培优专题5_因式分解小结(含答案)

第一篇：培优专题5_因式分解小结(含答案)

7、因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。【分类解析】

1.通过基本思路达到分解多项式的目的 例1.分解因式x5x4x3x2x1

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：(x24)(x210x21)100

(x2)(x2)(x3)(x7)100

(x2)(x7)(x2)(x3)100

(x25x14)(x25x6)100

设yx25x，则

原式(y14)(y6)100y28y16(y4)

2无论y取何值都有(y4)20(x24)(x210x21)100的值一定是非负数

4.因式分解中的转化思想

例：分解因式：(a2bc)3(ab)3(bc)3

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 原式(AB)3A3B3A33A2B3AB2B3A3B

33A2B3AB23AB(AB)3(ab)(bc)(a2bc)

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨：

例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0

求证：ac2b

a2a22a1(a2a)2

2(a2a)1(a2a)2(a2a1)2

6272422(3661)24321849

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

【实战模拟】

1.分解因式：

（1）3x510x48x33x210x8（2）(a3a3)(a3a1)5（3）x22xy3y23x5y2（4）x7x6

322

2.已知：xy6，xy1，求：x3y3的值。

3.矩形的周长是28cm，两边x,y使x3x2yxy2y30，求矩形的面积。

（2）解：原式[(a23a)3][(a23a)1]5

(a23a)22(a23a)8

(a23a4)(a23a2)

(a4)(a1)(a1)(a2)

（3）解：原式(x3y)(xy)3x5y2

(x3y1)(xy2)

x-3y 1

x+y 2

（4）解：原式7x36x37x6

7x37x6x367x(x21)6(x31)

7x(x1)(x1)6(x1)(x2x1)(x1)(7x7x6x6x6)(x1)(x2x6)(x1)(x3)(x2)22

2.解：x2y2(xy)22xy

36238

x3y3(xy)(x2xyy2)

6(381)234

3.解：x3x2yxy2y30

(x3y3)xy(xy)0即(xy)2(xy)0

xy0又xy14xy7面积为49cm2

4.证明：n35n

第二篇：9.5～9.6 因式分解(含答案)-

.cn

9．5～9.6因式分解

1．若（2x）n－81可分成（4x2+9）（2x+3）（2x－3）则n为（）

A．2B．4C．6D．8

2．下列各式可以用平方差公式分解的是（）

A．x3－y3B．a2+b2C．mx－nyD．－x2+y2

3．若（3x－y2）·M=y4－9x2，则M等于（）

A．－（3x+y2）B．－y2+3xC．3x+y2D．－3x+y2

4．把多项式－8a2b2c+16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提取（）

A．2ab2c3B．－4abcC．－8a2bcD．8a2b3c3

1n）2． 4

12004120056．计算：（－）+（－）=________． 225．m2－mn+______=（m－

7．若b－a=－6，ab=7，则a2b－ab2=_____．

8．若x+y=1，xy=－3，则yx=_______． xy

9．若a+b=3，ab=－3，求a2－ab+b2的值．

10．试说明a2+b2+c2－ab－bc－ac一定为非负数．

x2y2

11．设x（x－1）－（x－y）=2，求－xy的值． 2

212．已知三角形的三条边长分别为a、b、c，求代数式a2－2ab+b2－c值的正负．

13．将下列各式因式分解:

（1）（x－1）（x+3）+1；（2）x2－4y2－2x+1；

（3）9（2x－y）2－6（2x+y）+1．

14．已知a－b－c=16，求a（a－b－c）+b（c－a+b）+c（b－c－a）的值．

15．已知（x+y）2=3，（x－y）2=2，求x2+y2+6xy的值．

16．设m2+m－1=0，求m3+2m2+2004的值．

17．若a+1=b+2=c+3，求（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的值．

答案:

1．B2．D3．A4．C5．

10．原式=12005127n6．（）7．428．－9．18243

13．（1）（x－2）2（2）（x+2y－1）（x－2y+1）（3）[3（2x－y）－1] 214．25615．416．200517．6[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]≥011．212．负2

第三篇：因式分解知识点小结

因式分解知识点小结

提公因式法

【知识要点】

知识点1 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【注】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.知识点2 公因式：

一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.知识点3 提公因式法：

把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.【知识点总结】 1.方法规律：

一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：(1)、各项整数系数的最大公约数；(2)、各项相同的字母；

(3)、相同因式的指数取最小次数.2.解题方法：

(1)、用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；

(2)、公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.3.方法技巧：

(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：

○1 确定公因式

○2 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.运用公式法

【知识要点】

1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算.2．提公因式法；（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂.3．公式法：

（1）常用公式平方 差： a2b2(ab)(ab)

完全平方： a22abb2(ab)2

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①(ab)2n(ba)2n； ②(ab)2n1(ba)2n1．（n为正整数）

十字相乘、分组分解

【知识要点】 1.十字相乘法

（1）二次项系数为1的二次三项式xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式

2a、b的积，并且ab等于一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式x2pxq分解成

x2pxqx2abxabxaxb

（2）二次项系数不为1的二次三项式axbxc中，如果能把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并且a1c2a2c1等于一次项系数b的值，那么它就可以把二次三项式axbxc分解成：

22ax2bxca1a2x2a1c2a2c1xc1c2a1xaa2xc2.2．分组分解法

（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a2b2ab，既没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

a2b2ab=(a2b2)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可提取公因式或可以直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。（3）注意：有些多项式在用分组分解法时，分组的方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

第四篇：培优小结

培优工作总结

一学期以来，我在“培优辅差”工作过程中，能根据实际情况，有步骤、有措施地实施落实“培优补差”的内容，使学生能较好的得到发展。通过内化教育，学生的学习动机，学习积极性大大地被调动起来。不管是优等生或是后进生，现都能明确自己的学习目的，不是为别人，而是为自己。学习风气较以前有了一定的变化。通过不断的加强训练，帮助学生获取一个个小成功，学生的自信心，意志力得到提高。现将一学期来的工作总结如下：

一、教学观念的积极转化，家长的配合。

在工作过程中，首先是教学的观念能积极转化。由以前看分数、注重优生的辅、对潜能生耐心不足，“恨铁不成钢”，急功近利的心态，转变为能正确看待每一个学生,以培养学生素质的提高为自己工作的重点。在工作过程中能个体分析，群体分析，确立发展目标和措施，找出每个学生的优点，缺点。潜在的优点，缺点。新的生长点，用发展的眼光看自己，分析别人。积极对待学生的每一个闪光点，施以恰如其分的鼓励性评价。及时召开家长会和进行家访工作。特别是教学网站和网络教学的积极使用，拓宽了学生的视野，增强了学生对学校、对课堂的喜爱。通过远程交流学习，激发了学生对获取新知识、掌握新技能的渴望之情。通过增设竞赛活动活跃了学生的学习生活，大大提高了学习兴趣。使得每一位学生能安心于课堂的学习，逐渐变得乖巧了。把潜能生的厌学情绪抑制在一个最低点上。从而使班级成绩达到了稳步的提高。

二、在班级里设立不同层次的学习帮扶小组，确立学习目标。

在班级里努力营造一个良好的学习氛围、改变老师补课、留课的陋习、把问题交给学生去独立解决，老师起指导作用。其次，依据学生的能力，对各层次的学生分别有不同的完成目标，由易而难，逐层推进。

三、实行“因材施教”的教法改革。

充分发挥学生相互教育,自我教育的作用。摸清学生相关准备知识、基础、能力和心理准备的实际,把起点放在学生努力一下就可以达到的水平上，使新旧知识产生联结，形成网络。根据学生实际，确定能达到的实际进度，把教学的步子放小,把教学内容按由易到难，由简到繁的原则分解成合理的层次，分层推进。在实际教学中，根据本学生实际，利用网络、精心设计每一个课件，力争做到精

讲精练。快速反馈及时发现学生存在的问题及时矫正及调节教学进度，从而有效地提高课堂教学的效益,避免课后大面积补课。特别是写作方面提高幅度很大。

四、在培优补差的过程中，我采取了这样一些措施:

1、培优重在拔尖,辅差重在提高。

2、课堂上有意识给他们制造机会，利用电脑课件，利用网络信息，利用QQ聊天等多种方法，调动学生的学习兴趣，让他们在视觉上，听觉上和感觉上都动起来。真正意义上的做到——让优生吃得饱，让后进生吃得好。发挥优生的优势，指名让他带一名后进生，介绍方法让差生懂得怎样学,激起他们的学习兴趣。

5、对于后进生，主要引导他们学会利用电脑，激活兴趣，通过打字练习加深对拼音、生字、词的印象。通过加大阅读量。多学习、多重复、多写日记、多读日记在熟练的基础上不断提高自己的分析推理能力，尤其是学习态度的转变和学习积极性的提高方面花了很大的力气。值得一提的就是班里由外校转来的那位同学，从一字不识、乱写，到会认、会读，并可以写出简单的作文。使我看到了自己的成绩，看到了作为老师可能对学生造成的影响。

总之，教学就是一门艺术，只要你投入就会有收获。

第五篇：初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1

初中数学因式分解(一)

因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．

1．运用公式法

整式乘法公式，反向使用，即为因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．

2752

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

1514132

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．

422

322963223

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2)．

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

练习一

2．分解因式：

(1)x+3x-4；

(2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24；

(4)x-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3

2222

232432422

2初中数学因式分解(一)答案

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1333

2222

23322332222222y-2xy； n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz；

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；

(4)a-ab+ab-b．

解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y)．

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

＝(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222

222

2333n-1nn

n

2n-1n2

22n-1n2

22n-1n4

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

分析我们已经知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b 的正确性，现将此公式变形为

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

333

324

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a+b+c-3abc 33322

显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有 33

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解．

解因为

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413

2nn

151514

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法3 将三次项x拆成9x-8x．

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法4 添加两项-x+x．

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；

(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；

(4)ab-ab+a+b+1．

解(1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1)．

说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法 222

2332

233222222

2222

242

2422

4222

222222

222222226

33363

39639633322422

422963

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解设x+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5)．

说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．

令y=2x+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解设x+4x+8=y，则

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．

解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42

243

2222222

2222222

222

222

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

解法2

222

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y)．

***2

22222