一。偏导数的几何应用
1.[2012]
求曲面在点处的切平面和法线方程
解
令，则
从而切点的法向量为
从而切平面为
法线方程为
3、[07]曲线在点的切线方程为.4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。
解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上
因此切平面为
5.[2006]已知直线和平面则（B）
A、在内
B、与平行，但不在内
C、与垂直
D、不与垂直，不与平行
6.[2006]曲面在点处的法线方程是
7.[2006]（化工类做）
已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。
证明：直线上任取两点，则是的方向向量；的一个方向向量为，因为，所以
设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以
所求方程为
二。多元函数
1.【2012】设，则
0
2.【2012】设,则
3.【2012】
函数在点处沿指向点方向的方向导数
4.【2012】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数
解
因为
与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。
又，或，或
于是函数在点存在有一阶偏导数。
5.【2012】设,求
解
令，则，于是用公式得
6.[2012]
在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。
解
设点为，则
等价于求在约束之下的最小值。令
且由
解得驻点，最短距离为
（令计算起来更加方便，舍去驻点，）
7.[2011]
8.[2011]
9.【2011】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数.10.【2011】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变？
11.【2011】求函数的极值.12.[2010]
13.[2010]
14.[2010]
15.[2010]
16.[2009]
17.[2009]
18.[2009]
设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。
解：
19.[2009]
求函数在圆域的最大值和最小值。
解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点
当时，是条件极值，考虑函数，解方程组
可得
所求最大值为，最小值为。
方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。
方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。
20.[2009]
（化工类做）
求由方程组所确定的及的导数及。
21.[2009]
（化工类做）
求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？
22、[2008]
函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要
条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分
条件（填必要、充分或充要）
23、[2008]
设有连续偏导数，则
24、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点
证：令，则
从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。
显然时成立，故切平面均过。证毕
25、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数
解：方程组两端对求导，得
把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为
所求方向导数为
26、[2008]
设，求
解：两边取微分，得
从而，27、[2008]
设，则它有极小值
28、[2008]
设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。
解：令
则，从而
再由即约束条件，可得，从而
由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。
29、[2007]
设，则
30、[2007]
已知，则
031、[2007]
函数在点处沿从点到点方向的方向导数是
32、[2007]设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：
33、[2007]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续
解：由定义
同理
由于
从而函数在原点处可微。
当
由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。
34、[2007]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求
解：对方程两边取微分得
即
35、[2007]求在约束条件下的最大值和最小值
解：令
则
由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为
36.[2006]
若在点处可微，则下列结论错误的是（B）
A、在点处连续
B、在点处连续
C、在点处存在D、曲面在点处有切平面
37.[2006]
二重极限值为（D）
A、0
B、1
C、D、不存在38.[2006]，则
39.[2006]
函数在点沿方向的方向导数为
40.[2006]
设函数
证明：1）在点处偏导数存在2）在点处不可微
证明：1）因为
所以在点处偏导数存在2）因为
当取时
随之不同极限值也不同，即
所以此函数在处不可微。
41.[2006]
设，具有连续二阶偏导数，求
解：，42.[2006]
在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。
解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为
化成截距式方程
此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）
要求满足条件的最小值，只需求满足条件的最大值。
由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点
得
由此得，所以
当时，有最小体积，最小体积为。
切点坐标为。
三。二重积分
1.[2012]
设是所围成的区域,则
2.[2012]
计算二重积分，其中
解
被积函数有
而积分区域关于对称，取
从而
3.[2012]设函数在内有连续的导数，且满足。求
解
用极坐标
两边求导得，标准化为
于是
由得，故
4.[2011]
5.[2011]
交换二次积分的积分次序：。
6.[2009]
求锥面被柱面割下部分曲面面积。
解：
7.[2009]（化工类做）
计算二重积分，其中为圆域。
8、[2008]
交换二次积分的积分次序
9、[2008]
求球面含在圆柱面内部的那部分面积
解：上半球面的部分为
10、[2007]
计算二重积分.是由所围成的闭区域
解：作图知
11.[2006]
交换积分次序后，12.[2006]
计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。
解：原式
四。三重积分
1.[2012]
设为两球的公共部分，计算三重积分
解
由
当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得
2.【2011】对于任何不自交的光滑闭曲面上的单位外法向量,所围成的区域,证明:
3.[2010]
计算三重积分
4.[2009]
计算。
解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则
原式
5、[2008]
计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域
解：由对称性
从而
6、[2007]
计算三重积分，其中.由所确定
解：由交线（舍去）
于是投影区域为，柱坐标下为
7.[2006]
计算三重积分，其中是由柱面及平面围成的闭区域。
解：方法一：利用柱面坐标计算,原式
方法二、截片法,原式
五。曲线积分
1.[2012]
设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分
2.[2012]
计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。
解
由于
补两条直线是逆向的闭曲线，故
原式
或由曲线积分与路径无关，直接得
原式得
或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式
或者由是全微分表达式，凑微分，因
及
得
原式
3.[2011]
4.【2011】计算
5.[2011]
6.[2010]
7.[2010]
计算
8.[2010]
(化工类做)计算
9.[2009]
10.[2009]
计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。
解：在的内部作圆并取逆时针方向，的参数方程为
由格林公式有
11、[2008]
计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。
解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关
取路径，12、[2007]
设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分
13、[2007]设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分.14.[2006]
曲线为原点到点的直线段，则曲线积分的值等于
15.[2006]
计算，其中为从点沿椭圆到点的一段。
解：原式
16.[2006]
设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算。
解：，由得，所以
六。曲面积分
1.[2012]
计算曲面积分，式中是上半球面的上侧.解
补一个平面，取下侧，则原式
另法（看看:
归一化，多次换元够烦的）
即，上半球面指向上侧法线为，从而,原式=
2.[2012]
求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。
解
记为在部分的面积，或者
3.【2011】计算
4.【2011】计算曲面积分
5.[2010]
计算
6.[2010]
计算曲面积分
7.[2009]
向量场的散度为。
8.[2009]
计算曲面积分，其中是半球面的上则。
解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得
原式
9、[2008]
向量场的散度为.向量场的旋度为.10、[2008]
设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分
0，11、[2008]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧
解：取上侧
则原式
12、[2007]
计算，其中为半球的上侧
解：令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式
原式
（用对称性可以简化计算）
13、[2007]
计算，其中为抛物面
解：，投影区域为
由对称性，原式
14.[2006]已知曲面的方程为，则（B）
A、B、C、1
D、分析：
15.[2006]计算，其中为旋转抛物面的上侧。
解：方法一、利用两类曲面积分的联系
对应侧的法向量为
原式=
方法二、利用高斯公式，补充曲面并取下侧
原式
七。微分方程
1.[2012]
求定解问题的解
解
标准化，由标准方程的解的公式，得
由初值条件，有，于是特解为
2.[2012]
求微分方程的通解
解
对应的齐次方程为，解得特征根
非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，代入原来的微分方程，得
即
于是根据解的结构定理得，所求通解为
3.[2012]
设函数在内有连续的导数，且满足。求
解
用极坐标
两边求导得，标准化为
于是
由得，故
4.【2011】求微分方程的通解.5.[2011]
6.【2011】(化工类做)求微分方程的通解.7.[2010]
8.[2010]
9.[2010]
.[2010]
(化工类做)求微分方程
11.[2010]
(化工类做)
12.[2009]
求如下初值问题的解
解：此为可降阶微分方程第三种类型。
设，则，原方程化为
变量分离两边积分得
由可得
解可得，由可得
所求解为：。
13.[2009]
求方程的通解。
解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解为
因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得
原方程通解为
14、[2008]
求微分方程的通解
解：，15、[2008]
计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得
即，这是标准的一阶线性微分方程
原方程令得，代入通解得，从而
16、[2008]（化工类做）求解初值问题
解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为
容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为
从而，由初值条件可得。
因此
17、[2007]
求微分方程的通解.解：原式可以化为一阶线性微分方程
由公式
18、[2007]
设具有二阶连续导数，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。
解：由全微分方程的条件知
有特解有形式，代入原方程得
从而通解
由初值条件
因此
原方程即为
即
19.[2006]
用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解的形式（B）
A、B、C、D、20.[2006]
设是微分方程的一个解，求此微分方程的通解。
解：因为，原方程为
这是一个一阶线性微分方程，其通解为
八。级数
1.[2012]
判别无穷级数的收敛性。
解
由于，故
而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。
2.[2012]
求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
解
比较标准幂级数，得，从而收敛半径为，收敛区间为
当时幂级数化为正项级数，由于，从而与调和级数一样发散；当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。
3.[2012]
将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。
解
利用，从而
4.【2011】(非化工类做)
5.【2011】(非化工类做)
6.【2011】(非化工类做)
7.[2010]
(非化工类做)
8.[2010]
(非化工类做)
9.[2010]
(非化工类做)
10.[2009]
（非化工类做）
证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。
11.[2009]
（非化工类做）
将函数展成余弦级数。
12.[2009]
（非化工类做）
求幂级数的收敛半径和收敛域。
13.[2008]
设且，试根据的值判定级数的敛散性。
14.[2008]
设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。
15.[2008]
设，证明满足微分方程，并求。
16.[2007]（非化工类做）
求幂级数的收敛域及其和函数。
17、[2007]（非化工类做）
将函数展成的幂级数。
18、[2007]（非化工类做）
证明:在区间上等式
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