2013白蒲中学高二数学教案：极限与导数：数列极限的运算法则(苏教版)

第一篇：2013白蒲中学高二数学教案：极限与导数：数列极限的运算法则(苏教版)

数列极限的运算法则（5月3日）

教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用

教学过程：

一、复习引入：

函数极限的运算法则：如果limf(x)A,limg(x)B,则lim

xx0

xx0



xx0

f(x)g(x)

＿＿＿

xx0

lim



f(x).g(x)

＿＿＿＿，lim

f(x)g(x)

＿＿＿＿（B0）

xx0

二、新授课：

数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果limanA,limbnB,那么

n

n

lim(anbn)ABlim(anbn)AB

n

n

lim(an.bn)A.Blim

n

anbn



AB

n

(B0)

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若an

．．

则：lim(anbncn)limanlimbnlimcn

n

n

n

n

，bn，cn有极限，特别地，如果C是常数，那么lim(C.an)limC.liman

n

n

n

二.例题：

例1.已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn).n

n

n

例2.求下列极限：（1）lim(5

n

4n)；（2）lim（n

1n

1)

2例3.求下列有限：（1）lim

2n13n

1n

（2）lim

nn1

2n

分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：（1）lim（n

3n

1

5n1



7n1



2n1n1)

（2）lim（n

1242139

3n1n1)

说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。练习与作业：

1.已知liman2,limbn

n

n

13，求下列极限

anbn

an

（1）lim(2an3bn)；（2）lim

n

n

2.求下列极限：（1）lim(4

1)；（2）lim

2。

n

n

3.求下列极限（1）limn1；n

n

（3）lim3n21n

；n

4.求下列极限

已知limn

an3,limn

bn5,求下列极限：（1）.lim(3an4bn).n

5.求下列极限:（1）.lim(7

2n

n);

（3）.lim1(34)nnn

n

5

3n

（2）lim

nn

3n2；

（4）lim

5n2n。

n

3n2

1

（2）.lim

anbnn

anbn

（2）.lim（15)n

n

1

(4).lim

n

n1n

1

(5).lim(7).lim123n

2n

n

(6).lim

75n6n11

n

n1（8）lim（2

14n2)

n

n2

9

1

（9）lim

2142nn

1

1113





n

n

n

1n

10）.已知limnana2,求limnn

nnan

（

第二篇：2013白蒲中学高二数学教案：数列：05(苏教版)

第五教时

教材：等差数列前n项和

（一）目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。过程：

一、引言：P119著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算

1+2+3+…+100的故事

故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和2．高斯的解法是：前100项和S100即Sn

二、提出课题：等差数列的前n项和1．证明公式1：Sn

n(a1an)

n(a1an)

100(1100)

2证明：Sna1a2a3an1an①Snanan1an2a2a1②

2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)①+②：

∵a1ana2an1a3an2∴2Snn(a1an)由此得：Sn

n(a1an)

2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。2．推导公式2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an但ana1(n1)d代入公式1即得： Snna1

n(n1)d

此公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,d（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个3．例一（P120 例一）：用公式1求Sn例二（P120 例一）：用公式2求n学生练习：P122练习1、2、3三、例三（P121 例三）求集合Mm|m7n,nN*且m100的元素个数，并求这些元素的和。解：由7n100得 n

1007

14

∴正整数n共有14个即M中共有14个元素

即：7，14，21，…，98 是a17为首项a1498的AP∴ Sn

14(798)

735

答：略

例四已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由题设： S10310S201220得： 

10a145d31020a1190d1220

n(n1)



a14d6

∴ Sn4n

63nn

四、小结：等差数列求和公式

五、作业（习题3．1）P122-123

第三篇：上教版高二数学教案——7.7数列的极限1

数列的极限

教学目的：1．理解数列极限的概念；

2．会根据数列极限的定义，由数列的通项公式考察数列的极限。教学重点：会判断一些简单数列的极限 教学难点：数列极限概念的理解 授课类型：新授课 教学过程：

一、复习引入：

1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去。可以求出第n天剩余的木棒长度an

二、讲解新课： 数列极限的定义：

一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于某个常数A（即．．．．．，那么A叫做数列an的极限，或叫做数列an收敛于A。记作anA无限趋近于0）(尺)；分析变化趋势（从数和形两个角度分析）2nlimanA，读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”。

n“n”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思。

理解：数列的极限是直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义。“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数A”的意义有两个方面：一方面，数列的项an趋近于A是在无限过程中进行的，即随着n的增大an越来越趋近于A（即极限与数列前面的有限项无关）；另一方面，an不是一般地接近于A，而是“无限”地趋近于A，即anA随n的增大而无限地趋近于0。注：（1）limanA等价为limanA0

nn

（2）“无限趋近于”不能用“越来越接近”代替。

三、讲解范例：

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由。

111，；

23n1111，()n,（2），39273（1）1，,（3）2,4,6,（4）； ,2n,；

3927，,2483,()n,2；（5）2,2,2,（6）a,a,a，2,；（变化：4,16，4100,2,2,2,）,a

分析：判断是否有极限的方法可通过直观判断，画图像，列表等方法。

10 nn1n（2）当n趋向于无穷大时，数列的项无限的趋近于0，即lim()0

n3解：（1）当n趋向于无穷大时，数列的项无限的趋近于0，所以lim（3）当n趋向于无穷大时，2n的值越来越大，不可能无限趋近于一个常数，所以an2n极限不存在。

（4）当n趋向于无穷大时，()的绝对值越来越大，不可能无限趋近于一个常数，所以无极限。

（5）∵2(2)0，∴lim(2)0

n32n（6）无极限，因为有限项。注：几个重要极限：（1）lim10；（2）limCC（C是常数）

nnnnn（3）limq0(q1)

2n1有没有极限，并说明理由。n2n11112，得an2，又lim0，所以liman20 解：由annnnnnn例2：判断an即liman2

n注：此类题目前可以通过转化为考察anA是否无限趋近于零来解决，学习了极限四则运算后过程将更简便。

四、课堂练习：

书P38/1，2，P39/1，2

1、请写出若干个符合下列条件的数列：（1）极限为零且数列的每一项都大于零；（2）极限为零且数列的每一项都小于零；

（3）极限为零且数列的项在正数和负数之间交替变化。

11n111n1(1)n(1)n},{n}等。解：（1）{},{n},{2}等；（2）{},{n},{2}等；（3）{

n3nn3nn22、判断下列命题的真假：

（1）若无穷数列an有极限为A，那么有anA；

（2）若无穷数列an的极限为A，bn的极限为B，且对任意nN，都有anbn，那

么AB；

（3）若无穷数列an的极限为A，bn的极限为B，且AB，那么必定有anbn。

五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力，要着重注意“无限趋近于”的含义，同时要能够判断简单的无穷数列的极限是否存在的问题。

六、课后作业：练习册7.7（A）/1，2，3，4，5，6，7

七、课后反思：

第四篇：2013白蒲中学高二数学教案：圆锥曲线方程：13(苏教版)

求曲线的轨迹方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．

(三)学科渗透点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．

二、教材分析

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．

(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)

三、活动设计

提问、讲解方法、演板、小测验．

四、教学过程(一)复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．

1(二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：

设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程． 分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)

由弦长公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)巩固练习

用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出． 1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的

2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． 答案：

义法)

由中点坐标公式得：

(四)小结

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．

五、布置作业

1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．

2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹． 3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：

1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线

六、板书设计

第五篇：2016学年四川成都石室中学高二数学精选教案：2.1《数列的概念与简单表示法》(新人教A版必修5)

《斐波那契数列》教学设计

一、教材分析：

本节是高中数学必修5《数列》的一篇阅读思考的内容。本节在学生已掌握数列的概念和基本表示方法的基础上，探索斐波那契数列的性质。通过探究发现其与大自然的联系，在影视作品中的应用，以及数字特征让同学们感受数学之美，提高学习数列的兴趣，为学习等差等比数列奠定基础。

二、教学目标：

进一步巩固数列的基本概念，能在具体情境中运用数列知识解决实际问题。

理解数学在实际生活中的应用，体会数学之美。

开拓视野，感受大自然的奥妙和神奇，提高创新意识和求知欲。

三、学情分析：

学生已掌握数列基本概念及表示，能在具体情境中发现数列中的特殊关系。部分学生有一定的自主学习能力，但应用意识较差，创新意识不强，需要 指导。大部分学生能独立利用互联网或书籍查阅相关资源，解决问题并开阔视野。

四、教学策略：

学生课下利用互联网或相关书籍查阅相关资源，课上分小组探究汇总，老师点评和总结。

五、教学过程：

（一）新课引入

同学们，我们为什么要学习数学？我认为根本原因有三个：计算、应用、兴趣。数学是研究规律的科学，我们通过学习数学来训练我们的逻辑推理能力、思辨能力以及创造力。但是，我们在学校里学到的数学好像没有激起我们太大的兴趣，每当同学们问起“老师，我们为什么学习圆锥曲线，没兴趣，”你们得到的答案往往是“高考要考”。那么有没有可能，哪怕只有一节课的时间我们学习数学是因为兴趣或是数学的优美？那种感觉岂不是很棒。我知道同学们一直没有这样的机会，今天，我们一起创造机会，让我们为了兴趣而任性一回。我带领大家探究一个有趣的数列——斐波那契数列。

介绍人物（幻灯片）斐波那契，真实名字是列昂那多比萨，来自意大利，这个数列出自他的著作《算盘书》，这本书中，他首先将阿拉伯数字和十进制计数法引入欧洲，对欧洲数学的发展有着深远的影响。

介绍数列（幻灯片）有一对初生的小兔子（一雌一雄）一个月之后长成大兔子，再过一个月生出一对小兔子，如此规律生长，在不发生死亡的情况下，12个月后又几对兔子？

分析数列（幻灯片）动画展示兔子个数的变化规律 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233......板书定义 前两项是1，从第三项开始每一项都等于它的前两项之和，这样的数列就叫斐波那契 数列。板书递推关系式 F11,F21,FnFn1Fn2(n3,nN)

115n15n)()(nN)板书通项公式 Fn(252（有趣的是，一个完全自然数的数列通项公式竟然是用无理数表示的）

（二）斐波那契数列在大自然中的应用（幻灯片）

斐波那契数列是由兔子的繁殖问题引出的，但人们在研究它的过程中发现了许多意想不到的结果。比如：小树苗的成长，花瓣的数目，种子的排列。向日葵的螺旋线等等，就好像大自然懂数学一样，也许这是大自然长期进化的结果吧。

（三）斐波那契数列在影视作品中的应用（幻灯片）

《达芬奇密码》，《魔法玩具城》，《Fringe》。斐波那契数列在欧美可谓是 人尽皆知，于是在电影这种通俗的艺术中也时常出现。

（四）斐波那契数列的数字特征（学生分组探究,自主发言）

1、十秒加法

1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=231 34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584=6710(请同学揭秘）

连续十个斐波那契数字之和等于第七个数字的11倍 2、1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144......1 1 4 9 25 64 169 441....（各项的平方）1212212

121222623

121222321535

……

2222FFFF总结出规律123nFnFn1

（幻灯片揭示其几何含义：n个小正方形的面积和等于大长方形的面积）

3、除法运算

311112211521111331

118311115511……

111Fn令=Fn1111111...115x则1+x解得xx2

黄金分割，这个让无数数学家、艺术家为之着迷的数字，其实我想说的是我们学习数学，不要忘记数学在实际中的应

用，包括可能是最重要的一种应用形式——学会如何思考，简而言之，就是“数学不仅仅是求出X等于多少，还要指出为什么”。

4、连续两项平方和的特点 F222F3F5F225F6F11......F2nF2n1F2n

15、整除性质

6、相邻两项互素

7、最大公约数

如（2，4）=2，则(F2,F4)F2 如（3 ,6）=3，则

(F3,F6)F3

8、前n项和性质

Fn2Fn1FnFnFn1+FnFn1Fn2Fn1Fn......F2F1F2F3......Fn总结规律：1+F1+F2+F3+F4+...+Fn=Fn

2（五）、思考题：

一个人走楼梯，一步一级台阶，或一步两级台阶，问：从一层到五层一共有几种走法？（幻灯片）

（六）、课堂小结

本节课通过探究斐波那契数列的性质，加深了同学们对数列的理解和认识，提高了学习数列的兴趣，为下一步学习等差等比数列奠定了基础。同时通过一系列探究活动，培养了同学们的探索精神和团结协作的意识。