定义，终边相同角的同一三角函数值是否相等？

课堂练习练习1：填表

练习2：教材第15页练习1、2、4 本课小结

1.任意角的三角函数定义 直角三角形中的锐角三角函数

象限中的锐角三角函数

单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数

任意角终边上任一点（非原点）坐标定义三角函数 2.三角函数的定义域

3.正弦、余弦和正切函数在各个象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦 4.诱导公式一

课后作业 1.习题1.2

2，3, 2.预习教材P15~17

第二篇：任意角三角函数教案（推荐）

问题1 本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？

（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。）

预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。

解答过程：

：如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。

（2）坐标化：如图2，建立平面直角坐标系，设点P的坐标为（x，y），那么，于是。

问题2 回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。（设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。）

预计的困难：由于学生只接触过一次单位圆，对它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。

解答过程：

单位圆中定义锐角三角函数：如图3，线段OP=1，点P的坐标为（x，y），那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为：。

（说明：单位圆的定义建议在弧度制一节中给出。）

依据：三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。

问题3：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请你写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。这样将问题具体化，学生容易着手解决。写出定义的过程也是巩固推广的过程，而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算cosπ的现象。）

活动形式：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认识。学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导——用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。

预计的答案：如图4，针对其中的图（1）（2）（3）学生写出，针对其中的图（4）学生写出，针对其中的图（5）学生写出，tanα无意义。

结论：给出三角函数的定义：（略）。

问题4：根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？

（设计意图：顺势而为形成定义，并将三角函数的定义进行同化，通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。）

预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。

教师的引导：引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。预计的答案：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）。

例1 求的正弦、余弦和正切值。

（设计意图：巩固对定义的理解。）

分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标，再根据定义求解。

解：如图5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以OC=，CP=，所以点P的坐标是。

根据定义可得：

练习１（P15练习3）完成下列表格中的前两列：

例2 已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。）

分析：通过相似求出角α的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。解：如图6，由已知可得： |OP0|=。

设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）,分别过点P和P0作x轴的垂线MP，M 0P0，则

又|OP|=1，根据∽Δ，可得，即，所以。

所以。

（说明：上述书写过程基本与例1统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。）

问题5 通过本课时的学习你有哪些收获，请从知识、思想方法经验等方面进行小结。此外你还有哪些需要质疑之处。

（设计意图：引导学生小结，并进一步思考。通过质疑引导学生全面认识三角函数，虽然在课堂上不研究其他3个三角函数，但是可以让学生有一个全面的认识，培养思维的严谨性。通过三角函数定义的一般化，引导学生用辩证的观点认识事物，理解三角函数。）

小结：知识：（略）；

思想方法：（略）；

经验：用函数的观点认识三角函数，用单位圆的几何特征研究三角函数。

拓展1：3个数可以形成6个比值，为什么只对其中的三个比值进行定义和研究，其他3个比值又能对应什么函数呢？有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。

拓展2：通过求解例2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。

六、目标检测设计 1．P15练习1，2，3；

（设计意图：初步应用定义和等价定义。）2．习题1.2A组2。

（设计意图：培养学生类比、对比解决问题能力。）

3．完成教材P13的探究，之后完成P15练习4，6，把结果填在书上。（设计意图：将作业作为课堂教学的延伸，培养学生自主学习的能力和习惯。）七．设计思路 1．突出单位圆的作用。具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆写出定义域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。

2．用函数同化三角函数。给出任意角的三角函数的定义之后，用函数的定义对三角函数进行分析，将之纳入到已有的认知结构中，并使得原有认知结构发生顺应变化。

3．力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。根据听课时出现的问题，在本教学设计中采取了下列处理方式。（1）先坐标化再引入单位圆，降低认知台阶。

从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材，这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生，虽然能体现出做这两个工作的必要性，但是跨度较大，学生感到困难，解决问题的过程费时费力，不但不能使学生感受到学习的必要性，反而制约了学生的思维。

（2）将问题分解、具体化，通过具体认识一般。

在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖，并采取分组合作的组织方式，旨在将抽象的问题具体化，降低难度。让学生根据角的不同位置写出定义，特别是对于象限角也进行了相同的处理办法，这是因为学生的思维从具体问题开始，而且要形成“初始效应”，在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已有认知结构中，并形成强烈的意识——用新定义解决问题，而不再用计算器或其他办法。

（3）解题思路求同，强化定义的作用。

例

1、例2两个题目的解决思路都是相同的：先求出角的终边与单位圆交点的坐标，之后再根据定义求解。差别在于求角的终边与单位圆交点的坐标的具体方法不同，这些求法都是学生已经具备的技能。据此建议教材中将例2的解题过程修改，将利用相似求线段长的计算前置，分步完成即降低了难度，又统一了思路，突出了定义的作用。

（4）将作业作为课堂教学的有效延伸，给学生思考的空间。

作业中的第3项的设计，其意是使得学生的作业不但有模仿的，更有需要独立思考的，培养学生的能力。

2009-04-09 人教网 关闭 打印

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第三篇：任意角的三角函数(教案)

1.2.1任意角的三角函数

授课人：何艳峰

教学目标：

（1）让学生理解任意角的三角函数的定义。

（2）让学生运用三角函数的定义求任意角的三角函数。重

点：运用任意角的三角函数的定义求值。

难

点：运用数形结合思想和分类讨论思想求任意角的三角函数。教学方式：讲练结合 教学媒体：黑板 课

型：新授课 教学过程： 1.课题引入

问题1.在直角△ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？

问题2.为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合。在角α的终边上取一点P（x，y），设点P与原点的距离为r，那么sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？

问题3.为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？ 2.新课讲解

（1）单位圆的定义

思考：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。对于角α的终边上一点P，要使│OP│=1，点P的位置如何确定？

（2）三角函数的定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

sinycosxytan（x0）x

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的。故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。

13练习：已知角的终边与单位圆交于点P（，-），求角的三角函数值。

22例1 求5的正弦、余弦和正切值。3

（3）利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数 例2 已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。

思考：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？

sinyrxcosrytanx其中r=xy22 练习：已知角α的终边经过点P0（-4a，3a）（a≠0），求角α的正弦、余弦和正切值。思考：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？ 3.课堂总结 4.课后作业 P20：T1，T2

第四篇：《任意角三角函数》说课稿

《任意角三角函数》说课稿

《任意角三角函数》说课稿1

各位同仁，各位专家：

我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自苏教版高中实验教科书《数学》第四册 第1。2节

先对教材进行分析

教学内容：任意角三角函数的定义、定义域，三角函数值的符号。

地位和作用： 任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的整体学习至关重要。同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。所以这个内容要认真探讨教材，精心设计过程。

教学重点：任意角三角函数的定义

教学难点：正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数、初中用边长比值来定义转变为坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解；

学情分析：

学生已经掌握的内容，学生学习能力

1。初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

2。我们南山区经过多年的初中课改，学生已经具备较强的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

3。在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行

针对对教材内容重难点的和学生实际情况的分析我们制定教学目标如下

知识目标：

（1）任意角三角函数的定义；三角函数的定义域；三角函数值的符号，

能力目标：

（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的能力。

德育目标：

（1）学习转化的思想，（2）培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

针对学生实际情况为达到教学目标须精心设计教学方法

教法学法：温故知新，逐步拓展

（1）在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容，发展新知识，形成新的概念；

（2）通过例题讲解分析，逐步引出新知识，完善三角定义

运用多媒体工具

（1）提高直观性增强趣味性。

教学过程分析

总体来说， 由旧及新，由易及难，

逐步加强，逐步推进

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义

过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义

再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义

给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识拓展完善定义。

具体教学过程安排

引入： 复习提问：初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的？

由学生回答

SinA=对边/斜边=BC/AB

cosA=对边/斜边=AC/AB

tanA=对边/斜边=BC/AC

逐步拓展：在高中我们已经建立了直角坐标系， 把“定义媒介”从直角三角形改为平面直角坐标系。

我们知道，随着角的概念的推广，研究角时多放在直角坐标系里， 那么三角函数的定义能否也放到坐标系去研究呢？

引导学生发现B的坐标和边长的关系。进一步启发他们发现由于相似三角形的相似比导致OB上任一P点都可以代换B，把三角函数的定义发展到用终边上任一点的坐标来表示， 从而锐角三角函数可以使用直角坐标系来定义，自然地，要想定义任意一个角三角函数，便考虑放在直角坐标中进行合理进行定义了

从而得到

知识点一：任意一个角的三角函数的定义

提醒学生思考：由于相似比相等，对于确定的角A ，这三个比值的大小和P点在角的终边上的位置无关。

精心设计例题，引出新内容深化概念，完善定义

例1已知角A 的终边经过P（2，—3），求角A的三个三角函数值

（此题由学生自己分析独立动手完成）

例题变式1，已知角A 的大小是30度，由定义求角A的三个三角函数值

结合变式我们发现三个三角函数值的大小与角的大小有关，只会随角的大小而变化，符合当初函数的定义，而我们又一直称呼为三角函数，

提出问题：这三个新的定义确实问是函数吗？为什么？

从而引出函数极其定义域

由学生分析讨论，得出结论

知识点二：三个三角函数的定义域

同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数

例题变式2， 已知角A 的终边经过P（—2a，—3a）（ a不为0），求角A的三个三角函数值

解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论， 让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关，从而导出第三个知识点

知识点三：三角函数值的正负与角所在象限的关系

由学生推出结论，教师总结符号记忆方法，便于学生记忆

例题2：已知A在第二象限且 sinA=0。2 求cosA，tanA

求cosA，tanA

综合练习巩固提高，更为下节的同角关系式打下基础

拓展，如果不限制A的象限呢，可以留作课外探讨

小结回顾课堂内容

课堂作业和课外作业以加强知识的记忆和理解

课堂作业P16 1，2，4

（学生演板，后集体讨论修订答案同桌讨论，由学生回答答案）

课后分层作业（有利于全体学生的发展）

必作P23 1（2），5（2），6（2）（4） 选作P23 3，4

板书设计（见PPT）

《任意角三角函数》说课稿2

1、教学目标：

一、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。

二、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。

三、通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

四、让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。

2、教学重点与难点：

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号。

难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

授课过程：

一、引入

在我们的现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性。如何用数学的方法来刻画这种变化？从这节课开始，我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一――三角函数。

二、创设情境

三角函数是与角有关的函数，在学习任意角概念时，我们知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类，现在大家考虑：若在直角坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？

学生情况估计：学生可能会提出两种定义的方式，一种定义为边之比，另一种定义在比值中引入了终边上的一点P的坐标。

问题：

1、锐角三角函数能否表示成第二种比值方式？

2、点P能否取在终边上的其它位置？为什么？

3、点P在哪个位置，比值会更简洁？（引出单位圆的定义）。指出sina＝mP的函数依旧表示一个比值，不过其分母为1而已。

练习：计算的各三角函数值。

三、任意角的三角函数的定义

角的概念已经推广道了任意角，那么三角函数的定义在任意角的范围里改怎么定义呢？

尝试：根据锐角三角函数的定义，你能尝试着给出任意角三角函数的定义吗？

评价学生给出的定义。给出任意角三角函数的定义。

四、解析任意角三角函数的定义

三角函数首先是函数。你能从函数观点解析三角函数吗？（定义域）

对于确定的角a，上面三个函数值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

五、三角函数的应用。

1、已知角，求a的三角函数值。

2、已知角a终边上的一点P（－3，－4），求各三角函数值。

以上两道书上的例题，让学生自习看书，学生看书的同时，老师提出问题：

1、已知角如何求三角函数值？

2、利用角a的终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数，你能给出这种定义吗？（这种定义与课本中给出的定义各有什么特点？）

3、变式：已知角a终边上点P（－3b，－4b），（b0），求角a的各三角函数值。

4、探究：三角函数的值在各象限的符号。

六、小结及作业

教案设计说明：

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计。

首先，角的概念推广了，那么锐角三角函数的定义是否也该推广到任意角的三角函数的定义呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

其次，到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辨证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突。在这个立－破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思。这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解。

再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的。培养数形结合的思想。

《任意角三角函数》说课稿3

各位领导,各位老师:

我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④（必修）第1.2.1节。

一、教材结构与内容简析

本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。

数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。

二、教学重点、难点、关键

教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。

教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）。

三、学情分析

学生已经掌握的内容及学生学习能力

1.学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

2.学生的运算能力较差。

3.部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

4.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

四、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：

1.基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；

2.能力训练目标：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力。

3.情感目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

五、教学理念和方法

教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学教法，在课堂结构上，设计了①创设情境——揭示课题②推广认知——形成概念③巩固新知——探求规律④总结反思——提高认识⑤任务后延——自主探究五个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：

六、教学程序及设想

总体来说,由旧及新,由易及难,逐步加强,逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义.

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。

（一）创设情境——揭示课题

问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。

问题2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

问题3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。

能表示吗？怎样表示？针对刚才的问题点名让学生回答。用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。

【设计意图】

从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

问题4：对于确定的角，这三个比值是否与P在的终边上的位置有关？为什么？

先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，

联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，

六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的.函数。

（二）推广认知——形成概念

将锐角的比值情形推广到任意角α后，水到渠成，师生共同进行探索和推广出：任意角的三角函数定义。同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，对数学学习能力较好的同学起到了很好的指导作用。

教师指出:sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆。

（关于值域，到后面再学习）

【设计意图】定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。

（三）巩固新知——探求规律

为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，

例1.已知角的终边过点，求的六个三角函数值

要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照板书，模仿书面表达格式。

巩固定义之后，我特地设计了一组即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养学生分析解决问题的能力。

例2.求的正弦、余弦和正切值。

分析：终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）

师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。

取特殊点能使计算更简明。

等待学生基本理解和掌握三角函数定义后，观察、分析初、高中所计算的函数值有何变化，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关,然后引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，从而导出三角函数值的正负与角所在象限的关系，进而由教师总结符号记忆方法,便于学生记忆。

【设计意图】判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的“才”字符号法则，这也是理解和记忆的关键。

（四）总结反思——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容：⑴任意角的三角函数的定义及其定义域；⑵三角函数的符号规律。让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

（五）任务后延——自主探究

学生经过以上四个环节的学习，已经初步掌握了任意角的三角函数的定义及三角函数的符号规律，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业，其中思考题的设计思想是：综合练习巩固提高,更为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，以有利于全体学生的发展。

七、简述板书设计。

cotα、cscα、secα的定义写在sinα、cosα、tanα的左下方，突出本节重要内容的主体地位。

结束：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。

希望各位领导、同行对本堂说课提出宝贵意见。

《任意角三角函数》说课稿4

一、教学目标

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.

2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.

3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.

4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.

二、重点、难点、关键

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数.

关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）.

三、教学理念和方法

教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

四、教学过程

[执教线索：

回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）--问题情境：能推广到任意角吗？--它山之石：建立直角坐标系（为何？）--优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数--探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）--自主定义：任意角三角函数定义--登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）--例题与练习--回顾小结--布置作业]

（一）复习引入、回想再认

开门见山，面对全体学生提问：

在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？

探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：

（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？

让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：

传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域.

现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域.

设计意图：

函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和个性的关系，学生已经学习了函数的概念，因此对三角函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是以具体函数丰富函数概念的过程.教学经验表明：学生对函数两种定义的记忆是有一定困难的，容易遗忘，此处让学生对函数概念进行回想再认，目的在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备.

（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

设计意图：

学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）.温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少.

（二）引伸铺垫、创设情景

（情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于4.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

设计意图：

从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：

把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作Pm⊥x轴于m，构造一个RtΔomP，则∠moP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边om=x、对边mP=y，斜边长|oP∣=r.

根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：

设计意图：

此处做法简单，思想重要.为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形.由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数.初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义.这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）.

（情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

追问：锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让P绕原点o旋转即α在锐角范围内变化，六个比值随之变化的直观形象。结论是：比值随α的变化而变化.

引导学生观察图3，联系相似三角形知识，

探索发现：

对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是

确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

设计意图：

初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键.这样做能够使学生有效地增强函数观念.

（三）分析归纳、自主定义

（情境5）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗?

水到渠成，师生共同进行探索和推广：

对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：

终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形：

；

（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）

怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：

（板书）设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点o之间的距离记作r（r=＞0），列出六个比值：

α=kππ/2时，x=0，比值y/x、r/x无意义；

α=kπ时，y=0，比值x/y、r/y无意义.

追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，P绕原点o逆时针、顺时针旋转即角α变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随α的变化而变化.

再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：对于任意角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

综上得到（强调）：当角α变化时，六个比值随之变化；对于确定的角α，六个比值（如果存在的话）都不会随P在角α终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).

因此，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：

=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）

=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）

教师强调：sinα表示sin与α的乘积吗？不是，sinα是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f（x）.其它几个三角函数也如此

投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：

（图六）

指导学生识记六个比值及函数名称.

教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.

引导学生进一步分析理解：

已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值.因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便.

设计意图：

把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对任意性的全面把握.明确比值存在与否的条件，为确定函数定义域作准备.动画演示比值与角之间的依赖性与确定性关系，深化理解三角函数内涵.引导学生在理解的基础上自主地对三角函数作出明确定义，是本节课的中心任务.由于学生刚学弧度制，对弧度制的理解有待于在以后的学习应用中逐步感悟，因此部分学生对“三角函数可以看成是以实数为自变量的函数”的理解有半信半疑之感，有待通过后续的应用加深理解.

（四）探索定义域

（情景6）（1）函数概念的三要素是什么？

函数三要素：对应法则、定义域、值域.

正弦函数sinα的对应法则是什么？

正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→y/r=sinα.

(2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域，填写下表：

三角函数

sinα

cosα

tanα

cotα

cscα

secα

定义域

引导学生自主探索：

如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.

关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集R.

对于tanα=y/x，α=kππ/2时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}..........

教师指出:sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆.

（关于值域，到后面再学习）.

设计意图：

定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握.

（五）符号判断、形象识记

（情景7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

（同好得正、异号得负）

sinα=y/r：上正下负横为0cosα=x/r：左负右正纵为0tanα=y/x：交叉正负

设计意图：

判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键.

（六）练习巩固、理解记忆

1、自学例1：已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值.

要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义.

课堂练习：

p19题1：已知角α的终边经过点P（-3，-1），求α的六个三角函数值.

要求心算，并提问中下学生检验，--------

点评：角α终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）.

补充例题：已知角α的终边经过点P（x，-3），cosα=4/5，求α的其它五个三角函数值.

师生探索：已知y=-3，要求其它五个三角函数值，须知r=？，x=？.根据定义得=（方程思想），x＞0，解得x=4，从而--------.解答略.

2、自学例2：求下列各角的六个三角函数值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.

提问，据反馈信息作点评、修正.

师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。

取特殊点能使计算更简明。课堂练习：p19题2.（改编）填表：

角α（角度）

0°

90°

180°

270°

360°

角α（弧度）

sinα

cosα

tanα

处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2、π、3π/2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

设计意图：

及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终.

（七）回顾小结、建构网络

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，在终边上任意取定一点P，---）

2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，------）

3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置，-----）

设计意图：

遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策.此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力.

（八）布置课外作业

1．书面作业：习题4.3第3、4、5题.

2．认真阅读p22“阅读材料：三角函数与欧拉”，了解欧拉的生平和贡献，特别学习他对科学的挚着精神和坚忍不拔的顽强毅力！有兴趣的同学可以上网查阅欧拉的相关情况.

教学设计说明

一、对本节教材的理解

三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.

星星之火，可以燎原.

直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、辅助角公式、图象和性质，本章教材就是这些内容的具体安排.定义直接用于解析几何（如直线斜率公式、极坐标、部分曲线的参数方程等），定义还是直接解决某些问题的工具，三角函数知识是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础.

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.

二、教学法加工

数学教材通常用抽象概括的形式化的数学书面语言阐述其知识和方法，教师只有通过教学法加工，始终贯彻“以学生的发展为本”的科学教育观，“将数学的学术形态转化为教育形态”（张奠宙语），引导学生积极主动地进行思考活动，直接参与体验数学知识产生发展的背景、过程，返璞归真，揭示本质，体会其中的思想和方法，学生只有这样才能真正理解掌握数学知识和方法，有效地发展智力、培养能力.

在本节教材中，三角函数定义是重点，三角函数线是难点，为了较好地突出重点和突破难点，分散重点和难点，同时兼顾例题、课堂练习的协调匹配，将不按教材顺序来进行教学，第一课时安排三角函数的定义（突出重点）、定义域、符号判断、例题1、2及p19课堂练习1、2、3，第二课时安排三角函数线、p15练习（突破难点）、诱导公式一及课本例题3、4和其它练习.本课例属第一课时.

教学经验表明，三角函数定义“简单易记”，学生很容易轻视它，不少学生机械记忆、一知半解.本课例坚持“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发探索、讲练结合”的常规教学方法，在学生的最近发展区围绕学生的学习目标设计了一系列符合学生认知规律的程序，通过多媒体辅助教学动画演示比值与角之间的依赖关系，拓展思维活动时空，力求使学生全员主动参与，积极思考，体会定义产生、发展的过程，通过思维过程来理解知识、培养能力.

将六个比值放在一起来研究，同时给出六个三角函数的定义，能够增强对比感和整体感，至于大纲对两组函数掌握与了解的不同要求，在下一步的教学中注意区分就行了.

教学中关于符号sinα、cosα、tanα的出场安排，教材首先对比值取名并给出英文记法，再研究它们与α的函数关系；另外可以先研究六个比值与α之间的函数关系，然后再对六个比值取名给出记法.后者更能突出函数内涵，揭示三角函数本质.本课例采用后者组织教学.

三、教学过程分析（见穿插在教案中的设计意图）.

《任意角三角函数》说课稿5

各位领导，各位老师：

我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④（必修）第1。2。1节。

一、教材结构与内容简析

本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。 三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。

数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。

二、教学重点、难点、关键

教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。

教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（ α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）。

三、学情分析

学生已经掌握的内容及学生学习能力

1。 学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

2。学生的运算能力较差。

3。部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

4。在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

四、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，我制定如下教学目标：

1。基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；

2。能力训练目标：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力。

3。情感目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

五、教学理念和方法

教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学教法， 在课堂结构上，设计了 ①创设情境——揭示课题②推广认知——形成概念③巩固新知——探求规律④总结反思——提高认识⑤任务后延——自主探究五个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。 接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：

六、教学程序及设想

总体来说， 由旧及新，由易及难，逐步加强，逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义。

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。

（一）创设情境——揭示课题

问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。

问题 2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

问题 3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。

能表示吗？怎样表示？针对刚才的问题点名让学生回答。 用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。

【设计意图】

从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

问题 4：对于确定的角 ，这三个比值是否与P在 的终边上的位置有关？为什么？

先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，

联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角α的每一个确定值，

六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

得出结论（强调）：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。 所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。

（二）推广认知——形成概念

将锐角的比值情形推广到任意角α后，水到渠成，师生共同进行探索和推广出：任意角的三角函数定义。同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，对数学学习能力较好的同学起到了很好的指导作用。

教师指出： sinα、csα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，ctα、cscα、secα的定义域不要求记忆。

（关于值域，到后面再学习）。

【设计意图】定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域。 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。

（三）巩固新知——探求规律

为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，

例1。已知角 的终边过点 ，求 的六个三角函数值

要求：读完题目，思考：计算什么？需要准备什么？闭目心算，对照板书，模仿书面表达格式。

巩固定义之后，我特地设计了一组即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养学生分析解决问题的能力。

例2。 求 的正弦、余弦和正切值。

分析： 终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道 终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）

师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。

取特殊点能使计算更简明。

等待学生基本理解和掌握三角函数定义后，观察、分析初、高中所计算的函数值有何变化，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关， 然后引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，从而导出三角函数值的正负与角所在象限的关系，进而由教师总结符号记忆方法，便于学生记忆。

【设计意图】判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求。 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的“才”字符号法则，这也是理解和记忆的关键。

（四）总结反思——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容：⑴任意角的三角函数的定义及其定义域；⑵三角函数的符号规律。让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

（五）任务后延——自主探究

学生经过以上四个环节的学习，已经初步掌握了任意角的三角函数的定义及三角函数的符号规律，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业，其中思考题的设计思想是：综合练习巩固提高，更为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，以有利于全体学生的发展。

六、简述板书设计。

ctα、cscα、secα的定义写在sinα、csα、tanα的左下方，突出本节重要内容的主体地位。

结束：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。

希望各位领导 、同行对本堂说课提出宝贵意见。

第五篇：任意角三角函数定义

“任意角三角函数定义”的教学认识与设计

浙江金华第一中学 孔小明

本文首先对三角函数定义的教学进行从整体到局部的分析，并在此基础上给出定义教学的主干问题设计.1．整体把握，使教学线索清晰，层次分明

三角函数是以函数为主线，刻画周期现象的数学模型.高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上，通过用旋转的观点将角的概念推广到任意角，并使角与实数建立一一对应关系，然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此，三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三角函数的上位概念，教学要以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中锐角三角函数概念为认知的起点，促进任意角三角函数定义的有效生成.教科书在完成任意角三角函数定义基础上衍生出：(1)三角函数值在各个象限的符号；(2)单位圆中的三角函数线；(3)同角三角函数的基本关系；(4)三角函数的诱导公式；(5)三角函数的图象与性质等.可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.本节课的学习目标是理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验.由于三角函数的定义内涵丰富、外延广泛等原因，同时，用单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数定义,与学生初中学习的锐角三角函数定义有一定的距离,一个侧重几何的边与边的比值表示,一个侧重代数的坐标（比值）表示.与学生熟悉的一般函数定义也有距离,一般函数是实数到实数的对应,而三角函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应,然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应.学生理解该定义很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高.促进学生理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程,增强学习活动的体验,在教师的引导下独立思考、自主探究,完成定义的意义建构.教材中任意角三角函数定义的得出经历了以下四个循序渐进、不断深化的过程：（1）回忆用直角三角形边长的比产生的锐角三角函数的定义；（2）把锐角α放在直角坐标系中，用角的终边上点的坐标表示锐角α的三角函数；（3）由相似三角形的知识可知，三角函数值只与α的大小有关，与点在终边上的位置无关，因此可用单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数；（4）类比得出用单位圆定义任意角三角函数，并将它纳入到一般函数概念的范畴.教科书这样设计改变了以往纯学术形态的形式,一定程度上具有了教育形态的特征,体现了数学知识的产生、发展过程,反映了数学的“来龙去脉”,通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律,使从锐角三角函数到任意角三角函数过渡自然,有利于学生步步加深对三角函数定义本质的理解.因此,笔者认为,教学设计时无须“另起炉灶”,只要在此基础上,依据学生的认知特点,进行教学法的深加工即可.2．抓住关键，使教学精炼、简约而高效

由于教科书自身特点的限制,教科书还不能成为教师教学用的教学设计,根据教材的内容、要求以及编写意图,教师还需要一个再加工、再创造的过程.具体的,就是将教材中得出任意角三角函数定义经历的四个环节进一步教学化,使之符合学生的认知特点和规律,包括内容研究的必要性，坐标系、单位圆引入的自然性，以及用单位圆定义的可行性、合理性等.把它变成适合学生认知特点的具体的教育形态,使学生感受“数学是自然的、清楚的、水到渠成的”.当前,高中数学课标课程比大纲课程的内容有所增加，初中数学对高中数学支持减弱，新课程赋予数学教学更多的价值取向，要让课堂的所有环节都让学生有深度思考、自主探究并展示结果是不现实也是没必要的.事实上，学生在校以学习间接经验为主,学生的学习主要是“接受——建构”式的,因此,对教学起关键作用的内容，要留足时间让学生充分思考、交流与展示,其它内容教师可多讲授与引导，发挥先行组织者作用,使教与学达到平衡，让教学效益达到最大化.在引导学生回忆初中锐角三角函数定义之前,先解决“学习的必要性”问题,明确要研究的内容.教材将“三角函数”作为重要的基本初等函数,是周期现象的基本模型,教师可借助本章的章头语,完成课题的引入.由于初中的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情形，从而引发学生认知冲突，激发学生进一步探究的欲望.用什么定义、怎样定义、这样定义是否合理等,成为继续研究的自然问题.之前,在任意角内容的学习中,学生已经有了在直角坐标系内讨论角的经验，但教学实践表明,学生仍不能自然想到引入坐标系工具,利用坐标来定义任意角三角函数.笔者认为，从帮助学生理解定义的实质，体会坐标思想与数形结合思想的角度，教师可利用适当的语言,引导学生重点解决“如何用坐标表示锐角三角函数”的关键问题.需要提及的是,陶老师的问题设计具有启示性：

现在，角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中,你认为,对于任意角α，sinα怎样定义好呢？

上述问题提得“大气”，既能使学生的学习围绕关键问题展开，又突出正弦函数的概念分析.当然，若能依教材先作锐角情形的铺垫，教学更符合学生“最近发展区”，提高效率.这里，需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角三角函数，有助于从函数的本质特征来认识三角函数.在第三个环节中，首先是如何自然引入单位圆的问题.用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点，其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数，其次是使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论函数的性质奠定了基础.但单位圆的这些“优点”要在引入单位圆后才能逐步体会到.因此，引入单位圆的“理由”应该另辟蹊径，白老师在引导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之后，从求简的角度设置问题,不愧为“棋高一招”：

大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

在学生得出时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此，学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备.由于“定义”是一种“规定”，因此，第四环节中，教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形，直接给出任意角三角函数定义，对学生而言，关键是理解这样“规定”的合理性，对定义合理性认知基础就是三角函数的“函数”本质——定义要符合一般函数的内涵（函数三要素）.3．精心设计问题，让课堂成为学生思维闪光的舞台 基于上述认识，对定义部分的教学，给出如下先行组织者和主干问题设计.先行组织者1：周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象，大到宇宙运动，小到粒子变化，这些现象的共同特点是具有周期性，另外，如潮汐现象、简谐振动、交流电等，也具有周期性，而“三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型.三角函数到底是一种怎样的函数？它具有哪些特别的性质？在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用？本课从研究第一个问题入手.意图：明确研究方向与内容.问题1：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？ 意图：从学生已有的数学经验出发，为用坐标定义三角函数作准备.问题2：现在，角的概念已经推广到了任意角，上述定义方法能推广到任意角吗？ 意图：引发学生的认知冲突，激发学生求知欲望.问题3：如何定义任意角的三角函数？ 意图：引导学生探索任意角三角函数的定义.先行组织者2：我们知道，直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究，借助坐标系，可以使角的讨论简化，也能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象.坐标系也为我们从“数”的角度定义任意角三角函数提供有效载体.意图：引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数.问题4：先考虑锐角的情形，如图1，在平面直角坐标系中，你能用点的坐标来表示锐角α的三角函数吗？

意图：引导学生用坐标表示锐角三角函数.问题5：各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

意图：扣准函数概念的内涵，把三角函数知识纳入函数知识结构，突出变量之间的依赖关系或对应关系，增强函数观念.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，得出结论：三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数.问题6：既然可在终边上任取一点，那有没有办法让所得的对应关系变得更简单一点？ 意图：为引入单位圆进行铺垫.教师给出单位圆定义之后，可引导学生进一步明确：正弦、余弦、正切都是以锐角α为自变量、以单位圆上点的坐标（或比值）为函数值的函数.问题7：类比上述做法，设任意角α的终边与单位圆交点为P（x，y），定义正弦函数为，余弦函数为，正切函数为.你认为这样定义符合函数定义要求吗? 意图：给出任意角三角函数的定义,引导学生用函数三要素说明定义的合理性，明确任意角三角函数的对应法则、定义域、值域.引导学生思考定义的合理性，先让学生作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明，得出结论：正弦、余弦、正切都是以任意角α为自变量、以单位圆上的坐标或坐标的比值（如果存在的话）为函数值的函数.接着给出任意角三角函数的定义域、值域.“任意角三角函数的概念”教学设计

陶维林（江苏南京师范大学附属中学，210003）

一．内容和内容解析

三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础．

角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．

比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便．

从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念．

任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数．

任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．

任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义．

在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法． 二．目标和目标解析

本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．

学生已经学习过锐角三角函数sinα，cosα，tanα，了解三角函数是直角三角形中边长的比值，这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素．这是任意角三角函数概念的“生长点”．

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值扩展为点的坐标或坐标的比值．因此，对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的．

要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让学生参与任意角三角函数定义的过程．让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸．反过来，既然锐角集合是任意角集合的子集，那么，锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况，是一个包含关系．让学生参与定义，可以感受到这样定义的合理性，感受到这个定义是自然的．

三．教学问题诊断分析

从锐角三角函数到任意角三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一个从特殊到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念．教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让学生“再创造”抽象程度高的上位概念（参与定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中．

学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难．可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上，尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数．

教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）．因为学生刚刚接触弧度制，未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么．可以在复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，四．教学支持条件分析

利用几何画板软件，可以动态改变角的终边位置，从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，便于学生认识任意角的位置的改变，所对应的三角函数值也改变的特点，感受函数的本质；感受终边相同的角具有相同的三角函数值；也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况，加深对任意角三角函数概念的理解，增强教学效果．）内的角，以便分散这个难点． 五．教学过程设计 1．理解锐角三角函数

要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．锐角三角函数是任意角三角函数的先行组织者．

问题1 任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教师用几何画板任意画一个锐角．要求学生自己任意也画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值．

意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．突出：

（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值． 问题2 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？

意图：学生根据自己实际画图操作，以及计算比值的体验，会很快认为把斜边画成单位长比较方便，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫．

问题3 锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？

意图：以便与后面的任意角三角函数的自变量是角（的弧度，对应一个实数），对应的函数值是α的终边与单位圆交点的纵坐标比较．

锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量是锐角．由于角的弧度值与实数可以一一对应，所以，α是（0，）上的实数．而与之对应的函数值sinα是线段长度的比值，是区间（0，1）上的实数．

问题4 你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”

意图：这个问题具有元认知提示的特点，引导学生勤于思考，逐步学会发现问题、提出问题、研究问题．

三条边相互比，可以产生六个比．还有哪三个呢？再把已知的三个倒过来． 2．任意角三角函数定义的“再创造”

教师利用几何画板，把角α的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．

问题5 现在，角的范围扩大了．在直角坐标系中，使得角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境下，你认为，对于任意角α，sinα，cosα，tanα怎样来定义好呢？

意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性——角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然．把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，发展思维．

有两种可能的回答．

可能一：在α的终边上任意画一点P（x，y），|OP|＝r．

可能二：设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y）．

不论出现可能一还是可能二，都再问：“都是这样的吗？”

引导学生议论，以确认两种定义方法的一致性、各自特点．再问“你赞成哪一种？”，统一认识，建立任意角三角函数的定义．（板书）

因为前面已经有引导，学生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函数的认识（对定义的体验）

问题6（1）求下列三角函数值：

问题6（2）说出几个使得cosα＝1的α的值． 意图：通过定义的简单应用，把握定义的内涵．

逐题给出，对于每一个答案，都要求学生说出“你是怎样得到的．”突出“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”的步骤．

问题6（3）指出下列函数值：

意图：角的终边位置决定了三角函数值的大小．终边位置相同的角同一三角函数值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）问题6（4）

①确定下列三角函数的符号：

②θ在哪个象限？请说明理由．反过来呢？

③角α的哪些三角函数值在第二、三象限都是负数？为什么？ ④tanα在哪些象限中取正数？为什么？ 意图：认识三角函数在各象限中的符号．

问题7 做了这么多题，要反思．你是否发现了任意角三角函数的一些性质？还有些什么体会？ 意图：体验以后的概括，阶段小结．（1）抓住各三角函数的定义不放；（2）各象限中三角函数的符号特点，等．

教师板书学生获得的成果、感受． 4．任意角三角函数的定义域

问题8 α是任意角，作为函数的sinα，cosα，tanα，它们的定义域分别是什么？

意图：三角函数也是函数，自然应该关心它的定义域．

建立了角的弧度制，角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系，因此，sinα，cosα的定义域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定义域是

仍然紧扣定义，并引导以弧度制表示它的定义域． 5．练习

（1）确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：

（2）求下列三角函数值：

6．小结

问题9 下课后，你走出教室，如果有人问你：“过去你就学习过锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？

意图：通过问题小结．不追求面面俱到，突出锐角三角函数是三角形中，边长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值．

若时间允许，再问：“还有其他收获吗？”比如，终边相同的角的同一三角函数相等；各象限三角函数的符号；任意角三角函数的定义域，等． 六．目标检测设计

（1），写出α的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tanα的值．

（2）求下列三角函数的值：

（3）角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是1/2，说出几个满足条件的角α．

（4）点P（3，－4）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？

（1）实际教学片段

上课始，教师用几何画板任意画一个锐角，提出问题1：“任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走进学生中间，观察他们的学习行为．结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然．教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示，完成的同学请举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少．之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教师非常赞成．她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数．之后，教师又与学生讨论了问题2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“单位圆定义法”做必要的铺垫．接着讨论问题3：锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？在教师类比正方形的面积s＝a2的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值，最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个倒一下得到．至此，时间已经过去20多分钟．

教师本以为，学生在初中既然学习过锐角三角函数，对给出的一个锐角，借助三角板构造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在这一点上，学生耗费了大量的时间，而教师又不想越俎代庖地告诉学生，这就严重影响了后续建立任意角三角函数的概念，并通过特殊角的求值体验、把握内涵的时间保证，造成体验不够，概括

过早，应用更少的现象．

（2）问题出在哪里

问题在教学设计不够合理，当中的“教学问题诊断分析”不够准确．没有准确把握学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足．尤其是，对学生关于锐角三角函数的理解估计过高．主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值．二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素．只要求运用符号sinA，cosA，tanA的意义来进行有关的计算，等．现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念这就失去了概念的上位支持．

关于锐角三角函数，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，是在“空间与图形”的“图形与变换”部分．标准指出：“通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简

单实际问题．”

笔者查阅了按照“课程标准”编写的几套初中教材，给出sinA的方式基本上一致，是：

如图（图略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即”（对cosA，tanA有类似的定义）并指出“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

数．”

以后的内容（包括解实际问题），都是有关三角函数值的计算，并不强调它们的函数特征．有的教材虽然指出“对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．”作出了锐角三角函数是一种特殊的函数的提示，由于缺少必要的练习，作用并不大．应该说，这些都不违背“课程标准” 的要求．可见学生在初中学习过的函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，锐角三角函数并不纳入“函

数”这个系统．

初中学习锐角三角函数有一个特定的载体，这就是直角三角形，因此，当他们面对任意画出的一个锐角，其两条边是射线，要求出这个角的三角函数的近似值这个新情境时，竟不知如何是好，手足无措，无计可施，也说明学生对锐角三角函数并不理解．这样看来，画出一个锐角，要求学生会取点、画垂线、度量、计算比值的要求是必要的．

有教师认为，不必复习锐角三角函数，直接提出问题“同学们已经学习过锐角三角函数，你认为应该怎样来定义任意角的三角函数？”这种“大撒手”的问题跨度太大，学生更难回答．原因是对锐角三角函数的“函数”特征认识不足、理解不到位，要让学生直接建立任意角的三角函数，又要突出“函数”这一特征，很困难．因此，为建立任意角的三角函数的概念，需要先复习初中锐角三角函数的概念，因为从锐角（三角函数）到任意角（三角函数）又是由下位到上位的学习．教材要求首先把直角三角形中边长的比值扩展到坐标或者坐标的比值，在直角坐标系中认识锐角三角函数，并引导学生从“函数”的角度认识它，也就是弄清自变量以及与之对应的函数分别是什么是必要的．

（3）对教学的反思

高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构．应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫．以为已经学习过锐角三角函数，学生就能够把它理解为一种特殊的函数，是一个明显的例子．

教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”，这就需要通过复习，来帮助学生

补上这一点．

2．其他反思

（1）由于学生在复习阶段花了较多的时间，影响了新课的学习，用任意角三角函数概念解题的时间不多，体验不够，有教师提出“下课后练习不好做”，说明复习锐角三角函数没有必要．笔者认为，当“预设”与“生成”发生矛盾时，教师宁可选择“生成”．尊重学生的认知水平，尊重学生的认知心理过程，决不简单化，把结论直接告诉给学生，追求“结果”，追求“完成”教学任务．教师不能认为我已经把这个概念告诉你了，你就应该知道了．数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，对概念需要的是理解，需要学生用自己的体验建立起对概念的理解．什么是“教学任务”，不能仅限于知识要求，要注意学生的全面发展．比如，当学生不能正确选择在角的一边上取点，画垂线时，启示学生互相讨论、启发一下，借助于同伴的帮助解决问题．当学生不能说出“作为函数的锐角三角函数，自变量以及它的函数分别是什么”（属性）意义不清，不好回答时，教师降低难度，启发类比S＝a2中a表示边长，而S表示正方形的面积．突出线段长、面积，等等．

“任意角三角函数的概念”与作为第一节课的“任意角三角函数的概念”不是同一个概念．对“任意角三角函数的概念”的认识、理解不是一蹴而就的，不是一节课可以完成的任务，需要一个长期的过程．比如，把角度化成弧度到底是为了什么？即便化成弧度，又为什么省略不写呢？建立角的弧度与实数间的一一对应有什么必要呢？任意角三角函数的自变量明明白白是角，为什么偏要把它说成实数呢？刚刚接触任意角三角函数就要求理解这一切是十分困难的．随着学习的深入，尤其是三角函数的应用，学生才能慢慢消除这些疑问，逐渐理解它．比如，在三相交流电路中，某一相电路中的电流强度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是电路中电流强度的峰值），三角函数是刻画现实世界中周期现象的基本数学模型；再比如，当学生接触到函数y＝sin（cosx）后，再来看三角函数的定义域，会认识到抽象后的任意角三角函数的自变量作为实数更具广泛性．

这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．如同在建立数轴之后，一个知道把向东2公里表示为2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是负数”的学生，就已经开始接受有理数，逐渐成为中学生了．

还需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程

中所蕴涵的数学思想方法．

（2）在求cosπ时，一个学生说出的结果是0.9985．教师追问“你是怎么算出来的？”他回答：“用计算器．”后来，笔者用计算器做了实验，发现他用计算器计算时，把计算器中的角度模式（Mode）设置成了角度制（Degree）．在这种模式下，计算cosπ可以得到0.9985（即计算的是cosπ°）．如果把角度模式设置成了弧度制（Radian），计算cosπ仍可以得到－1．这件事的出现给我以及所有听课教师引发诸多思考．第一，这位同学没有关注到这节课刚学习过的概念，运用新概念解决当前的问题，而是停留在“三角函数值是能够用计算器算出来的”这个认识水平上；第二，反映了计算器的过度使用，会形成对学具的依赖，影响学生思维能力的发展．学具的功能越全面越强大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的计算器在初中使用可能会削弱解一元二次方程的学习；具有图象功能的计算器的过早使用可能会干扰函数的学习．因此，教师应该注意技术在教学中的“辅助”作用，适度使用教具，重视算理分析，重视算法的来源，重视思维能力的培养，而不是追求计算结果．

借班上课，对学生的不熟悉是教师的苦恼，加上教学进度等问题，学生的知识储备不足（在教学任意角三角函数概念之前仅上过一堂“任意角”的课），是教学并不理想的一个重要原因．教学过程是师生双边活动的过程，离不开师生之间的交流，生疏是交流的障碍之一，生疏更难以做到师生之间配合默契．另外，学生对教师的教学风格的适应或认可也有一个过程，比如教师希望学生积极发言而不仅是听讲，等等．

（3）讨论中，老师们提出了许多有价值的教学应该遵循的一般规律以及一些先进的教学理念，但是，要求一节课全面体现各种先进教学理念，去承担反映数学教学规律中太多的东西是不现实，也是不应该的．

课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要．教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果．这一切都需要教师有很强的基本功．