6 湖北 吕辉 例谈局部固定法在竞赛不等式中的应用(发表于高中数理化高二 2010.9)

第一篇：6 湖北 吕辉 例谈局部固定法在竞赛不等式中的应用(发表于高中数理化高二 2010.9)

例谈局部固定法在竞赛不等式中的应用

吕辉(湖北省十堰市东风高级中学 442001 lvhui19841208@163.com)所谓“局部固定法”就是在多变量问题中,将其中一个变量视为“定值”，分析其它变量是何关系时达到最值.然后再＂松动＂固定的变量,视为新的变量,从而转化为我们熟知的一元函数问题.此文就此法在竞赛不等式中的应用进行解析,希望能为广大竞赛爱好者提供帮助.例1:(2010年湖北高中数学联赛)若x,y,z均为正实数，且x2y2z21，则S(z1)2xyz2的最小值为 解:现”固定”z, 则x2y21z2(定值)2xyx2y21z2(xy时取等号)S(z1)2xyz21zz1z(2x2z21时取等z0,1)现”松动”z将其视为变量,令:t1z,t1,2

原式1zz1ztt3t2212t3t322 ,t1,2

t122时取得最小值Smin322

122例2:(伊朗国家选拔考试题)若a,b,c0且满足abc3

2ab2cb2ca4证明:不妨设abc,即c1,现“固定”c,则ab3c

111 下证：当且仅当ab时,取最大值 2222222ab2cb2ca求证:

21223.①由a,b0 ②12cb22ab2ab22222当ab时，212ab222222最大

12ca222（22c）(ab)(2c)(2c)(ab)ab222222222（22c）(ab)2ab(2c)(2c)[(ab)2ab]ab（22c）(3c)2ab(2c)(2c)[(3c)2ab]ab222222222，22令：m2c,n3c,t2mn2ab则

2n2n22ab2a(na)0,t[2m,2mn)，22原式4tt2ntn4mn22242t4n4mnt242,t[2m2n2n22,2mn)

2注意到3n4m(c1)(c19)0则

(n4mn)(2m422n22)23n8mn16m442(3n4m)(n4m)4220，即:2m则tn4mntn242n22n2n4mn42，12cb222在t[2m22,2mn)上单调递增,n212ca22在t2m2时取值最大,此时t2mn2ab2m12ab222n2得ab1

1由①②得：无论“固定”c(c1)为多少,ab时最大.则

12cb222ca22均在2ab2212cb22212ca82222(13c2)2222c(3c2)2

c6c1325c6c172,1c3，现“松动”c,将c视为变量,只需证明

2c6c13222285c6c172234

28(5c6c17)32(c6c13)3(5c6c17)(c6c13)

(c1)(5c26c37)0，2当1c3时有5c226c370，得证。

例3:(美国数学月刊征解题)设x,y,z0,且x2y2z21,求函数的值域.fxyzxyz解：现“固定“z，则x2y21z2 令xf1z2cos,y221zsin(0,）

221zsincosz1zsincosz

t122 令cossint1,2，则sincosfzz1，2] 2t221ztz1z1z22z22z21,t(1,2

 f的对称轴:t01z(1z)22fmaxf(2),fminf(1),现“松动”z将其视为变量 fminf(1)1z2z(z0,1), 令:zsin(02)

fminf(1)cossin2sin()，0, 42fminf(1)min1，fmaxf(2)z2z2121z2z,(z0,1), 令:zsin(02)fmaxf(2)12sincos22cossin

fmaxf(2)max，令:msin0,1，f(2)g(m)12m312m221m22，22g(m)32m21222m1m2(3m1)1m22m21m2222g(m)0(3m1)1m22m8m(3m1)(1m)0

324(3m1)(3m1)0m,1

3324 g(m)0(3m1)(3m1)0m0,3fmaxf(2)maxg(33)83983f值域为1, 9