实变函数网上教学活动文本2005

第一篇：实变函数网上教学活动文本2005

实变函数网上教学活动文本（2005.12.15）

大家好！这里进行的是实变函数教学活动。

直播课堂：11月18日，许教授在中央电大直播课堂作了一讲期末复习，大家可以注意看一下。

实变函数章节复习要点

第1章主要内容．

本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分.主要内容有：

一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律．

关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，AB当且仅当xA时必有xB．有时也利用它的等价形式：AB当且仅当xB时必有xA．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一．

还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．xAn当且仅当x属于这一列集

n1合中的“某一个”（即存在某个An，使xAn），而xAn当且仅当x属于这一列集合中

n1的“每一个”（即对每个An，都有xAn）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能.读者要多做些这方面的练习．

二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证A~C，已知A~B，此时只须证B~C；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法．

三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者.要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质.四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者.第2章主要内容． 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.一、本章我们从R中的距离和邻域的概念出发，首先定义了相对于某个给定集

nERn的几种不同类型的点：内点、聚点、孤立点、边界点.它们彼此之间的关系可用图示如下：

其中内点和聚点更常用些.关于聚点，我们还给出几个等价条件(定理2.1.1和定理2.1.2)，读者要熟练的掌握和运用.二、开集、闭集和完备集是本章的重要内容.在开集、闭集和完备集的性质和直线上开集构造的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质和构造也就自然得到了.三、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数c，第3章中我们还证明了它的测度为零.正是因为它的巧妙构思和奇特性质常常为构造一些重要的反例提供启示.四、本章中介绍的聚点存在定理，即波尔察诺一维尔斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆盖定理(定理2.2.5)和距离可达定理(定理2.4.1)，要弄清定理条件并会灵活运用.第3章主要内容．

本章主要讨论R中点集的测度，它是建立勒贝格积分的基础.一、外测度和可测集是本章的两个主要概念，关于可测集的定义，主要使用的是定义3.2.3(即卡氏条件)．因为可测集的测度等于其外测度，所以外测度性质(定理3.1.1)对可测集都适用．因此对外测的性质要熟练掌握．

二、可测集的运算性质是本章的重要内容．可测集类在有限次或可列次并、交、补运算之下是封闭的．可测集的可列可加性(定理3.2.4)和单调可测集列极限的测度(定理3.2.5和定理3.2.6)的结果在后面的学习中会时常用到．

三、关于可测集的构造是本章的又一重要内容.勒贝格可测集是由波雷尔集和测度为零的集的全体所构成的可加集族(定理3.3.8).我们还讨论了勒贝格可测集同开集、闭集、G型集和F型集之间的关系.这些关系一方面从不同的角度划了勒贝格可测集，另一方面也提供了用较简单的集合近似取代勒贝格可测集的途径.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.同学们只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.第4章主要内容．

为了建立勒贝格积分理论的需要，本章讨论一类重要的函数——可测函数.它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数.一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容.可测函数的定义及给出的一些充要条件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判断函数可测的有力工具，应该熟练地掌握和应用它们.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的.可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越性和应用中的方便之处.二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一.几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式.叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系.通过这个定理，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都n起着重要作用.勒贝格定理(定理4.3.2)告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理4.3.3)指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列.三、可测函数的构造是本章的又一重要内容.一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数.然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的(如迪里克雷函数).所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多.而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便.四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的.如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的.第5章主要内容．

本章的中心内容是建立一种新的积分 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．

一、关于勒贝格积分的建立．

本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．

一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．

二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：

(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即f(x)在E上可积当且仅当f(x)在E上可积(f(x)在E上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．

(2)勒贝格积分的绝对连续性．设f(x)在E上可积，则对任意0，存在0，使当eE且 me时，恒有

f(x)dx

e(3)勒贝格积分的唯一性．即

Ef(x)dx0的充要条件是f(x)0a.e.于E．由此可知，若f(x)与g(x)几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．

(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设f(x)是可积函数，对任意0，存在[a,b]上的连续函数(x)，使 [a,b]f(x)(x)dx

此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．

三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用．

同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．

四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若[a,b]上的有界函数f(x)黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．

值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．

关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．

五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要f(x,y)在RR上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．

六、本章的最后介绍了勒贝格积分理论中的“原函数”存在定理和牛顿—莱布尼兹公式．在这些关系的研究中，有界变差函数和绝对连续函数的概念起着重要作用．

实变函数本学期考试时间安排：2006年1月14日上午8：30-10：30

关于习题：这门课程比较难学，很多同学询问习题答案，请注意，教材中的练习、习题以及辅导中的自测题的答案均附在教材后面。

问：期末复习要注意什么？

陈卫宏：许老师上月18日有一讲复习课，介绍的比较详细。

陈卫宏：吴老师好！这学期负责哪门课？

吴旗东：高数，常微，高代，线代

问：是否熟悉各章的例题和作业，就能够通过考试

陈卫宏：主要掌握考核册中的作业内容。

问：列维定理中去掉函数列非负性假定,结论是否成立? 陈卫宏：列维定理中函数列非负性的条件不能去掉。

陈卫宏：今天的活动就到这里，大家再见！

pq

第二篇：实变函数复习思考题

实变函数复习思考题

1.基本概念

（1）补集,可数集合,内点,集合E的内部intE,外点,边界点, 集合E的边界E聚点,集合E的导集E, 集合E的闭包E,孤立点,开集和闭集的概念.（2）集合对等,集合外侧度,可测集,可测函数,处处收敛,几乎处处收敛,近一致收敛和依测度收敛的概念.2.基本定理

（1）Demorgan律.（2）直线上开集的构造定理.（3）叶果洛夫(Eropob)定理.(4)鲁津定理.(5)集合G为开集的几个等价条件.(6)集合F为闭集的几个等价条件.3.基本计算

（1）集列En

n1的上限集limAn和An下限集的计算.nn

（2）计算康托集G0的测度为1.4.基本证明

(1)设x0Rn为一给定点,d(x,x0)指Rn中任意一点x到x0的距离.证明d(x,x0)是Rn上的连续函数.(2)证明康托集P0的外测度为零,从而证明P0是可测集.(3)设SRn.如果对任意的正整数k,存在可测集EkSRn使得mSEk1,证明S是可测集.k

E={xR|f(x)a}(4)设f(x)是R上的实值连续函数，对任意aR，证明：

是开集.(5)设x0Rn且SRn.记PS(x0){xRn:d(x0,x)d(x0,S)}，其中d(x0,S)infd(x0,y).证明:若S为闭集,则PS(x0)为一非空集.yS

第三篇：实变函数

课程编号： 568

课程名称：实变函数（含度量空间）

一、考试的总体要求

实分析是近代分析数学的基础，考试以实分析的基本知识为主，掌握可测函数与勒贝格积分的定义、性质及相关定理。

二、考试内容及比例

集合及其运算，映射，可数集，度量空间，开集、闭集、内部、闭包，稠密与可分。度量空间中的收敛序列，连续映射。完备的度量空间，Banach压缩映射定理。紧度量空间。无处稠密集，纲定理。占60%.点集的Lebesgue测度，可测集的性质，可测函数，可测函数的几个重要定理。Lebesgue积分的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理，Fubini定理，有界变差函数，L^p空间。占40%.三、试卷题型及比例

填空题与简答题占40%，证明题占60%.四、考试形式及时间

考试形式为笔试。考试时间为40分钟（满分40分）。

五、主要参考教材

1、勒贝格积分与泛函分析基础，熊洪允等，高等教育出版社，1992年。

2、实变函数论与泛函分析，夏道行等，人民教育出版社，1979年。

3、实变函数与泛函分析概要，郑维行、王声望，人民教育出版社，1980年。

第四篇：实变函数证明题

证明题由直线上互不相交的开区间作为集合A的元素，则A至多为可数集。证明区间上的单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。设{A|},{B|}是两个集族.若,AB,且

AA,BB,(,,), 则AB.

4设f:XY, 则f是单射当且仅当A,BX,f(AB)f(A)f(B).5 设M[0,1]是[0.1]上全体实函数所成之集, 证明M[0,1]2证明数轴上一切闭区间所成之集的基数为c.设ABc,则Ac或Bc设f:XY, 则f是单射当且仅当AX,Af1[0,1].[f(A)].设f:XY, 则f是单射当且仅当AX,f(XA)f(X)f(A).10 设f:XY,f(X)YCY,f[f1(C)]C.设A是可数集,则A的一切有限子集所成之集是可数集.12证明每一个闭集必是可数多个开集的交集。

13证明f(x)为[a, b]上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E{x|f(x)c}和

E1{x|f(x)c}都是闭集。明直线上非空开集的任何两个不同的构成区间必不相交。间（a,b）上任何两个单调函数，若在一稠密集上相等，则它们有相同的连续点． 16 证明xExE{x}证明E为闭集.证明f(x)为(a,b)上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E{x|f(x)c}和

E1{x|f(x)c}都是直线上的开集。证明xEd(x,E{x})0.证明任何非空闭集可表示为可数个开集的交.证明Rn中的孤立点集至多可数.

第五篇：实变函数与泛函分析-教学大纲

实变函数与泛函分析教学大纲

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

适用专业：信息技术专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4 课程性质：专业核心课

开课系部：数学与计算机科学院 使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版 曹广福.高等教育出版社 参考书

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。

三、考试形式

考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配

第一章 集合与点集 要求

1、掌握集合的势，可数集

2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

主要内容

集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理

重点

集合的势，可数集 课时安排（4学时）

1、集合的势，可数集

2学时

2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

2学时

第二章 Lebesgue测度 要求

1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质

2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

3、熟练掌握可测函数的收敛性

主要内容：

Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性

重点

外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性 课时安排（12学时）

1、外测度、可测集以及它们的性质

4学时

2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

4学时

3、可测函数的收敛性

4学时

第三章

Lebesgue积分 要求：

1、熟练掌握可测函数的积分及性质

2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理

主要内容：

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理

重点

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理 课时安排：（16学时）

1、可测函数的积分及性质

6学时

2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

6学时

3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理

4学时

第四章

L空间 要求：

1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

2、熟悉L空间的内积，标准正交基

3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：

p

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换

重点

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性 课时安排（10学时）

1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

4学时

2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法

4学时

3、卷积与Fourier变换

2学时 pp

第五章 Hilbert空间理论 要求：

1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱

主要内容：

距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。课时安排（16学时）

空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投

1、距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

4学时

2、Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

6学时

3、共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱 6学时

第六章 Banach空间理论 要求：

1、掌握Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

2、熟悉开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

3、熟悉连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach定理

4、弄清弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

主要内容：

范数、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子，开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理，Hahn-Banach定理，弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

重点

Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛

课时安排（14学时）

1、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

4学时

2、开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

6学时

3、连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach

4学时

《实变函数与泛函分析》考试大纲

院 系：数学与计算机科学学院

课程名称：实变函数与泛函分析（第二学期）使用专业：数学与信息科学专业

学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0 学 分：4

一、设课目的：

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力.二、课程教学内容和教学目标：

通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基本概念、基本原理，使学生较好的掌握集合论基础、Lebesgue测度与Lebesgue积分、线性赋范空间与Hilbert空间的基本理论和有界线性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：

本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试

（一）形成性考核

形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。

学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。

（二）课程期末考试

期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：集合的势，可数集；外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性；可测函

p数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理；L空间的范数、完备性、收敛性、可分性；距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱；Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛.四、考核的组织：

本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。

五、教材

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.六、其他有关说明或要求