概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结：一、集合与简易逻辑

第一篇：概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结：一、集合与简易逻辑

概念、方法、题型、易误点及应试技巧

例

9、已知函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间[1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围。（答：(3,)）

3考点7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。例10在下列说法中： ⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；

⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件； ⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：⑴⑶）

考点8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。例

11、“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为； C90，则A,B不都是锐角）

例

12、命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p是（）A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等腰三角形

C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形

解析：像这种存在性命题的否定命题也有其规律：命题p：“存在xA使P（x）成立”，┐p为：“对任意，它恰与全称性命题的否定命题相反，故的答案为C。xA，有P(x)不成立”

例

13、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个不小于1。证明：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾, ∴ 假设不成立∴ x、y中至少有一个不小于

1[注]反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。

考点9.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若AB，则A是B的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。

例14给出下列命题：①实数a0是直线ax2y1与2ax2y3平行的充要条件；②若“若xy0，则x0或y0”的a,bR,ab0是abab成立的充要条件；③已知x,yR，

（答：在ABC中，若

逆否命题是“若x0或y0则xy0”；④“若a和b都是偶数，则ab是偶数”的否命题是假命题。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；

例15设命题p：|4x3|1；命题q:x2(2a1)xa(a1)0。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是（答：[0,]）

考点10.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若

a0,则x

ba

；若a0,则x

ba

；若a0,则当b0时，xR；当b0时，x。

例16已知关于x的不等式(ab)x(2a3b)0的解集为(,)，则关于x的不等式

(a3b)x(b2a)0的解集为_______（答：{x|x3}）

考点11.一元二次不等式的解集（联系图象）。设a0,x1,x2是方程ax2bxc0的两实根，且x1x2，例17解关于x的不等式：ax(a1)x10。（答：当a0时，x1；当a0时，x1或x当a1时，1a

x1）

1a

；当0a1时，1x

1a

；当a1时，x；

考点12.对于方程ax2bxc0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若a0，则一定有b24ac0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，注意同样的情形。

例

18、a2x2a2x10对一切xR恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；

例19若在[0,

]内有两个不等的实根满足等式cos2x

2xk1，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）

考点13.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系。二次方程ax2bxc0的两个根即为二次不等式22

axbxc0(0)的解集的端点值，也是二次函数yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。例20

ax

例21若关于x的不等式axbxc0的解集为(,m)(n,)，其中mn0，则关于x的不等

32的解集是(4,b)，则a=__________（答：

18）；

式cxbxa0的解集为________（答：(,

例23不等式3x2bx10对x[1,2]恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：）。

1m)(

1n,)）；

第二篇：集合与简易逻辑【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

集合与简易逻辑

一．集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={ab|aP,bQ}，若P{0,2,5}，Q{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。

（答：8）

（2）设U{(x,y)|xR,yR}，A{(x,y)|2xym0}，B{(x,y)|xyn0}，那么点P(2,3)A(CuB)的充要条件是________

（答：m1,n5）；

（3）非空集合S{1,2,3,4,5}，且满足“若aS，则6aS”，这样的S共有_____个

（答：7）

二．遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样当AB时，你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合A{x|ax10}，Bx|x23x20，且ABB，则实数a＝___.1（答：a0,1,）

2三．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

2n1，为2n，2n1，2n2.如

满足{1,2}M{1,2,3,4,5}集合M有______个。

（答：7）

四．集合的运算性质：

⑴ABABA；

⑵ABBBA；

⑶AB痧uAuB；

⑷A痧uBuAB；

⑸ðuABUAB；

⑹CU(AB)CUACUB；

⑺CU(AB)CUACUB.如：设全集U{1,2,3,4,5}，若AB{2}，(CUA)B{4}，(CUA)(CUB){1,5}，则A＝_____，B＝___.（答：A{2,3}，B{2,4}）

五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：x|ylgx—函数的定义域；y|ylgx—函数的值域；(x,y)|ylgx—函数图象上的点集，如

（1）

设集合M{x|y，集合N＝y|yx2,xM，则MN___

（答：[4,)）；



（2）设集合M{a|a(1,2)(3,4),R，N{a|a(2,3)(4,5)，R}，则MN_____

（答：{(2,2)}）

六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：

已知函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间[1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围。

（答：(3,)）

七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如： 在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________

（答：⑴⑶）

八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若

﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。提醒：

（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；

（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？ 如：

（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________

（答：在ABC中，若C90，则A,B不都是锐角）； x

2,a1，证明方程f(x)0没有负数根。（2）已知函数f(x)ax

x

1九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若AB，则A是B的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如：（1）给出下列命题：

① 实数a0是直线ax2y1与2ax2y3平行的充要条件； ② 若a,bR,ab0是abab成立的充要条件；

③ 已知x,yR，“若xy0，则x0或y0”的逆否命题是“若x0或y0则xy0”；

④“若a和b都是偶数，则ab是偶数”的否命题是假命题。

其中正确命题的序号是_______

（答：①④）；

（2）设命题p：|4x3|1；命题q:x2(2a1)xa(a1)0。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

（答：[0,]）

十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的bb

形式，若a0,则x；若a0,则x；若a0,则当b0时，xR；当b0时，x。

aa

如

已知关于x的不等式(ab)x(2a3b)0的解集为(,)，则关于x的不等式

(a3b)x(b2a)0的解集为_______

（答：{x|x3}）

十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？

设a0,x,x是方程ax2bxc0的两实根，且xx，则其解集如下表： 如解关于x的不等式：ax(a1)x10。

（答：当a0时，x1；当a0时，x1或x当a1时，1

11x；；当0a1时，当a1时，x；

aa

x1）a

十二．对于方程ax2bxc0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次

若a0，则一定有b24ac0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ 如：（1）a2x22a2x10对一切xR恒成立，则a的取值范围是_______

（答：(1,2]）；（2）关于x的方程f(x)k有解的条件是什么？(答：kD，其中D为f(x)的值域)，特别



地，若在[0,]内有两个不等的实根满足等式cos2x2xk1，则实数k的范围是

_______.（答：[0,1)）

十三．一元二次方程根的分布理论。方程f(x)ax2bxc0(a0)在(k,)上有两根、在(m,n)上有两根、在(,k)和(k,)上各有一根的充要条件分别是什么？

0f(m)0、f(k)0）。根的分布理论成立的前提是开f(n)0



mbn2a

f(x)0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，再令xn和xm检查端点的情况．

b

2如实系数方程x2ax2b0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值

a

1范围是_________

（答：（，1））

0

（f(k)0、b

k2a

十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax2bxc0的两

个根即为二次不等式ax2bxc0(0)的解集的端点值，也是二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点的横坐标。

如（1）ax的解集是(4,b)，则a=__________

（答：）；

（2）若关于x的不等式ax2bxc0的解集为(,m)(n,)，其中mn0，则关于x的不等式cx2bxa0的解集为________

（答：(,

11)(,)）； mn

（3）不等式3x22bx10对x[1,2]恒成立，则实数b的取值范围是_______

（答：）。