高中数学专题2.15 超越方程反解难，巧妙构造变简单（原卷版）

专题15

超越方程反解难，巧妙构造变简单

【题型综述】

导数研究超越方程

超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．

在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．

此类题的一般解题步骤是：

1、构造函数，并求其定义域．

2、求导数，得单调区间和极值点．[来源:学*科*网]

3、画出函数草图．

4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解．

【典例指引】

例1．已知函数在处取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．

例2．设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．

（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

例3．已知函数（）

（1）讨论的单调性；

（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．

【同步训练】

1．已知函数（），且的导数为．

（Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．

2．已知函数的图象的一条切线为轴．（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：

．

3．已知函数（），．

（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线．

①求实数的值；

②若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立．

[来源:Z,xx,k.Com]

4．已知函数．

（1）设，①记的导函数为，求；

②若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；

（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围．[来源:学科网]

5．已知函数．

（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围．

6．已知函数，且直线是函数的一条切线．

（1）求的值；

（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；

（3）已知方程有两个根，若，求证:

．

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

7．已知函数（为自然对数的底数，），．[来源:学科网ZXXK]

（1）若，求在上的最大值的表达式；

（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；

（3）若，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．

8．设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．