广东省徐闻县梅溪中学2013届中考数学第二轮复习专题 判别式与韦达定理

第一篇：广东省徐闻县梅溪中学2013届中考数学第二轮复习专题 判别式与韦达定理

广东省徐闻县梅溪中学2013届中考数学第二轮复习专题 判别式与韦

达定理

〖知识点〗

一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

22一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

2(1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1x2b，x1x2c aa

(2)如果方程x+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0．

2x-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

22在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax+bx+c=0的两个根是

2x1,x2，那么ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：

2关于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（）

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：

222设x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。

考查题型

21．关于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）22

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

2222．设x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）

（A）2y+5=6y（B）x+5=25 x（C）3 x－2 x+2=0（D）3x－26 x+1=0

4．以方程x＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）

2222（A）y+5y－6=0（B）y+5y＋6=0（C）y－5y＋6=0（D）y－5y－6=0

225．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x1－2x1＝1，x2－2x2＝1，那么x1·x2等于（）

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

226．如果一元二次方程x＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，那么k＝

227．如果关于x的方程2x－(4k+1)x＋2 k－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围

是

228．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）

＝

229．若关于x的方程(m－2)x－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝

二、考点训练：

1、不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x－x=5(2)9x－62 +2=0(3)x－x+2=02、当m=时，方程x+mx+4=0有两个相等的实数根；

2当m=时，方程mx+4x+1=0有两个不相等的实数根；

23、已知关于x的方程10x－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m=，这时方程的另

3一个根是；若两根之和为－，则m=，这时方程的两个根为.54、已知3－2 是方程x+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、求证：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－5 和1+5。

7、设x1,x2是方程2x+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

x2x12(1)(x1+1)(x2+1)（3）x1+ x1x2+2 x1 x1x2

解题指导

221、如果x－2(m+1)x+m+5是一个完全平方式，则m=;

22、方程2x(mx－4)=x－6没有实数根，则最小的整数m=;

3、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m=;

24、设关于x的方程x－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为;

25、设方程4x－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

1222(1)x1+x2(2)x1－x2（3ｘ1 ｘ2＊（4）x1x2＋ x1 2

22＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代数式2222222222222

2ｓｔ＋4ｓ＋1的值。ｔ

122227.已知a是实数，且方程x+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x+2ax+1x－2

2a－1)=0有无实根？

28.求证：不论k为何实数，关于x的式子(x－1)(x－2)－k都可以分解成两个一次因式的积。

29．实数K在什么范围取值时，方程ｋｘ＋2（ｋ－1）ｘ－（K－1）＝0有实数正根？

独立训练

（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；

22(1)2t+3t－4=0,;(2)16x+9=24x,;

2(3)5(u+1)－7u=0,;

222、若方程x－(2m－1)x+m+1=0有实数根，则m的取值范围是;

3、一元二次方程x+px+q=0两个根分别是2+3 和23，则p=,q=;

4、已知方程3x－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;

25、若方程x+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;

22n6、m,n是关于x 的方程x-(2m-1)x+m+1=0的两个实数根，则代数式m=。

27、已知关于x的方程x－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;

28、如果α和β是方程2x+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，11使它的两个根分别等于α+ 和β+;β α

22229、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形

2210.取什么实数时，二次三项式2x－(4k+1)x+2k－1可因式分解.12211.已知关于X的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝ α

1＋，求ｓ的取值范围。β

独立训练

（二）21、已知方程x－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=, αβ=;

222、如果关于x的方程x－4x+m=0与x－x－2m=0有一个根相同，则m的值为;

123、已知方程2x－3x+k=0的两根之差为2，则k=;2

224、若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;

25、方程4x－2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是;

226、若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值

为;

27、已知p<0,q<0，则一元二次方程x+px+q=0的根的情况是;

28、以方程x－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;

29、设x1,x2是方程2x－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

1122(1)x1x2+x1x2(2)－x1x2

2210．m取什么值时，方程2x－(4m+1)x+2m－1=0

（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；

211．设方程x+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。22

x12212．是否存在实数ｋ，使关于ｘ的方程9x－(4ｋ－7)x－6ｋ=0的两个实根x1,x2，满足｜｜ x2

3＝，如果存在，试求出所有满足条件的ｋ的值，如果不存在，请说明理由。2

第二篇：广东省廉江市第三中学2014届高三数学专题复习立体几何欧拉定理与球学案

广东省廉江市第三中学2014届高三数学专题复习立体几何欧拉定理与球

学案

一、知识点：

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体球面的多面体，叫做2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：VF

E2．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令f(p)VFE，f(p)（1）简单多面体的欧拉示性数f(p)2．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f(p)0（3）多面体所有面的内角总和公式：①(EF)360 或②(V2)3600球心，表示它的球心的字母表示，例如球O． 6．球的截面：用一平面去截一个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r

大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做7． 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截

球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的9．两点的球面距离公式： ABR（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得11．球的体积公式：V

4R

312 S4R

2二、练习：n面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－

44．有没有棱数是75．是①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为

． R（R为地球半径），则这两地间的球面距

2练习参考答案：n面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵VFE2，∴FE2V5，即n5．

2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵V8，E8312，∴FE2V6，即n6． 2

3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4 证明：∵E＝3F3，V＋F－E＝2 ∴V＋F－F＝2 ∴F＝2V－4 22

4．有没有棱数是7解：若E＝7，∵V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9，∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4

∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数n1,n2nF也都是奇数，则，结果仍为奇数，可右端是偶数，这n1n2nF2E，但是上式左端是奇数个“奇数相加” ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为．

答案：①一个或无数个②49m③3④2R（R为地球半径），则这两地间的球面距24⑤

39.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．

分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．

解：连结AB．设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则

O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．

∴ O1AOO1BOAOC45．

∴O1A＝O1B＝O1O＝OAcos45＝

22R．

∴ 两点间的纬线的长为：2

22R2

4R．

∵A、B两点的经度相差90°，∴ AO

1B90．

在Rt△AO1B中，AB2AO1R，∴ OAABOB，AOB

3．∴ 两点间的球面距离是：

3R．

16．表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA

14，AC，又∵4R2324，∴R9，∴ACa8，∴S表6423214576．

17．正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积． 分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等． 解：如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H．

由题设AGAE2GE26a． 3

aRR，得R a．123aa62∵ △AOF∽△AEG∴

a2Rrr6，得r∵ △AO1H∽△AOF∴a． R246aR3

∴ V球O1434663raa． 33241728

积相3另法：以O为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体

等法，可以得到ROG11AG

h，h，44111r(h)ha。

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