八年级数学公益诊断

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2．如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l1、l2，则∠1+∠2＝（）

A．30°

B．40°

C．50°

D．60°

【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠CBA+∠BAC+∠2＝180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA＝∠BAC＝60°，∴∠1+∠2＝180°﹣（∠CBA+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，故选：D．

9．已知△ABC边AB、AC的垂直平分线DM、EN相交于O，M、N在BC边上，若∠MAN＝20°，则∠BAC的度数为（）

A．100°

B．120°

C．140°

D．160°

【解答】解：∵DM是边AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B，同理，∠NAC＝∠C，则，解得，∠BAC＝100°，故选：A．

4．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF

⊥BC于点E，则BE的长为（）

A．1

B．

C．

D．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝2﹣＝，故选：C．

1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（C）

①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°；∠BFC＝115°；④DF＝EF．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【解答】解：∵BF是∠AB的角平分线，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正确；

同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；

∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴，∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；

当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误；

故选：C．

3．平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A．5

B．6

C．7

D．8

【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（1，2）、B（3，0）．

∴AB＝2，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（B点除外），即（﹣1，0）、（2+，0）、（0，2﹣），即满足△ABC是等腰三角形的C点有3个；

②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；

③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个．

综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有7个．

故选：C．

14．如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）

A．20

B．12

C．10

D．8

【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积

＝×（AB+BC+AC）×OD

＝×10×2

＝10，故选：C．

7．给出下列命题：（1）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；（2）三个内角度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形：（3）有三条互不重合的直线a，b，c，若a∥c，b∥c，那么a∥b；（4）等腰三角形两条边的长度分别为2和4，则它的周长为8或10．

其中真命题的个数为（）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

【解答】解：（1）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题．

（2）三个内角度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形，是真命题．

（3）有三条互不重合的直线a，b，c，若a∥c，b∥c，那么a∥b，是真命题．

（4）等腰三角形两条边的长度分别为2和4，则它的周长为8或10，是假命题．

其中真命题的个数为3，故选：B．

22．如果不等式组的解集是x＞5，则a的取值范围是（）

A．a≥5

B．a≤5

C．a＝5

D．a＜5

【解答】解：∵不等式组的解集是x＞5，∴a≤5，故选：B．

23．某景点普通门票每人50元，20人以上（含20人）的团体票六折优惠．现有一批游客不足20人，但买20人的团体票所花的钱，比各自买普通门票平均每人会便宜至少10元，这批游客至少有（）

A．14

B．15

C．16

D．17

【解答】解：设这批游客x人．

由题意：20×50×0.6≤（50﹣10）x，∴x≥15，∴x最小＝15，故选：B．

24．关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（）

A．m＜﹣1

B．m＞﹣1

C．m＞0

D．m＜0

【解答】解：∵不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，∴m+1＜0，即m＜﹣1，故选：A．

25．若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是（）

A．6＜a＜7

B．7＜a＜8

C．6≤a＜7

D．6≤a＜8

【解答】解：解不等式2x﹣a≤0，得：x≤，∵不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴3≤＜4，解得：6≤a＜8，故选：D．

26．如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（）

A．x≤﹣2

B．﹣4＜x≤﹣2

C．x≥﹣2

D．﹣2≤x＜0

【解答】解：由图象可知，当﹣2≤x＜0时，直线y＝nx+b在直线直线y＝mx下方，且都在x轴下方，∴当﹣2≤x＜0时，nx+b≤mx＜0，故选：D．

29．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）

A．a≤1

B．a＜﹣1

C．﹣2＜a≤﹣1

D．﹣2≤a＜﹣1

【解答】解：∵不等式组恰有3个整数解，∴﹣2≤a＜﹣1，故选：D．

31．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，其中有：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝DE；④∠A＝∠EBC，四个结论，则结论一定正确的有（）个．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①、③错误；

∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD），∠CBE＝（180°﹣∠BCE），∴∠A＝∠EBC，故④正确；

∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误；

故选：A．

35．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，将△ABC以点C为中心顺时针旋转90°，得到△DEC，连接BE、AD．下列说法错误的是（）

A．S△ABD＝6

B．S△ADE＝3

C．BE⊥AD

D．∠ADE＝135°

【解答】解：∵将△ABC以点C为中心顺时针旋转90°，得到△DEC，∴AC＝CD＝3，BC＝CE＝1，∠ACD＝90°，∴AE＝2，BD＝4，∠ADC＝∠CAD＝∠CBE＝∠CEB＝45°

∴S△ABD＝×BD×AC＝6，S△ADE＝×AE×CD＝3，∠CBE+∠ADC＝90°，∠ADE＜45°，∴BE⊥AD．

故选：D．

将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友__________个，苹果_________个．

解答：解：设有x位小朋友，则苹果为（5x＋12）个，依题意得：0＜8x−（5x＋12）＜8，解得：4＜x＜，∵x是正整数，∴x取5或6，当x＝5时，5x＋12＝37；当x＝6时，5x＋12＝42，∴有两种情况满足题意：①这一箱苹果有37个，小朋友有5位；②这一箱苹果有42个，小朋友有6位，故答案为：5或6；37或42．

如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD＇，下列结论：①点D与点D＇的距离为5；②∠ADC＝150°；③△ACD＇可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；④点D到CD＇的距离为3；⑤S四边形ADCD′＝6＋，其中正确的有（）

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

解答：解：连结DD′，如图，∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，∴△ADD′为等边三角形，∴DD′＝5，所以①正确；

∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；

∴D′C＝DB＝4，∵DC＝3，在△DD′C中，∵32＋42＝52，∴DC2＋D′C2＝DD′2，∴△DD′C为直角三角形，∴∠DCD′＝90°，∵△ADD′为等边三角形，∴∠ADD′＝60°，∴∠ADC≠150°，所以②错误；

∵∠DCD′＝90°，∴DC⊥CD′，∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；

∵S△ADD′＋S△D′DC

＝=，所以⑤错误．

故选：B．