曲线积分与路径无关的问题之证明

第一篇：曲线积分与路径无关的问题之证明

设平面上的单连通区域G内分别以A和B两点为起点和终点的弧

有连续向量函数F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j，要使该函数的曲线积分与路径无关，就有AFB，AEB和弧AEBPdxQdyAFBPdx,于Qdy是有

即

AEBPdxQdyPdxQdy0,AFBAEBPdxQdyPdxQdy0,实际上弧AEB和弧BFABFA构成了一封闭曲线L，上式等价为

内可以取PdxQdy0L任意大小。，记L围起的区域为D，D在G用格林公式

QP()dxdyPdxQdyLxyD，因为

QPPdxQdy0，得到()dxdy0，又因为LxyD

QPQP0D可以取任意小，于是有，或者xy。这就得到了函数xy

曲面积分与路径无关的条件。

第二篇：曲线积分与格林公式总结

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量

把曲线分成n小段 s1 s2    sn(si也表示弧长)

任取(i  i)si 得第i小段质量的近似值(i  i)si

整个物质曲线的质量近似为M(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn}0 则整个物质曲线的质量为

Mlim(i,i)si

0i1n

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到

定义

设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 在L上任意插入一点列M1 M2    Mn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si 又(i i)为第i个小段上任意取定的一点 作乘积f(i i)si(i1 2   n) 并作和f(i,i)si 如果当各小弧

i1n段的长度的最大值0 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长

n的曲线积分或第一类曲线积分 记作

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds 即Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上 并且有界

将L任意分成n个弧段 s1 s2    sn 并用si表示第i段的弧长

在每一弧段si上任取一点(i i) 作和f(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn} 如果当0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作

nLf(x,y)ds 即

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

曲线积分的存在性 当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分是存在的

以后我们总假定f(x y)在L上是连续的

Lf(x,y)ds

根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分

L(x,y)ds的值 其中(x y)为线密度

对弧长的曲线积分的推广

limf(i,i,i)si

f(x,y,z)ds0i1n

如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定

LL12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds

L1L

2闭曲线积分 如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

Lf(x,y)ds

对弧长的曲线积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds

性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则

Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds

2性质3设在L上f(x y)g(x y) 则

Lf(x,y)dsLg(x,y)ds

Lf(x,y)ds|L|f(x,y)|ds 特别地 有

|

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为

Lf(x,y)ds

x(t) y(t)(t)

另一方面 若曲线L的参数方程为 则质量元素为

f(x,y)dsf[(t), (t)]曲线的质量为

即

2(t)2(t)dt

f[(t), (t)]2(t)2(t)dt

f(x,y)dsf[(t), (t)]2(t)2(t)dt

L

定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为

x(t) y(t)(t)

其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 则曲线积分且

Lf(x,y)ds存在

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(<)



证明（略）

应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限

讨论

(1)若曲线L的方程为y(x)(axb) 则提示

L的参数方程为xx y(x)(axb)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dsf[x,(x)]12(x)dx

ab

(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd) 则提示

L的参数方程为x(y) yy(cyd)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dscdf[(y),y]2(y)1dy

(3)若曲的方程为x(t) y(t) z(t)(t)

则f(x,y,z)ds?

提示 f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt



例1 计算Lyds 其中L是抛物线yx2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧

解 曲线的方程为yx2(0x1) 因此

L11ydsx21(x2)2dxx14x2dx1(551)

001

2例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)

解 取坐标系如图所示 则I

曲线L的参数方程为

xRcos yRsin(<)

于是

ILy2ds

Ly2dsR2sin2(Rsin)2(Rcos)2d



R3sin2dR(sin cos)

3

例3 计算曲线积分

(x2y2z2)ds 其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧

解 在曲线上有x2y2z2(a cos t)2(a sin t)2(k t)2a2k 2t 2 并且

ds(asint)2(acost)2k2dta2k2dt

于是

(x2y2z2)ds(a2k2t2)a2k2dt

02

2a2k2(3a242k2)

3小结 用曲线积分解决问题的步骤

(1)建立曲线积分

(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程) 确定参数的变化范围

(3)将曲线积分化为定积分

(4)计算定积分

§10 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功

设一个质点在xOy面内在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 试求变力F(x y)所作的功

用曲线L上的点AA0 A1 A2    An1 AnB把L分成n个小弧段

设Ak(xk  yk) 有向线段AkAk1的长度为sk 它与x轴的夹角为k  则

AkAk1{cosk,sink}sk(k0 1 2    n1)

显然 变力F(x y)沿有向小弧段Ak Ak1所作的功可以近似为

F(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk 于是 变力F(x y)所作的功

W从而

W[P(x,y)cosQ(x,y)sin]ds

L这里(x y) {cos sin}是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量

n1F(xk,yk)AkAk1k1n1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk

k

1把L分成n个小弧段 L1

L2   

Ln

变力在Li上所作的功近似为

F(i i)siP(i i)xiQ(i i)yi 

变力在L上所作的功近似为

[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1nn

变力在L上所作的功的精确值

Wlim0[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1其中是各小弧段长度的最大值

提示

用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量 用si表示si的模

对坐标的曲线积分的定义

定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个有向小弧段L1

L2   

Ln 小弧段Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi yi) xixixi1 yiyiyi1(i )为Li上任意一点 为各小弧段长度的最大值

如果极限lim0f(i,i)xi总存在 则称此极限为函数

i1n f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作

Lf(x,y)dx 即

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1

如果极限limn0f(i,i)yi总存在 则称此极限为函数

i1n f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作

Lf(x,y)dy 即

limf(i,i)yi

Lf(x,y)dy0i1

设L为xOy面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y)、Q(x y)在L上有定义

如果下列二式右端的积分存在 我们就定义

nLP(x,y)dxLP(x,y)cosds

LQ(x,y)dyLQ(x,y)sinds 前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 后者称为函数Q(x y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

定义的推广

设为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义(假如各式右端的积分存在)

P(x,y,z)dxP(x,y,z)cosds

Q(x,y,z)dyQ(x,y,z)cosds R(x,y,z)dzR(x,y,z)cosds

nlimf(i,i,i)xi

Lf(x,y,z)dx0i1limf(i,i,i)yi

Lf(x,y,z)dy0i1limf(i,i,i)zi Lf(x,y,z)dz0i1对坐标的曲线积分的简写形式

nnLP(x,y)dxLQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz



对坐标的曲线积分的性质

(1)如果把L分成L1和L2 则

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy

2(2)设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 则

LP(x,y)dxQ(x,y)dLP(x,y)dxQ(x,y)dy

两类曲线积分之间的关系

设{cosi sini}为与si同向的单位向量 我们注意到{xi yi}si 所以 xicosisi yisinisi

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1n

limf(i,i)cosisif(x,y)cosds

L0i1nn

limf(i,i)yi Lf(x,y)dy0ilim0f(i,i)sinisiLf(x,y)sinds

i1n即

LPdxQdyL[PcosQsin]ds

LAdrLAtds 或

其中A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy}

类似地有

或

PdxQdyRdz[PcosQcosRcos]ds

AdrAtdsAtds

其中A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz } A t为向量A在向量t上的投影

二、对坐标的曲线积分的计算

定理 设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t)

上的连续函数 当参数t单调地由变到时 点M(x y)从L的起点A沿L运动到终点B 则

讨论 提示

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

LQ(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dt

LP(x,y)dxQ(x,y)dy？

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt



定理 若P(x y)是定义在光滑有向曲线

L

x(t) y(t)(t)上的连续函数 L的方向与t的增加方向一致 则

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

简要证明 不妨设 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t) (t)} 所以cos(t)

22(t)(t)从而

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

P[(t),(t)](t)2(t)2(t)dt

2(t)2(t)

 P[(t),(t)](t)dt

应注意的问题

下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 

例1计算Lxydx 其中L为抛物线yx上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧

2解法一 以x为参数 L分为AO和OB两部分

AO的方程为yx x从1变到0 OB 的方程为yx x从0变到1

因此

LxydxAOxydxOBxydx

1x(10x)dxxxdx20113x2dx4 05

第二种方法 以y为积分变量 L的方程为xy2 y从1变到1 因此

224xydxyy(y)dy2ydyL11

51例2 计算Ly2dx

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 

(2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a

0)的直线段

解

(1)L 的参数方程为 xa cos ya sin

从0变到

因此

4a3

22232ydxasin(asin)da(1cos)dcosL0032a(2)L的方程为y0 x从a变到a

因此

Lydxa0dx0

2例

3计算L2xydxx2dy(1)抛物线yx上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(3)从O(0 0)到A(1 0) 再到R(1 1)的有向折线OAB 

解

(1)L yx2 x从0变到1 所以

L2xydxx2dy(2xx2x22x)dx4x3dx1

0021211(2)L xy2 y从0变到1 所以

L2xydxxdy0(2yy2yy)dy5y4dy1 

041

(3)OA y0 x从0变到1 AB x1 y从0变到1

L2xydxx2dyOA2xydxx2dyAB2xydxx2dy

(2x0x20)dx(2y01)dy011 0101

例4 计算x3dx3zy2dyx2ydz 其中是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段AB

解 直线AB的参数方程为

x3t y2t xt

t从1变到0 所以 所以

I87

3223[(3t)33t(2t)2(3t)2t]dt87tdt11400

例5 设一个质点在M(x y)处受到力F的作用 F的大小与M到原点O的距离成正比 F

x2y21的方向恒指向原点

此质点由点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0 b) 2ab求力F所作的功W

x2y21

例5 一个质点在力F的作用下从点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点

ab2B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W

解 椭圆的参数方程为xacost ybsint  t从0变到 

rOMxiyj Fk|r|(其中k>0是比例常数

r)k(xiyj)

|r|xdxydy

于是

W kxdxkydykA ABB

k

02(a2costsintb2sintcost)dt

k(a2b2)02sintcostdtk(a2b2)

三、两类曲线积分之间的联系

由定义 得

LPdxQdyL(PcosQsin)ds LL

{P,Q}{cos,sin}dsFdr

其中F{P Q} T{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drTds{dx dy}

类似地有

PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)ds 

{P,Q,R}{cos,cos,cos}dsFdr

其中F{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz }

一、格林公式

单连通与复连通区域

设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D

则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域

对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边

区域D的边界曲线L的方向

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有

(DQP)dxdyPdxQdy

Lxy其中L是D的取正向的边界曲线

简要证明

仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明

设D{(x y)|1(x)y2(x) axb} 因为

P连续 所以由二重积分的计算法有 yPdxdyb{2(x)P(x,y)dy}dxb{P[x,(x)]P[x,(x)]}dx

21ya1(x)yaD另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

LPdxLPdxLPdxaP[x,1(x)]dxbP[x,2(x)]dx

12ba

{P[x,1(x)]P[x,2(x)]}dx

因此

abPdxdyPdx yLD

设D{(x y)|1(y)x2(y) cyd} 类似地可证

QxdxdyLQdx

D由于D即是X－型的又是Y－型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得

QPdxdyPdxQdy

LxyD

应注意的问题

对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向

设区域D的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得

2dxdyLxdyydx 或Adxdy2Lxdyydx

D1D

例1 椭圆xa cos  yb sin 所围成图形的面积A

分析

只要QPQ1 就有(P)dxdydxdyA

xyxyDD

解 设D是由椭圆x=acos  y=bsin 所围成的区域

令P1y Q1x 则QP111

xy2222于是由格林公式

A1ydx1xdy1ydxxdy dxdyL222LD

2112(absin22abcos)dabdab

0220

例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

L2xydxx2dy0

QP2x2x0

xy

证 令P2xy Qx2 则因此 由格林公式有L2xydxx2dy0dxdy0(为什么二重积分前有“”号？)

D2

例3 计算eydxdy 其中D是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域

D

分析 要使QPy22e 只需P0 Qxey

xy

2解 令P0 Qxey 则

QPy2e 因此 由格林公式有 xyy2

eDy2dxdyOAABBOxedyxeOAy2dyxexdx1(1e1)

0212

例4 计算xdyydxLx2y2 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向

yQy2x2Px22

解 令P2 Q2 则当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxLx2y20

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r 2(r>0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得

xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取逆时针方向

2r2cos2r2sin2xdyydxxdyydxd2 22 于是0Lx2y2lxyr2

解 记L 所围成的闭区域为D

当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxQP(Lx2y2xy)dxdy0

D

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r2(r0) 由L及l围成了一个复连通区域D1 应用格林公式得 xdyydxQP(Llx2y2xy)dxdy0

D1即xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取顺时针方向

于是

xdyydxxdyydx2r2cos2r2sin2d2 Lx2y2lx2y20r2yQy2x2Px22分析 这里P2 Q2 当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2

第三篇：关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结

关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结

***

（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分

1(12333n3);4nn1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n)nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx.0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx.10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.2、曲线积分2、1第一型曲线积分2、1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负（不变号），则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.将 x2y2z2a2表示为 2a2，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin，于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限； ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号；

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.⑶曲线积分是定积分的推广.⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1.l

3.二重积分3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.3、2关于x型区域的实例3、2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.解：把D看作x型区域时，相应的2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx241240123、2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础.⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

【1】 林益等编数学分析习题详解（上、下）[M].武汉 华中科技大学出版社.2005

第四篇：曲线积分与曲面积分重点总结+例题

高等数学教案

曲线积分与曲面积分

第十章

曲线积分与曲面积分

【教学目标与要求】

1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】

1.两类曲线积分的计算方法； 2.格林公式及其应用；

3.第一类曲面积分的计算方法；

【教学难点】

1.两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 6.两类曲线积分的计算方法；

7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§11.1 对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量

把曲线分成n小段 s1 s2    sn(si也表示弧长)

任取(i  i)si 得第i小段质量的近似值(i  i)si

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曲线积分与曲面积分

整个物质曲线的质量近似为M(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn}0 则整个物质曲线的质量为

Mlim(i,i)si

0i1n

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到

定义

设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上 并且有界，将L任意分成n个弧段 s1 s2    sn 并用si表示第i段的弧长 在每一弧段si上任取一点(i i) 作和f(i,i)si 令max{s1 s2    sn} 如果当0时 这和的极限总存在 则称此i1n极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作

Lf(x,y)ds 即

n

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

曲线积分的存在性 当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分Lf(x,y)ds是存在的

以后我们总假定f(x y)在L上是连续的

根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分中(x y)为线密度

对弧长的曲线积分的推广

L(x,y)ds的值 其

limf(i,i,i)si

f(x,y,z)ds0i1n

如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定

LL12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds

L1L

2闭曲线积分 如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

Lf(x,y)ds

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曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds

性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则

Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds

2性质3设在L上f(x y)g(x y) 则

特别地 有

|Lf(x,y)dsLg(x,y)ds

Lf(x,y)ds|L|f(x,y)|ds

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为 Lf(x,y)ds

x(t) y(t)(t)

另一方面 若曲线L的参数方程为 则质量元素为

f(x,y)dsf[(t), (t)]曲线的质量为

即

2(t)2(t)dt

f[(t), (t)]2(t)2(t)dt

f(x,y)dsf[(t), (t)]2(t)2(t)dt

L

定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 x(t) y(t)(t)

其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 则曲线积分在 且

应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限

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Lf(x,y)ds存Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(<)

高等数学教案

曲线积分与曲面积分

讨论

(1)若曲线L的方程为y(x)(axb) 则提示

L的参数方程为xx y(x)(axb)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dsf[x,(x)]12(x)dx

ab

(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd) 则提示

L的参数方程为x(y) yy(cyd)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dsf[(y),y]2(y)1dy

cd

(3)若曲的方程为x(t) y(t) z(t)(t)

则f(x,y,z)ds?

提示 f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt



例1 计算Lyds 其中L是抛物线yx2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧

解 曲线的方程为yx2(0x1) 因此

L11ydsx21(x2)2dxx14x2dx1(551)

001

2例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)

解 取坐标系如图所示 则ILy2ds

曲线L的参数方程为

xRcos yRsin(<)

于是

ILy2dsR2sin2(Rsin)2(Rcos)2d



R3sin2dR(sin cos) 3

例3 计算曲线积分(x2y2z2)ds 其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧

解 在曲线上有x2y2z2(a cos t)2(a sin t)2(k t)2a2k 2t 2 并且

ds(asint)2(acost)2k2dta2k2dt

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曲线积分与曲面积分

于是

22z2)ds2(xy0(a2k2t2)a2k2dt

23a2k2(3a242k2)

小结

用曲线积分解决问题的步骤

(1)建立曲线积分

(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程) 确定参数的变化范围

(3)将曲线积分化为定积分

(4)计算定积分

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.已知椭圆L:x2y21周长为a，求(2xy3x24y243)ds。L2.设C是由极坐标系下曲线ra,0及4所围成区域的边界，Iex2y2ds

C讲课提纲、板书设计

作业 P190: 3（1）（3）（5）（7）

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求高等数学教案

曲线积分与曲面积分

§11 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功

设一个质点在xOy面内在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 试求变力F(x y)所作的功

用曲线L上的点AA0 A1 A2    An1 AnB把L分成n个小弧段

设Ak(xk  yk) 有向线段AkAk1的长度为sk 它与x轴的夹角为k  则

AkAk1{cosk,sink}sk(k0 1 2    n1)

显然 变力F(x y)沿有向小弧段Ak Ak1所作的功可以近似为

F(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk 于是 变力F(x y)所作的功

W从而

W[P(x,y)cosQ(x,y)sin]ds

L这里(x y) {cos sin}是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量

把L分成n个小弧段 L1

L2   

Ln变力在Li上所作的功近似为

F(i i)siP(i i)xiQ(i i)yi 

变力在L上所作的功近似为

n1F(xk,yk)AkAk1k1n1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk

k1[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1nn

变力在L上所作的功的精确值

Wlim 0[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1高等数学课程建设组 高等数学教案

曲线积分与曲面积分

其中是各小弧段长度的最大值

提示

用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量 用si表示si的模

对坐标的曲线积分的定义

定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个有向小弧段L1

L2   

Ln 小弧段Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi yi) xixixi1 yiyiyi1(i )为Li上任意一点 为各小弧段长度的最大值

如果极限lim0f(i,i)xi总存在 则称此极限为函数f(x y)在有向曲线L上对坐标i1nx的曲线积分 记作

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx 即Lf(x,y)dx0i1n

设L为xOy面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y)、Q(x y)在L上有定义

如果下列二式右端的积分存在 我们就定义

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

LQ(x,y)dyLQ(x,y)sinds

前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 后者称为函数Q(x y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

定义的推广

设为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义(假如各式右端的积分存在)

P(x,y,z)dxP(x,y,z)cosds

Q(x,y,z)dyQ(x,y,z)cosds R(x,y,z)dzR(x,y,z)cosds

nnlimf(i,i,i)xi f(x,y,z)dylimf(i,i,i)yi

Lf(x,y,z)dxL00i1i1高等数学课程建设组

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曲线积分与曲面积分

limf(i,i,i)zi Lf(x,y,z)dz0i1对坐标的曲线积分的简写形式

nLP(x,y)dxLQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

对坐标的曲线积分的性质

(1)如果把L分成L1和L2 则

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy

2(2)设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 则

LP(x,y)dxQ(x,y)dLP(x,y)dxQ(x,y)dy

两类曲线积分之间的关系

设{cosi sini}为与si同向的单位向量 我们注意到{xi yi}si 所以 xicosisi yisinisi

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1n

lim0f(i,i)cosisiLf(x,y)cosds

i1nn

limf(i,i)yi Lf(x,y)dy0ilim0f(i,i)sinisiLf(x,y)sinds

i1n即

LPdxQdyL[PcosQsin]ds

LAdrLAtds

高等数学课程建设组 或

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曲线积分与曲面积分

其中A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy}

类似地有

或

PdxQdyRdz[PcosQcosRcos]ds

AdrAtdsAtds

其中A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz } A t为向量A在向量t上的投影

二、对坐标的曲线积分的计算

定理 设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线L x(t) y(t) 上的连续函数 当参数t单调地由变到时 点M(x y)从L的起点A沿L运动到终点B 则

LLP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

Q(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dt

讨论

提示

LP(x,y)dxQ(x,y)dy？

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

定理 若P(x y)是定义在光滑有向曲线 L

x(t) y(t)(t)上的连续函数 L的方向与t的增加方向一致 则

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt



简要证明 不妨设 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t) (t)}

所以

cos(t)

22(t)(t)从而

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

P[(t),(t)](t)2(t)2(t)dt

2(t)2(t)高等数学课程建设组

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曲线积分与曲面积分



应注意的问题 P[(t),(t)](t)dt

下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 

讨论

若空间曲线由参数方程xt) y =(t) z(t)给出 那么曲线积分

如何计算？提示

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz？

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

 {P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt 其中对应于的起点 对应于的终点

例题

例1计算Lxydx 其中L为抛物线yx上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧

2例2 计算Ly2dx

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 

(2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a

0)的直线段

例3 计算L2xydxx2dy(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(3)从O(0 0)到A(1 0) 再到R(1 1)的有向折线OAB 

例4 计算x3dx3zy2dyx2ydz 其中是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段AB

例5 设一个质点在M(x y)处受到力F的作用 F的大小与M到原点O的距离成正比 F

x2y21的方向恒指向原点

此质点由点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0 b) 2ab求力F所作的功W

小结

1.第二类曲线积分的定义；

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曲线积分与曲面积分

2.第二类曲线积分的计算方法。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.已知为折线ABCOA，计算Idxdyydz

讲课提纲、板书设计 作业 P200: 3（1）（3）（5）（7），4

§113 格林公式及其应用

一、格林公式

单连通与复连通区域

设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D

则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域

对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边

区域D的边界曲线L的方向

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有

(DQP)dxdyPdxQdy

Lxy其中L是D的取正向的边界曲线

简要证明 仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明

设D{(x y)|1(x)y2(x) axb} 因为

P连续 所以由二重积分的计算法有 yPdxdyb{2(x)P(x,y)dy}dxb{P[x,(x)]P[x,(x)]}dx

21ya1(x)yaD另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

PdxPdxPdxP[x,1(x)]dxP[x,2(x)]dx

LL1L2abba

{P[x,1(x)]P[x,2(x)]}dx

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ab高等数学教案

曲线积分与曲面积分

因此

PdxdyPdx

yLD

设D{(x y)|1(y)x2(y) cyd} 类似地可证

QxdxdyLQdx

D由于D即是X－型的又是Y－型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得

QPdxdyPdxQdy

LxyD

应注意的问题

对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向

设区域D的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得

21xdyydx dxdyxdyydx 或AdxdyLL2DD

例1 椭圆xa cos  yb sin 所围成图形的面积A

分析

只要QPQ1 就有(P)dxdydxdyA

xyxyDD

例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

L2xydxx2dy0

eydxdy 其中D是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域

D

2例3 计算

分析 要使QPy22e 只需P0 Qxey

xy

例4 计算xdyydxLx2y2 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线

L的方向为逆时针方向

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曲线积分与曲面积分

yQy2x2Px2

2解 令P2 Q2 则当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxLx2y20

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r 2(r>0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得

xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取逆时针方向

于是

2r2cos2r2sin2xdyydxxdyydxd2  2Lx2y2lx2y20r记L 所围成的闭区域为D

当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxQP(Lx2y2xy)dxdy0

DyQy2x2Px22分析 这里P2 Q2 当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

曲线积分与路径无关

设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L

1、L 2 等式

LPdxQdyLPdxQdy

12恒成立 就说曲线积分

设曲线积分的曲线 则有

LPdxQdy在G内与路径无关 否则说与路径有关

1和LPdxQdy在G内与路径无关 L

L 2是G内任意两条从点A到点BLPdxQdyLPdxQdy

12高等数学课程建设组 高等数学教案

曲线积分与曲面积分

因为

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy0

121

2LPdxQdyL12PdxQdy0L1(L2)PdxQdy0

所以有以下结论

曲线积分LPdxQdy在G内与路径无关相当于沿G内任意

LPdxQdy等于零 闭曲线C的曲线积分

定理2 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分LPdxQdy在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）

PQ yx的充分必要条件是等式

在G内恒成立

充分性易证

若PQ 则QP0 由格林公式 对任意闭曲线L 有

yxxy

QPPdxQdydxdy0

LxyD

必要性

假设存在一点M0G 使QPQP0 不妨设>0 则由的连续性 存在xyxyQP 于是沿邻域U(M0, )边界l 的xy2M0的一个 邻域U(M0, ) 使在此邻域内有闭曲线积分

PdxQdylU(M0,)(QP)dxdy20

xy2高等数学课程建设组

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这与闭曲线积分为零相矛盾 因此在G内 应注意的问题

QP0

xy

定理要求 区域G是单连通区域 且函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数

如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立

破坏函数P、Q及PQ、连续性的点称为奇点

yx

例5 计算L2xydxx2dy 其中L为抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧

解 因为PQ2x在整个xOy面内都成立

yx所以在整个xOy面内 积分

L2xydxx2dy与路径无关

L2xydxx2dyOA2xydxx2dyAB2xydxx2dy

12dy1 01讨论

设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问xdyydxLx2y20是否一定成立？

yx在点(0 0)不连续

Q和x2y2x2y2提示 这里PQy2x2P因为当xy0时  所以如果(0 0)不在L所围成的区域内 则结论x(x2y2)2y22成立 而当(0 0)在L所围成的区域内时 结论未必成立三、二元函数的全微分求积

曲线积分在G内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x0 y0)与终点(x y)有关

如果

(x,y)LPdxQdy与路径无关 则把它记为(x0,y0)PdxQdy

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(x,y)

即 L0PdxQdy(x0,y0)PdxQdy

若起点(x0 y0)为G内的一定点 终点(x y)为G内的动点 则

u(x y)(x,y)PdxQdy

0(x,y)为G内的的函数

二元函数u(x y)的全微分为du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy

表达式P(x y)dx+Q(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dx+Q(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy 在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式

PQ yx在G内恒成立

简要证明

必要性 假设存在某一函数u(x y) 使得duP(x y)dxQ(x y)dy

则有 P(u)2u Q(u)2u 因为2uP、2uQ连续

yyxxyxxyyxxyyyxx22Quu

即P所以

yxxyyx

充分性 因为在G内PQ 所以积分P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内与路径无关

Lyx在G内从点(x0 y0)到点(x y)的曲线积分可表示为 u(x y)因为

u(x y)

所以

y(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

00(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

00(x,y)yQ(x0,y)dyxP(x,y)dx

00xuyQ(x,y)dyxP(x,y)dxP(x,y) 0xxy0xx0高等数学课程建设组

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类似地有数的全微分 uQ(x,y) 从而du P(x y)dxQ(x y)dy 即P(x y)dxQ(x y)dy是某一函y

求原函数的公式

u(x,y)

u(x,y)

u(x,y)

例6 验证数

解 这里P(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

00(x,y)xx0P(x,y0)dxQ(x,y)dy

y0x0yyQ(x0,y)dyxP(x,y)dx

0yxdyydx在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函x2y2yx

Q

x2y2x2y

2因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有

Qy2x2P



x(x2y2)2y所以在右半平面内 xdyydx是某个函数的全微分

22xy

取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线 则所求函数为

u(x,y)(1, 0)(x,y)yxdyxdyydxy0

arctan0x2y2x2y2x问 为什么(x0 y0)不取(0 0)?

例7 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数

解

这里Pxy2 Qx2y

因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有

Q2xyP

xy高等数学课程建设组

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曲线积分与曲面积分

所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分

取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为

u(x,y)(x,y)yy(0, 0)xydxxydy00x222ydyx20x2y2ydy

2思考与练习

1在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有

QP 那么 xy(1)在G内的曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否与路径无关? LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否为零?

QP xy(2)在G内的闭曲线积分(3)在G内P(x y)dxQ(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?

2在区域G内除M0点外 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有G1是G内不含M0的单连通区域 那么(1)在G 1内的曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否与路径无关? LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否为零?(2)在G 1内的闭曲线积分(3)在G 1内P(x y)dxQ(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?

3 在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏 导数 PQ 但QP非常简单 那么 yxxy(1)如何计算G内的闭曲线积分?(2)如何计算G内的非闭曲线积分?(3)计算L(exsiny2y)dx(excosy2)dy 其中L为逆时针方向的

上半圆周(xa)2y2a 2 y0

小结

PdxQdy1.格林公式 L

2.格林公式中的等价条件。QPDxydxdy教学方式及教学过程中应注意的问题

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曲线积分与曲面积分

在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

讲课提纲、板书设计

作业 P214: 2(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)

§11 4 对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质

物质曲面的质量问题 设为面密度非均匀的物质曲面 其面密度为(x y z) 求其质量

把曲面分成n个小块 S1 S2     Sn(Si也代表曲面的面积)求质量的近似值

(i,i,i)Sii1nn((i i i)是Si上任意一点) 取极限求精确值

Mlim(i,i,i)Si(为各小块曲面直径的最大值)

0i

1定义

设曲面是光滑的 函数f(x y z)在上有界 把任意分成n小块 S1 S2     Sn(Si也代表曲面的面积) 在Si上任取一点(i i i) 如果当各小块曲面的直径的最大值0时 极限limf(i,i,i)Si总存在 则称此极限为函数f(x y z)在曲面上对0i1n面积的曲面积分或第一类曲面积分 记作nf(x,y,z)dS 即



limf(i,i,i)Si f(x,y,z)dS0i1其中f(x y z)叫做被积函数 叫做积分曲面

对面积的曲面积分的存在性

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我们指出当f(x y z)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的 今后总假定f(x y z)在上连续

根据上述定义面密度为连续函数(x y z)的光滑曲面的质量M可表示为(x y z)在上对面积的曲面积分

Mf(x,y,z)dS

如果是分片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的

各片曲面上对面积的曲面积分之和 例如设可分成两片光滑曲面1及2(记作12)就规定

12f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS

1

2对面积的曲面积分的性质

(1)设c

1、c 2为常数 则

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dSc1f(x,y,z)dSc2g(x,y,z)dS



(2)若曲面可分成两片光滑曲面1及2 则

f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS

1

2(3)设在曲面上f(x y z)g(x y z) 则

(4)f(x,y,z)dSg(x,y,z)dS

dSA 其中A为曲面的面积



二、对面积的曲面积分的计算

面密度为f(x y z)的物质曲面的质量为Mlimf(i,i,i)Si0i1nf(x,y,z)dS

另一方面 如果由方程zz(x y)给出 在xOy面上的投影区域为D  那么 曲面的面积元素为

2dA1zx(x,y)z2y(x,y)dxdy

质量元素为

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2f[x,y,z(x,y)]dAf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)z2y(x,y)dxdy

根据元素法 曲面的质量为

My(x,y)dxdy

f[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2D因此

y(x,y)dxdy

f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2D

化曲面积分为二重积分 设曲面由方程zz(x y)给出 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(x y z)在上连续 则

y(x,y)dxdy

f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2Dxy

如果积分曲面的方程为yy(z x) Dzx为在zOx面上的投影区域 则函数f(x y z)在上对面积的曲面积分为

f(x,y,z)dSf[x,y(z,x),z]Dzx221yz(z,x)yx(z,x)dzdx

如果积分曲面的方程为xx(y z) Dyz为在yOz面上的投影区域 则函数f(x y z)在上对面积的曲面积分为

22f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]1x(y,z)x(y,z)dydz yzDyz

例1 计算曲面积分1dS 其中是球面x2y2z2a2被平面 zzh(0ha)截出的顶部

解 的方程为za2x2y2 Dxy 

x2y2a2h2

因为

zxyx zy

222222axyaxyadxdy

222axy高等数学课程建设组 dS1zxz2ydxdy 高等数学教案

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所以

1dSaza2x2y2dxdy

Dxy

a提示 02da2h20rdr1ln(a2r2)]a2h22alna

2a[0a2r2h221zxz2y2y2xa1222222

222axyaxyaxy

例2 计算边界曲面

xyzdS 其中是由平面x0 y0 z0及xyz1所围成的四面体的整个

解 整个边界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分依次记为

1、

2、3及4 于是

xyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS

123000xyzdS43xy(1xy)dxdy

1Dxy

3xdx提示 4 z1xy 02101x(1x)3dx3

y(1xy)dy3x06120

dS1z

y3dxdyxzydxd2小结

1.对面积的曲面积分的定义和计算

2.格林公式中的等价条件。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式，简化计算的技巧.，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

课后习题：1，3，7 讲课提纲、板书设计

作业 P218: 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8

高等数学课程建设组

第五篇：直线与曲线联立问题

四棱锥PABCD中，底面为矩形，PA底，E为PD中点（1）证明：PB||面AEC

(2)AP1,AD,VPABD

4,求A到面PBD的距离

弦长公式：|AB|k2|x2x1|k2(x21x2)4x1x2

21.直线yx1与曲线xy2

32

1相交于A,B两点，求|AB| 85

2.直线yk(x1)(k0)与曲线

x

y21相交，求x1x2

3.y2k(x2)

y24x



yk(x1)4.

x24

y231

2x2y2

5.过点（1,0）且斜率为54

1交于A,B两点，O为坐标

原点，则OAB的面积53

6.已知一直线与曲线4x29y236相交于A,B两点，AB的中点坐标为（1,1）

求直线AB的方程

4x9y130