8如何认识《义务教育数学课程标准》中的“三重联系”？(徐文彬：江苏教育小学版201302)

第一篇：8如何认识《义务教育数学课程标准》中的“三重联系”？(徐文彬：江苏教育小学版201302)

如何认识《义务教育数学课程标准》中的三重联系？

徐文彬

（南京师范大学 课程与教学研究所，南京 210097）

摘要：针对2011年版《义务教育数学课程标准》所明确提出的“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系„„”这一课程目标，本文运用教学实例较为详细地讨论了“如何正确地认识三重联系”这一问题，并明确指出：应在小学“数与代数”教学中运用准变量（表达式）；应在联系其它学科中注意避免“数学的丧失”；应在联系生活时注意区分“数学知识的应用”与“数学知识的巩固”。

关键词：义务教育数学课程标准；三重联系；小数教学

尽管2001年版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出了“体会数学与自然及人类社会的密切联系„„”[1]这一总体目标之一，但10年后的《义务教育数学课程标准（2011年版）》却更为明确地提出了“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，„„”[2]这一总体目标。那么，我们该如何认识这三重联系呢？本文将结合小学数学教学实践来谈谈我们对这三重联系的认识，以期望能够引起人们的重视，并激发小学数学教育界的相关研究热情。

一、数学知识之间的联系

就现实而言，小学数学包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”等四部分内容，它们之间的相互联系的重要性自不待言。但是，我们却往往忽视了其各自内在的联系。譬如，“数与代数”中的“数”与“代数”之间究竟是如何联系在一起的？这不仅需要我们从数学本身来思考，而且更需要我们从学生学习与教师教学的视角来分析。就数学发展而言，算术（主要就是指数尤其是整数甚至有理数[3]及其运算）的发展要早于代数，而且代数的学习相比于算术的学习需要更高的智力。但是，时至今日，当我们把数与代数合称为“数与代数”时就不能仅仅局限于其历史发展上的割裂，而应探讨其“内在可能的”关联上。其实，算术可以视为“关于数的代数”，而代数则可看作“关于字母的算术”，其间的基本运算不外乎加、减、乘、除，甚至乘方与开方、绝对值等及其运算规律。就数学学习与教学而言，我们还需要“教学法的思量”。算术学习是代数学习的基础，但是，算术的思维却与代数的思维有着本质的不同：前者主要是程序思维（procedural thinking），而后者则主要是关系思维（relationship thinking）；算术主要是由程序（procedure）思维来刻画的，也即，算术程序思维的核心是获取一个（正确的）答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维则是由关系或结构（relation or structure）来描述的，它的目的是发现（一般化的）关系、明确结构、并把它们联接起来。那么，我们

1应该如何从数学本身出发，并为学生学习和教师教学考虑，来设计数与代数之间的关联呢？

算术中的准变量（表达式）（Quasi-variable（expressions））可能就是这样一种关联。而在我们运用准变量这一概念时就意味着：一个或一组数字语句，它（们）蕴涵着一个潜在的数学关系，在这种关系中，不管它所包含的数字是什么，这（些）语句都是真的。譬如，62-38+38=62、53-71+71=53（这两个等式蕴含着这样一个代数关系式：a-b+b=a），32-5=32+5-

10、63-7=63+3-10（这两个等式也蕴含着一个相应的代数关系式：知道是什么吗？），34-28=（30-20）-（8-4）（这类等式也蕴含着一个相应的代数关系式：能写出来吗？），2000-1987=1999-1986、2001-1987=1999-1985（这类等式所蕴含的代数关系式是什么？），„„

由此可见，只要小学数学教师有一双代数的眼睛（善于观察算术中潜在的一般关系或形式）与一副代数的耳朵（善于倾听学生的思考），我们就可以在算术中教授学生代数——“数与代数”也就名至所归了。不仅如此，这将更有助于我们降低或排除学生在初中（较为系统地）学习代数时的困难甚至障碍。

二、数学与其它学科之间的联系

在小学数学与其它学科之间的联系当中，数学与科学的联系最为紧密，尤其是在“数与量的关系”当中这种联系则显得更为明显。譬如，在“分数的初步认识”当中就蕴含着“数与量的关系”，因而也就隐含了“数学与科学的联系”。但是，在我们的教学实践当中，由于过于强调对分数的“初步认识”而往往忽视了“数与量的区分”，并因此以丧失“数的意味”为前提而着力关注于“量的含义”。

具体而言，我们可以“1/2的认识”为例。在不同版本的小学数学教材中，大多都以把某一具体的物件（譬如，月饼或圆形纸片、正方形或长方形纸片）平均分为2份，并因此而把其中的一份记为1/2个（物件，教学实践中，这一物件都具体地指称为上述月饼等）。但是，当课堂上有学生指出：“老师，半个正方形和半个长方形好像不一样大，为什么都用‘1/2’来表示呢？”每到此时遇此事，老师们都会强调指出：“这里的‘1/2’后面都有一个具体的物件，譬如，正方形或长方形，而‘1/2’只是表示其中的‘一份’。所以，‘1/2’可以表示把不同或任何物件平均分成2份之后的‘一份’。”而不遇此事的任何时刻，老师们一般都不会如此强调。因为这种强调对于三年级的小学生而言犹如“成人的文字游戏”——无聊而晦涩难懂！问题是，不仅如此，更为关键的是我们这里所强调的可能还并不是数“1/2”的“数学意味”，而是其“量的含义”（即科学也是日常生活中的含义）。

那么，我们到底该如何来教授三年级小学生初步认识数“1/2”却又不脱离其生活或科学常识呢？

这种数学概念的获得显然属于“概念形成”。在数学概念的形成过程中，结合学生已有的生活实际和学习经验是值得肯定和鼓励的，但如何从这些“感性材料”形成表象，再从表象归纳、抽象、概括出所教授的数学概念的内涵则需要在具体的教学活动中来把握。首先，我们在引导学生用“1/2”来表示“半圆（面积）” “一个长方形的一半（周长）”“一块月饼的一半（重量）”“10根小棒的一半（数量）”“一分米的一半（长度）”等等时，似乎应该明确“区分”这里的“1/2”是不一样的：面积、周长、重量、数量、长度等，也就是说这

里的“1/2”是“不同的量”，而非“不同的数”，即我们通常所谓的“分数的意义”。这样，我们就形成了关于单位分数“1/2”的意义之“不同又相同的”表象，即“某个具体量的一半”（量在变化，数却没有变，即“一份与两份之间的关系”不变！）。其次，我们再分析、归纳这“不同又相同的”表象中的“不同中的相同”，舍弃其“不同”：量的不同，抽象、概括出其中的“相同”：数的相同，即“某个抽象的量的一半”或“单位整体的一半”（这里的“单位整体”不是某个具体的单位整体，而是没有具体单位的“单位整体”或者说就是“1”（the one or the entirety）。再次，在得出“1/2”等单位分数的内涵之后再回过头去体会那“不同中的相同”和“相同中的不同”，我们还会形成更高层次的表象：数“1/2”的表象。最后，我们在做上述教学活动安排时都应把单位分数植入“分数的概念框架”和“数的概念框架”之中来展开。上述内容是安排在小学三至六年级的，因此，三年级至少可以教授至第一步（完成进行式），而非第一步的未完成式。

不仅如此，这里其实还存在着更多的数学与科学的联系与区别。譬如，“科学中的平均分”似乎都是会有误差的，而“数学中的平均分”是绝对不容许有任何误差的。那么，如何进行“数学的平均分呢？”其实，没有任何具体现实的办法——这是科学的问题，只有在大脑中理想化、抽象化、形式化地平均分——这是数学思考的方式方法。因此，“过程与方法”目标的达成就必须通过这种“数学思考”，而非仅仅是“科学思考”所能够完成的。

三、数学与生活之间的联系

尽管近现代数学的发展给人们的印象是“越来越远离我们的生活”，但是，数学的起源与发展无时无刻不与我们的生活紧密相连。而小学生所学习的数学基本上都属于“初等数学”的范畴，几乎毫无例外地都与我们的生活联系紧密。因此，在小学数学中联系孩子们的生活来开展教学活动是极其自然而然的事情。但是，现实中却经常会出现“把成人过时的经验当成当下孩子们的经验”以及不能区分“联系生活的数学运用与知识巩固”等问题。

譬如，老师在教授完一年级小学生“十加几等于十几”之后，布置了这样一道练习题：“一位小学老师带领10名小朋友去公园游玩，请问需要买几张门票？”现实课堂中，有位小学生回答道：“10张”，而老师则依据标准答案（11张，实为参考答案！）判为“错误”。事后，我们通过询问该学生“你是怎么想的？”获悉：他上幼儿园时，老师曾带领他们去公园游玩，而老师当时并不需要买票。由此可见，该老师在评判学生的回答时已经错把“自己的经验”（抑或编写参考答案者的经验）当成了孩子的经验。我们不仅要纠正此类错误，更为重要的是，我们到底应该如何运用此类问题来帮助孩子学习数学呢？

事实上，这里存在着一个教学目的的确定与选择的问题。首先，这类问题的教学运用存在着两个不同的目的。如果我们老师想要运用孩子们的生活经验来帮助他们巩固所学习的“十加几等于十几”这一数学知识，那么我们该怎样设计此类问题及其参考答案呢？如果我们老师意欲引导学生运用“十加几等于十几”这一数学知识来解决或解释他们生活中的经验问题或事件，那么我们又该如何设计此类问题及其解答呢？其次，不同教学目的的确定与选择则决定了问题设计的不同。

如果我们选择了后者，那么原来的问题就很好，只是我们不会也不能有唯一的参考答案，而如果我们再追问：“说说你的亲身经历”那就更好了——学生的经验就是最好的教学资源

之一；如果再把学生们的不同回答引入课堂讨论，那么“教学的教育价值”就会得到更好的彰显——学生的相同或不同经验可以让同学们体会到差异的客观存在及其主观感受。如果我们选择了前者，那么我们就要想一想：我们真的懂孩子们吗？我们如何才能够知道、了解甚至熟悉孩子们的当下生活经验？在我们熟悉孩子们的当下生活经验之后又该如何设计联系这些经验的问题（情境），以帮助他们巩固所学的数学知识呢？还是以上述“十加几等于十几”为例，我们可以从孩子们经常收集的卡片或玩耍的游戏入手。譬如，我们可以编制这样一道题目：小学生小明现在（或本周前）有某种卡片10张，由于其本周表现都很好，母亲每天都给他买一张，请问：本周五之前他有几张卡片？本周三之前呢„„这样，就很有可能有助于我们当初所确定与选择的教学目的的达成，而不会出现最初的“误判”。

因此，“体会数学与生活的联系”这句话很简单，但是要把它运用得恰到好处却并不是一件容易的事情，它需要我们真心地对待每一位孩子、数学与我们自己。

当然，对这三重联系的正确认识与教学运用应以学生获取“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[4]为其前提，以学生“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[5]为其追求。

注释：

[1] 教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001：6.[2] [4] [5] 教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011：8.[3] “课标”中的分数、小数、百分数、百分比和比例等均是“有理数”的不同表达方式或表现形式。

基金项目：

（1）2009年度教育部重点课题——和谐学校文化建设与课程教学的关系研究（DHA090189）；

（2）2011年度江苏省教育科学规划重大课题——基础教育课程改革重大理论与实践问题的深入研究（A/2011/08）；

（3）2012年度教育部人文社会科学研究规划基金项目——基础教育课程改革重大理论与实践问题的深入研究（12YJA880139）

作者简介：

徐文彬，男，安徽宣城人，南京师范大学课程与教学研究所常务副所长，教授，博士生导师，主要从事课程与教学论、数学教育和小学教育研究。

第二篇：对义务教育阶段数学课程标准中十大核心概念的认识

对义务教育阶段数学课程标准中十大核心概念的认识

《义务教育阶段数学课程标准（修订稿）》把课程内容分为4个部分：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。又提出了与内容有关的10个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识，并且对每一个核心概念都给出了较为明确的解释。

1、对数感的认识。数感是一种感悟，是对数量、对数量关系结果估计的感悟；数感的功能是建立数感，有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。而形成数感是一个长期的过程，不是一天两天就能够让学生感受的到的，或者说能够在这方面有很好的感觉，需要在活动当中，逐渐的去积累，对数的这样一种认识。换句话说要积累相关的经验，所以这点，可能还需要老师在教学当中给予更多的关注。

2、对符号意识的认识。符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。就是用符号来表示，表示什么，表示数，数量关系和变化规律，这是一层意思。还有一层意思，就是知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得结论具有一般性。

3、对空间观念的认识。空间观念是实物和图形之间的关系，是两个方向的关系，这就是说，通过实物，根据实物来抽象出几何图形，这是一个方向。另外一个就是根据几何图形想象出所描述的实际物体，在这里边一个是抽象，一个是想象。

4、对几何直观的认识。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学的学习中，发挥着重要的作用。在帮助学生建立几何直观时，第一要充分的发挥图形给带来的好处。第二，要让孩子养成一个画图的好习惯。第三，重视变换，让图形动起来，把握图形与图形之间的关系。第四，要在学生的头脑中留住些图形。

5、对数据分析观念认识。数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。

6、对运算能力的认识。运算能力是指能够根据法则和运算进行正确的运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算结果，比运算的熟练程度更重要。应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度。”

7、对推理能力的认识。首先推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用的一种思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理的外延包含了两个大方面，一个是合情推理，一个是演绎推理。演绎推理是从已知的事实出发，按照一些确定的规则，然后进行逻辑的推理，进行证明和计算。换句话说，从思维形式的角度，是从一般到特殊的过程，在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理形式。合情推理是从已有的事实出发，评论一些经验、直觉，通过归纳和类比等等这样一些形式，来进行推断，来获得一些可能性结论这样一种思维方式。和演绎推理不一样的是从特殊到一般这样一种推理，所以合情推理得到的结论，知道不一定是对的，通常可能称之为猜想、推测，是一个可能性结论。但是合情推理在数学整个发展过程当中，包括在学生学习数学和今后的未来的社会生产实践和生活当中，都是特别重要的。

8、对模型思想的认识。模型思想的建立，使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。数学有两件事情很重要，一件事情就是解决问题，所以要形成模型；另外一件事，要从实际情境中找到解决问题的模型。一个是归纳的过程，一个是演绎的过程。

9、对应用意识的认识。应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

10、对创新意识的认识。创新是一个永恒的主题，创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。