第三节 几何法展开的三个基本方法与典型实例

第一篇：第三节 几何法展开的三个基本方法与典型实例

第三节 几何法展开的三个基本方法与典型实例

一、几何作图

1.常用几何划线工具

说起画线,大家没有不明白的.然而提到划线，能准确表述的人就不多了。此处所说的划线是专业术语，它也是一种画线，只不过用的工具和画的对象不同。划线是用高硬度划线工具，如划针、划规、中心冲，直接在材料上精确刻划和冲点，划出的线条很细。为了凸显它，往往还要沿线打上样冲眼；为清晰起见，必要时金属材料表面还应该专门涂色。显然，划针划线比铅笔画线要精确得多。展开放样和样板制作的材料一般采用薄钢板、厚纸板和油毛毡，在这些材料上精确作图，以划为主；当然，需要时也还是要用色笔画的，只要能保证精度要求，什么便当，就用什么画。以下介绍的，是钣金冷作工以划为主的常用划线工具。

1)15m盘尺、3m卷尺、1m长尺、300㎜钢尺、150㎜钢尺、150㎜宽座角尺、大三角板、吊坠 2)划规、分规、地规、划针、划针盘、石笔、粉线、墨斗 3)中心冲、手锤 4)展开平台

2.常用几何画线

对展开放样来说，以下常用的一些几何画线是必须掌握的。因时间关系，这里只提出基本要求，具体的画法就不多讲了。不清楚的地方，请自己复习《工程制图》中的相关内容。1)长直线、大圆弧的画法 2)特殊角度、一般角度的画法 3)直线、圆弧、角度的等分 4)直线曲线的吻接

5)常见曲线的画法（正弦曲线、椭圆、四心圆、摆线、渐开线、阿基米德螺线）

二、大小头与放射线法

1.大小头的表面特性

大小头上下口平行，是圆管变径时使用的连接件，有同心和偏心之分。同心大小头表面是正圆锥面，偏心大小头表面是斜圆锥面。立管变径时，连接件常采用同心大小头。水平管路变径，要求严格时用同心大小头就不合适了。这是因为介质为液体时水平管路需要排除内部产生的、妨碍运行的气体，因此连接处要求管道顶平，以利于排尽不需要的气体；相反，气管则需要排除积液，管路要求底平，以利于排尽不需要的液体。90°偏心大小头，它可以在水平敷设的管路变径时使管道顶平或者是底平，因而在水平管路变径中大显身手。

前面说过，同心大小头是正圆锥面，偏心大小头是斜圆锥面，它们有什么共同点呢？我们不妨设想一下：水平面上有一个圆D（圆心为O），水平面外有一个点A，有一条直线L通过该点和圆上一点。现在让这条直线一端固定在A点不动，另一端沿着圆的轨迹向同一个方向转动一周，于是这条线在空间将划出了一个曲面，这个曲面就是锥面。如果固定点在通过圆心的铅垂线上，形成的锥面就是正圆锥面；如果固定点不在通过圆心的铅垂线上，则所形成的锥面是斜圆锥面。

形成锥面的那条线叫母线，母线运动的轨迹圆叫基线，基线所在的水平面叫基面。母线在转动中通过的的每个位置都形成一条特定的直线，这些线，我们称之为素线。如果母线不通过固定点，而是保持与基面的某一轴向成一固定角度，也沿某一给定基线运动，那么划出来的曲面就是柱面。其中母线垂直于基面、基线为圆时的特别例子，就是我们非常之熟悉的正圆柱面。

这种母线是直线而形成的曲面，就是所谓直纹面。直纹面由无数素线组成。锥面的素线相交，柱面的素线平行。就展开而言，这个认知很重要，前者引申出了展开的放射线法，后者引申出了展开的平行线法。

直纹面的展开比较好处理，成形时大多是绕素线弯曲,因而制造起来比较容易。从方便制造、经济合理方面考虑，一般壳体设计，大都选择各种直纹面的组合。

2.同心大小头的展开

同心大小头的展开其实在小学数学课本就已经讲过，只是现在印象淡漠了。用得太少，记不住是正常的。现在我们静下心来，仔细看看图2-3-0，慢慢回忆起它的展开过程。

1)已知条件：大头中径 φD=120； 小头中径 φX=60； 高 h=100； 大、小口平面互相平行，且小头圆心在大头平面的投影与大头圆心重合。2)展开步骤：

⑴ 以水平面为大头基面，根据已知条件作立面图，即作HS⊥SA，其中HS=h，SA=φD /2；过H作HB∥SA，HB=φX/2；

⑵ 将锥台斜边AB延长与中轴线HS的延长线交于O；以O为圆心,以OA、OB为半径分别画弧；

⑶ 在OA弧上量取AD弧，使其弧长等于底圆周长（L=πφD）；

⑷ 连OD，交OB弧与C；则扇形ABCD为所求展开图形。

3)注意：不宜先在OB弧上量取小头圆周长。因为OB弧上的量取误差将在外弧（OA弧）上出现误差放大,可能导致超出允许的公差范围。

4)也可以通过计算展开扇形的圆心角来确定OD。圆心角可按下式计算： 将本题已知条件代入，α=103.4°

5)如图2-3-0，在AA′下方拼画半个俯视图，将底圆6等分并过等分点画出素线；对展开图亦作同样等分并过等分点画出素线；不难看出，他们之间存在着曲面元和平面元、曲面弧长和平面弧长之间的一一对应、等量转换的关系。这种处理方法，我们在以后的展开中将时常用到。

图-3-0 同心大小头的展开图

3.偏心大小头的展开

偏心大小头的展开稍许复杂点，但与同心大小头一样,它也可以通过大头斜锥削掉小头斜锥而得出来，因此，偏心大小头的展开问题实质上是斜锥的展开问题。斜锥的展开程序，首先是按已知条件画出立面图，然后确定底圆等分点，再求各等分点素线的实长。怎么求？请看图2-3-1a：

图2-3-1a 斜锥的已知条件与实长分析 图2-3-1b 斜锥展开的第一步---求实长

1)已知条件：

大头中径 φX 小头中径 φS

斜锥台高 h 偏心距 e 斜锥台上下口面平行且关于中面0S7对称 2)展开分析：

⑴ 在△0S6中，0S（点划线）是斜锥的高，S6（虚线）是素线06（粗线）在俯视图上的投影。因为0S垂直于底面，故△0S6是直角三角形；∠0S6为直角；而素线06是该直角三角形的斜边。这就是我们求斜锥素线实长的依据。

⑵ 锥台实际上是以同一斜锥切掉上面小锥形成的，显然，展开图组成上也有同样关系。展开时我们先处理大锥，后解决小锥。

现在着手斜锥展开的第一步,求斜锥底圆各等分点上素线的实长。请看图2-3-1b。

3)按已知条件画立面图、俯视图。注意：画立面图时，应以中径为准。如果已知条件给定的是外径或中径，就必须根据板厚先求出中径。

⑴ 画水平线L1并在其上取点O1，E，使O1E=e；然后以O1为圆心，φX /2为半径画半圆，交水平线L1于1、7二点；

⑵ 过E作水平线L1的垂线L3并在其上取O2，使O2E=h；过O2作水平线L2；以O2为圆心，φS/2为半径画弧，交L2于1°、7°二点；

⑶ 连1、1°，7、7°并延长相交于O点；过O点作L1的垂线，垂足为S；过S作半圆的切线。S7、切线与半圆O1实际上构成斜锥的半个俯视图，所以这一步又叫做“拼接半个俯视图”。4)利用∠OS7为90°,求实长。

为了方便展开，以后我们画图时常常几个视图叠合画在一起，这样，点的标号可能会重复出现，绘图者自己当然清楚它们所在的视图；在对称情况下，作图一般只画一半，遇到全图展开时，对称点点号都按同号对称布置。了解这种处理方式，反而好寻找对应点。⑴ 六等分下口半圆；

⑵ 以锥顶的垂足S为圆心，其到各等分点的长度为半径画弧，将各分点素线的投影长度等量转移到底边，得点1、2、3、4、5、6、7；连接各转移点与锥顶，则各转移点与锥顶的距离就是各分点素线的实长。

⑶ 上述实长线被小口线所截的上边线段即是小锥对应实长。

以下进行斜锥展开的第二步，画展开图。请看图2-3-1c。

图2-3-1c 斜锥展开图 1)画展开图

⑴ 以01为剖开线，在合适处垂直方向作中线07；

⑵ 以0点为圆心，各分点素线实长为半径画得如图1、2、3、4、5、6弧；

⑶ 以7点为圆心，1/12底圆周长为半径画弧，交6弧于二个6点，再以两6点为圆心，1/12底圆周长为半径画弧，交5弧于二个5点；如此下去，同法求至两个1点；

⑷ 检查所得13个点的曲线长度，如与计算所得的底圆周长误差大于3mm，应及时修正；

⑸ 圆滑连接各点得大口展开线；

⑹ 如图连接0点与各点，并在上述各线上由0点起量取小锥相应实长；圆滑连接所得各点即成小口展开线；

⑺ 连接大、小口对应端点，完成整个展开图。

斜锥台展开全过程可参考图2-3-1。

4.放射线展开法

按上述步骤展开的方法叫放射线展开法。放射线法常用于锥形曲面的展开，其展开基本过程是： 1)针对素线有同一顶点的锥面，根据其结构，依照一定的规则，将该曲面划分为N个共一顶点、彼此相连的三角微面元；对每个三角曲面元，都用其三顶点组成的平面三角形逐个替代，即用N个三角形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；

2)在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些呈放射状分布的三角形组，逐步得到模拟整个曲面的近似展开图形；因为共一顶点这些三角形的边形成一组放射线； 3)利用这一组放射线我们可以将其他相似的展开曲线、开孔线等画出来；

4)确定替代元的数量N是很重要的实际问题，N过大，增大工作量和劳动时间；N太小，精度达不到要求；N一般根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择。

三、弯头的展开与平行线法

1.圆管弯头及其主要参数

弯头是用于管路转弯时的连接件。按口径，分为等径弯头和异径弯头；按制作方式，则有弯制、压制、挤制和焊制之分；按截面形状，可以分为圆管弯头、方管弯头、方圆管转换弯头、异径弯头（在转弯过程中截面大小改变而形状不发生改变）、异形转换弯头（截面形状在转弯过程中步发生改变）等第。我们这里讲的弯头展开，指的是一节节组焊而成的“虾米弯”，主要包括等径圆弯头、异径圆弯头、方圆管转换弯头；其他形状的弯头并不常见，因为没有特殊需要，谁也不会设计这种展开复杂，加工困难的玩意儿来增加成本、自找麻烦。

焊制弯头的几个主要参数：（参看图2-3-2a）1.弯头角度：指弯头两个管口面间的夹角； 2.弯头直径：指弯头管材的外径、内径或中径；

3.弯曲半径：指管段轴线的内切圆半径。即管口中心到了两管口面交线的距离；

4.弯头节数：弯头的端节是中间节的一半，两个端节合起来是一节，再加上中间节数，合称弯头的节数；

关于弯头节数，目前没有统一的规定。有的把中间节的数量称为节数，有的把组成弯头的段数称为节数。如图2-3-2a所示弯头，前者叫二节弯，后者叫四节弯，我们钣金冷作工则叫三节弯。称三节弯的合理之处,一是便于半节角度的计算；二是弯头的节数等于焊接接口的数量，非常之明了；三是对两个半节组成的一节弯，前者就纳不入自己的系列，要换着名儿叫，后者则根本不存在一节弯头的概念。

2.平行线法

现在介绍展开时常用的另一个方法---平行线法。平行线展开法常用于素线互相平行的柱形曲面的展开，其展开的基本过程如下：

1)针对曲面结构特点，依照设定的规则，将该曲面划分为N个彼此相连的梯形微面域（微面域以下称面元）；梯形的平行边一般选在曲面的素线处；N一般根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择；

2)对每个梯形微面元，都用其四顶点组成的平面梯形逐个替代，即用N个梯形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；

3)根据视图的尺寸、位置的对应关系，即：“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系和上下、左右、前后的方位关系，用与各视图相关的平行线求取相贯点的位置、每个梯形各边的实际长度；

4)在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些梯形，于是得到模拟曲面的近似展开图形。弯头、三通等柱形表面的展开放样都是平行线展开法的典型例子。

3.等径弯头的展开 请看图2-3-2a。

图2-3-2a 弯头的已知条件 图2-3-2b 弯头实长图

1.弯头展开的已知条件与要求

1)已知条件

弯头角度 α=90°； 管子外径 φW=60； 弯曲半径 r=15； 弯头节数 n=3； 样板厚度 δ=0.5 2)展开要求

① 用平行线法作外径φ60管的外包全节样板。

② 方法正确：(展开方法不是唯一的，本题要求按教师指定的方法做)③ 作图精确：几何作图误差≤0.25，展开长度误差≤±1。3)展开准备

① 求半节角度：按节数计算半节（端头）截面倾斜角度；（αb =α/2n）② 展开三处理：按管径、材料板厚、连接方式和制作工艺决定展开中径、接口位置和余量。

因为是外包样板，画立面图时，管口直径应该选择包在管外的样板卷筒的中径。本题已知条件中给出了管子外径，实际上就是给出了样板卷筒的内径。故样板卷筒的中径φ=60+0.5=60.5。

2.求实长：

见上图2-3-2b。

1)画半节弯头端面角度线：

⑴ 先计算半节弯头端面角度； αb=α/2n=90°/(2´3)=15°

⑵ 作水平直线OB，在OB上取OS=150；分别以O、S为圆心，OS为半径画弧交于R；

⑶ 4等份弧SR，得等分点K，连OK并适度延长。2)画半节弯头立面图：

⑴ 先计算外包样板筒半径 R=f/2=（60+0.5）/2=30.25（可通过四等分长度为121的线段获取）； ⑵ 在OB线的S点两侧取1、7两点，使S1=S7=30.25 ⑶ 过1、7作OB的垂线11′、77′，交OK于1′、7′；梯形（11′7′7）即是半节弯头立面图。3)求实长: ⑴ 以S为圆心,S1为半径在下方画半圆并6等分之；

⑵ 过各等分点作OB的垂线，交OB为1、2、3、4、5、6、7；交OK为1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′；则11′、22′、33′、44′、55′、66′、77′为半节弯头管口各分点上的素线实长。

3.画展开图：

见图2-3-2c。

⑴ 计算展开长度：L=p（60+0.5）=190 ⑵ 作平行素线组：在OB上取AB=190（注意误差控制在%%p1以内），12等分AB；过各分点作AB的垂线组，上下长度略超过77′；以11′为切开线，依次标明各分点；

⑶ 求端口展开曲线：从1′～7′引SB的平行线，与对应垂线交于1°、2°、3°、4°5°、6°、7°，圆滑连接这13个点，此即半节端口的展开曲线；曲线梯形（AB1°7°1°）为半节（端节）的展开图形。

⑷ 画全节展开图：以AB线为中轴线画出上述展开曲线的对称曲线。这两条关于AB对称的展开曲线及其对应端点连线所围成的区域就是展开图。

实际操作时，一般用划规量取各点实长值，尺寸大时则直接用尺量取。再以AB上各对应分点为中心上下划弧或量取实长，以求展开点；然后将这些展开点圆滑连接成展开曲线。连线时可以用曲线板或弯曲的钢尺，也可以手工描。用曲线板或弯曲的钢尺时，一次画线至少要通过三点；手工描时，可以先把各点用直线连成折线，然后折线的基础上根据曲线的凹凸方向适度修描；为避免接缝处产生尖角，此处曲线要修描到其切线与接缝垂直。

必要时，下料的钢板上还须画出折弯线，作为成型时弯曲加工的位置。这些线就是平行素线组。因此平行素线组在样板上还应该保留下来。

图2-3-2c 弯头展开图

4、直管号料

小口径弯头一般直接用小口径管制作，不需要卷管，所以样板要做成外包式的，包着管子画线。至于大口径管，市面没有现成管材供应，只能卷制。但是由于单节弯头宽度尺寸变化大，上机卷制时弧度弯曲不均匀，因此工艺上常采用先卷管后割端节的做法，这也需要制作外包样板。样板制作好了以后，怎样要它去号料呢？

1)首先要计算准直管管长

三节弯头由两个全节和两个半节组成，画线时不要数量不符，少则误工，多则浪费。尤其是，不要忘记了留切割和修整余量。由图中量得半节中心高为41.2，则直管长度L=6×41.2＋3k。（k为切割与修整余量，其值根据精度要求、切割方法和操作水平综合选取）

2)下料时应先在管端圆周四等分处沿轴向画出四条素线，作为外包样板对位时的基准线，并按事先计算的数据标出定位点；

3)按基准点线用样板画线，有误差要分析，及时调整纠正；

4)各基准线处也是弯头组装时的重要的对位点，为了防止工作中所画线被檫掉，最好在基准线处打上几点样冲眼或作上其他标记。

等径三节弯头展开全过程可参考图2-3-2。

图2-3-2d 直管号料图

四、相贯线

1.相贯线的概念

相贯线是空间曲面之交，是两个面方程的公共解。相贯线是空间曲线,由于实际应用中都采用视图来传递设计加工信息，因而图纸上显示的相贯线通常是它的投影曲线。以后，我们常说的相贯线，指的都是空间相贯线对某个面的投影线，而其本身反倒很少提及，一旦提起，还特别点明。

由于投影是二维的平面曲线，它垂直于投影面方向上的特性因取定值而被忽略，但它反映在其他视图上，根据三视图长、宽、高方面的尺寸关系和前后、上下、左右方面的位置关系我们可以把它找回来；其他二向所具备的关系和特征则不因其为投影而完全丧失，研究其平面特性正是我们展开放样的必经之路。

研究相贯线的作用。归纳起来有二点：

⑴ 设计、绘图的需要；

⑵ 用于展开放样。（主要是通过展开点求实长和借助相贯线求实长）

2.相贯线的画法

要画相贯线先找相贯线上的点，这些点我们称之为相贯点，将相贯点圆滑连接成线，并把这线当作相贯线。显然，这里存在误差，但是我们有办法使误差足够的小，小到你允许的范围以内，这就不失为一个实用的好办法。这种关键的相贯点找的越多，画线的精度越高。因此可知，要解决画相贯线的问题，重要的是解决找相贯点的问题。有时候，求得的展开点直接对应于等分点，由此通过相贯点完全可以求得实长了，展开线已没有画出来的必要。如果相贯体中的一个通过等分求得相贯点，而对另一个，这些相贯点根本不具有等距性质，不便测量，不便于展开。这时候我们可以先通过容易求的相贯点，画出相贯线；再等分另一个并通过前面得出的相贯线来确定等分点上素线的实长，继而画出展开图。这种做法也是展开实践中经常循用的方法。

3.相贯点的求取

众所皆知，视图中的相贯线是一个二元函数，求相贯点必须对其中一个变量赋值。怎么取值？定步长取值，即按等差级数取值是公认的首选。从几何角度看，赋值问题其实就是相贯点的布点问题，此前用过的等分圆的作法就是基于这个思路。展开放样，动辄等分圆。为什么？因为等分圆的最大好处在于方便操作，这意味着校准了圆规的针距以后可以多次使用，而校准针距是很费时间的事。因此,展开实践中,大都采用等分待展开面来布置所求相贯点。

鉴于展开曲线并非线性的，在不同的等分区间变化不一样，布点时我们常采用改进的等分法，即插值等分法。在曲线急剧变化段，适当插入几个等分点参与展开，以精细刻画该段的曲线变化。

布点的另一个要求，一定要有关键点、极限点，如上下方向的最高点、最低点，左右方向的两个边点等等。倘若原来的布点方案实施中发现局部考虑不足，还要及时补点。

等分数N的选定有讲究，一是其大小，根据精度要求和曲线变化确定；二是其性质，必须从操作方便考虑，一般取N=23（式中：i=（0，1）；j=（2，3，„）；理由是3等分半圆，2等分弧容易操作。倘若你让N取了13、37之类的质数，那就麻烦了。每等份长度T≈5～10％，（基本尺寸大时取小值，基本尺寸小时取大值）关于相贯点的求取，下面我们结合几个例子说明常用的一些方法。

⑴ 视图法：

视图法从三个视图的内在关系（尺寸、位置）入手，通过三视图之间的三等关系和方位关系，在同一视图上画出每个相贯曲面具备这种关系的点的位置线；从这些位置线的交点去求出相贯点。视图法主要应用于关键点、极限点的求取上。

⑵ 素线法: 二个直纹面相贯，相贯点是这两个曲面的公共点。从分析相贯点所具有某一特征的入手，在同一个视图上分别画出两个曲面上具有该点特征的二条素线，其交点就是相贯点。这种求相贯点的方法叫素线法。图2-3-4a中，在立面图上通过支管端圆等分点P(点P与中面ABB′A′的距离为h)作支管素线PP′, 然后在侧视图的主管表面上找到与中面ABB′A′的距离为h的点S并过S转向立面图上作主管素线SS′,两素线PP′与SS′的交点P′即为相贯点。图中等分点H与P到中面的距离一样，过H的素线HH′与SS′的交点H′为另一相贯点。ij

图2-3-4a 素线法求相贯点(1)又如图2-3-4b中正锥面与圆柱面相贯,为了求得某一等分点3对应的相贯点3′的位置,我们先在主视图锥面上画出该点所在的素线L1；然后画出侧视图上的素线L1，L1与圆柱面的交点就是3′点在侧视图中的位置；由此向主视图画圆柱面轴线的平行线L2,则L1、L2的交点K就是所求相贯点。

图2-3-4b 素线法求相贯点

⑶ 轨迹法：

轨迹法从点所具有某种特性的入手，通过三视图之间的关系，在同一视图上画出每个相贯曲面具有该特性的点的轨迹；从这些对应轨迹的交点去求出相贯点。例如通过到中面等距离点的轨迹求异径斜三通的相贯点；又如通过到两中轴交点等距离的点的轨迹求锥-管相贯、锥-锥相贯时的相贯点。

图2-3-5中的两异径管相贯，就是利用距中面等距离的点的轨迹来求相贯点的。

图2-3-5 轨迹法求相贯点

主视图中，从支管点5画出的虚线平行于支管轴线，这线即支管表面距中面距离等于30.31的点的轨迹；在侧视图中，设法求出相贯线上距中面距离也等于30.31的5′点，再过此点向立面图作主管轴线的平行线，此线即主管表面距中面距离等于30.31的点的轨迹；两轨迹的交点5″就是立面图上所求的相贯点。

1.已知条件：支管外径f140；主管外径f165；轴线相交且夹角45° 2.求作：在立面图画出两管的相贯线

3.分析：要画相贯线，先求线上的关键点，然后连点成线，点越多越准确。本题相贯点的求得，可通过画出主管、支管表面距中面17等距离点的轨迹并求其交点的办法进行。4.步骤：

⑴ 先在立面图上过支管端圆各等分点画支管轴线的平行线，这些线就是与各等分点距中面17等距离的点的轨迹；

⑵ 之后按各等分点到中面的距离，在侧视图两管相贯线上找该点的对应位置。相贯线就在侧视图主管外圆上由支管边线界定的弧段，图中用粗线显示；

⑶ 过各找到的点引主管轴线的平行线与支管平行线组相交，找出并标明对应交点。

⑷ 圆滑连接上述各点，即得立面图上的两管相贯线。⑷ 辅助截面法：

辅助截面法采用一组截面去截两个相贯曲面或者采用二组截面分别对应截两个曲面,从截得的截线入手求相贯点。它依据相贯曲面的某一特征选取截面组，通过三视图之间的关系，在同一视图上画出每个相贯曲面上的截线,对应截线的的交点即为所求相贯点。请注意，这里的截面概念并不独指平面，而是已拓广到了曲面。截面的选取是有条件的，它截得的截线必须是简单易画的直线、圆弧，而不能是又要通过求许多点才能画出的复杂曲线。

常用的截面组有平行平面组、旋转平面组和同心球面组。平行平面组一般用于柱面、锥面、球面等回转面，平行基面根据截线是否简单易画来确定；旋转平面组共一个转轴，一般用于锥面回转面，轴线多在回转轴线或锥顶连线；同心球面组则用于轴线相交的锥面、柱面和其他回转面，中心在轴线交点。例如布置与两轴线构成的中面平行的一组平行平面组求异径斜三通的相贯点；又如通过到两中轴交点布置同心球面求锥-管相贯、锥-锥相贯时的相贯点。

细心的读者会发现，前面所讲的素线法、轨迹法其实不过是辅助截面法中的一个小类，例如素线法采用了平行平面组或旋转平面组（参考图2-5-1～图2-5-6）；而轨迹法中，通过到中面等距离点的轨迹求异径斜三通的相贯点就是采用平行平面组的辅助平面法；通过到两中轴交点等距离的点的轨迹求锥-管相贯、锥-锥相贯时的相贯点就是采用同心球面组的辅助球面法。在掌握素线法、轨迹法的基础上，全面理解和用活辅助截面法将使你在展开技术上提高一个层次。因此，辅助截面法的掌握与运用，可以作为展开放样技能考核的鉴定点。

⑸ 换面法：

空间相贯线对不同平面的投影是不同的，有的复杂，有的简单。从相贯线的简化入手，合理选择投影面，让相贯线（图中粗线部分）变成已知或易画的线条，这将使展开变得简单。线都出来了，点就不待言了。图2-3-6中画有等径正交三通（A1、A2）、等径斜插三通（B1、B2）、异径正三通（C1、C2）、支管渐缩正交三通（D1、D2）四组图形。

先看主管与支管等径时的情况。图中A1、B1是轴向侧视，相贯线为图中粗圆弧线，视图一画出来就存在了，因为它就是主管的外皮的一部分；A2、B2则是径向主视，此时它们的的相贯线还须画出来。不过等径三通的相贯线很特别，因为它既不能偏向主管，也不能偏向支管，只能是两管轴线夹角的角平分线。简单归简单，但相贯线毕竟要画，在这一点上，A2不如A1。

再看主管与支管异径时的情况。C1、D1与A1一样，也是轴向侧视相贯线为图中粉红色圆弧，视图一画出来存在了，因为它也是主管的外皮的一部分；但是C2、D2就不同了，它们的相贯线是未知曲线，还待画出来，而且画出这条相贯线还真不容易。

由图中可以看出，对于支管与主管夹角为90°的正三通，选择A1、C1、D1中的支管图形去展开支管显然要方便、简捷得多。这就是我们要合理选择投影方向的理由。至于怎么选，这不仅是一个理论问题，更重要的，是一个实践问题，要动手，要多动手，才会熟能生巧。

图2-3-6 合理选择投影方向

第二篇：《化学实验基本方法》典型实例剖析

《化学实验基本方法》典型实例剖析

第一章 从实验学化学 第一节 化学实验基本方法

题型 1 化学实验安全 【例 1】

进行化学实验必须注意安全，下列说法不正确的是（）A．不慎将酸溅到眼中，应立即用水冲洗，边洗边眨眼睛 B．不慎将浓碱溶液沾到皮肤上，要立即用大量水冲洗，然后涂上硼酸溶液 C．不慎将浓盐酸洒在桌面上，应立即用浓氢氧化钠溶液冲洗 D．配制稀硫酸时，可先在量筒中加入一定体积的水，再在搅拌下慢慢加入浓硫酸 E．酒精灯着火时可用水扑灭 解析 在实验过程中如果不慎将酸(浓 H 2 SO 4 除外)沾到皮肤或衣物上，应立即用较多的水冲洗，再用 3%～5%的碳酸氢钠溶液来冲洗。如果将碱溶液沾到皮肤上，要用较多的水冲洗，再涂上硼酸溶液。万一眼睛里溅进了酸或碱溶液，要立即用水冲洗(切不可用手揉眼睛)，要边洗边眨眼睛，必要时要请医生治疗。所以 A、B 说法是正确的；浓碱具有腐

蚀性，C 的说法不正确；稀释浓硫酸时放热将影响量筒的准确度甚至发生炸裂，量筒不能用来配制溶液，配制稀硫酸时，应先在烧杯中加一定量的水，再向水中加入浓硫酸，边加边搅拌，D 错；酒精着火应用沙子或湿布盖灭(隔绝空气)；因水的密度大于酒精，若用水灭火则酒精在水的上层会继续燃烧，故 E 错误。

答案 CDE

稀释浓 H 2 SO 4 或浓 H 2 SO 4 与密度较小的乙醇等液体混合时，由于浓硫酸溶解放热，如果后加密度较小的水或乙醇等，易使水或乙醇浮于浓硫酸表面，受热沸腾而使硫酸液滴向四周飞溅。

题型 2 物质的分离与提纯 【例 2】

提纯含有少量 Ba(NO 3)2 杂质的 KNO 3 溶液，可使用的方法为（）A．加入过量 Na 2 CO 3 溶液，过滤，除去沉淀，溶液中补加适量 HNO 3

B．加入过量 K 2 SO 4 溶液，过滤，除去沉淀，溶液中补加适量 HNO 3

C．加入过量 Na 2 SO 4 溶液，过滤，除去沉淀，溶液中补加适量 HNO 3

D．加入过量 K 2 CO 3 溶液，过滤，除去沉淀，溶液中补加适量 HNO 3

解析 对于物质的提纯，除去杂质时一般加入稍过量的试剂，以便将杂质完全除去，这样就不免带入了一定量的新杂质，因此，在选用试剂时，应考虑到最后能将之除去，但不能再引入新杂质。A 项会引入新

杂质 Na＋，B 项会引入新杂质 SO 2－4，C 项会引入新杂质 Na＋、SO 2－4。

答案 D

①除杂质时，一般加过量的试剂以彻底除去杂质，过量试剂应在后续步骤中除去。

②除杂质时，最后不能引入新的杂质，被提纯物质尽可能不减少。

题型 3 分液操作 【例 3】

某化学课外小组用海带为原料制取了少量碘水。现用 CCl 4从碘水中萃取碘并用分液漏斗分离两种溶液。其实验操作可分为如下几步：

A．把盛有溶液的分液漏斗放在铁架台的铁圈中； B．把 50 mL 碘水和 15 mL CCl 4 加入分液漏斗中，并盖好玻璃塞； C．检验分液漏斗活塞和上口的玻璃塞是否漏液； D．倒转漏斗用力振荡，并不时旋开活塞放气，最后关闭活塞，把分液漏斗放正； E．旋开活塞，用烧杯接收溶液； F．从分液漏斗上口倒出上层水溶液； G．将漏斗上口的玻璃塞打开或使塞上的凹槽(或小孔)对准漏斗口上的小孔； H．静置，分层。

就此实验，完成下列填空：

______→______→______→A→______→G→E→F。

(2)上述 E 步骤的操作中应注意____________________。上述 G 步骤 操 作 的 目 的 是____________________________________________________________。

(3)能 选 用 CCl 4 从 碘 水 中 萃 取 碘 的 原 因 是_____________________________________ ________________________________________________________________________。

(4)已知碘在酒精中的溶解度比在水中的大得多，能不能用酒精来萃取碘水中的碘，________(填“能”或“不能”)，其理由是___________________________。

解析 本题考查了萃取及分液的操作。对于分液漏斗，首先是要检验分液漏斗活塞和上口的玻璃塞是否漏液；然后才能装液、振荡并不断放气；再放在铁架台上。静置分层，为使漏斗内外气压一致，便于液体顺利流下来，要将漏斗上的玻璃塞打开或使塞上的凹槽或小孔对准漏斗上的小孔；然后旋开活塞，使下层液体流下来，但要使漏斗下端管口紧靠烧杯内壁并及时关闭活塞，以免上层液体流下来；上层液体要从上口倒出；碘在 CCl 4 中的溶解度比在水中大，且 CCl 4 与水不互溶，故可用其萃取碘水中的碘；酒精易溶于水，不能作碘水中碘的萃取剂。

答案(1)C B D H(2)应使漏斗下端管口紧靠烧杯内壁，及时关闭活塞，不要让上层液体流出 使漏斗内外空气相通，以保证 E 操作时，漏斗里的液体能够流出(3)CCl 4 与水不互溶，且碘在 CCl 4 中溶解度比在水中大很多(4)不能 酒精和水可以互溶

1．萃取的一般步骤及注意事项 装液→装液→振荡→静置→分液。

(2)注意事项：

①振荡时，需不断放气，以减小分液漏斗内的压强；(理由：分液漏斗振荡时，因萃取剂多为有机溶剂，蒸气压较大，如不放气，内外气压不平衡，有时塞子会被冲出。)②分液时，先将下层液体从下口放出，再将上层液体从上口倒出； ③将分液漏斗上的玻璃塞打开，或使玻璃塞上的凹槽(或小孔)对准漏斗上的小孔，使漏斗内外空气相通，以保证漏斗里的液体能够流出； ④漏斗颈的下端要紧贴烧杯内壁。

2．萃取剂的选择(1)被萃取的物质在其中的溶解度比在原溶剂中大；(2)萃取剂与原溶剂不互溶，也不反应。

3．如何振荡分液漏斗 用右手压住分液漏斗口部，左手握住活塞部分，把分液漏斗倒转过来用力振荡，振荡过程中要不时地放气。倒转分液漏斗时，应使上下两个玻璃塞关闭。

4．CCl 4 萃取碘水后的溶液可采用蒸馏法分离出碘。

题型 4 液体混合物的分离 【例 4】

回答下列问题：

(1)有 A、B 两种有机液体的混合物，如果 A、B 互溶，且相互不发生化学反应，在常压下，A 的沸点为 35℃，B 的沸点为 200℃。回答以下问题：

①用蒸馏方法分离和提纯该混合物，必不可少的玻璃仪器和用品是。

②如果加热升温后，第 3 至 10 min 收集第一个馏分，第 15 至 25 min收集第二个馏分。请在如图所示的格纸中画出蒸馏法分离提纯该混合液的温度与时间的关系示意图。

(2)在分液漏斗中用一种有机溶剂提取水溶液里的某物质时，静置分层后，如果不知道哪一层液体是“水层”，试设计一种简便的判断方

法。

解析 蒸馏是提纯或分离沸点不同的液体混合物的方法。分液漏斗中的下层液体，要么是有机溶剂层，要么是水层，取分液漏斗中少量下层液体，向其中加少量水后观察现象，如果分层了，证明分液漏斗中的下层液体是有机溶剂层，反之是水层。当然也可不加水而加苯、汽油及四氯化碳等有机溶剂来验证，只不过没有用水方便。

答案(1)①蒸馏烧瓶、酒精灯、牛角

管、温度计、冷凝管、锥形瓶、碎瓷片(或碎玻璃、沸石)②如右图(2)取一支小试管，打开分液漏斗，放出少量下层液体，向其中加少量水，若分层为有机溶剂层，不分层则为水层

第(2)小题易有这样的思路：向下层液体中加入无水硫酸铜，看是否变蓝。结果与答案不符，为什么呢？因为实验室没有无水硫酸铜，无水硫酸铜需要用硫酸铜晶体加热制得，并不是“一种简便的判断方法”。说明那些考生没有发散思维的意识，被课内学习到的水的证明方法——无水硫酸铜遇水变蓝给局限住了。

题型 5 粗盐提纯与离子检验综合实验 【例 5】

某同学用某种粗盐进行提纯实验，步骤见下图。

请回答：

(1)步骤①和②的操作名称是。

(2)步骤③判断加入盐酸“适量”的方法是

；步骤④加热蒸发时要用玻璃棒不断搅拌，这是为了防止，当蒸发皿中有较多量固体出现时，应，用余热使水分蒸干。

(3)猜想和验证：

猜想 验证的方法 现象 结论 猜想Ⅰ：固体 A 中含 CaCO 3、MgCO 3

取少量固体 A 于试管中，滴加稀盐酸，并用涂有澄清石灰水的小烧杯罩于试管口 ____ 猜想Ⅰ成立 猜想Ⅱ：固体 A 中含 BaCO 3

取少量固体 A 于试管 中，先 滴 入有气泡 放出，______

________，再滴入Na 2 SO 4 溶液 无白色 沉淀 猜想Ⅲ：最后制得的 NaCl 晶体中还含有 Na 2 SO 4

取少量 NaCl 晶体溶于试管中的蒸馏水，________ ____ 猜想Ⅲ成立 解析 本题主要考查基本实验操作，猜想Ⅰ主要是为了检验碳酸盐，可以加入强酸后使产生的气体通入澄清石灰水来加以检验，猜想Ⅲ是对 SO2－4 的检验，可选用适当的钡试剂即可。

答案(1)过滤(2)滴加盐酸至无气泡放出为止 局部过热，造成固体(或溶液)飞溅 停止加热(或熄灭酒精灯)(3)猜想Ⅰ：有气泡放出，烧杯底变浑浊(或石灰水变浑浊)猜想Ⅱ：滴入稀硝酸(或稀盐酸)猜想Ⅱ不成立 猜想Ⅲ：滴入 BaCl 2 [或 Ba(OH)2 或 Ba(NO 3)2 ]溶液和稀 HNO 3

有白色沉淀且不溶于稀 HNO 3

(1)在进行沉淀反应的实验时，认定沉淀已经完全的方法是：取上层清液少量置于小试管中(或取滤液少许置于小试管中)，滴加沉淀剂，如果无沉淀生成，说明沉淀已完全。

(2)中学化学实验中，在过滤器上洗涤沉淀的方法是：

向漏斗里注入蒸馏水，使水面没过沉淀，等水流完后，重复操作 2～

次。

【分析】

在进行沉淀反应的实验时，如果沉淀没有完全，滴加沉淀剂将会继续反应而产生沉淀。洗涤沉淀时，为了使沉淀物表面残留的可溶性杂质全部除去，应使水面没过沉淀物，然后让水流完，一次洗不净，一般要重复操作 2～3 次。

第三篇：华与华方法三个层次“定位”法

华与华方法的三个层次“定位”法

一起读营销，少花钱，多赚钱，打造好品牌。不定期推荐好书和品牌营销，拆书笔记。

一提到“定位”我们首先想到的是特劳特的“心智定位”，在《华与华方法》这本书里指出，特劳特的“心智定位”属于传播范畴，相当于“独特的销售主张”，并不在战略领域。

心智定位是一个过分简单化，甚至傻瓜化的思想，因为人性喜欢将一个事情简单化的冲动和妄想。《华与华方法》提出三个层次的定位。

第一定位：是经营使命 我能为社会解决什么问题，也是社会分工定位，定位一生的使命。

第二定位：业务战略定位 我的业务是什么？我提供哪些产品和服务？用一套什么产品和服务，去解决社会问题。

第三定位：经营活动定位 就是迈克尔·波特的战略定位，是一套独特的经营活动组合，实现独特价值，总

成本领先和竞争对手难以模仿。

企业三大定位相互影响，第三定位支持第二定位，第二定位实现第一定位，第一定位是最终目的，这是本质，到底能为社会解决什么问题。

传统的“定位”告诉企业主，企业不能盲目的进入新领域，会扰乱消费者对原品牌的认知。

华与华的定位衡量要不要进入新领域，不是简单的心智定位，也不是简单的多元化和专业化，而是第三定位，经营活动组合问题。有没有创造价值，有没有减低总成本，有没有提高竞争对手模仿难度。

以足力健为例。

足力健并不是在消费者心智中定位为老人鞋，也不是在品类上定位为老人鞋，而是在经验使命上定位“让每一位老人都过上健康快乐的老年生活”，在业务领域定位是“养老制造业”。

创办足力健的初衷，是因为创始人张京回到村里发现，很多老人不愿出门，发现老人足部变形，穿一般的鞋很痛苦。

这是一个社会问题，他就定下了让天下老人穿上专业的老人鞋的经验使命。

为了这一使命，解决老人穿鞋的问题，业务战略定位就是，老人鞋研发、设计、生产制造和销售。

足力健如果仅仅定位于“老人鞋”，很快就被模仿。市面上有近百个老人鞋品牌，但是都无法撼动足力健地位。

原因就是前面说的第三定位，经验活动定位。第一，产品功能价值不能撼动。

解决老年人足弓塌陷，脚掌变宽的问题，掌握了充足的中老年脚型数据。第二，总成本领先。

鞋款少，每一款产量非常大，自己生产，大幅减低成本，价格定位非常低廉，比老人平时穿的其它鞋还便宜。第三，竞争对手难以模仿。

成本领先，价格低，阻挡竞争者进入，压倒性的广告投入，也建立了品牌的壁垒，在渠道上形成了遍布全国的自营终端门店。

下图是足力健老人鞋的经验活动图

说到竞争，本书提出迈克尔·波特的竞争战略的核心工具“五力模型”。

影响企业利润的，有五个力：现有竞争对手的影响、对下游的议价能力、对上游议价能力、新进入者的影响、替代者的影响。

迈克尔·波特认为：竞争的目的不是打败对手，而是为了获得利润。

企业战略，就是和这五个方面的博弈。

总结 华与华方法的三个层次定位：经营使命定位、业务战略定位、经营活动定位。

选择、承担解决某一社会问题的责任，并将之作为企业的经验使命，业务组合和产品结构就是社会问题的解决方案，用一套独特的经验活动和独特的成本结构，实现：独特的价值、总成本领先、竞争对手难以模仿。

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第四篇：证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

§4.2.3证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

【学习目标】

能熟练运用反证法与放缩法来证明不等式。

【新知探究】

1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；

2．放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，要注意放缩的适度，BB1,B1B2...A（或AA1,A1A2...B）

常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．





1n21n(n1);1

n21n(n1)

【自我检测】

1．设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.2．A1

nN)的大小关系是．

【典型例题】

例1.已知x,y0,且xy2,求证：

变式训练：若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

–“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 1x1y中至少一个小于2。,yx1

4例2.已知实数a,b,c，abc0,abbcca0,abc0,求证：a0,b0,c0.变式训练：课本P29页，习题2.3第4题 例3.已知a,b,cR,求证1aabdb

bcac

cbdd

dac2.变式训练：

xy

1xy

32设x0、y0，A例4．求证：1

122,B1n2x1xy1y，则A、B大小关系为________。2(nN)

例5．已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于 12。

–“天下事，必作于细”