05-06-1线代(B类)及答案

第一篇：05-06-1线代(B类)及答案

线 性 代 数(B)试 卷----A卷

一、单项选择题（每题3分，共15分）

2，，s(s2)线性无关，2，，s线性表示，1.向量组1，且可由向量组1，则以下结论中不能成立的是

2，，s线性无关；(A)向量组1，2，，s线性相关；(B)对任一个j(0js)，向量组j，2，，s线性无关；(C)存在一个j(0js)，向量组j，2，，s与向量组1，2，，s等价。(D)向量组1，a



2.设三阶矩阵Ab

b

bab

b

b，已知伴随矩阵A的秩为1，则必有a

(A)ab且a2b0；(B)ab且a2b0；(C)a＝b或a2b0；(D)ab或a2b0。3.设是n维非零实列向量,矩阵AET,n3，则___________

(A)A至少有n－1个特征值为1；(B)A只有1个特征值为1；

(C)A恰有n1个特征值为1；(D)A没有1个特征值为1。4.设A,B为n阶方阵，且r(A)r(B)，则______________

(A)r(AB)0；(B)r(AB)2r(A)；(C)r(A，B)2r(A)；(D)r(A，B)r(A)r(B)。5.设A为mn实矩阵，r(A)n，则

(A)ATA 必合同于n阶单位矩阵；(B)AAT 必等价于m阶单位矩阵；

(C)ATA 必相似于n阶单位矩阵；(D)AAT 是m阶单位矩阵。

二、填空题（每题3分，共15分）

1．已知A，B为n阶方阵，1不是B的特征值，且ABABE，则A1

(A卷)

2.若三阶方阵A有特征值 1,1,2，则行列式A12A。3．已知实二次型f(x1,x2,x3)x124x222x322ax1x22x2x3正定,则常数a的取值范围为________________。

2，，n是A的列向量组，行列式|A|0，其伴随 4.已知A为n阶方阵，1，矩阵A0，则齐次线性方程组Ax0的通解为。5.设A为n阶实矩阵，且ATA1，|A|0，则行列式 |AE|。

三、计算题(每题9分,共54分)

x1x22x30



1．线性方程组为 2x1x2ax31，问a,b各取何值时，线性方程组无解，3x2x4xb

231

有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。

2．设3阶方阵A，B，C满足方程 C(2AB)A，试求矩阵A，其中

1

B0

0

210

OB

312，C0

01

AO

210

4



2。1

|B|3．计算行列式|A|，其中

nx1

n0，B

n0

n0

0200



00n10

0

0 0n

11A

1

1x

222x2



n1(n1)x

n1n1

4.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x32x3x1，求正交变换xQy, 化f(x1,x2,x3)为标准形，并写出正交变换xQy

TT

1，0),2(1，0，1),是 5.已知A为三阶实对称矩阵，秩r(A)2,1(0，A

对应特征值123的特征向量，试求：

（1）A的另一个特征值3及其特征向量3；（2）矩阵A，矩阵An。

6.设R3的两个基1

11，0

21，1

212；10，20

11

1，3101

（1）求由基 1,2,3到1,2,3的过渡矩阵P；

（2）已知向量123，求向量在基 1,2,3 下的坐标；(3)求在基1,2,3和1,2,3下有相同坐标的所有向量。

四、证明题(每题8分,共16分)

1．设A为mn矩阵，证明：存在ns非零矩阵B，使ABO的充分必要

条件为秩r(A)n。

2.设A，B是n阶实矩阵,A的特征值互异。证明:矩阵ABBA的充分必要条件为A的特征向量都是B的特征向量。

线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案

一、选择题

1.(B)2.(B)3.(C)4.(D)5.(A)

二、填空题

1.(BE)(BE)1；2.n1

1252

；3.|a|

7/2；

4.k

i

i1

ji

2，，，ji，i1，2，，n－1是1，n的极大线性无关组；

5.|AE|0

三、计算题

1

A1.2

3

112

2a4

0110

0b

24a2a

0

1 b1

当a2时，方程组有唯一解

当a2，b1时，方程组无解

当a2，b1时，r(A)r(A)＝2 < 3，方程组有无穷多组解,其通解为

(1,1,0)Tk(0,2,1)T，k为任意常数。

2.(2CE)ACB，A(2CE)1(CB)

1

A0

0

410

841

1

1

00

010

3100

10

410

11

41

n(n1)

3.|A|(1)

OB

AO

（n(n1)

n(n1)

x)x

n1，|B|n!，(1)

n

（n(n1)2

x)n!x

n1。

0



4.f的矩阵A1

1

101

1

1，有特征值 121,320

A对应的线性无关的特征向量与单位正交特征向量

111111

111

20，111，31；2 31，1，1

263101021111

xyyy3

121

263

111

y1y2y3于是正交变换xQy即x2263

21

x3y2y363

化二次型为标准形fy12y222y32。

5．（1）因为r(A)2,|A|0，所以30；设A0，由与1，2正交，得 ＝k(1,0,1)T（2）设P(1,2,3)，则

3

AP0

0

030

03110P0

203

060

3

03

An

3n

P0

0

03

n

3n0

11

0P0

2n

03

0230

n

n

3

0n3。

6.(1)设 A(1,2,3),B(1,2,3),(1,2,3)(1,2,3)P

0

PA1B1

1/2

0

01/2

(2)1233，坐标 x(1,1,3)T（3）设(1,2,3)x(1,2,3)x

0

则((1,2,3)(1,2,3))x1

0

1

1x0 1

解得x(1,1,1)T，故123k(1,0,1)T。

四、证明题

2，s都是线性方程组Ax0的解。故（1，2，，s）1．设B，则j,j1，ABO

方程组Ax0有非零解r(A)n。

2．必要性： 设A，则当B0时，由A(B)B(A)(B)，知,B都是A对应特征值的特征向量，是A的一重特征值，,B线性相关。因此，存在常数，使B，是B的对应特征值的特征向量。

当B0时，是对应B的特征值0的特征向量。故A的特征向量都是B的特征向量。

充分性：A的特征值互异，相似于对角阵，即存在可逆阵P(1,2,,n)，1

AP使



1

P。n



1

P。n



1



A的特征向量都是B的特征向量，故BP





因为

1

ABP

11

BAP



11PP

n



11

1PP

n





1

P，nn





1

P，

所以ABBA。

nn

第二篇：线代知识点总结

《线性代数》复习知识点和考题分析

一． 行列式的计算

1.方阵的行列式；2.如何判断行列式是否等于0

二． 矩阵及其运算

1.判断方阵是否可逆，并会求逆矩阵；2.解矩阵方程或求矩阵中的参数；3.求矩阵的 n次幂；4.初等矩阵与初等变换的关系的判定；5.矩阵关系的判定 三． 向量组

1.向量组线性相关性的判定或证明；2.根据向量的线性相关性判断空间位置关

系或逆问题；3向量由向量组线性表示；4.向量组的秩和极大无关组 四． 方程组的解

1.一般方程组求解问题；2.向量组的线性表示、线性相关、线性无关问题；3.与方程组有关的问题

五． 特征值及对角化

1.求矩阵的特征值或特征向量；2.已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征

方程的情况，求参数；3.已知矩阵的特征值或特征向量，求矩阵、其他矩阵的特征值等问题；4.将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化；5.矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵

六． 二次型

1.化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换；2.已知一含参数的二次型化

为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵；3.已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式；4.矩阵关系合同的判定或证明；5.矩阵正定的证明

第三篇：线代试题库知识点

题型
A 行列式

章

知识点
a 行列式的性质(K)b 余子式、代数余子式与展开法则(K)c 低阶数字行列式的计算(K)d Cramer 法则(K)e 高阶行列式的计算(J)a 矩阵的基本运算(包括向量的线性运算)(K)b 矩阵运算的性质(包括杂题)(X)c 抽象矩阵的行列式(K)d 数字矩阵的逆(K)e 可逆性、正交性等问题的判断与证明(K, X, Z)f 矩阵的秩与矩阵的等价(X, K, Z)g 解矩阵方程(包括行最简形)(J)h 初等方阵与初等变换的关系(X)a 向量组的线性相关性(K, X, Z)b 向量组的秩与最大无关组(X, J)c 线性表示与向量组的等价(X, Z, J)d 过渡矩阵与向量的坐标(K)a 线性方程组解的性质与通解结构(X, K)b 线性方程组解的判别定理(X)c 齐次线性方程组的基础解系(X, K)d 不带参数的线性方程组的解(J)e 带参数的线性方程组的解(J)f 两个线性方程组的公共解(J)g 线性方程组的几何意义(X)a 特征值、特征向量的定义与基本性质(包括对称阵)(X)b 特征值与矩阵的关系、各种运算下特征值间的关系(K)c 抽象矩阵的特征值与特征向量(K)d 矩阵的相似与合同(X)e 矩阵的相似对角化(J)f 对称矩阵的正交相似对角化(正交变换法化二次型为标准形)(J)g 由矩阵的特征值及特征向量反求矩阵(J)a 二次型及其矩阵(K)b 二次型的秩(K)c 二次型的标准形与规范形(K)d 二次型的正定性(K, Z)

K 填空题

B 矩阵的运算 与矩阵的秩

X 选择题

C 向量组

D 线性方程组

J 计算题

E 特征值与特征向量 矩阵的相似对角化

Z 证明题

F 二次型

注：绿色部分表示暂未激活

第四篇：线代复习要点

线性代数期末复习要点

1.行列式及矩阵运算(乘法、转置、伴随)的基本性质；

2.可逆矩阵(含初等矩阵)的性质及其逆矩阵的求法；

3.矩阵的秩及其分块的性质与计算；

4.向量组的线性关系和向量组的秩；

5.一般线性方程组的求解(含判定定理及结构定理)；

6.向量空间的内积的性质及其标准正交基的求法(施密特正交化方法)；

7.正交矩阵的性质；

8.方阵的特征值与特征向量的性质及其求法；

9.矩阵的相似与对角化问题；

10.矩阵的合同与对角形问题；

11.实对称矩阵(实二次型)的标准形的求法(配方法、合同变换法、正交变换法)；

12.正定矩阵(正定二次型)的性质及判定.-----戴跃进

第五篇：考研数学线代

考研数学常见的十种题型列出如下：

一、运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。

二、运用导数求最值、极值或证明不等式。

三、微积分中值定理的运用，证明一个关于“存在一个点，使得……成立”的命题或者证明不等式。

四、重积分的计算，包括二重积分和三重积分的计算及其应用。

五、曲线积分和曲面积分的计算。

六、幂级数问题，计算幂级数的和函数，将一个已知函数用间接法展开为幂级数。

七、常微分方程问题。可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及幂级数解法。

八、解线性方程组，求线性方程组的待定常数等。

九、矩阵的相似对角化，求矩阵的特征值，特征向量，相似矩阵等。

十、概率论与数理统计。求概率分布或随机变量的分布密度及一些数字特征，参数的点估计和区间估计。

此外还需提醒考生，到考前一周，考研数学，这个时候就只能在考场上看看题型，总结失利原因了。若因晚上熬夜影响考试是最得不偿失的事情，而在考前一周能预防的就是此事的发生了。即使开了夜车而在考场也没有睡着，但头脑不清楚，对数学的考试依然是非常不利的，因为数学计算与证明思路最需要清醒和快速的反应。

对于考数学的考生来说，数学的150分是很重要的，下面是一些考研数学的常识，希望对大家有帮助。

2015考研数学常识：卷种及考试内容

考研数学从卷种上来看分为数学

一、数学

二、数学三;从考试内容上来看，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计;试卷结构上来看，设有三种题型：选择题(8道共32分)、填空题(6道共24分)、解答题(9道共94分)，其中数一与数三在题目类型的分布上是一致的，1-

4、9-

12、15-19属于高等数学的题目，5-6、13、20-21属于线性代数的题目，7-8、14、22-23属于概率论与数理统计的题目;而数学二不同，1-

6、9-

13、15-21均是高等数学的题目，7-8、14、22-23为线性代数的题目。

一、科目考试区别： 1.线性代数

数学一、二、三均考察线性代数这门学科，而且所占比例均为22%，从历年的考试大纲来看，数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大，唯一不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识，不过通过研究近五年的考试真题，我们发现对数一独有知识点的考察只在09、10年的试卷中出现过，其余年份考查的均是大纲中共同要求的知识点，而且从近两年的真题来看，数

一、数

二、数三中线性代数部分的试题是一样的，没再出现变化的题目，那么也就是说从以往的经验来看，2015年的考研数学中数

一、数

二、数三线性代数部分的题目也不会有太大的差别!2.概率论与数理统计

数学二不考察，数学一与数学三均占22%，从历年的考试大纲来看，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的，比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件，广大的考研学子们都知道大纲中的“了解”与“掌握”是两个不同的概念，因此，建议广大考生在复习概率这门学科的时候一定要对照历年的考试大纲，不要做无用功!3.高等数学

数学一、二、三均考察，而且所占比重最大，数一、三的试卷中所占比例为56%，数二所占比例78%。由于考察的内容比较多，故我们只从大的方向上对数一、二、三做简单的区别。以同济六版教材为例，数一考察的范围是最广的，基本涵盖整个教材(除课本上标有*号的内容);数二不考察向量代数与空间解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及无穷级数;数三不考察向量空间与解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及所有与物理相关的应用。

二、试卷考试内容区别 1.数学一

高等数学：同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的欧拉方程，伯努利方程外，其余带*号的都不考；所有“近似”的问题都不考；第四章不定积分不考积分表的使用；第九章第五节不考方程组的情形；第十二章第五节不考欧拉公式； 线性代数：数学一用的教材是同济五版线性代数1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。其中向量组的线性相关性中数一考向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合数一也要考；

概率与数理统计：

1、概率论的基本概念

2、随机变量及其分布

3、多维随机变量及其分布

4、随机变量的数字特征

5、大数定律及中心极限定理

6、样本及抽样分布

7、参数估计

8、假设检验 2.数学二

高等数学：同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的伯努利方程外，其余带*号的都不考；所有“近似”的问题都不考；第四章不定积分不考积分表的使用；不考第八章空间解析几何与向量代数；第九章第五节不考方程组的情形；到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了。

线性代数：数学二用的教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。概率与数理统计：不考。3.数学三

高等数学：同济六版高等数学中所有带*号的都不考；所有“近似”的问题都不考；第三章微分中值定理与导数的应用不考曲率；第四章不定积分不考积分表的使用；不考第六章定积分在物理学上的应用以及曲线的弧长。第七章微分方程不考可降阶的高阶微分方程，另外补充差分方程。不考第八章空间解析几何与向量代数。第九章第五节不考方程组的情形，第十章二重积分为止，第十二章的级数中不考傅里叶级数；

线性代数：数学一用的参考教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题；

概率与数理统计的内容包括：

1、概率论的基本概念

2、随机变量及其分布

3、多维随机变量及其分布

4、随机变量的数字特征

5、大数定律及中心极限定理

6、样本及抽样分布

7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。

广大的考研学子们，考研数学要想取得高分并不难，但是想要考得满分也不容易，在这里老师提醒大家，在考研数学复习的初期一定要有一个考研数学考试大纲，14、13、12年的都可以，因为考研数学的大纲这么多年来压根就没变过，唯一变化的是将克莱姆法则改成了克莱默法则。建议大家认真研读考试大纲要求，弄明白自己考试什么不考什么，做到有的放矢!最后，预祝2015的考生复习顺利!最后，沪江考研祝全体考生取得好成绩。

2015考研数学线代冲刺注意历年考点

考研数学冲刺阶段，把真题吃透，通过对历年真题题型、机构、安排，可以熟悉各位出题老师的出题意向、重点，融汇贯通对于后期大幅提高复习效果明显。下面为同学们总结了历年真题中线性代数各章节易考点，可以帮助大家在复习中查漏补缺。

第一章行列式，这一块唯一的重点是行列式的计算，主要有数值型和抽象型两类行列式的计算，06、08、10、12年的真题中均有抽象行列式的计算问题，而且均是以填空题的形式出现的，个别的还出现在了大题的第一问中。

第二章矩阵，重点在矩阵的秩、逆、伴随、初等变换以及初等矩阵、分块矩阵。这一章概念和运算较多，考点也较多，而且考点以填空和选择为主，当然也会结合其他章节的知识考大题。06、09、11、12年均考了一个小题是有关初等变换与矩阵乘法之间的关系，10年考了一个小题关于矩阵的秩，08年考了一道抽象矩阵求逆的问题。

第三章向量，可以分为三个重点，第一个是向量组的线性表示，第二个是向量组的线性相关性，第三个是向量组的秩及极大线性无关组。这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题。

第四章线性方程组，有三个重点。第一个是线性方程组解的判定问题，第二个是解的性质问题，第三个是解的结构问题。06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题。

第五章矩阵的特征值与特征向量，也是分三个重点。第一个是特征值与特征向量的定义、性质以及求法。第二个为矩阵的相似对角化问题，第三是实对称矩阵的性质以及正交相似对角化的问题。实对称矩阵的性质与正交相似对角化问题可以说每年必考，12年、11年、10年09年都考了。

第六章二次型有两个重点。第一个是化二次型为标准形，同学们必须掌握两种方法，第一个是配方法，第二个是正交变换法。第二个重点是正定二次型的判定。11年考的一个小题，用通过正交变换法将二次型化为标准形，12年、11年、10年均以大题的形式出现，但主要用的是正交变换化二次型为标准形。