运用“体会数据随机”的想法看“摸球实验”

第一篇：运用“体会数据随机”的想法看“摸球实验”

运用“体会数据随机”的想法看“摸球实验”

北京教育学院 张丹

在统计与概率教学中，鼓励学生动手操作做实验已经得到了广大教师的共识，在不少的课堂中可以看到教师们设计了多种实验供学生操作。但是，随之而来也给教师带来了不少困惑，特别是有的老师提出，很多问题不用做实验学生都知道结果，为什么还要做。比如“盒内放了8个黑球、2个白球，这些球除颜色外完全相同，任意摸出一球，摸到哪种颜色球的可能性大”，学生凭经验完全能判断出摸到黑球的可能性大，为什么还要进行实验？是不是有点“低估”了学生，或者是为了“动手操作”而操作？还有的老师提出，有时候做了实验，由于偶然性还出现了“相反”的情况，比如一次听课中就出现了一个小组摸了10次球，结果出现了摸出4次黑球、6个白球的结果，学生反而糊涂了。

就在这个问题成为了广大教师的普遍困惑时，课程标准修订稿中提出了“体会数据随机”的想法，那么什么是数据的随机，它的提出对设计实验活动有什么指导作用呢？

一、数据随机的内涵

数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。举一个例子，袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。在课程标准修订稿中还提供了一个案例，学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。

从上面所举的案例不难看出，这些实验的目的都是希望通过实验从数据中获取信息，从而对总体做一些推断，由此体会随机。

其实，有关这一想法，在一些实验教材中已经作出了一些尝试。比如，北师大新世纪版五年级设计的一个活动（如图1），就是通过统计摸球的情况对袋中所装的球的情况进行推断。

图1

二、运用“体会数据随机”的想法看目前教学中的“摸球实验”

进一步，如何在课堂中设计合理的实验落实“体会数据随机”的目的呢？一个好的切入点是对目前课堂教学中的实验加以分析，看看哪些实验的设计是合理的，哪些还需要进一步的思考和改进。下面是笔者收集到的有关案例，并且加以了分析，以求能给教师以启发。

1．第一类：“验证”类

下面是一个五年级的课堂教学片段：

老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大，黄球呢？(学生略做思考后交流。)生1：可能摸到白球，也可能是黄球。

生2：摸到白球的可能性是9/10，因为有10个球，其中9个是白球。

（大家都表示同意）

师:好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。本活动的目的是验证摸到白球的概率是否为9/10，如前所述是不提倡的。因为学生完全可以通过分析推理得到摸到白球的概率，他们产生不了做实验的需求。如果做了实验，摸到白球的频率往往不是9/10，学生反而产生困惑，当然也体会不到数据的作用了。

2．第二类：“体会随机”类

看下面的一个二年级的课堂教学片段：

组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球?每次你都猜对了么?

活动结束时，老师询问:有没有每次都猜对的同学?(全班只有2人举手。)师:为什么我们那么多的同学都没有猜对呢?(此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。)生1:黄球和白球摸在手里的感觉不一样!师:(饶有兴趣地)真的吗?让我们见识一下!生1:(摸出一球，没看前猜测)黄色!(拿出后是白色，生1低头坐了下去。)师:怎么不试了? 生1：没有信心了。

师:怎么就没有信心了? 生1:摸在手里分辨不出来.生2:我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球，是交错出现的。

师:你刚才就是这样猜的，结果都对了吗? 生2连连点头。

师(半信半疑地)：还有这个规律?摸1个!(生2摸出1个白球，放回。)生2:第二次一定是黄球。

(第二次生2果真摸出一个黄球。)师：看来，下次…… 生2:第三次该是白球了!(第三次生2摸出个黄球。)师:这个规律还成立么? 学生们直摇头。

师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么? 生:盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球.这个案例乍一看和上面的案例一样，都是摸球，但仔细分析目的是不一样的。这个实验的目的是使学生体会不确定性，即事先无法确定实验的结果。其实，学生对于不确定性的认识并不是一帆风顺的，学生们总是希望找到“确定”的结论。有的学生认为可以凭手感判断段结果，有的学生把球放在固定的地方从而“破坏”随机，有趣的是还有的学生通过几个数据的黄白相间规律就去推断整体是这样的。学生出现这些想法是正常，逐渐消除学生存在的误解正是教学的目标之一。而最好的办法就是让学生亲自实验，案例中教师正是运用了这一策略。

3．第三类：“推断”类

上面已经举过这样的例子，对于这样的活动是在课程标准修订中大力提倡的，即通过数据来进行推断。这里不妨举一个自己所做的学生调研的例子。在课程标准修订刚刚提出“体会数据随机”的想法后，本人在东北师范大学附属实验小学3，4，5，6年级各随机抽取了1个学习小组，进行了调研。教师在袋中事先放好5个球，4个黄球和1个白球。这些球除颜色外都相同，教师不告诉学生袋中球的情况。然后，以小组为单位，鼓励学生共同解决如下的问题：

（1）如何在不打开袋子的前提下，估计袋子里是黄球多还是白球多。（2）如果可以通过摸球估计袋中球的情况，你们觉得需要摸几次？（3）多次有放回的摸球，每次统计此时摸出各种颜色球的数量，这时你们估计袋中是白球多还是黄球多。

讨论后，教师打开袋子，让学生看看袋中实际的状况。

限于篇幅，这里只概括描述学生回答问题的结果和一些片段。

对于第（1）个问题，所有小组都可以通过讨论想到摸球的办法，通过摸出的球的情况来估计袋中是黄球多还是白球多。难得可贵的是，当教师在摸完后追问学生“本来可以打开袋子直接看看就可以知道哪个颜色的球多，为什么还要讨论通过摸球估计袋中是黄球多还是白球多呢”，一个5年级的学生回答道：“有时侯球太多看不清楚或者无法数出来袋中到底是几个球时，这就需要摸球了。”

在回答第（2）个问题时，出现了一个有趣的现象，虽然所有的学生都认为不能摸一次就进行估计，但随着年级的升高，并没有出现觉得应该摸得数量多一些的情况。在4个学习小组中，3年级学生认为需要摸15次；4年级学生认为需要摸5次；5年级学生认为需要摸12次；而6年级学生认为摸4次就可以了。

在回答第（3）个问题时，大部分小组都能够根据数据做出合理的推断，并且能够说明自己的理由。比如，3年级学生当15次摸球的结果是摸出10个黄球 和5个白球时，四个人一致推断袋中黄球多。一个同学表达了理由：“因为数量多摸出的可能性就大，现在是黄球摸出的多，就可以判断是黄球多”。显然学生根据数据进行了合理的推断。接着教师询问：“那么是否有可能袋中白球多呢”，3个学生回答不可能，有一个学生给出了很好的补充：“我补充一下，即使是白球多，可能性也很小”，大家都表示了认同。有趣的现象出现在四年级，他们摸的次数只有5次，摸出了“3个白球和2个黄球（实际摸球情况是白，黄，黄，白，白）”的“相反”情况，当教师询问他们此时的估计时，他们产生了分歧：

生1：白球多。

生2：不一定。（生3附和）生4：黄球多。

生1：我认为就是白球多，你看看那些摸出来的球呀。（教师希望能引起大家对他的回答的注意，但没有起到作用）

生4：我根据奇偶性来判断，奇数+奇数=偶数。假设盒子里的球是奇数，拿出来的是奇数，剩下的一定是偶数。摸出来又放回去了，说明了盒子里的球还是奇数。

（学生的回答似乎并没有指向要思考的问题，并且思考过程也出现了局部“混乱”。老师提醒他现在讨论的问题）

生4：黄球和白球一个是奇数一个是偶数，奇数和偶数就应该相差1（错误的认识，所以也可能是黄球多。

生3：我认为一样多。

（教师提示此时摸得次数少，是否可以再摸几次，但没有引起学生的注意。）由上面的回答不难看出，在测试的4个学习小组中，学生对于“随机”的经验并没有随着年级的增长而增长；并且结合问题（2）的回答，学生对于实验次数增加会提高推断的可靠性的认识的经验是比较缺乏的。

虽然以上只是一个小实验，样本也很少，但可以初步看出，学生已经有了通过摸球实验进行推断的经验，并且能够根据数据进行合理的推断，由此可见标准修订中的想法是有可能在小学中实现的，当然这还需要进一步的研究。同时，学生在此过程中到底能体会到什么程度，他们的困难是什么，还有哪些好的学习素材，都需要大家进一步的思考与实践。

4．第四类：“运用频率估计概率”类 有的教师在课堂中创设了如下的情境：父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是，与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬币，而是啤酒瓶盖。

师：举世瞩目的北京奥运会圆满地、无与伦比地结束了。去过北京，现场看奥运会的请举手。没有人，的确，就是北京当地的人也买不到奥运会的门票。我有一位朋友，知道我当年是学校篮球队的队长，就专门帮我找了一张男子篮球决赛的门票。（出示篮球票）只有一张。我儿子也是个篮球迷。孔子说：“己所不欲，勿施于人”。怎么办呢？饭桌上，我和儿子商量。我儿子看到桌子上有一个啤酒瓶盖，就说：“爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。”我说：“儿子，什么是正面朝上？什么是反面朝上？”（出示瓶盖正、反面图片，并标注“正——儿子、反——爸爸”）你们想一想，（板书：问题）这个办法好不好？认为好的举手。

（学生纷纷举手表示认可。）

师：为什么好？谁能说一下，你是怎么想的？ 生1：我觉得是靠命运决定的，所以公平。

生2：我认为是公平的，因为儿子的机遇是二分之一，爸爸的机遇也是二分之一。

师：二分之一，就是这个瓶盖抛起来的时候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，只有两种可能，（板书：可能性）并且抛一次的话，一定会有一面朝上。所以说这是公平的。有没有不同的想法？

生3：我认为在现实生活中会有所争议，因为啤酒瓶盖打开过，会有一定的折痕，会影响最终的公平性。

师：你想的很好，不过我们选的啤酒瓶盖如果就是平的，好像就没问题了。用抛啤酒瓶盖的办法，刚才大家都说好了。现在在他的启发下，有没有人认为不好？

生4：我认为瓶子盖的反面那一圈是折起来的，这一面的重量会比正面的重量大，所以爸爸胜的可能性比较大。

师：能用“可能性”这个词很好。同意这个观点的人请举手。部分同学同意。

师：小结，看来现在有两种意见了。

1执教者 北京第二实验小学特级教师 华应龙 生3一直坚持举手，最终获得发言机会：我认为，瓶盖上的锯齿也会影响比赛的结果。

师：经过刚才的讨论，我们发现问题（指板书：问题），用抛啤酒瓶盖的办法来决定谁去看比赛，究竟公平不公平呢？答案不一致。怎么办呢？

生4：做个实验呗。看一下到底有没有问题。

师：非常好！做个实验来看一看到底公平不公平。（板书：实验）有这样的想法非常好。实践是检验真理的唯一标准。

以上案例曾经在《小学数学教师》杂志2009年1-2期合刊上刊登过，在这里为什么还选择了这个案例呢，一是因为自己收集到小学教学中这方面的案例比较少，而这个案例确实是亲自看过的，有亲身的感受；二是因为运用频率估计概率，在课程标准小学阶段没有明确要求，主要是没有足够的研究“证据”表明小学生可以接受，所以设计一个既符合学生认知特点，又能激起学生兴趣的情境确实是不容易的，而此例无疑较好地体现了这点。

在这个活动里学生做的是“抛瓶盖”的实验。那么，“抛瓶盖”和“抛硬币”有什么不同呢。我们知道，如果运用的是硬币，由于掷一枚硬币，硬币落下时有两种可能：正面朝上和反面朝上，并且两种结果是等可能的，所以这是一个古典概率的问题。古典概率的问题，我们可以有公式计算出某种结果发生的概率，虽然小学不正式学这个公式，但通过经验并加以分析，学生容易得到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，此时再让学生做实验，学生不仅产生不了愿望，并且往往会由于数据（频率）与概率的不一致而产生困惑。瓶盖虽然落下时也有两种可能，但二者不是等可能的，不符合古典概率的要求，这时我们可以通过做实验，运用频率去估计概率的大小，从而对正面朝上和反面朝上的可能性进行比较，这不仅仅使实验变得很有必要，并且能够帮助学生澄清一些误解。面对着儿子提出的决定方法是否公平的问题，开始时大多数学生都表示了认可。要消除学生的误解，自然而言需要实验帮忙，于是做实验成了“水到渠成”。学生亲自经历了实验的过程，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，修正了自己的猜测。进一步，在课堂中教师又利用了形象的比喻“踢毽子”帮助学生分析为什么“反面”朝上的可能性大，至此教师引导学生们完整经历了：首先猜测结果发生的可能性大小；然后亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后进行理性分析，并与实验结果联系起来。

5．第五类：“体会频率与概率的关系”类

还有的教师设计实验是在已经知道概率的前提下，将频率与概率进行对比，从而帮助学生体会频率与概率的关系。比如，已经验证一个硬币是均匀的，则任意抛出后，落地时正面朝上的概率是1/2，我们设计实验可以使学生体会虽然频率随实验次数的不同而变化，但大量重复实验时，频率会稳定在1/2。对于这一目标，课程标准在小学阶段是不要求的，教师可以对学有余力的学生适当渗透，但不必强求体会。

以上对目前课堂教学中的几种实验的设计加以了分析，希望能引起教师们对于实验设计目的的思考。当然，对于什么是数据的随机，小学生对此的理解是什么，在小学阶段如何设计好的学习活动促使学生加以体会，使他们真正感受到数据分析的价值，无疑是一个长期需要不断思考和实践的课题。