极限(第3课时)数学归纳法及其应用举例

第一篇：极限(第3课时)数学归纳法及其应用举例

课题：2.1数学归纳法及其应用举例

（三）教学目的：

1.牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.2.对数学归纳法的认识不断深化教学重点：证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题．

教学难点：在P(k)P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：

数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题，在解析几何中主要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳法证明几何中的问题时，难点就是在P(k)P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在.要分析增加一条曲线或直线后，点、线段、曲线段、平面块在P(k)基础上净增多少，于是就找出了相应的递推教学过程：

一、复习引入：

1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.2.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k

≥n0)时命题成立，证明当n=k+15.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如

*果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N)时，命题成立.(这时命题

是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，„，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

*(2)假设当n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确

二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明：x－y(nN)能被x+y2n2n*

证明:(1)当n=1时，x－y=x－y=(x－y)(x+y)

所以(x－y)(x+y)能被x+y整除.故n=1时命题成立.2k2k(2)假设n=k时x－y能被x+y整除，2k+22k+22k2k(利用添项去项将x－y配成x－y的形式，再用归纳假设)

2k+22k+222k22k 因为x－y=x·x－y·y

22k2k22k22k =x(x－y)+x·y－y·y

22k2k2k22=x(x－y)+y(x－y)

2k2k22由假设x－y能被x+y整除，而x－y也能被x+y整除.2k+22k+2故x－y能被x+y整除，即n=k+1时也成立.由(1)、(2)知命题对一切正整数都成立.n+22n+1例2 用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11+12是133的倍数.n+22n+121证明：(1)当n=0时，11+12=11+12=121+12=133.故n=0时命题成立.k+22k+1(2)假设当n=k时命题成立，即11+12能被133整除.∴n=k+1时，(k+1)+22(k+1)+1k+222k+1 11+12=11·11+12·1

2k+22k+122k+12k+1 =11·(11+12)+12·12－11×12

k+22k+12k+1=11·(11+12)+12(144－11)

k+22k+12k+1=11·(11+12)+12·13

3k+22k+1由归纳假设知11+12及133都能被133整除.(k+1)+22(k+1)+1∴11+12能被133整除，即n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知.命题对一切自然数都成立.n+22n+1332说明：第一步的初始值，可能会：当n=1时，11+12=11+12=(11+12)(1

12－11×12+12)=23×(121+144－132)=23×133.∴23×133能被133整除.即

n=1时命题成立．.因为自然数中包括0，所以第一步应验证n=0，而不是n=1.2n2n22

本题第一步若证明n=1时命题成立，一者计算量较大，二者也不符合自然数集的新定义.证n=0，既方便减少计算量又科学更严密.一般情况，有时为了简化计算常将证明n=1改证n=0或n=－1，这种技巧称之“提前起点”，提前起点的前提是n为整数，否则递推无法进行.另外，利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k+1)能被p整除，也可运用结论：“P(k+1)－P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.”

例3平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数为f(n)= n(n1).2

证明：(1)当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)=1×2×(2－1)=1，2

因此，当n=2时，命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)等于1k(k－1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.2

任取其中的一条直线，记为l.(如例3图所示).由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)=1k(k－1).2

另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又

因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个

交点两两不相同，且与平面内其他的1k·(k－1)个交点也两两不相同，从而平2

面内交点的个数是111k(k－1)+k=k［(k－1)+2］=(k+1)［(k+1)－1］.222

这就是说，当n=k+1时，k+1条直线的交点个数为

f(k+1)=1(k+1)［(k+1)－1］.2

根据(1)、(2)可知命题对任何大于1的正整数都成立．

三、课堂练习：

1．n为奇数时x+y能被x+y整除.nn证明：(1)当n=1时，x+y=x+y，它能被x+y整除，所以n=1时命题成立.kk(2)假设当n=k(k为正奇数)时，命题成立，即x+y能被x+y整除.当n=k+2时，xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk－x2·yk

2kkk222kkk=x(x+y)+y(y－x)=x(x+y)+y·(y+x)(y－x).kk由归纳假设知.x+y能被x+y整除.(y+x)(y－x)也能被x+y整除.2kkk∴x(x+y)+y(y+x)(y－x)能被x+y整除.k+2k+2即x+y也能被x+y整除.故对n=k+2时也成立.即第k+1个奇数也成立.由(1)、(2)2.平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同

2一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n－n+2个部分.证明：(1)当n=1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)=1－1+2=2.因此，n=1时命题成立.2(2)假设n=k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k－k+2个部分.则n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分，因此：f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.∴n=k+1时命题也成立.*由(1)、(2)知对一切n∈N，命题都成立.四、小结 ：本节课我们主要是学习了运用数学归纳法证明整除问题和几何中的问题.运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式进行求解.在证明整除时，为了得到相等的式子，同时添加一些项，再去掉一项，用数学归纳法证明几何问题，证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少不同的交点，五、课后作业：用数学归纳法证明下列各题.1.两个连续正整数的积能被2整除.*提示：设n∈N，则要证明n(n+1)能被2整除.(1)n=1时，1×(1+1)=2.能被2整除，即命题成立.(2)假设n=k时，命题成立，即k·(k+1)能被2整除.那么当n=k+1时，(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1).由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.∴(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立

*由(1)、(2)可知，命题对一切n∈N都成立.nn2.x－y(n∈N*)能被x－y整除.11提示：(1)n=1时，x－y能被x－y整除.kk(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立，即x－y能被x－y整除.nn

那么n=k+1时，xk+1－yk+1=x·xk－y·yk=x(xk－yk)+x·yk－y·yk=x(xk－yk)+yk(x－y).kkk+1k+1由归纳假设x－y及x－y能被x－y整除，所以x－y能被x－y整除.3.凸n边形的内角和f(n)=(n－2)·180°(n≥3).提示：(1)n=3时,图形是三角形，内角和为180°.又f(3)=(3－2)·180°=180°.∴n=3时命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即凸k边形的内角和为f(k)=(k－2)·180°, 那么n=k+1时，凸k+1边形的内角和是在原来的凸k边形的基础上增加一个三角形，内角和f(k)+180°=(k－2)·180°+180°=［(k+1)－2］·180°.而f(k+1)=(k+1－2)·180°

∴n=k+1时，命题也成立.由归纳假设凸n边形的内角和为f(n)=(n－2)·180°(n≥

六、板书设计

第二篇：应用举例

工作流应用情况举例

应该说，工作流软件应用的范围还是非常广泛，凡是各种通过表单逐级手工流转完成的任务均可应用工作流软件自动实现，可以考虑在以下一些方面推行工作流程自动化。

行政管理类： 出差申请，加班申请，请假申请，用车申请，各种办公工具申请，购买申请，日报周报，信息公告等凡是原来手工流转处理的行政性表单。

人事管理类： 员工培训安排，绩效考评，新员工安排，职位变动处理，员工档案信息管理等。

财务相关类： 付款请求，应收款处理，日常、差旅、娱乐报销，预算和计划申请等。客户服务类： 客户信息管理，客户投诉、请求处理，售后服务管理。其他业务流程：订单、报价处理，采购处理，合同审核，客户电话处理等等。具体举例，如：

Purchase Request、Purchase Order、Delivery Note、Payment Request、Reimbursement、Annual Leave Application、Medical Claim、Overtime Request、Going Abroad Request、Training Request、Leave Request、Air Ticket Request、Contract Pre-Approval Workflow Management、Voucher/Expense Request、Renting Car Request、Meeting Room Reservation Request、Moving/Renting Cubicle, Room Request、Visitor Request Form、Travel Request Form、Stationery Checklist For New Hire、Company Property Checklist、Exit Checklist、Employee Absence Report/Leave Application、OT Expenses Reimbursement Form、Nursery Expense Reimbursement Form、Temporary Help Request Form、Professional Affairs Request Form、Temporary Help Expenses Reimbursement Form，公文会签表、名片申请单、用章申请单、付款/结算凭证、印刷品申请表等等。

Fiance：付款申请单、采购单、交通费报销单

GA：差旅申请单、办公用品申请单、访客申请表、名片、名牌、门禁卡申请单、用章申请单、公文会签表、公司合同管理会签单 HR：领用公司财物清单、离职清单、员工休假申请表、加班申请表、加班费用报销单、员工子女托费报销单、临时雇员申请表、培训申请表、专业事务申请表、书刊请购表、临时工费用报销申请表、员工医药费报销申请表

出差(申请－报销－报告)，请购（原料包材），人力需求申请表，派车单，用印申请表，员工考核表，工作申请表，人员异动申请表，薪资异动申请表，离职辞职人员申请表，离职移交表，名片印刷申请表，一般费用报销（包含医药费报销），请款（与ERP做接口），外出登记，加班申请，请购 等

第三篇：Matlab在“函数的极限”教学中的应用举例

Matlab在“函数的极限”教学中的应用举例

摘要：极限是微积分的基本工具和重要思想。该文利用Matlab画图工具，画出几个函数图形。借助于图形分析函数的极限，使学生印象深刻，更加清楚明了。

关键词：极限；微积分；Matlab；图形

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）24-0097-02

An Example of the Application of Matlab in “Limit of Function” Teaching

WANG Shan-shan，CHEN Xiao，SU Qian-qian

（Zhengzhou Chenggong University of Finance and Economics，Zhengzhou 451200，China）

Abstract： Limit is the basic tool and important thought of calculus.In this paper，by using the drawing tool in Matlab，we draw several function graphics.With the help of the graphics，we analysis the function’s limit，so that causes the students impressive and more clear.Key words： limit； calculus； matlab； graphic

微积分是三本院校偏文科类新生的一门重要的公共基础课，对于锻炼学生的逻辑思维能力、空间想象能力等起到关键作用，也是学生升学深造的一门考试课程。微积分课程本身比较抽象，理论性强，而且三本院校学习微积分的学生大部分都是文科生，他们数学基础薄弱，对学习数学不自信，普遍感到学习数学很吃力。

数列的极限和函数的极限是微积分里首先接触到的重要章节，后边很多重要的概念，例如：函数的连续性、可导、可积等都是借助于极限来定义的，因此极限是微积分的重要思想和基本工具，学好这一部分内容可以为后续内容打好基础，而且可以增加学生学习微积分的自信心。

如何改革教学方式，提高课堂效率成了微积分这门课程的改革热点。在授课方式上，可以将传统的黑板板书讲授和现代计算机软件相结合。Matlab 软件具有作图和数值计算的优势，可以生动表现函数图像，帮助学生想象、理解，同时有利于激发学生的学习兴趣。本文挑选几个稍微复杂点而且相互之间容易混淆的函数，教材中一般没有给出它们的图形，我们借助于Matlab的画图工具，将它们的图形展现出来，帮助学生理解记忆。几个函数的图像及其极限分析

1）[limx→∞x?sinx]

程序：

>> x=-40：0.01：40；

>> y=x.*sin（x）；

>> plot（x，y）

>> title（'y=x*sin（x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

如图1，可以观察到极限[limx→∞x?sinx]不存在。

借助于图像我们这样分析：虽然[x]趋向于无穷大，但是[sinx]是在-1和1之间取值的周期函数，它会把函数值不时的拉回到0，因此，随着[x→∞]，整个函数在[x]轴上下振荡，其振幅逐渐增大，函数没有极限。另外，我们说当[x→∞]时，函数[fx=xsinx]是无界变量但不是无穷大量，因为[fx]可以要多大有多大，但并不是从某个时刻之后总成立。用Matlab画出函数[fx=xsinx]的图形，学生一目了然，加强了学生对无界变量和无穷大量之间的关系的认识。

2）[limx→0sin1x]

程序：

>> subplot（1，2，1）；

>> fplot（'sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；

>> title（'y=sin（1/x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

>> subplot（1，2，2）

>> fplot（'x*sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；

>> title（'y=x*sin（1/x）'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

对于极限[limx→0sin1x]（图2左），可以清楚地观察到在原点附近函数[y=sin1x]的值在-1 与 1 之间波动，没有极限。理论分析：当[x→0]时，[1x→∞]。对于周期函数[y=sint]，易知当[t→∞]时，[y=sint]没有极限，函数在-1和1之间周期振荡。回头来说，则[limx→0sin1x]不存在极限，[x=0]称为函数[y=sin1x]的振荡间断点。

3）[limx→0x?sin1x]和[limx→∞sinxx]

在学习无穷小量这一节的内容时，我们证明过一个定理：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量。利用这个结论，虽然[limx→0sin1x]不存在，但[x→0]为无穷小量，所以函数[sin1x]乘以一个无穷小量后[limx→0x?sin1x]为无穷小量，因而极限为0。观察函数[y=x?sin1x]的图形（图2右），当[x→0]时，函数值不断振荡，但离0越来越近，极限为0。

同时，我们可以快速给出极限[limx→∞sinxx=0]。第一种思路：[limx→∞sinxx=limx→∞1x?sinx]，当[x→∞]时，[1x]为无穷小量，[sinx]为有界变量，无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，因此该极限为1；第二种思路：借助于前边得到的结果[limx→0x?sin1x=0]来求该极限，即[limx→∞sinxx=t=1xlimt→0t?sin1t=0]。函数在形式上容易混淆，要分清楚极限过程，发现两个极限的实质是一样的。观察图形（图3），随着[x]的无限增大，函数[sinxx]的图形沿[x]轴上下振荡，振幅逐渐减小，趋向于0。

4）[limx→0sinxx]与[limx→∞x?sin1x]

程序：

>> x=-6*pi：0.001：6*pi；

>> y=sin（x）./x；

>> plot（x，y）

>> text（0，1，'o'）

>> title（'y=sin（x）/x'）；

>> xlabel（'x'）；

>> ylabel（'y'）；

一般，在微积分教材中，都会把[limx→0sinxx]当做一个重要的极限来讲解，利用极限存在的“夹逼准则”证明出[limx→0sinxx=1]。现在本文给出函数[sinxx]的图形（图3），一目了然，当[x→0]时，函数[sinxx]的极限为1。

同时，我们可以快速给出极限[limx→∞x?sin1x=1]。思路为：[limx→∞x?sin1x=limx→∞sin1x1x][=t=1xlimt→0sintt=1]。另外，函数[x?sin1x]的图形（图2右）也已经给出，非常清楚直观。

结束语

本文一共介绍了6个函数的极限：[limx→∞x?sinx]不存在，[limx→0sin1x]不存在，[limx→0x?sin1x=limx→∞sinxx=0]，[limx→0sinxx=limx→∞x?sin1x=1]。我们从理论方法上分析了这6个函数的极限，并给出了它们的图形，使得学生们一方面学习计算极限的方法，另一方面通过观察图像加深对函数的了解和对极限的记忆。由此可见，恰当的应用 matlab 的画图功能，有助于巩固学生对重要概念的掌握和理解。

参考文献：

[1] 周坚.三本文科类新生适应高等数学教学的几点建议[J].西昌学院学报，2012（26）.[2] 麦红.Matlab在大学文科数学教学中的应用[J].电脑知识与技术，2008（4）.[3] 赵树??.经济应用数学基础

（一）：微积分（第3版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.[4] 李娜，仁庆道尔吉.Matlab在高等数学教学中的应用研究[J].大学教育，2012（11）.[5] 冯娟.文科高等数学教学内容改革初探[J].考试周刊，2010（22）：14.[6] 菅小艳.MATLAB在高等数学中的应用[J].计算机时代，2011（5）.

第四篇：PPT应用举例（精选）

幻灯片应用举例

（1）利用“Blends”模板创建一个演示文稿，其版式为“标题幻灯片”。

（2）插入7张新幻灯片，并将第二张幻灯片的版式设置为“标题和文本”，第3～8张幻灯片的版式设置为“空白”。

以下操作请在《大学计算机课程教学安排》一文中复制素材

（3）在幻灯片中输入相应文字。

（4）在幻灯片中添加小标题文本，并设置小标题的格式（要求第8页小标题为艺术字），在演示文稿中格式化文本。对幻灯片中的文本框进行位置和大小的调整。

（5）在第一张幻灯片中插入图片，并进行调整。

（6）对2-8张幻灯片设置母版和背景，要求母版中包括动画图片、文字说明；背景为“预设”中的“薄雾浓云”。并对“忽略母版的背景图形”、“保留母版的背景图形”、“应用”、“全部应用”进行说明。（在幻灯片浏览视图下，可以对多张选中的幻灯片背景进行设置）

（7）在第8张幻灯片中插入图片，并进行设

置。

（8）设置幻灯片中对象的动画效果。

（9）设置幻灯片放映时的切换效果。

（10）在幻灯片间建立跳转。

（11）在幻灯片中设置返回按钮。

（12）对所建演示文稿进行放映。

第五篇：等差数列应用举例

第5课时

【教学题目】§6.2.4等差数列应用举例 【教学目标】

1.掌握等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式； 3.掌握等差数列的前n项和公式；

4.会应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学内容】

1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式； 3.等差数列的前n项和公式；

4.应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学重点】

1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式； 3.等差数列的前n项和公式.【教学难点】

应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学过程】

一、知识点梳理

（一）等差数列的定义

an1and；

（二）等差数列的递推公式

an1and；

（三）等差数列的通项公式

ana1n1d；

（四）等差数列的前n项和公式

二、例题讲解 Snna1an2Snna1nn1d.2例

1、某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？

解法1：由题意可知，各排座位数成等差数列，公差d2,a2570于是

70a12512，解得

a122.所以 S25答：礼堂共有1150个座位.解法2：由题意可知，各排座位数成等差数列，将最后一排看作第1排，则a170，2522701150.2d2，n25，因此

S252570答：礼堂共有1150个座位.2525121150.2例

2、小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款.从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行一年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）是多少（精确到0.01元）？

说明：

（1）年利率1.71%，折合月利率为0.1425%.计算公式为月利率=年利率÷12；（2）年终结算时本金为1000*12；

（3）每个月产生的利息是不同的，第一个月到年底时产生的利息为：1000*0.1425%*12，第二个月到年底时产生的利息为：1000*0.1425%*11，以此类推.解：年利率1.71%，折合月利率为0.1425%.第1个月的存款利息为 1000×0.1425%×12（元）； 第2个月的存款利息为 1000×0.1425%×11（元）； 第3个月的存款利息为 1000×0.1425%×10（元）；

…

第12个月的存款利息为 1000×0.1425%×1（元）.应得到的利息就是上面各期利息之和：

Sn10000.1425%12312111.15（元）.故年终本金与利息之和为：

121000111.1512111.15（元）.答：年终结算时本金与利息之和（简称本利和）为12111.15元.三、学生练习

一个堆放钢管的V型架的最下面一层放1根钢管，往上每一层都比它下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V型架上共放着多少根钢管.分析：由题意知，V型架每一层放的钢管数构成等差数列，且a11，d1，an30.由等差数列的通项公式ana1n1d知：301n11，解得n30，故 S30

四、课堂小结

（一）等差数列的概念；

（二）等差数列的通项公式；

（三）等差数列的前n项和公式；

（四）应用等差数列的相关知识解答实际问题.五、作业布置

（一）课本P11练习6.2.4；

（二）课本P11练习6.2A组第9题、第10题、第7题，第8题.六、教学反思

本节课的重点在于使学生利用等差数列的相关知识解答实际应用问题，是学生能将所学到的只是很好的应用到实际生活中去.这样有利于培养和提高学生学习数学的积极性和兴趣、也有利于使学生逐步学会理论联系实际.通过课堂练习和作业反映的情况来看，学生都能较好地将等差数列的相关知识应用于解答实际问题，但也有些学生表现出基础计算能力较弱，需教师加强指导.na1an30130465.22