【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 4-3 平面向量的数量积题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版

第一篇：【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 4-3 平面向量的数量积题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版

第3讲平面向量的数量积

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝

A．

2C．4B．(0,4)D．(1,4)()．

解析 a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.答案 C

→→

2．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则AC在AB方向上的投影为

1A.4C．112D．2

→→→1解析 如图所示，AC在AB方向上的投影为|AC|cos 60°＝2

1.2()．

答案 C

3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a＝3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)．若a＋2b与c

垂直，则k＝

A．－

3C．－1B．－2D．1()．

解析 由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.答案 A

4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为()．

12πA.3πC.3

πB.65π6

解析 由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.1∴2|b|2·cos＋|b|2＝0，∴cos＝－，22π

又∈[0，π]，∴＝3答案 A

→→

5．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为

A.5B．25C．5D．10 →→

解析 ∵AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，→→∴AC⊥BD，→→|AC|·|BD|20

∴S四边形＝5.22答案 C

二、填空题

6．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析 b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2 ＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2 tt

＝1－t＝1－2

2t由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.2答案 2

→→→→

7．(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0,2)．若OC·AB＝→→

0，AC＝λOB，则实数λ的值为________．

→→→→→→

解析 设C(x，y)，则OC＝(x，y)，又AB＝OB－OA＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以OC·AB→x－3＝0，＝－3x＋3y＝0，解得x＝y.又AC＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得结合x＝y，解

y＋1＝2λ，

()．

得λ＝2.答案 2

→→

8.(2014·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，＝60°，→

则|OA|＝________.→→→→→→→11

3解析 因为＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，又AO＝

22211322→→，所以AO2＝1(AB＋AC)2＝1AB2＋2AB·AC＋AC)，即AO＝(1＋3＋9)＝，AB＋AC4444→13所以|OA|＝2答案

三、解答题

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．

(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝－2＋0＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝综上，可知|a－b|＝2或25.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；

3→

→

→

→

→→

→

→

→→

(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积． 解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，－6a·b1∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝.|a||b|4×322π

又0≤θ≤π，∴θ3

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.→→2π2ππ(3)∵AB与BC的夹角θ＝ABC＝π－333→→

又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，1→→13

∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC4×3×＝3.22

2能力提升题组(建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2013·青岛一模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为 π

A.62πC.3πB.35π6

()．

解析 由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为 a＋b·a|a|21πcos θ＝＝所以θ＝3|a＋b||a|2|a||a|2答案 B

→→→→2

22．(2014·昆明调研)在△ABC中，设AC－AB＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()． A．垂心

B．内心

C．外心D．重心

→→→→→→→→→→22

解析 假设BC的中点是O.则AC－AB＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即→→→→→→→(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.答案 C

二、填空题

π3．(2013·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，6|x|

则________． |b|

π3x22222

2解析 因为e1·e2＝cos ＝，所以b＝x＋y＋2xye1·e2＝x＋y＋3xy.所以＝

62bx2

＝

x2＋y23xy

y11

3，设t＝，则1＋t2＋3t＝t＋2＋≥，所以0＜

x244y23y

1＋xx

1x2|x|

4的最大值为4，所以的最大值为2.2b|b|1＋t3t答案 2

三、解答题

4．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解 由已知得e2e2＝2×1×cos 60°＝1.1＝4，e2＝1，e1·22∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te2e2＋7te21＋(2t＋7)e1·2＝2t＋15t＋7.1欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t.2设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，2t＝λ，∴∴2t2＝7.7＝tλ，

∴t＝－即t＝－

λ＝－14.2

2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.2

∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是

－7，－14∪－141.222

第二篇：文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十四讲 向量的应用—后附解析答案

专题五

平面向量

第十四讲

向量的应用

2019

2019年

1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为

A．

B．

C．

D．

2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=

A．

B．2

C．5

D．50

3.（2019全国Ⅲ13）已知向量，则___________.4.（2019北京文9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．

5.（2019天津文14）在四边形中，，，点在线段的延长线上，且，则__________.6.（2019江苏12）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是

.7.（2019浙江17）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________，最大值是_______.2010-2018

一、选择题

1．(2018浙江)已知，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A．

B．

C．2

D．

2．（2017浙江）如图，已知平面四边形，，与交于点，记，，则

A．<<

B．<<

C．<

D．<<

3．（2016年四川）已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足,，则的最大值是

A．

B．

C．

D．

4．（2015广东）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，则

A．

B．

C．

D．

5．（2015湖南）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为

A．6

B．7

C．8

D．9

6．（2014安徽）在平面直角坐标系中，已知向量点满足．曲线，区域

．若为两段分离的曲线，则

A．

B．

C．

D．

7．（2014天津）已知菱形的边长为2，点分别在边上，.若，则

A．

B．

C．

D．

8．（2012天津）在△ABC中，AB=1，设点P，Q满足，．若，则

A．

B．

C．

D．2

9．(2012安徽)在平面直角坐标系中，将向量绕点O按逆时针旋转

后得向量，则点的坐标是

A．

B．

C．

D．

10．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=

A．

B．1

C．

D．

11．(2011山东)

设，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(∈)，(∈)，且，则

称，调和分割，已知点，(∈)调和分割

点，则下面说法正确的是

A．可能是线段的中点

B．可能是线段的中点

C．，可能同时在线段上

D．，不可能同时在线段的延长线上

二、填空题

12．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______．

13．（2017北京）已知点在圆上，点A的坐标为，为原点，则的最大值为_______．

14．（2017浙江）已知向量，满足，则的最小值是，最大值是

．

15．（2017江苏）在平面直角坐标系中，，点在圆：上，若，则点的横坐标的取值范围是

．

16．（2016年浙江）已知向量，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是

．

17．（2015山东）过点

作圆的两条切线，切点分别为，则

．

18．（2015江苏）已知向量，若（R），则的值为______．

19．（2015天津）在等腰梯形ABCD中，已知∥，，点和点分别在线段和上，且，则的值为________．

20．（2015安徽）是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，则下列结论中正确的是

．（写出所有正确结论得编号）

①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．

21．（2014天津）已知菱形的边长为，点，分别在边、上，．若，则的值为________．

22．（2014湖南）在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是

23．（2012江苏）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是

．

24．（2012山东）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为

．

25．（2010湖南）在边长为1的正三角形ABC中,设

则______．

三、解答题

26．（2017浙江）已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

27．（2015陕西）△ABC的内角所对的边分别为，向量

与平行．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

28．(2015四川)如图，椭圆：（>>0）的离心率是，点在短轴上，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点．是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

29．（2014山东）已知向量，函数，且的图像过点和点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．

30．（2014辽宁）在中，内角的对边，且，已知，，求：

（Ⅰ）和的值；

（Ⅱ）的值．

31．（2013江苏）已知，．

(1)

若，求证：；

(2)

设，若，求，的值．

32．（2013湖南）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D．以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为．

（I）若，证明：；

（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程．

33．（2013辽宁）设向量

（I）若

（II）设函数．

34．（2012江西）已知三点，，曲线上任意一点满足

．

（1）求曲线的方程；

（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为．问：是否存在定点,使得与都相交,交点分别为,且与的面积之比是常数？若存在，求的值。若不存在，说明理由．

35．（2010江苏）在平面直角坐标系中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数满足()·=0，求的值．

专题五

平面向量

第十四讲

向量的应用

答案部分

2019年

1.解析

因为，所以，所以．

又因为，所以．故选B．

2.解析

因为，所以，所以．故选A.3.解析，，．

4.解析

因为，所以，得.5.解析

因为，，所以在等腰三角形中，又，所以，所以.因为，所以.又，所以

.6.解析

设，所以，解得，所以，，因为，所以，所以，所以.7.解析：正方形ABCD的边长为1，可得，，,由于2，3，4，5，取遍，可得，可取，可得所求最小值为0；

由，可取可得所求最大值为．

2010-2018年

1．A【解析】解法一

设为坐标原点，，由得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l为半径的圆．因为与的夹角为，所以不妨令点在射线()上，如图，数形结合可知．故选A．

解法二

由得．

设，，所以，所以，取的中点为．则在以为圆心，为直径的圆上，如图．

设，作射线，使得，所以

．故选A．

2．C【解析】如图所示，四边形是正方形，为正方形的对角线的交点，易得，而，∴与为钝角，与为锐角．根据题意，∴，同理．

做于，又．

∴，而，∴，而，∴，即，∴，选C．

3．B【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则，则点的轨迹方程为．

设，则，代入圆的方程得，所以点的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以，所以．

4．A【解析】由，得．

5．B【解析】由题意，AC为直径，所以，已知B为时，取得最大值7，故选B．

6．A【解析】设，则，所以曲线C是单位元，区域为圆环（如图）∵，∴．

7．C【解析】因为，所以.因为，所以，.因为，所以，即①

同理可得

②，①+②得.8．B【解析】如图，设，则，又，由得，即，选B.9．A【解析】方法一

设

则．

方法二

将向量按逆时针旋转后，可知点落在第三象限，则可排除B、D，代入A，由向量的夹角公式可得，∴．

10．C【解析】首先观察集合，从而分析

和的范围如下：∵，∴，而，且，可得，又∵中，∴，从而，∴，所以，且也在集合中，故有．

11．D【解析】根据已知得，即，从而得

；，即，得，根据，得．线段的方程是，．若是线段的中点，则，代入，得．此等式不可能成立，故选项A的说法不成立；同理选项B的说法也不成立；若同时在线段上，则，此时，，若等号成立，则只能，根据定义，是两个不同的点，故矛盾，故选项的说法也不正确，若

同时在线段的延长线上，若，则，与矛盾，若，则是负值，与矛盾，若，则，此时，与矛盾，故选项D的说法是正确的．

12．【解析】设，所以，当时，取得最小值．

13．6【解析】所以最大值是6．

14．4,【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是.15．【解析】设，由，得，如图由可知，在上，由，解得，所以点横坐标的取值范围为．

16．【解析】由，可得两向量的夹角为，建立平面直角坐标，可设，，则，所以的最大值为．

17．【解析】在平面直角坐标系中，作出圆及其切线，如图所示，连结，由图可得，，则的夹角为，所以．

18．【解析】由题意得：．

19．【解析】在等腰梯形中，由∥，，得，，所以

．

20．①④⑤【解析】∵等边三角形的边长为2,∴＝2＝2,故①正确；∵

∴，故②错误，④正确；

由于，则与的夹角为，故③错误；

又∵

∴，故⑤正确

因此，正确的编号是①④⑤.21．【解析】因为，菱形的边长为2，所以.因为，由，所以，解得.22．【解析】设，由，得，向量，故的最大值为

圆上的动点到点距离的最大值，其最大值为圆的圆心到点的距离加上圆的半径，即．

23．【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(,0),E(,1)，D(0,2)，C(，2)．设(0≤x≤)，由，∴，=((1–,2)=．

24．【解析】如图过P作x轴的垂线，垂足为E，过C作y轴的垂线，垂足为A，根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长，∴，可知，此时点的坐标为

另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.25．【解析】根据已知得，所以

（）=．

26．【解析】（1）因为，，所以．

若，则，与矛盾，故．

于是．

又，所以．

（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；

当，即时，取到最小值.27．【解析】（Ⅰ）因为,所以，由正弦定理，得

又，从而，由于0<<，所以=．

（Ⅱ）解法一

由余弦定理，得，而=，=2，=，得，即，因为，所以

．故的面积为．

解法二

由正弦定理，得，从而=，又由，知>，所以=，故==sin==．

所以的面积为．

28．【解析】（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)

．

又点P的坐标为(0，1)，且＝－1，于是，解得a＝2，b＝．所以椭圆E方程为．

（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为．

A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式，所以，从而

＝

＝－

所以，当时，－，此时，为定值．

当直线斜率不存在时，直线即为直线．

此时，故存在常数，使得为定值－3．

29．【解析】（Ⅰ）已知，过点，∴

∴

解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由题意知

设的图象上符合题意的最高点为

由题意知．所以，即到点的距离为1的最高点为．

将其代入得，又∵，所以，因此

由，得

∴的单调增区间为．

30．【解析】（Ⅰ）∵，且，∴，∵，∴解得．

所以．

（Ⅱ）∵，∴，∵，，∴，故．

31．【解析】（1）＝，＝

＝．

所以，所以，．

（2），①2＋②2得：．

所以，＝，＝＋，带入②得：(＋)＋＝＋＝(＋)＝1，所以，＋＝．所以，＝，＝．

32．【解析】由题意，抛物线E的焦点为，直线的方程为．

由得．

设A，B两点的坐标分别为，则、是上述方程的两个实数根．

从而，．

所以点的坐标为，．

同理可得点的坐标为，．

于是．

由题设，有k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以．

故．

(2)【解析】由抛物线的定义得，所以，从而圆的半径．

故圆的方程为．

化简得．

同理可得圆的方程为．

于是圆，圆的公共弦所在直线的方程为．

又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.因为p>0，所以点到直线l的距离

故当时，取最小值．

由题设，得＝，解得．

故所求的抛物线E的方程为．

33．【解析】（I）由，及

又，所以.（II）

=.当所以

34．【解析】（1）由，，由已知得=．

化简得曲线C的方程：．

（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，的方程是．

曲线C在Q处的切线的方程是，它与轴的交点为

由于，因此．

①当时，存在，使得．即与直线平行，故当时不符合题意．

②时，所以与直线一定相交．

分别联立方程组，解得的横坐标分别是，则

又，有，又，于是=，对任意，要使为常数，即只需满足，解得，此时，故存在，使得与的面积之比是常数2．

35．【解析】（1）（方法一）由题设知，则

所以

故所求的两条对角线的长分别为、。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；

（2）由题设知：=(－2,－1)，．

由()·=0，得：，从而所以．

或者：，．

第三篇：理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之13平面向量的概念与运算

专题五

平面向量

第十三讲

平面向量的概念与运算

2019年

1.（2019全国Ⅱ理3）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．-3

B．-2

C．2

D．3

2.（2019全国Ⅲ理13）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)在中，为边上的中线，为的中点，则

A．

B．

C．

D．

2．(2018北京)设，均为单位向量，则“”是“⊥”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量，满足，则

A．4

B．3

C．2

D．0

4．（2017北京）设,为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（2016年山东）已知非零向量满足，．若，则实数t的值为

A．4

B．–4

C．

D．–

6．（2016年天津）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为

A．

B．

C．

D．

7．（2016年全国II）已知向量，且，则=

A．

B．

C．6

D．8

8．（2016年全国III）已知向量,则=

A．

B．

C．

D．

9．(2015重庆)若非零向量，满足，且，则与的夹角为

A．

B．

C．

D．

10．（2015陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是

A．

B．

C．

D．

11．（2015安徽）是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．

12．（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则

A．

B．

C．

D．

13．（2014新课标2）设向量,满足，则

A．1

B．2

C．3

D．5

14．(2014山东)已知向量.若向量的夹角为，则实数

A．

B．

C．0

D．

15．（2014安徽）设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为

A．

B．

C．

D．0

16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是

A．

B．

C．

D．

17．（2014浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1

A．若确定，则唯一确定

B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定

D．若确定，则唯一确定

18．（2014重庆）已知向量，,且，则实数

A．

B．

C．

D．

19．（2013福建）在四边形中，则该四边形的面积为

A．

B．

C．5

D．10

20．（2013浙江）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有．则

A．

B．

C．

D．

21．（2013辽宁）已知点，则与向量同方向的单位向量为

A．

B．

C．

D．

22．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为

A．

B．

C．

D．

23．（2013湖南）已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为

A．

B．

C．

D．

24．（2013重庆）在平面上，,．若，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

25．（2013广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：

①给定向量，总存在向量，使；

②给定向量和，总存在实数和，使；

③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；

上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

26．（2012陕西）设向量=（1,）与=（1,2）垂直，则等于

A．

B．

C．0

D．－1

27．（2012浙江）设，是两个非零向量

A．若，则

B．若，则

C．若，则存在实数，使得

D．若存在实数，使得，则

28．（2011广东）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）．若为实数，则=

A．

B．

C．1

D．2

29．（2011辽宁）已知向量，，则

A．

B．

C．6

D．12

30．（2010辽宁）平面上，三点不共线，设，则△的面积等于

A．

B．

C．

D．

31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是

A．若与共线，则

B．

C．对任意的，有

D．

二、填空题

32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量，．若，则=

．

33．(2017新课标Ⅰ)已知向量，的夹角为60°，，则=

．

34．(2017浙江)已知向量,满足，则的最小值是，最大值是

．

35．(2017山东)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是

．

36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则=

．

37．(2016全国I)设向量，且，则=

.38．(2015江苏)已知向量，若（R），则的值为___．

39．（2015湖北）已知向量，则

．

40．(2015新课标Ⅰ)设向量不平行，向量与平行，则实数=

___．

41．（2015浙江）已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则____，_____，_____．

42．（2014新课标Ⅰ）已知，是圆上的三点，若，则与的夹角为

．

43．(2014山东)在中，已知，当时，的面积为

．

44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个

和3个排列而成．记，表示所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．

①有5个不同的值．

②若则与无关．

③若则与无关．

④若，则．

⑤若，则与的夹角为．

45．(2014北京)已知向量、满足，且()，则__．

46．（2014陕西）设，向量，若，则

_______．

47．（2014四川）平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________．

48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为，若，则_____．

49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形的边长为,为的中点,则

．

50．（2013山东）已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．

51．（2013浙江）设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最大值等于________．

52．（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD

=

1，E为CD的中点．若，则AB的长为

．

53．（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若

(λ，μ∈R)，则=

．

54．（2013北京）已知向量，夹角为，且，则

．

55．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则

（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________；

（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________。

56．（2012安徽）若平面向量，满足：；则的最小值是．

57．（2011浙江）若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是

．

58．（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，，若，则的值为

．

59．（2011新课标）已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量+与向量-垂直，则=_____________．

60．（2011安徽）已知向量满足，且，则与的夹角为

.61．（2010陕西）已知向量=（2，1），=（1，m），=（1,2），若（+）∥，则=

．

三、解答题

62．（2017江苏）已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

第四篇：文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算—后附解析答案

专题五

平面向量

第十三讲

平面向量的概念与运算

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)在中，为边上的中线，为的中点，则

A．

B．

C．

D．

2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量，满足，则

A．4

B．3

C．2

D．0

3．(2018天津)在如图的平面图形中，已知，，，则的值为

A．

B．

C．

D．0

4．（2017新课标Ⅱ）设非零向量，满足则

A．

B．

C．

D．

5．（2017北京）设,为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

6．（2016年天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为

A．

B．

C．

D．

7．（2016全国III卷）已知向量,则

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

8．(2015重庆)已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A．

B．

C．

D．

9．（2015陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是

A．

B．

C．

D．

10．（2015新课标2）向量，则

A．

B．

C．

D．

11．（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则

A．

B．

C．

D．

12．（2014新课标2）设向量,满足，则

A．1

B．2

C．3

D．5

13．(2014山东)

已知向量.若向量的夹角为，则实数

A．

B．

C．0

D．

14．（2014安徽）设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为

A．

B．

C．

D．0

15．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是

A．

B．

C．

D．

16．（2014浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1

A．若确定，则唯一确定

B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定

D．若确定，则唯一确定

17．(2014重庆)已知向量，,且,则实数

A．

B．

C．

D．

18．（2013福建）在四边形中，,则该四边形的面积为

A．

B．

C．5

D．10

19．（2013浙江）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有．则

A．

B．

C．

D．

20．（2013辽宁）已知点，则与向量同方向的单位向量为

A．

B．

C．

D．

21．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为

A．

B．

C．

D．

22．（2013湖南）已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为

A．

B．

C．

D．

23．（2013重庆）在平面上，,.若，则的取值范围是

A、B、C、D、24．（2013广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：

①给定向量，总存在向量，使；

②给定向量和，总存在实数和，使；

③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；

上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

25．（2012陕西）设向量=（1,）与=（1,2）垂直，则等于

A．

B．

C．0

D．－1

26．（2012浙江）设，是两个非零向量

A．若，则

B．若，则

C．若，则存在实数，使得

D．若存在实数，使得，则

27．（2011广东）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）．若为实数，则=

A．

B．

C．1

D．2

28．（2011辽宁）已知向量，，则

A．

B．

C．6

D．12

29．（2010辽宁）平面上，三点不共线，设，则△的面积等于

A．

B．

C．

D．

30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是

A．若与共线，则

B．

C．对任意的，有

D．

二、填空题

31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量，．若，则_．

32．(2018北京)设向量，若，则=_______．

33．（2017新课标Ⅰ）已知向量，．若向量与垂直，则=__．

34．（2017新课标Ⅲ）已知向量，且，则=

．

35．（2017天津）在△ABC中，AB=3，AC=2．若，（），且，则的值为

．

36．（2017山东）已知向量，若a∥b，则

．

37．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为。若=+（，），则=

．

38．（2016年全国I卷高考）设向量，且，则=

．

39．（2016年全国II卷高考）已知向量，且a∥b，则m=____．

40．（2015江苏）已知向量，若（R），则的值为___．

41．（2015湖北）已知向量，则

．

42．(2015新课标1)设向量不平行，向量与平行，则实数=

____．

43．(2015浙江)已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则

．

44．（2014新课标1）已知，是圆上的三点，若，则与的夹角为

．

45．(2014山东)在中,已知,当时,的面积为

．

46．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个

和3个排列而成．记，表示所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．

①有5个不同的值．

②若则与无关．

③若则与无关．

④若，则．

⑤若，则与的夹角为．

47．(2014北京)已知向量、满足，且()，则_．

48．（2014陕西）设，向量，若，则

_______．

49．（2014四川）平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________．

50．（2013新课标1）已知两个单位向量，的夹角为，若，则_____．

51．(2013新课标2)已知正方形的边长为，为的中点，则__．

52．（2013山东）已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．

53．（2013浙江）设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最大值等于________．

54．（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD

=

1，E为CD的中点．

若，则AB的长为

．

55．（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若

(λ，μ∈R)，则=

．

56．（2013北京）已知向量，夹角为，且，则

．

57．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则

（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________；

（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________．

58．（2012安徽）若平面向量，满足：；则的最小值是．

59．（2011浙江）若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是

．

60．（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，，若，则的值为

．

61．（2011新课标）已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量+与向量-垂直，则=_____________．

62．（2011安徽）已知向量满足，且，则与的夹角为

．

63．（2010陕西）已知向量=（2，–1），=（–1，m），=（–1,2），若（+）∥，则=

．

专题五

平面向量

第十三讲

平面向量的概念与运算

答案部分

1．A【解析】通解

如图所示，．故选A．

优解

．故选A．

2．B【解析】，故选B．

3．C【解析】由，可知，∴．

由，可知，∴，故，连接，则，且，∴，∴

．故选C．

4．A【解析】由两边平方得，即，则，故选A．

5．A【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是．因为，则由可知的方向相反，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．

6．B【解析】设，∴，，∴，故选B.7．A【解析】由题意得，所以，故选A．

8．C【解析】由题意，得，即，所以，所以，故选C．

9．B【解析】对于A选项，设向量、的夹角为，∵，∴A选项正确；对于B选项，∵当向量、反向时，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出，故D选项正确，综上选B．

10．C【解析】由题意可得，所以．故选C．

11．A【解析】．

12．A【解析】由

①，②，①②得．

13．B【解析】由题意得，两边平方化简得，解得，经检验符合题意．

14．B【解析】设，若的表达式中有0个，则，记为，若的表达式中有2个，则，记为，若的表达式中有4个，则，记为，又，所以，，∴，故，设的夹角为，则，即，又，所以．

15．B【解析】对于A，C，D，都有∥，所以只有B成立．

16．B【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最小值为，即，则知若确定，则唯一确定．

17．C【解析】∵，所以=．解得，选C

18．C【解析】因为，所以，所以四边形的面积为，故选C．

19．D【解析】由题意，设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，，于是恒成立，相当于恒成立，整理得恒成立，只需

即可，于是，因此我们得到，即是的中点，故△是等腰三角形，所以．

20．A【解析】，所以，这样同方向的单位向量

是．

21．A【解析】=（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为

22．C【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设，代入得，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．

23．D【解析】因为⊥，所以可以A为原点，分别以，所在直线为

x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，则＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．

由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜.所以＜x2＋y2≤2，即.所以||的取值范围是，故选D．

24．B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.25．C【解析】正确的是C．

26．C【解析】，则，所以不垂直，A不正确，同理B也不正确；，则，所以共线，故存在实数，使得，C正确；若，则，此时，所以D不正确．

27．B【解析】，由∥，得，解得

28．D【解析】∵，由，得，∴，解得．

29．C【解析】三角形的面积S=，而

30．B【解析】若与共线，则有，故A正确；

因为，而，所以有，故选项B错误，故选B．

31．【解析】，因为，且，32．【解析】依题意=，根据向量垂直的充要条件可得，所以．

所以，即．

33．7【解析】∵，∴

所以，解得．

34．2【解析】由题意，所以，即．

35．【解析】，,则，．

36．【解析】由可得

37．3【解析】由可得，由=+

得，即

两式相加得，所以

所以．

38．【解析】因为，所以，解得．

39．【解析】由题意，所以．

40．－3【解析】由题意得：

41．9【解析】因为，所以．

42．1【解析】由题意，所以，解得．

43．【解析】由题可知，不妨，设，则，所以，所以．

44．【解析】由，得为的中点，故为圆的直径，所以与的夹角为．

45．【解析】∵，∴由，得，故的面积为．

46．②④【解析】S有下列三种情况：，∵，∴，若，则，与无关，②正确；

若，则，与有关，③错误；

若，则，④正确；

若，则

∴，∴，⑤错误．

47．【解析】∵，∴可令，∵，∴，即，解得得．

48．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．

49．2【解析1】

因为，所以，又，所以

即．

【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又，故

50．2【解析】=====0，解得=.51．2【解析】在正方形中，，所以．

52．【解析】向量与的夹角为，且所以.由得，即,所以,即，解得．

53．【解析】，所以的最大值为2．

54．【解析】因为E为CD的中点，所以．，因为，所以，即，所以，解得．

55．4【解析】如图建立坐标系，则，由，可得，∴

56．【解析】

57．（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由，得.设与同向的单位向量为，则且，解得故.即与同向的单位向量的坐标为．

（Ⅱ）由，得.设向量与向量的夹角为，则．

58．【解析】

．

59．【解析】如图，向量与在单位圆内，因||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为边的三角形的面积为，故的终点在如图的线段上（∥，且圆心到的距离为），因此夹角的取值范围为．

60．【解析】由题意知，即，即，化简可求得．

61．1【解析】向量+与向量-垂直，∴，化简得，易知，故．

62．【解析】设与的夹角为，由题意有，所以，因此，所以．

63．－1【解析】，由，得，所以=－1．

第五篇：【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章平面解析几何9.1

第九章平面解析几何 第1讲 直线的方程

1.在下列关于斜率与倾斜角的说法中正确的是()

A.一条直线与x轴正方向所成的正角叫做这条直线的倾斜角 B.倾斜角是第一或第二象限的角 C.每一条直线都有斜率

D.斜率为零的直线平行于x轴或重合于x轴

【答案】D 2.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等,则a,b,c满足的条件是()A.a=b B.|a|=|b| C.c=0或a=b D.c=0且a=b 【答案】C 【解析】由-=-得C正确.3.过A(1,1),B(0,-1)两点的直线方程是()A.=x B.C.D.y=x 【答案】A 【解析】所求直线方程为,即=x.故选A.4.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m的值为()A.1 C.-B.2 D.2或-【答案】D 【解析】∵直线在x轴上有截距,∴2m2+m-3≠0, 当2m2+m-3≠0时, 在x轴上的截距为=1,即2m2-3m-2=0, 解得m=2或m=-.5.已知点A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),若点M(a,b)(a≠0)是线段AB上的一点,则直线CM的斜率的取值范围是()A.B.[1,+∞)C.∪[1,+∞)D.【答案】C 【解析】因kAC==1,kBC==-,且点A,B在y轴两侧.故选C.6.经过点A(-2,2)并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是()A.x+2y-2=0或x+2y+2=0 B.x+2y+2=0或2x+y+2=0 C.2x+y-2=0或x+2y+2=0 D.2x+y+2=0或x+2y-2=0 【答案】D 【解析】设直线在x轴、y轴上的截距分别是a,b,则有S=|a²b|=1,即ab=±2.设直线的方程是=1, ∵直线过点(-2,2),代入直线方程得=1,即b=,∴ab==±2,解得

故直线方程是=1或=1,即2x+y+2=0或x+2y-2=0.7.有一直线x+a2y-a=0(a>0,a是常数),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,a的值是()

A.1 B.2 C.D.0 【答案】A 【解析】直线方程可化为=1,因为a>0,所以截距之和t=a+≥2,当且仅当a=,即a=1时取等号.8.直线2x+3y+a=0与两坐标轴围成的三角形的面积为12,则a的值为

.【答案】 ±12

【解析】令x=0得y=-;令y=0得x=-.∴直线与x轴、y轴的交点分别为A,B.∴S△AOB=²²=12.∴a2=12³12.∴a=±12.9.已知A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上移动,则xy的最大值等于

.【答案】3 【解析】 AB所在直线的方程为=1, ∴².∴xy≤3,当且仅当时取等号.10.(2013届²福建三明检测)将直线l1:x-y-3=0,绕它上面一定点(3,0)沿逆时针方向旋转15°得直线l2,则l2的方程为

.【答案】x-y-3=0 【解析】已知直线的倾斜角是45°,旋转后直线的倾斜角增加了15°,由此即得所求直线的倾斜角,进而求出斜率和直线方程.直线l2的倾斜角为60°,斜率为,故其方程为y-0=(x-3),即x-y-3=0.如图.11.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,且过定点A(-3,4),求直线l的方程.【解】设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴、y轴上的截距分别是--3,3k+4, 由已知,得=6, 解得k1=-,k2=-.所以直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.12.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:(1)顶点C的坐标;(2)直线MN的方程.【解】(1)设C(x0,y0),则AC中点M, BC中点N.∵M在y轴上, ∴=0,x0=-5.∵N在x轴上, ∴=0,y0=-3.即C(-5,-3).(2)∵M,N(1,0), ∴直线MN的方程为=1, 即5x-2y-5=0.13.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.【解】(1)令x=0,得y=a-2.令y=0,得x=(a≠-1).∵直线l在两坐标轴上的截距相等, ∴a-2=.解之,得a=2或a=0.∴所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2.∵直线l不过第二象限, ∴

∴a≤-1.∴a的取值范围为(-∞,-1].拓展延伸

14.已知直线l:kx-y+1+2k=0.(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求此时直线l的方程.【解】(1)证明:由已知得k(x+2)+(1-y)=0, ∴无论k取何值,直线过定点(-2,1).(2)令y=0得A点坐标为，令x=0得B点坐标为(0,2k+1)(k>0), ∴S△AOB=|2k+1| =(2k+1)= ≥(4+4)=4, 当且仅当4k=,即k=时取等号, 即△AOB的面积的最小值为4,此时直线l的方程为x-y+1+1=0,即x-2y+4=0.