工程测量竖曲线程序及公式

第一篇：工程测量竖曲线程序及公式

竖曲线程序要素

已知要素

 1.变坡点里程桩号2.变坡点高程 3.竖曲线半径4.变坡点前坡度（上坡为正，下坡为负）5.变坡点后坡度（上坡为正，下坡为负）6.待求点里程

计算公式









凹凸型：当前坡度-后坡度为正，则为凸型，反之为凹型 转坡角（曲折角）：前坡度–后坡度 竖曲线长：半径 * 转坡角 切线长：竖曲线长 / 2 外矢距：切线长的平方 / 2倍半径

 待求点到变坡点距离：待求点桩号–变坡点桩号（取绝对值）

 曲线起终点桩号：

起点：变坡点的桩号–切线长终点：变坡点的桩号 + 切线长

 任意点切线标高：变坡点的标高±测点与变坡点里程距离*该里程对应坡度  任意点设计标高：

1.凸型：该桩号在切线上的设计标高–修正值

2.凹型：该桩号在切线上的设计标高 + 修正值

程序条件

 条件：如果待求点≦变坡点，则待求点–起点=间距，反之待求点>变坡点，则终点–待求点=间距

 曲线点间距：待求点 – 起点或终点 –待求点

 竖曲线上点的高程修正值：曲线点间距的平方 / 2倍半径

 如果待求点≦变坡点，则任意点设计标高=变坡点高程-（变坡点-待求点）* 前坡度(取绝对值)-修正值，反之待求点>变坡点，则变坡点任意点设计标高=变坡点高程-（待求点-变坡点）* 后坡度(取绝对值)-修正值

 条件：凹型竖曲线如果待求点≦变坡点，则任意点设计标高=变坡点高程 +（待求点-变坡点）* 前坡度(取绝对值)+修正值，反之待求点>变坡点，则变坡点任意点设计标高=变坡点高程 +（变坡点-待求点）* 后坡度(取绝对值)+修正值

第二篇：测量圆曲线心得体会

测 设 实 训

报

告

实习名称： 圆曲线计算及放样指导教师： 所在小组 : 第三组 专业班级： 11建筑301班 姓名：

学号： 201160130142

日 期 ： 2013年5月8日

心得体会

通过本次实习，巩固、扩大和加深我们从课堂上所学的理论知识，掌握了全站仪的基本操作，还有学会了施工放样及地形图的绘制方法，获得了测量实际工作的初步经验和基本技能，着重培养了我们的独立工作能力，进一步熟练了测量仪器的操作技能，提高了计算和绘图能力.一次测量实习要完整的做完，单靠一个人的力量和构思是远远不够的，只有小组的合作和团结才能让实习快速而高效的完成。这次测量实习培养了我们小组的分工协作的能力，增进了同学之间的感情。我们完成这次实习的原则也是让每个组员都学到知识而且会实际操作，而不是抢时间，赶进度，草草了事收工。所以，我们每个组员都分别独立的观察，记录每一站，并准确进行计算。做到步步有“检核”，这样做不但可以防止误差的积累，及时发现错误，更可以提高测量的效率。我们怀着严谨的态度，错了就返工，决不马虎。直至符合测量要求为止。我们深知搞工程这一行，需要的就是细心，做事严谨。

测量实习，让我学到了很多实实在在的东西，对以前零零碎碎学的测量知识有了综合应用的机会。全站仪等测量仪器与工具。很好的巩固了理论教学知识，提高实际操作能力，同时也拓展了与同学之间的交际合作的能力。当然其中不乏老师的教诲和同学的帮助。出现问题就让我们及时改正。总之，两周中我们也体会了不少酸甜苦辣，有的测量很顺利甚至零误差，有时测量处处碰壁，但也算过去了。但这两周实习也给了我们不少教训：由于某个数据的读错、记错及算错都给我们带来了不少麻烦，从而让我们知道了做任何事都要认真。一个组的团结也是至关重要的，它关系到整个组的进度。先前我们组由于配合不够默契，分工也不够合理，整体进度受到极大的影响，后来通过组内的交流，彻底解决了以上问题。实习进度有了很大的改观，进度和效果自然就提上来了。

我很珍惜学校为我们安排实习这理论与现实连接的重要环节。总之，要谢谢学校在为促进学生实践能力所安排的这段实习，我将永远珍惜这段经历。同时这段实习生活也是我一生中最值得难忘的。

第三篇：公路工程测量公式

一、曲线要素计算

已知：JDZH、JDX、JDY、R、LS1、LS2、LH、T、A1、A2（LH=LS1+LS2+圆曲线长）

1、求ZH点（或ZY点）坐标及方位角

LDZHZHZHxLL5/(40R2ls1)yL3/(6Rls1)

TA1il2/(2Rls1)180/

DXZHXxcosA1iysinA1DYZHYxsinAiycosA

11

中桩距离，左正右负）

ZHZHJDZHT



ZHXJDXTcosA1 ZHYJDYTsinA

1

2、求HZ点（或YZ点）坐标及方位角

TT



BDXXNcosT BDYYNsinT

七、纵断面高程计算

（1）直线段上高程计算 已知：直线上任一点桩号（ZH）、高程（H）、纵坡（i）

DHHi*(DZHZH)

（2）竖曲线上高程计算

已知：竖曲线起点桩号（ZH）、起点高程（H）、竖曲线半径R、起点坡度（i）、k（凸曲线+

1、凹曲线-1）

HZZHJDZHTLH



HZXJDXTcosA2 HZYJDYTsinA

2

3、求解切线长T、外距E、曲线长L

（1）圆曲线

四、圆曲线上各桩号点坐标及方位角计算

已知：ZHZH、ZHX、ZHY、A1、R、LS1、i（Z+1Y-1

LDZHZHZHls1

xRsin(ls1/2RL/R)ls1/2ls1/240R2yR[1cos(ls1/2RL/R)]ls1/24R其中

0ls1/2R32qls1/2ls1/240R2pl/24Rs1

TAi(ls1/2RL/R)180/

DXZHXxcosA1iysinA1DYZHYxsinAiycosA

11

lDZHZH

DHHilkl/(2R)

/2)TRtan（

ER(1/cos(/2)1)LR/180

（2）缓圆曲线

/2)qTH(Rp)tan（

LHR(20)/1802ls

E(Rp)/cos(/2)R

H

其中l2/2Rls(当lls时0ls/2R)

二、直线上各桩号坐标及方位角计算

已知：ZH、X、Y、A

LDZHZHTA



DXXLcosA

DYYLsinA

注：

JDZH、JDX、JDY：交点桩号、交点X、Y坐标 R、LS1、LS2：半径、缓和曲线

1、缓和曲线2 LH：缓和曲线1长 +圆曲线长+ 缓和曲线2长 A1、A2：方位角

1、方位角2

T：在曲线要素中代表切线长；在坐标计算中代表被

五、第二缓和曲线上个桩号坐标及方位角计算 求解点的坐标方位角。

已知：HZZH、HZX、HZY、A2、R、LS2、i（Z+1Y-1 DLJJ：道路交角（右夹角）。

BZJL：LHZZHDZH

DZH、DX、DY、DH、BDX、BDY：被求解点桩号、2

xLL5/(40R2ls2)

点X值、点Y值、点高程值、边桩点X值、边桩点

yL/(6Rls2)Y值

i（Z+1Y-1)：JDTA2il2/(2Rls2)180/

三、第一缓和曲线上各桩号点坐标及方位角计算

已知：ZHZH、ZHX、ZHY、A1、R、LS1、i（Z+1Y-1

六、边桩坐标求解

已知：DZH、X、Y、T、BZJL（Z+Y-）、DLJJ、N（距



DXHZXxcosA2iysinA2DYHZYxsinAiycosA

22

第四篇：曲线积分与格林公式总结

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量

把曲线分成n小段 s1 s2    sn(si也表示弧长)

任取(i  i)si 得第i小段质量的近似值(i  i)si

整个物质曲线的质量近似为M(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn}0 则整个物质曲线的质量为

Mlim(i,i)si

0i1n

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到

定义

设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 在L上任意插入一点列M1 M2    Mn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si 又(i i)为第i个小段上任意取定的一点 作乘积f(i i)si(i1 2   n) 并作和f(i,i)si 如果当各小弧

i1n段的长度的最大值0 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长

n的曲线积分或第一类曲线积分 记作

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds 即Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上 并且有界

将L任意分成n个弧段 s1 s2    sn 并用si表示第i段的弧长

在每一弧段si上任取一点(i i) 作和f(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn} 如果当0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作

nLf(x,y)ds 即

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

曲线积分的存在性 当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分是存在的

以后我们总假定f(x y)在L上是连续的

Lf(x,y)ds

根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分

L(x,y)ds的值 其中(x y)为线密度

对弧长的曲线积分的推广

limf(i,i,i)si

f(x,y,z)ds0i1n

如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定

LL12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds

L1L

2闭曲线积分 如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

Lf(x,y)ds

对弧长的曲线积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds

性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则

Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds

2性质3设在L上f(x y)g(x y) 则

Lf(x,y)dsLg(x,y)ds

Lf(x,y)ds|L|f(x,y)|ds 特别地 有

|

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为

Lf(x,y)ds

x(t) y(t)(t)

另一方面 若曲线L的参数方程为 则质量元素为

f(x,y)dsf[(t), (t)]曲线的质量为

即

2(t)2(t)dt

f[(t), (t)]2(t)2(t)dt

f(x,y)dsf[(t), (t)]2(t)2(t)dt

L

定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为

x(t) y(t)(t)

其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 则曲线积分且

Lf(x,y)ds存在

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(<)



证明（略）

应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限

讨论

(1)若曲线L的方程为y(x)(axb) 则提示

L的参数方程为xx y(x)(axb)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dsf[x,(x)]12(x)dx

ab

(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd) 则提示

L的参数方程为x(y) yy(cyd)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dscdf[(y),y]2(y)1dy

(3)若曲的方程为x(t) y(t) z(t)(t)

则f(x,y,z)ds?

提示 f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt



例1 计算Lyds 其中L是抛物线yx2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧

解 曲线的方程为yx2(0x1) 因此

L11ydsx21(x2)2dxx14x2dx1(551)

001

2例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)

解 取坐标系如图所示 则I

曲线L的参数方程为

xRcos yRsin(<)

于是

ILy2ds

Ly2dsR2sin2(Rsin)2(Rcos)2d



R3sin2dR(sin cos)

3

例3 计算曲线积分

(x2y2z2)ds 其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧

解 在曲线上有x2y2z2(a cos t)2(a sin t)2(k t)2a2k 2t 2 并且

ds(asint)2(acost)2k2dta2k2dt

于是

(x2y2z2)ds(a2k2t2)a2k2dt

02

2a2k2(3a242k2)

3小结 用曲线积分解决问题的步骤

(1)建立曲线积分

(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程) 确定参数的变化范围

(3)将曲线积分化为定积分

(4)计算定积分

§10 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功

设一个质点在xOy面内在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 试求变力F(x y)所作的功

用曲线L上的点AA0 A1 A2    An1 AnB把L分成n个小弧段

设Ak(xk  yk) 有向线段AkAk1的长度为sk 它与x轴的夹角为k  则

AkAk1{cosk,sink}sk(k0 1 2    n1)

显然 变力F(x y)沿有向小弧段Ak Ak1所作的功可以近似为

F(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk 于是 变力F(x y)所作的功

W从而

W[P(x,y)cosQ(x,y)sin]ds

L这里(x y) {cos sin}是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量

n1F(xk,yk)AkAk1k1n1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk

k

1把L分成n个小弧段 L1

L2   

Ln

变力在Li上所作的功近似为

F(i i)siP(i i)xiQ(i i)yi 

变力在L上所作的功近似为

[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1nn

变力在L上所作的功的精确值

Wlim0[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1其中是各小弧段长度的最大值

提示

用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量 用si表示si的模

对坐标的曲线积分的定义

定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个有向小弧段L1

L2   

Ln 小弧段Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi yi) xixixi1 yiyiyi1(i )为Li上任意一点 为各小弧段长度的最大值

如果极限lim0f(i,i)xi总存在 则称此极限为函数

i1n f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作

Lf(x,y)dx 即

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1

如果极限limn0f(i,i)yi总存在 则称此极限为函数

i1n f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作

Lf(x,y)dy 即

limf(i,i)yi

Lf(x,y)dy0i1

设L为xOy面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y)、Q(x y)在L上有定义

如果下列二式右端的积分存在 我们就定义

nLP(x,y)dxLP(x,y)cosds

LQ(x,y)dyLQ(x,y)sinds 前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 后者称为函数Q(x y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

定义的推广

设为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义(假如各式右端的积分存在)

P(x,y,z)dxP(x,y,z)cosds

Q(x,y,z)dyQ(x,y,z)cosds R(x,y,z)dzR(x,y,z)cosds

nlimf(i,i,i)xi

Lf(x,y,z)dx0i1limf(i,i,i)yi

Lf(x,y,z)dy0i1limf(i,i,i)zi Lf(x,y,z)dz0i1对坐标的曲线积分的简写形式

nnLP(x,y)dxLQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz



对坐标的曲线积分的性质

(1)如果把L分成L1和L2 则

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy

2(2)设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 则

LP(x,y)dxQ(x,y)dLP(x,y)dxQ(x,y)dy

两类曲线积分之间的关系

设{cosi sini}为与si同向的单位向量 我们注意到{xi yi}si 所以 xicosisi yisinisi

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1n

limf(i,i)cosisif(x,y)cosds

L0i1nn

limf(i,i)yi Lf(x,y)dy0ilim0f(i,i)sinisiLf(x,y)sinds

i1n即

LPdxQdyL[PcosQsin]ds

LAdrLAtds 或

其中A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy}

类似地有

或

PdxQdyRdz[PcosQcosRcos]ds

AdrAtdsAtds

其中A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz } A t为向量A在向量t上的投影

二、对坐标的曲线积分的计算

定理 设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t)

上的连续函数 当参数t单调地由变到时 点M(x y)从L的起点A沿L运动到终点B 则

讨论 提示

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

LQ(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dt

LP(x,y)dxQ(x,y)dy？

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt



定理 若P(x y)是定义在光滑有向曲线

L

x(t) y(t)(t)上的连续函数 L的方向与t的增加方向一致 则

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

简要证明 不妨设 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t) (t)} 所以cos(t)

22(t)(t)从而

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

P[(t),(t)](t)2(t)2(t)dt

2(t)2(t)

 P[(t),(t)](t)dt

应注意的问题

下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 

例1计算Lxydx 其中L为抛物线yx上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧

2解法一 以x为参数 L分为AO和OB两部分

AO的方程为yx x从1变到0 OB 的方程为yx x从0变到1

因此

LxydxAOxydxOBxydx

1x(10x)dxxxdx20113x2dx4 05

第二种方法 以y为积分变量 L的方程为xy2 y从1变到1 因此

224xydxyy(y)dy2ydyL11

51例2 计算Ly2dx

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 

(2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a

0)的直线段

解

(1)L 的参数方程为 xa cos ya sin

从0变到

因此

4a3

22232ydxasin(asin)da(1cos)dcosL0032a(2)L的方程为y0 x从a变到a

因此

Lydxa0dx0

2例

3计算L2xydxx2dy(1)抛物线yx上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(3)从O(0 0)到A(1 0) 再到R(1 1)的有向折线OAB 

解

(1)L yx2 x从0变到1 所以

L2xydxx2dy(2xx2x22x)dx4x3dx1

0021211(2)L xy2 y从0变到1 所以

L2xydxxdy0(2yy2yy)dy5y4dy1 

041

(3)OA y0 x从0变到1 AB x1 y从0变到1

L2xydxx2dyOA2xydxx2dyAB2xydxx2dy

(2x0x20)dx(2y01)dy011 0101

例4 计算x3dx3zy2dyx2ydz 其中是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段AB

解 直线AB的参数方程为

x3t y2t xt

t从1变到0 所以 所以

I87

3223[(3t)33t(2t)2(3t)2t]dt87tdt11400

例5 设一个质点在M(x y)处受到力F的作用 F的大小与M到原点O的距离成正比 F

x2y21的方向恒指向原点

此质点由点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0 b) 2ab求力F所作的功W

x2y21

例5 一个质点在力F的作用下从点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点

ab2B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W

解 椭圆的参数方程为xacost ybsint  t从0变到 

rOMxiyj Fk|r|(其中k>0是比例常数

r)k(xiyj)

|r|xdxydy

于是

W kxdxkydykA ABB

k

02(a2costsintb2sintcost)dt

k(a2b2)02sintcostdtk(a2b2)

三、两类曲线积分之间的联系

由定义 得

LPdxQdyL(PcosQsin)ds LL

{P,Q}{cos,sin}dsFdr

其中F{P Q} T{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drTds{dx dy}

类似地有

PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)ds 

{P,Q,R}{cos,cos,cos}dsFdr

其中F{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz }

一、格林公式

单连通与复连通区域

设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D

则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域

对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边

区域D的边界曲线L的方向

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有

(DQP)dxdyPdxQdy

Lxy其中L是D的取正向的边界曲线

简要证明

仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明

设D{(x y)|1(x)y2(x) axb} 因为

P连续 所以由二重积分的计算法有 yPdxdyb{2(x)P(x,y)dy}dxb{P[x,(x)]P[x,(x)]}dx

21ya1(x)yaD另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

LPdxLPdxLPdxaP[x,1(x)]dxbP[x,2(x)]dx

12ba

{P[x,1(x)]P[x,2(x)]}dx

因此

abPdxdyPdx yLD

设D{(x y)|1(y)x2(y) cyd} 类似地可证

QxdxdyLQdx

D由于D即是X－型的又是Y－型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得

QPdxdyPdxQdy

LxyD

应注意的问题

对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向

设区域D的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得

2dxdyLxdyydx 或Adxdy2Lxdyydx

D1D

例1 椭圆xa cos  yb sin 所围成图形的面积A

分析

只要QPQ1 就有(P)dxdydxdyA

xyxyDD

解 设D是由椭圆x=acos  y=bsin 所围成的区域

令P1y Q1x 则QP111

xy2222于是由格林公式

A1ydx1xdy1ydxxdy dxdyL222LD

2112(absin22abcos)dabdab

0220

例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

L2xydxx2dy0

QP2x2x0

xy

证 令P2xy Qx2 则因此 由格林公式有L2xydxx2dy0dxdy0(为什么二重积分前有“”号？)

D2

例3 计算eydxdy 其中D是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域

D

分析 要使QPy22e 只需P0 Qxey

xy

2解 令P0 Qxey 则

QPy2e 因此 由格林公式有 xyy2

eDy2dxdyOAABBOxedyxeOAy2dyxexdx1(1e1)

0212

例4 计算xdyydxLx2y2 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向

yQy2x2Px22

解 令P2 Q2 则当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxLx2y20

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r 2(r>0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得

xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取逆时针方向

2r2cos2r2sin2xdyydxxdyydxd2 22 于是0Lx2y2lxyr2

解 记L 所围成的闭区域为D

当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxQP(Lx2y2xy)dxdy0

D

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r2(r0) 由L及l围成了一个复连通区域D1 应用格林公式得 xdyydxQP(Llx2y2xy)dxdy0

D1即xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取顺时针方向

于是

xdyydxxdyydx2r2cos2r2sin2d2 Lx2y2lx2y20r2yQy2x2Px22分析 这里P2 Q2 当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2

第五篇：测量曲线的方法

测量曲线的长度 以直代曲法：用圆规取一定长度如1cm，然后逐段去测量曲线，最后得出曲线长度。滚轮法：用硬币紧贴着曲线，从一端滚到另一端记下滚动的圈数，再测硬币的周长，最后算出曲线长度。覆盖法 用绳子沿曲线覆盖，从一端到另一端，最后将绳子拉直进行测量！

测量一张纸的厚度

累积法：先测出许多张纸的厚度，再算出一张纸的厚度。