第一篇:2005-2006(1A)离散数学期末试卷答案
安徽大学2005-2006学年第一学期 《离散数学》期末考试试卷(A卷答案)
一、选择题(210=20分)
C,B,C,B,D,D,D,B,A,A
二、填空题(每空2分,总215=30分)1.PQ,PQ,PQ
2.x(R(x)Q(x)),x(Q(x)R(x)Z(x))
3.{,{,{}},{{}},{}} 4.{1}和{2},{1,2},,无
5.2,5 6.{1,1,2,2,1,2,2,1,3,3,4,4,3,4,4,3} 7.f(f19(B))B,Bf1(f(B))
三、计算题(每小题8分,总28=16分)
1.用等值演算法求命题公式((PQ)R)(PQ)的主析取范式和主合取范式。解:
((PQ)R)(PQ)((PQ)R)(PQ)((PQ)R)(PQ)(PQ)(PQ)R(P(QQ))RPR4分
(PQR)(PQR)(主合取范式)(0,2)(1,3,4,5,6,7)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)2.设A3,解:因为
8分
(B)16,(AB)64,试求B,AB,AB和AB。
。于(B)16,所以B4;因为(AB)64,所以AB6(2分)是集合A,B的文氏图如下:
所以,AB1(4分),AB2(6分),AB5(8分)。
四、证明题(1、2小题每小题9分,3、4小题每小题8分,总分34)1. 用CP规则证明P(QR),Q(RS),PQS。证: ①Q P(附加前提)1分 ②Q(RS)P 2分 ③RS T①②I 3分 ④P(QR)P 4分 ⑤P P 5分 ⑥QR T④⑤I 6分 ⑦R T①⑥I 7分 ⑧S T③⑦I 8分 ⑨QS CP 9分 2. 设R1和R2是A上的关系,证明下列各式:(a)r(R1R2)r(R1)r(R2)(b)s(R1R2)s(R1)s(R2)
(c)t(R1R2)t(R1)t(R2)证:
(a)r(R1R2)R1R2I(R1I)(R2I)r(R1)r(R2)
(这里I是A上的相等关系)3分
(b)s(R1R2)(R1R2)(R1R2)(R1R2)(R1R2)
~~~~~(R1R)(R2R2)s(R1)s(R2)6分
(c)因为t(R1R2)R1,t(R1R2)R2且关系t(R1R2)具有传递特性,根据传递闭包定义 t(R1R2)t(R1),t(R1R2)t(R2),所以t(R1R2)t(R1)t(R2)。9分
3. 设函数f:RRRR,f定义为:f(x,y)xy,xy。(1)证明f是单射;(2)证明f是满射。证明:(1)x1,y1,x2,y2RR,若f(x1,y1)f(x2,y2),即
x1y1x2y2则,易得x1x2,y1y2,x1y1,x1y1x2y2,x2y2,x1y1x2y2从而是单射。4分
(2)p,qRR,由f(x,y)p,q,通过计算可得而p,q的原象存在,f是满射的。8分 4. 设AN,B(0,1)。证明ABc。证明:
定义一个从AB到实数R的函数f:
x(pq)/2,从
y(pq)/2f:ABR,f(n,x)nx,其中nN,x(0,1)
因为f是单射且Rc,所以ABc。4分
此外,作映射g:(0,1)AB,g(x)0,x,其中x(0,1)。因为g是单射,故cAB。
所以ABc。8分
第二篇:离散数学期末试卷
北京工业大学经管学院期末试卷
《离散数学》(A)
学号姓名:成绩
一、单项选择题(每题2分,共18分)
1.令P:今天下雪了,Q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为(D).
A.P→Q
C.P∧Q B.P∨Q D.P∧Q
p→q,蕴涵式,表示假设、条件、“如果,就”。
“→”与此题无关
2.关于命题变元P和Q的极大项M1表示(C)。书P15-P20,此题换作p、q更容易理解
A.┐P∧QB.┐P∨Qp∨┐q----01----1-----M
1C.P∨┐QD.P∧┐Q
3.设R(x):x是实数;S(x,y):x小于y。用谓词表达下述命题:不存在最小的实数。其中错误的表达式是:(D)
4.在论域D={a,b}中与公式(x)A(x)等价的不含存在量词的公式是(B)
A.A(a)A(b)
C.A(a)A(b)
5.下列命题公式为重言式的是(C)
A.Q→(P∧Q)
C.(P∧Q)→PB.P→(P∧Q)D.(P∨Q)→QB.A(a)A(b)D.A(b)A(a)
牢记→真假条件,作为选择题可直接代入0、1,使选项出现1→0,排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况
6.设A={1,2,3},B={a,b},下列二元关系R为A到B的函数的是(A)
A.R={<1,a>,<2,a>,<3,a>}
B.R={<1,a>,<2,b>}
C.R={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a>}
D.R={<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a>}
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7.偏序关系具有性质(D)背
A.自反、对称、传递
B.自反、反对称
C.反自反、对称、传递
D.自反、反对称、传递
8.设R为实数集合,映射:RR,(x)x22x1,则 是(D).(A)单射而非满射(C)双射(B)满射而非单射(D)既不是单射也不是满射.书P96.设函数f:A→B
(1)若ranf=B,则f是满射的【即值域为B的全集,在本题中为R,该二次函数有最高点,不满足】
(2)若对于任何的x1,x2∈A , x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),则称f是单射的【即x,y真正一一对应,甚至不存在一个y对应多个x。显然,本题为二次函数,不满足】
(3)若f既是满射的,又是单射的,则称f是双射的【本题中两个都不满足,既不是单射也不是满射】
二、填空题(每空2分,共22分)
1.设Q为有理数集,笛卡尔集S=Q×Q,*是S上的二元运算,,
2.在个体域D中,公式xG(x)的真值为假当且仅当__某个G(x)的真值为假__,公式xG(x)的真值为假,当且仅当__所有G(x)的真值都为假__。
3.给定个体域为整数域,若F(x):表示x是偶数,G(x):表示x是奇数;那么,(x)F(x)(x)G(x)是一个(x)(F(x)G(x))是一个
4.设Aa,b,c ,A上的二元关系Ra,b,b,c,则r(R)
书P89、P85.自反闭包:r(R)= R U R0
={,} U {,,
传递闭包:t(R)= RUR2 UR3U……
5.设X={1,2,3},Y={a,b},则从X到Y的不同的函数共有___8___个.书P96,B上A的概念:
设A、B为集合,所有从A到B的函数构成集合BA,读作“B上A”
如果|A| = m,|B| = n,m、n不全是0,则|BA| = nm
即,若题中给出集合A有m个元素,B有n个元素,可直接用nm 计算出A到B的函数个数。本题中为23 = 8
6.设,a,bG,则(a-1)-1,(ab)-1b-1 * a-1。
书P139公式
7.设X={1,2,3},f:X→X,g:X→X,f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>},则fg=__{<1,3>,<2,1>,<3,1>}___,gf=__{<1,3>,<2,3>,<3,2>}__。书P82-8
3合成:FG = {
需要说明的是,这里的合成FG是左复合,即G先作用,然后将F复合到G上。之前的答案“有误”,因为采用了右复合。这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的,但两个定义都是合理的,只要在体系内部采用同样的定义就可以了。总之,在咱们的离散里牢记左复合。
三、计算题(每题9分,共36分)
1.设集合A={1, 2, 3,4,5},A上的关系R={<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}
(1)画出R的关系图;
(2)问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性
书P87表格,根据关系图可直接判断性质……
(3)给出R的传递闭包。
R={<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}
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R2 = RR = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R3 = R2R = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}……
所以,t(R)= {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}
2.集合S={a,b,c,d,e}上的二元运算*的运算表如下,求出它的幺元,零元,及逆
元。*abcde
abaccc
babcde
cccccc
dedcba
edecdb
幺元:b
零元:c
逆元:a-1 =a,b-1 =b, d-1 =d,e-1 =e
书P123定义
3.求合式公式A=P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。
A = P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))
= P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))
= P→((┐P ∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))
= P→(Q∧P)
= ┐P∨(Q∧P)
=(┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)
=(cP∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)
=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)
= m0∨m1∨m
3成真赋值为00,01,1
14.求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数,也不是完全平方数?-第 4页
完全平方数的个数:1000=1000000,所以有1000个(即1到1000)
完全立方数的个数:1003 =1000000,所以有100个(即1到100)
既是完全平方数又是完全立方数的重复部分:106 =1000000,所以有10个(即16到106)所以既不是完全立方数,也不是完全平方数的整数有:1000000-(1000+100-10)= 998910
2四、证明题(每题8分,共24分)
1.若公司拒绝增加工资,则罢工不会停止,除非罢工超过三个月且公司经理辞职。公司拒绝增加工资,罢工又刚刚开始。罢工是否能停止?(给出相应推理的证明过程)
2.给出关系不满足对称性的条件并证明。
⇔∃
⇔┐∀(
3.如果关系R和S为X上的等价关系,证明:R∩S也是X上的等价关系。
(1)自反
设x∈X【推
∵R和S为X上的等价关系
∴R和S均为X上的自反关系
∵x∈X
∴
∴
∴R∩S在X上是自反的(2)对称
∵∈R∩S
∵R和S为X上的等价关系
∴R和S均为X上的对称关系
∴∈R,∈S
∴∈R∩S
-第 5页
∵此时∈R∩S
∴R∩S在X上是对称的【∈R∩S时,必有∈R∩S】
(3)传递
∵∈R∩S
∵∈R∩S
∴∈R,∈S
∵R和S为X上的等价关系
∴R和S均为X上的传递关系
∴∈R∩S
∵此时∈R∩S,∈R∩S
∴R∩S在X上是传递的【∈R∩S,∈R∩S时,必有∈R∩S】
综上所述,R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系
书P90
等价关系:自反、对称、传递
偏序关系:自反、反对称、传递
因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系,一般需分为三个性质分别证明,同时,题目条件中若给出等价关系或偏序关系,也可分为三部分选择使用。这类题条件较多(自己设的、题目推的),一定要思路清晰,否则容易写乱自己绕不出来„„
这道题三部分每个部分所设的条件都是该性质定义里的“若”,想要推出定义里的“则”,即用定义证明。这就是思路很重要的一部分。
-第 6页
第三篇:离散数学浙师大2008期末试卷
浙江师范大学《离散数学》考试卷
考试形式闭卷使用学生 计(非师范): 02班
考试时间120 分钟出卷时间 2008 年5月28日
说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理。
一。选择题(每题2分,共20分):
1.命题公式p(qp)为()。
A.重言式B.可满足式C.矛盾式D.等值式
2.设集合A = {1,a},则P(A)=()。
A.{{1},{a}}B.{,{1},{a}}
C.{,{1},{a},{1,a}}D.{{1},{a},{1,a}}
3.下列命题中正确的结论是:()
A.集合上A的关系如果不是自反的,就一定是反自反的;
B.若关系R,S都是反自反的,那么RS必也为反自反的;
C.若关系R,S都是自反的,那么RS必也为自反的;
D.每一个全序集必为良序集.4.下列结论中不正确的结论是:()
A.三个命题变元的布尔小项pqr的编码是m010;
B.三个命题变元的布尔大项pqr的编码是M101;
C.任意两个不同的布尔小项的合取式必为永假式;
D.任意两个不同的布尔大项的合取式必为永假式.5.设集合A和二元运算*,可交换的代数运算是()。
A.设AP({x,y}),a,bA,abab
B.设A{1,1,2,3,4,5},a,bA,ab|b|
C.设AMn(R),运算是矩阵的乘法
D.设AZ,a,bA,aba2b
6.以下命题中不正确的结论是()
A.素数阶群必为循环群;B.Abel群必为循环群;
C.循环群必为Abel群D.4阶群必为Abel群.7.设代数系统(K1,)和(K2,),存在映射f:K1K2,如果a,bK1,都有(),称K1与K2同态。
A.f(ab)f(a)f(b)B.f(ab)f(a)f(b)
C.f(ab)f(a)f(b)D.f(ab)f(a)f(b)
8.图G有21条边,3个4度结点,其余均为3度结点,则G有()个结点。A.13B.15C.17D.19
9.以下命题中正确的结论是()
A.n2k时,完全图Kn必为欧拉图
B.如果一个连通图的奇结点的个数大于2,那么它可能是一个Euler图;
C.一棵树必是连通图,且其中没有回路;
D.图的邻接矩阵必为对称阵.10.若连通图GV,E,其中|V|n,|E|m,则要删去G中()条边,才能确定G的一棵生成树。
A.nm1B.nm1C.mn1D.mn
1二.填空题(每题2分,共20分)
11.在有界格中命题a00的对偶命题为
12.设G是有限群,H是G的子群,则H在G中的右陪集数为。
13.设集合A = {a,b,c,d},A上的二元关系R = {,,
11014.设集合B = {a,b,c}上的二元关系R的关系矩阵MR001,则R具有的性质
000
是,且它的对称闭包S(R)=。
15.设集合A = {a,b},B = {1,2},则从A到B的所有函数是,其中双射的函数
16.设无向图GV,E是哈密顿图,对于任意的V1V且V1均有 其中,p(GV1)为GV1的连通分支数。
17.公式(a(bc)def)(g(hi)j)的前缀符号法表示为。
18.已知下图,它的点连通度(G)为,边连通度(G)为
20.若二部图Km,n为完全二部图,则其边数为
三.计算题(一)(每小题5分,共30分)
21.符号化下述两个语句,并说明其区别:
(1)如果天不下雨,我们就去旅游;(2)只有不下雨,我们才去旅游。
22.将下命题化为主析取范式和主合取范式:(p(qr))(pqr).23.设R={<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>},求:⑴ R*R;⑵ R*R-1; ⑶R[{0}]
24.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R,其中R={<1,1>,<1,4>,<2,2>, <2,3>,<3,2>,<3,3>,<4,1>,<4,4>},说明R是否A上的等价关系。
25.设A{1,2,,12},为整除关系,B{2,3,4},(1)画出偏序集A,的哈斯图;
(2)找出A的极大元、极小元、最大元、最小元;(3)在A,中求B的上界、下界、最小上界、最大下界.26.设代数系统(Z,),其中Z是整数集,二元运算定义为
a,bZ,abab2。aZ,求a的逆元.三.计算题(二)(每小题7分,共14分)
27.设Ga是15阶循环群.(1)求出G的所有生成元;(2)求出G的所有子群.28.求下图D的邻接矩阵A(D),并算出其可达矩阵P(D)
五.证明题(每小题8分,共16分)
29.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明:
每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车,所有的人不喜欢步行。(个体域为人类集合)
30.证明:设S,,是具有两个二元运算的代数系统,且对于和运算适合交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义S中的偏序,使得S,构成一个格,且a,bS,有abab,abab.
第四篇:苏州大学离散数学期末试卷
苏州大学2011—2012年上学期离散数学期末试卷
一、名词解释
1、等势:
2、阿贝尔群:
3、偏序关系:
4、命题:
5、平面图:
二、求(p∧r)∨(p←→q)的主析取和主合取范式。
三、符号化下面的命题并推证其结论。
任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢美术,每个人或者喜欢美术或者喜欢体育,有的人不喜欢体育。所以存在有人不喜欢音乐。
四、证明:
1)A∩(A∪B)=A 2)若关系R是对称和传递的,试证明R°R=R。
五、已知映射f和g,f和g都是双射,试证明f°g也为双射。
六、证明:[0,1]是不可数的。
七、设是一个分配格,那么,对于任意的a,b,c∈A,如果有:
a∧b=a∧c,a∨b=a∨c 成立,则必有b=c。
八、有关独异点的证明,证明某一代数系统是可交换的独异点。
九、简单无向图G,有N个结点,N+1条边,证明G中至少有一个结点的次数大于等于3。
十、简述欧拉定理,并证明该定理成立。
注:该份试题是参加完离散考试后整理出来的,除第八大题记不清具体题目外,其他都是原题。希望对学弟学妹的离散数学期末复习有所帮助。另外说明该份试卷是马小虎老师班上考的,徐汀荣老师班上不知道是不是和该份试卷一样。
第五篇:离散数学期末试卷06-07
安徽大学2006—2007学年
A.4,20 ; B.4,22 ; C.5,22 ; D.5,24。
图1-8
9.设G是具有w个连通分支的平面图,若G中有n个结点,m条边,k个面,则必有()A.nmk2 ; B.nmkw ; C.nmkw1 ; D.nmkw1。
10.设G=(V,E)为(n,m)连通图,则要确定G的一颗生成树必删去G中边数为()A.n-m-1 ; B. n-m+1 ; C.m-n+1 ; D.m-n-1。
二、填空题(每空2分,共22分)
1.设G={1,5,7,11},
5.设T是无向树,它有40个1度点,20个2度点,31个3度点,且没有6度或6度以上的顶点。则T中有__________个4度点,有__________个5度点。
6.无向图G是有k(k2)棵树组成的森林,至少要添加_______条边才能使G成为一棵树。
三、综合题(每小题6分,共18分)
1.Q为有理数集,Q上定义运算*为:a*babab。(共6分)
(1)求的幺元;(2分)
(2)求中元素a的逆元(若存在逆元);(2分)
(3)求2*(-5);7*12。(2分)
2.图3-2是格L所对应的哈斯图。(共6分)
《
离散数学
》试卷
(1)若a,b,d,0的补元存在,写出它们的补元;(2分)(2)L是否是有补格?说明理由;(2分)(3)L是否是分配格?说明理由。(2分)a d b e c 0 图3-2 3.画出所有具有6个顶点的无向树。(6分)
四、证明题(每小题8分,共40分)
1.设G,*是一个群,证明:对于G中任意的a,b,c,d,a1,b1,c1,d1,如果a*ca1*c1,a*da1*d1,b*cb1*c1。则有b*db1*d1。
2.设G是交换群,证明G中一切有限阶元素所成集合H是G的一个子群。
《
离散数学
》试卷
3.设L,为一个格,试证明:L,为分配格的充要条件是对于任意的a,b,cL,有(ab)*ca(b*c)。
4.证明在无向完全图Kn中(n3)任意删去n-3条边后,所得到的图是哈密尔顿图。
5.设简单平面图G中结点数n7,边数m15,证明:G是连通的。
《
离散数学
》试卷
安徽大学2006—2007学年
图3.3(注,直接画出以上六个图形得6分,写出分析过程并正确可得3分。)
四、证明题(每小题8分,共40分)
1.证明:因为G,*是一个群,则x,yG,有(x*y)1y1*x1,x*x1e(1分)。所以,(2分)
=(b*c)*(c1*a1)*(a*d)(3分)b*db*(c*c1)*(a1*a)*d =(b1*c1)*(a*c)1*(a1*d1)(4分)=(b1*c1)*(a1*c1)1*(a1*d1)(5分)=(b1*c1)*(c1*a1)*(a1*d1)(6分)
=b1*(c1*c1)*(a1*a1)*d1(7分)
=b1*d1(8分)
2.证明:
(1)eH,所以H;(2分)
(2)对任x,yH,存在m,nZ,使xme,yne,G是交换群,(x,y)mnxmnymne,即xy也是有限阶元素,所以xyH;(6分)(3)对任xH,存在mZ,使xme,所以(x1)m(xm)1e1e,所以x1H。(8分)
3.证明:
设L,是分配格。由a*ca,(b*c)(b*c),可得
(a*c)(b*c)a(b*c),而(ab)*c(a*c)(b*c)所以(ab)*ca(b*c)。(2分)
反之,若对于任意的a,b,cL,有(ab)*ca(b*c),则可得
(ab)*c((ba)*c)*c
《
离散数学
》试卷
1111(b(a*c))*c 由已知条件 ((a*c)b)*c
(a*c)(b*c)由已知条件(6
分)
又由a*c(ab)*c和b*c(ab)*c,可得
(a*c)(b*c)(ab)*c
于是有(ab)*c(a*c)(b*c)(8分)
4.证明:
我们已经知道,一个n阶无向简单图是哈密尔顿图的充分条件是:图中任意不同两点的度数之和大于等于n。(2分)
现证在无向完全图Kn中任意删去n-3条边后所得的图G,其不同两点的度数之和大于等于n。用反证法。
设图G中存在两点vi和vj,其度数之和不大于等于n,即
deg(vi)+deg(vj)n-1 删去这两个点后,至多删去图G中的n-1条边,由题设条件可知,图G的边数
m(n1) n(n1)22
(n3)(n1)
1(6(n2)(n3)分)
(n2)(n3)2(n2)(n3)21由此可知,在图G中删去点vi和vj后,余下的图为具有n-2个点,且至少有但这样的简单无向图是不存在的。因为具有n-2个点的简单无向图最多有
条边,条边。所以图G中任意不同的两点的度数之和大于等于n,图G为哈密尔顿图。(8分)
5.证明:
设G为非连通的,具有2个连通分支G1,G2,...,G。设Gi的结点数为ni,边数为mi,i1,2,...,。
若存在nj1,则必为2,因为只有此时G为一个平凡图并上一个K6才能使其边数为15,可是K6不是平面图,这矛盾于G为平面图这个事实,所以不存在nj1。(2分)
若存在nj2,Gj中至多有一条边(简单图),另外5个结点构成K5时边数最多,但其值也仅为10条边,这与G有15条边矛盾。(4分)
综上所述,ni必大于等于3,i1,2,...,。由简单平面图可得:
mi3ni6,i1,2,...,
求和得:m3n6。(6分)将n7,m15代入得:152161。这与2矛盾。故G必为连通图。(8分)
《
离散数学
》试卷