2014年高等数学竞赛——专题五不等式

第一篇：2014年高等数学竞赛——专题五不等式

专题五不等式

1.设f(x)在 [0, 1]上连续,非负，单调减。

2.f(x)dxaf(x)dx(0a1)00a1

babf(x)dx 3.设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:xf(x)dxa2ab

4.设f(x)在 [0, 1]上可导,且f(0)0,0f(x)1.1135.0f(x)dx0f(x)dx.2

sinx(0x)x2

b2(ba)(0ab)7.求证: lnaba6.求证: 2

8.比较e与e的大小.9．设limx0f(x)1，且f(x)0，证明：f(x)x.（泰勒，最值，中值）x

10.设f(x)在[0,)二阶可导，且f(0)1,f(0)1,f(x)f(x),(x0).求证：f(x)ex.11.设f(x)在1,1内有f(x)0，且limx0f(x)sinx2，证明在1,1内有x

f(x)3x.12.证明：0x1时 有xln(1x)1xarcsinx

x13.试利用函数f(x)a,对于a1,x1,证明以下不等式

a.n21naaalna(n1)2

1n11n1n1

第二篇：高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法

摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。

关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

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【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。

【关键词】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 辅助函数； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。

例1设e4e2(b-a)。

解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x

例2设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用辅助函数的单调性证明

辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。

例3试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4设b>a>e，证明ab>ba。

分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展开式证明

泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。

例5设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。

解： 对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述两式相减得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因当c∈(0,1)时，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。

例6设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2。〖jf)〗

证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函数图形的凹凸性进行证明

函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。

f′(x)>0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

类似的如：证明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

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第三篇：大一高等数学竞赛策划

大一高等数学竞赛策划

一、目的及意义

高等数学是理工科基础中的基础，也是学科建设的基础。与物理、物化、工

程力学、传输原理、电工学等几乎所有理工科课程有关。03级实践证明98%的同学由于高等数学底子薄弱听不懂课程，导致最后强烈要求将统计热力学改为考查课。而且在许多理工类论文的研究突破点上，高等数学及其数学思维功不可没。它与考研息息相关，且与英语两门决定考研大局。

通过竞赛激发同学学习兴趣，大一时就打好坚实的数学基础，为以后其它知

识学习提供必备的学习工具。03，04级挂科的同学也可以参加，这样可以帮助他们发现学习中的漏洞及时弥补提高整体通过率。还可以为形成考研队伍起到引导、启发作用。而且在教学上起到检验教学的目的，并且通过竞赛活动希望达到教学相长的作用。但最重要的还是希望这次活动为材料系学科建设形成具有特色的模式进行抛砖引玉，为培养具有后劲人才打下基础。

为此学习部组织本次由学习部出题，批卷的高数竞赛活动。并且考完后由学习部组织同学对试题进行详细讲解以及对其它疑问知识的解答。

三、命题及考试方式

① 试题特点：满分为150分，选择题12题，每题5分。填空题4题，每题4分。

解答题6题，分别8、10、10、12、12、14分。基础题共106分，压轴题44分，且采取多题把关的方式。

② 命题小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

③ 监考小组：总监：孙强督察：马建军（辅导员）

成员：阙永生、魏冰、靳冰花、刘文杰

④ 批卷小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

四、考试安排

时间：12月24日上午9：00 ~ 11：00（考生8：40进入考场）

地点：13#129

五、奖励方式

一等奖1 名、二等奖1名、三等奖1名、鼓励奖5名

具体奖励办法：一等奖80元、二等奖50元、三等奖20元、鼓励奖每人钢笔1支、一等奖、二等奖、三等奖荣誉证书各一份

六、经费操作

①

②

③

④

⑤ 奖品费用总计约为225元。试卷用纸30元。光荣榜用纸3元。命题人员活动经费每人8元（共40元）。总计：298元

材料系学习部

2005年10月10日

第四篇：绝对值不等式题型五

典型例题五

例5 求证ab

1aba

1ab

1b．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f(x)x1x11． 11x1x1x

定义域为｛xxR，且x1｝，f(x)分别在区间(,1)，区间(1,)上是增函数． 又0abab，∴f(ab)f(ab)即ab

1abab

1aba

1abb

1aba

1ab

1b

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵abab，1ab0，∴abababab． 1ab1ab1ab1ab1a1b

错误在不能保证1ab1a，1ab1b．绝对值不等式abab在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

第五篇：高等数学竞赛感想

高等数学竞赛（微积分竞赛）参赛感言

数学思维是数学学科的重要组成部分，其变换的形式以及严谨的结构逻辑是数学之美上的一颗璀璨明珠。本文简单阐述我对数学以及微积分，这个数学的重要分支的一些理解以及参加工科微积分竞赛的一些感想。

我认为，首先，数学赋予了我们一个淸晰的头脑，这使得我们可以肴淸事物之间的联系；其次，数学加深了我们对事物的判断能力；第三，数学开发了我们的逻辑思维。

最近几年，我不断的体会到数学在学习以及生活等方而都为我们提供了大量的可利用资源，并不是所有人都理解这一点，毕竟数学是一门非常抽象的学科，数学在本质上完全不同于物理化学。员然应用学科带来了巨大的经济效益，伹倘若没有数学作为基础，所有的学科都将变成空中楼阁。一个人要想成为一名科学家，他酋先必须成为一名数学家。数学产生一种魔力控制着我们的思维，大脑一旦失去数学的作用有如身体失去地心引力一样虚无缥缈，数学的魔力不仅使人的大脑产生了严谨的逻辑性，而且使人的工作效率大大提高，这是我们有目共睹的。

学习数学需要两个前提：一是要有悟性，一是要有一定的计算能力，二者缺一不可。悟性的提髙在于勤思考，多发现。在这点上我深有体会，在学习数学的过程中，我常常把一些离散的信息进行加工，得到另一些连续的或更有价值的信息(如将特殊式反推得到一般式就可以看到式子变化的规律)以便增加已知银来解决我所要而对的问题。

数学是一门计算科学，所以学好数学就必须要有一定的计算能力。而数学没学好的人通常有两个原因：一是逻辑思维发生混乱，一是分析计算能力差。

只要找到自己的弱项，努力的拼搏，最终是会成功的。学习数学是没有终点的，成功只是漫漫旅途的一站，而旅途上更多的是失畋，数学上的成功来源于实力而不是靠运气，而实力则是在坚持不懈的奋斗中点点滴滴麽练出来的。那么我们应该怎么样培养我们学习数学的方法呢？ 数学学方法总结

在学数学的过程中，一足会遇到外种.各种各样的公式，定理和规律，这些都是前人毕生心血总结出来的，是人类智惹的结晶，为我们的学习指明了光明的道路。而我们也应该认识到一点：这些仅仅只是大的轮廓，其中所容纳的空间是十分空旷的。前人的路需要我们不断地开拓，不断地完善，然而这一切又一切的实现要靠敢于创新的自我。学习数学，好比建筑一栋大楼，在打好地某一砖一瓦建筑的同时，首先应该检验地基的牢固性，是否经得起百层的建筑。在这之后才能随心所欲地装饰你的大楼。从这里可以看出，学习数学既要在“守旧”中“创新 '又要在‘’创新中‘’守旧'这是最浅显的知识上追求新的发展，在新领域中不脱离根本的原理。这里最重要的是知识的联系，学会举一反三，做到融会贳通，这样才会有学习上的进步，否则只能是在原地踏步。创新是引发历史革命的根本动力，它很可能引发新的数学革命，最终将带动整个社会向前发展。因此，我们应该在具有创新的精神的同时，具有大胆提出问题、汄真研究问题、合理想象问题、巧妙解决问题的信念以及学习数学的热情。培养对数学的热情

无论学什么，兴趣总是最好的老师，数学更是如此。兴趣的培养在于你对数学的认识，那么对于那些对数学没有兴趣又不得不学的人来说，只有培养你对数学的热情了。20 世纪初的大数学家希尔伯特教授曾说过，真正的数学大师是能够在乡间小迸上向偶然遇见的农夫讲淸楚什么是微分几何的人。从这里我们可以肴出数学不只是纯粹的柚象，它是与每个人都密切相关的知识，农夫正是有着对*数学*的热情才津津有味的欣赏着数学大师的”数学表演'由你怀着对数学的一丝希望，请不要放弃，因为这是难能可进的。当你真正的静下心来做几道数学题，可以毫不含糊的说，已经在你的心中唤起了对数学的渴望，燃起了学数学的热情，那么珍惜这份热情，让它变成激情，带着你”飞"向成功吧！丰富你的数学思想

数学思想既丰富又实用，比如说微积分思想、数形结合思想、等价变换思想、相关科学知识互动的思想等等，用途非常的广泛。在数学的城堡里，可以演绎出大量的题型，它们有着规棒般的解题模式，这些思想是需要你点点滴滴的积累。

微积分是高等数学中研究函数的微分。积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分的结题思想我认为包含以下三类： 转化思想。

在日常的学习中，我们都习惯了一些简单的转化方法，比如将1+x2中将x转换为tanx，但是在题目中各类数学形式往往是交叉出现的，这就要求我们要了解转化思维的内涵，而不是浮于表面，能够将转化与函数灵活的结合起来，这样面对复杂的问题时才能正确分析。构造思维

构造法要求去构建一个辅助函数，并在其中运用已知条件中的各类因素 一题多解

为什么我们面对难题时会大脑发懵，甚至毫无应对方法，以至于放弃呢？答案就是惰性。也是我们平常用的最习惯的解决问题的方式，也使得我们放弃了思考。缺乏思考变无法做到厚积薄发。

当然，工科所学的微积分涉及面较窄，这在一定程度上缩小了工科学生对于数学的认知范围，所以，可以试着把工学中的学习方法带入到微积分的学习中来；通过此次竞赛，我发现工科所学的微积分的深度有待提高，这不仅是最基本的计算能力的提升，更是一种数学思维和分析方法的培养。由于难度的降低，使得很多人投入的时间不是很多，这会在很大程度上减少对数学的兴趣，并且会直接影响到未来对工科中一些学科的深入探究。所以，我们对微积分的探究需要有所深入才能灵活自如的运用。微积分在我们眼中不仅仅是题目那么简单，它更是一种认知工具，是一种探索的方法。

当代数学分析权威柯朗(R．Courant)指出：“微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。而在我看来，微积分的意义可从下面几个方面去看。(1)对数学自身的作用

由古希腊继承下来的数学是常量的数学，是静态的数学。自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，是动态的数学。数学开始描述变化、描述运动，改变了整个数学世界的面貌。数学也由几何的时代而进人分析的时代。

微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前的繁荣。如微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立，以及复变函数，微分几何的产生。严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义。(2)对其他学科和工程技术的作用 有了微积分，人类把握了运动的过程，微积分成了物理学的基本语言，寻求问题解答的有力工具。有了微积分就有了工业大革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化的交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，牛顿发现了万有引力定律，发现了宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内，强有力地证明了宇宙的数学设计。(3)对人类物质文明的影响

现代的工程技术直接影响到人们的物质生产，而工程技术的基础是数学，都离不开微积分。如今微积分不但成了自然科学和工程技术的基础，而且还渗透到人们广泛的经济、金融活动中，也就是说微积分在人文社会科学领域中也有着其广泛的应用。(4)对人类文化的影响

如今无论是研究自然规律，还是社会规律都是离不开微积分，因为微积分是研究运动规律的科学。