不等式的证明方法总结

第一篇：不等式的证明方法总结

不等式的证明方法总结

西安高新三中张霁

一．比较法（作差比较，作商比较）

例1．已知x(x2-y2)(x+y)．

证明：∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y)>0

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y)．

例2．已知a>b>c，求证a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2．

证明：∵(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)

222=a(b-c)+a(c-b)+bc(b-c)

=(b-c)(a2-ac-ab+bc)

=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]

=(a-b)(a-c)(b-c)>0

222222∴ab+bc+ca>ab+bc+ca．

例3．已知a，b>0，a≠b，求证aabb>abba． aabba证明：baaabbba()ab． abb

a1 ∴上式>1； b

a当b>a>0时，a-b<0，0<1 ∴上式>1； b

abba∴ab>ab．

(注意：作差法，比较差与0的大小；作商法，比较商与1的大小．)

二．综合法

bccaababc． 例4．已知a，b，c>0，求证abc当a>b>0时，a-b>0，证明：∵

同理bccabcca22c，ababcaab2a，bc

abbc2b，ca

bccaab∴2()2(abc)，abc

bccaababc． 即abc

111例5．已知a，b，c>0，a+b+c=1，求证(1)(1)(1)8． abc

111证明：(1)(1)(1)abc

1a1b1c= abc

bcacab= abc

2bc2ac2 abc

=8

三．分析法

例6．已知a≥3，求证a12a3． 证明：要证原式，只需证aa3a12，即证(aa3)2(a1a2)2 即证2a32(a3)2a32a1)(a2)即证a(a3)(a1)(a2)

即证a2-3a≤a2-3a+2

即证0≤2

因为上式成立，所以原式也成立．

四．换元法

a2b2

(ab)2． 例7．已知00，求证x1x

证明：方法一.令x=sin2α，则1-x=cos2α．

a2b2 x1x

=a2csc2α+b2sec2α

=a2(1+cot2α)+b2(1+tan2α)

=a2+b2+a2cot2α+b2tan2α

≥a2+b2+2acotα·btanα

=(a+b)2

a2b2a2b2a2(1x)b2x22方法二.()[x(1x)]ab(ab)2.x1xx1xx1x

五．放缩法

abcd2． abdbcacdbdac

abcd证明： abdbcacdbdac例8．已知a，b，c，d>0，求证1

abcd1； abdcbcadcdbadacb

abcd abdbcacdbdac

abcd2．

n(n1)n(n2)223n(n1),(nN)． 例9．求证22>

证明：223n(n1)>122nn

=1+2+…+n n(n1)=； 2

223n(n1)1223n(n1) 222

1=[(12n)(23(n1))] 2

1n(n1)n(n3)] =[222

n(n2)=． 2<

练1．已知x，y>0，求证

2xyxy． 1xy1x1y131

n2n． 练2．求证n1

练3．求证11112． 22223n

六．反证法

例10．已知p3+q3=2，求证p+q≤2．

证明：假设p+q>2，则(p+q)3>23，即p3+3p2q+3pq2+q3>8，即p2q+pq2>2，即p2q+pq2>p3+q3，即pq(p+q)>(p+q)(p2-pq+q2)，即pq>p2-pq+q2，即p2 +q2<2pq，与p2 +q2>2pq矛盾，所以p+q≤2．

例11．已知f(x)=x2+px+q，求证

⑴f(3)+f(1)-2f(2)=2；

⑵|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于0．5．

证明：⑴f(3)+f(1)-2f(2)=(9+3p+q)+(1+p+q)-2(4+2p+q)=2；

⑵假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|<0．5，则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2，而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>|f(1)-2f(2)+f(3)|=2，矛盾．

所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于0．5．

七．判别式法

例12．已知a，b，c，d∈R，求证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

证明：当a=b=0时，上式显然成立；

当a，b不全为0时，因为关于x的不等式(ax-c)2+(bx-d)2≥0恒成立，22222即(a+b)x-2(ac+bd)x+(c+d)≥0恒成立，由△≤0，即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

综上所述(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

八．构造向量

22222例13．已知a，b，c，d∈R，求证(a+b)(c+d)≥(ac+bd)． 证明：设向量=(a，b)，=(c，d)．

，∴|ac+bd|≤a2b2c2d2，平方即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

九．构造函数

例14．已知△ABC的三边长是a，b，c，且m>0，求证

证明：令函数f(x)=abc． ambmcmx,(x0).xm

xmmm1,知f(x)在(0，+∞)上是增函数． 由f(x)=xmxm

∵a+b>c

∴f(a+b)>f(c)abababcf(ab)f(c)∴，ambmabmabmabmcm得证．

例15．已知b>a>e，求证ab>ba． lnx,(xe)，证明：令f(x)x

1lnxf'(x)0，x2

∴f(x)在(e，+∞)上是减函数．

∵b>a>e，∴f(b)

∴alnbba．

第二篇：证明不等式方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。1比较法

比较法是证明不等式的最基本方法，具体有“作差”比较和“作商”比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）

例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由题目观察知用“作差”比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

证明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba

分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同“1”比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小

证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及变形有：

（1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）

（2）若a、b∈R+，则a+b≥ 2ab（当且仅当a=b时，取等号）

（3）若a、b同号，则 ba+ab≥2（当且仅当a=b时，取等号）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1则a1-b2+b1-a2≤

1分析：通过观察可直接套用： xy≤x2+y2

2证明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，当且仅当a1+b2=1时，等号成立

练习2：若 ab0，证明a+1(a-b)b≥

33综合法

综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

例4，设a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

证明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f(n)=1gan+bn+cn

3求证：2f（n）≤f（2n）

4分析法

从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 ｜a-c｜＜c2-ab也不适用基本不等式法，用分析法较合适。

要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需证-c2-ab＜a-c＜c2-ab

证明：即证 ｜a-c｜＜c2-ab

即证(a-c)2＜c2-ab

即证 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要证 a-2c＜-b 即需证2+b＜2c，即为已知

∴ 不等式成立

练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放缩法

放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。

例6：已知a、b、c、d都是正数

求证： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。

证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

综上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

练习5：已知：a＜2，求证：loga(a+1)＜1

6换元法

换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。

(1)三角换元：

是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0＜A＜

1证明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

复习6：已知1≤x2+y2≤2，求证：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值换元：

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z2≥431

4证明：设x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反证法

有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题，适宜用反证法。

例9：已知p3+q3=2，求证：p+q≤

2分析：本题已知为p、q的三次，而结论中只有一次，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。

证明：解设p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2练习7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求证：a＞0，b＞0，c＞0

8数学归纳法

与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。

例10：设n∈N，且n＞1,求证：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法

证明：（1）当n=2时，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假设n=k(k≥2，k∈n)时不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要证①式左边＞2k+32，只要证2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

对于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即当n=k+1时，原不等式成立

由（1）（2）证明可知，对一切n≥2（n∈N），原不等式成立

练习8：已知n∈N，且n＞1，求证： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49构造法

根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。

1构造函数法

例11：证明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

证明：设f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的图像表示y轴对称

∵当x＞0时，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴当x＜0时，据图像的对称性知f（x）＜0

∴当x≠0时，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

练习9：已知a＞b，2b＞a+c，求证：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2构造图形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，则|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下图，设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

练习10：设a≥c，b≥c，c≥0，求证 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添项法

某些不等式的证明若能优先考虑“添项”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍数添项

若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）证明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。

2平方添项

运用此法必须注意原不等号的方向

例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

证明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0时ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添项

例15：在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算术平均值添项sin π

3证明：先证命题：若x＞0，y＜π，则sinx+siny≤2sin x+y2（当且仅当x=y时等号成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反复运用这个命题，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

练习11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等号成立的条件添项

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求证a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制则a=b= 12时，等号成立

证明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等号不成立∴③中等号不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立？ 错解：证明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故说明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要证不等式xx+2y+xx+2y≤23，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

错解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

错因：根据不等式的性质：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,则ac bd，但 ac＞bd却不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，两边同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 设x+y>0，n为偶数，求证yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

错证：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n为偶数，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同号，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

错因：在x+y>0的条件下，n为偶数时，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同号，应分x、y同号和异号两种情况讨论。

正解：应用比较法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 当x>0,y>0时，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 当x,y有一个是负值时，不妨设x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n为偶数时,所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

综合①②知原不等式成立

第三篇：不等式证明若干方法

安康学院 数统系数学与应用数学 专业 11 级本科生

论文（设计）选题实习报告

11级数学与应用数学专业《科研训练2》评分表

注：综合评分60的为“及格”； <60分的为“不及格”。

第四篇：不等式的证明方法

几个简单的证明方法

一、比较法：

ab等价于ab0；而ab0等价于a

b1.即a与b的比较转化为与0

或1的比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：

综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：

正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：

要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证cb，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a21a；n(n1)n；

②将分子或分母放大（或缩小）；

③利用基本不等式，如：

log3lg5（n(n1)lg3lg522)2lglglg4； n(n1)；

④利用常用结论：

k1k

1k1

1k

11k1k



12k

1k；

1k(k1)

1k1

1k

1k1

1k



1k(k1)1k；



（程度大）

1k



1



(k1)(k1)



2k1

（)；（程度小）

五、换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：

已知x2y2a2，可设xacos,yasin；

已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1)； 已知

xaxa

2

ybyb

1，可设xacos,ybsin；

已知



1，可设xasec,ybtan；

六、数学归纳法法：

与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：

第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则

(1)、设P(n0)成立，且对于任意的kn0，从P(k)成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1km)成立可推出

P(k1)成立，则P(n)对所有不超过m的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n2m)，使得P(n)成立，且从P(k1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.(4)、若P(且P(n)对所有满足1nk的n成立可推出P(k1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若P)且若P(k),P(k1)成立可推出P(k2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若

P(1)

成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k1)成立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立；②设P(m1,n),P(m,n1)成立，证明P(m1,n1)也成立.第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明

n



k

11k

sinkx0,(0x)

就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法；有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.七、构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.22

例1 已知a，bR，且ab1.求证：a2b2

252

.证法一：(比较法)a,bR,ab1

b1a

a2b2

252

ab4(ab)

122(a

12)0

a(1a)4

2a2a

即a22b22

证法二：(分析法)

252

(当且仅当ab时，取等号).a22B2

252

ab4(ab)8

252

b1a

225122

(a)0a(1a)4822

显然成立，所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).证法四：(反证法)

假设(a2)2(b2)2

252，则 a2b24(ab)8

252

252

.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212

1

所以(a)0，这与a0矛盾.22

.所以a2b2

252

.证法五：(放缩法)

∵ab1

∴左边＝a2b2

a2b221252ab4

222

＝右

边.点评：根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用基本不等式

ab

ab2.2

证法六：(均值换元法)

∵ab1，所以可设a

12t，b

t，1

∴左边＝a2b2(t2)2(t2)2

5525252

＝右边.tt2t

2222

当且仅当t0时，等号成立.点评：形如ab1结构式的条件，一般可以采用均值换元.证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)

设ya2b2，由ab1，有y(a2)2(3a)22a22a13，所以2a22a13y0，因为aR，所以442(13y)0，即y故a2b2

252

.252

.下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.引理：设A0，B0，则(A+B)nAn+nA(n-1)B，其中nN.证明：由二项式定理可知

n

(A+B)=AniBiAn+nA(n-1)B

n

i0



(A+B)A+nA

nn(n-1)

B

第五篇：证明不等式方法探析

§1 不等式的定义

用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含

sinx1，ex＞0，2x＜3，5x5不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y2xy，等。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如

是超越不等式。lg(1＋x)＞x

不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于

号)“”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为

F(x,y，,z)G(x,y，,z)(其中不等号也可以为＞，，＜ 中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

§2 不等式的最基本性质

性质1：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；(对称性)

性质2：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；(传递性)

性质3：如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z；(加法则)

性质4：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz；(乘法则)性质5：如果x＞y，z＞0,那么xyxy＞；如果x＞y，z＜0，那么； zzzz

性质6：如果x＞y，m＞n，那么xm＞yn；(充分不必要条件)

性质7：如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn；

性质8：如果x＞y＞0，那么xy.如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，下面将介绍一些重要的不等式。nn

几个简单的证明方法

一、比较法：

ab等价于ab0；而ab0等价于

a

1.即a与b的比较转化为与0或1的 b

比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：

综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：

正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：

要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证cb，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：a1a；n(n1)n； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，如：

log3lg5（lg3lg

52)lglglg4； 2n(n1)

n(n1)；

④利用常用结论：

k1k

1k1k



12k；

11111111 ；（程度大）22

k(k1)k1kk(k1)kk1kk

111111()；（程度小）22

(k1)(k1)2k1k1kk

1五、换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：

已知x2y2a2，可设xacos,yasin；

已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1)；

x2y

2已知221，可设xacos,ybsin；

abx2y2

已知221，可设xasec,ybtan；

ab

六、数学归纳法法：

与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：

第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则

(1)、设P(n0)成立，且对于任意的kn0，从P(k)成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1km)成立可推出P(k1)成立，则

P(n)对所有不超过m的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n2)，使得P(n)成立，且从P(k1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.(4)、若P(1)成立，且P(n)对所有满足1nk的n成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若P(1),P(2)成立，且若P(k),P(k1)成立可推出P(k2)成立，则P(n)对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有

m

n成立.七、构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.构造法

构造法作为一种重要的化归手段，是数学中一种富有创造性的思维方法，在数学解题中尤其在证明不等式中有着重要的作用.文章采取了归纳总结的方法．通过构造几种数学模型，即：函数模型、方程模型、不等式模型、复数模型、矩阵模型，探讨构造法在证明不等式中的应用.3.1.1 构造函数或方程：

一、利用函数的单调性：

利用函数的单调性，不但可以证明许多不等式，还是发现和构造新不等式的基本工具.设f是定义在R的子集E上的有限函数，若x1,x2E,x1x2,f(x1)f(x2)，则称f在E上递增；若f(x1)f(x2)，则称f在E上严格递增；若f(x1)f(x2)，则称f在E上递减；

若f(x1)f(x2)，则称f在E上严格递减.递增与递减统称为单调，即

f(x)f(xx)f(x)当x0时不变号.下面，我们利用函数的单调性来证明第一章中的AG不等式.AG

不等式：An

a1a2anGn，其中ai,bi0，i1,2,,n.n

1nx

1x

(ak),x0nk1

证明：令f(x).1n

(a)n,x0kk1

则f在[,]上严格递增(当a1a2an是不全相等的正数时)，于是f(0)f(1)，即

GnAn成立.二、抛物线(二次方程)技巧：

某些代数式配方后，化为f(x)ax2bxc的形式，若a0，则b4ac0等价

于

f(x)0

.有些

f(x)

形式上不是代数式，例如，f(x)asinxcosxb(sinxcosx)1,(a0)，令tsinxcosx，就可以化为t的二次三项

式；有时也可以利用卡丹公式：三次代数多项式f(x)x3pxq有三个实根的充要条件是判别式()()0.下面，我们用抛物线技巧来证明柯西不等式.三、极值方法：

极值方法包括Lagrange乘数法、最小二乘法等.函数的极值理论是发现和证明不等式的万能武器，我们可以利用变量的对称性，用局部固定法，将多元函数的极值转化为一元函数的极值处理.下面，我们用Lagrange乘数法来证明第一章中的AG不等式.q

2p2

a1a2anGn，其中ai,bi0，i1,2,,n.AG

不等式：An

n

证明：AG不等式求f(x)(x1x2xn)在条件x1x2xna下的最大值.作辅助函数F(x)(x1x2xn)(x1x2xna).n

1n

F对xk求偏导数Fx'k0，得出

f(x)nxk,k1,2,,n.(3.1.1)对k求和，得到nf(x)n(x1x2xn)na.即

f(x)a(3.1.2)从(3.1.1)式、(3.1.2)式得出xk

aaaa

.于是f在(，,)点取得最大

值nnnn

axxxna，即GnAn.，所以

1

2nnn

§2 微积分法

一、微分方法：

为证f(x)g(x)，有时归结为证f(x)g(x)，可使问题简化，例如第一章中的AG不等式的证明.对于某一类积分不等式，常将积分上限b换成变量x，即这往往是十分有效的证明技巧.二、积分方法：

积分方法包含用积分的性质和积分不等式.特别是积分的单调性.利用积分还可以证明某些数列或级数不等式，除了通常的黎曼积分、勒贝格积分外，用各种新积分来证明不等式是很有前途的的新方向.下面，我们用积分方法来证明第一章中的AG不等式.AG

不等式：An



b

a

f变成F(x)f，对F求导数，a

x

a1a2anGn，其中ai,bi0，i1,2,,n.n

证明：不妨设0a1a2an，于是必存在某个k,1kn1，使得akGnak1.用An表

knGn1ajAn11

1示An(a,q),Gn表示Gn(a,q)，则1qj()dtqj()dt0.ajtGnGGNGntj1jk1n

即有 GnAn成立.八、利用中值定理：

包括微分中值定理和积分中值定理.在现在数学分析教材中，它们都是写成等式形式，例如

f(b)f(a)f(c)(ba)，式中的c，只知道与a,b,f有关.但对于许多应用来说，只要导数f'(x)的上、下界：mf'(x)M，就得出不等式：

m

f(b)f(a)

M.ba

因此，中值定理的实质是由不等式的形式揭示出来的.