证明边相等、角相等、线垂直方法归类练习

第一篇：证明边相等、角相等、线垂直方法归类练习

证明边相等、角相等归类练习

（一）证明两条边相等

1、利用全等

如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE2、利用“三线合一”

如图，△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE（提示：可过点A作BC边上的高）

3、利用“等角对等边”

已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC 求证：AB=AC4、利用垂直平分线的性质

如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E 求证：AB=AC5、利用角平分线的性质

如图，已知E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥AO，ED⊥BO，垂足分别是C、D，求证：（1）DE=EC；（2）∠EDC=∠ECD

(二)证明两个角相等

6、利用全等及角的加减

如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC，求证：（1）∠A=∠D；（2）∠ABD=∠ACD（提示：先证∠ABC=∠BCD）

7、利用“三线合一”

如图，AB=AC，AD⊥BC于D

求证：∠BAD=∠CAD8、利用“等边对等角”

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D 求证：BC=AD（提示：连结BD）

（2）如图，AB=AD，CD∥AB，CE∥AD

求证：△CDE是等腰三角形

9、利用“角平分线的性质（逆）”（如下第3题）

10、利用“同角或等角的余角相等”

如图，∠ACB=90，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D

求证：∠BCE=∠DAC

-0

（三）证明两条直线互相垂直

11、利用“三线合一”

如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD

求证：AD⊥BC12、利用证三角形全等

（1）如图，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AB=CD，AC=CE

求证：AC⊥EC

（2）如图，在△ABC中，∠C=90，D、E分别是AC、AB上的点，且AD=BD，AE=BC，DE=DC

求证：（1）DE⊥AB；（2）BD平分∠ABC13、利用“线段垂直平分线的性质（逆）”（如下第11题）0

第二篇：证明角相等的方法

证明角相等的方法

1.通过平行线的性质来证明角相等

2.通过全等三角形对应角相等来证明角相等

3.通过相似三角形对应角相等来证明角相等

4.通过同角或等角的余角或补角相等来证明角相等

5.通过等边对等角来证明角相等

第三篇：证明线段相等的方法

证明线段相等的方法

三角形中：

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。

过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

（三）四边形中：

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

证明角相等的方法

（一）相交直线及平行线：

①二直线 相交，对顶角相等。

②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角

都相等。

④角的平分线分得的两个角相等。

⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行

（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另

一角的右边，则此二角相等

（二）三角形中：

①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）

②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三

内角都相等）

④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角

形

证明直线垂直的方法

（一）相交线与平行线：

①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。

（二）三角形：

①直角三角形的两直角边互相垂直。

②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

证明直线平行的方法

（一）平行线与相交线：

①在同一平面内两条不相交的直线平行。

②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。

③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。

证明直角三角形的方法

①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形

②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形

③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形

第四篇：高中数学竞赛辅导(证明线段或角相等)

高中数学竞赛辅导（证明线段和角相等）基础知识

（1）证明两线段相等的常用方法：①利用全等三角形；②利用角平分线和线段中垂线性质；③利用等腰三角形、平行四边形（如矩形、正方形）、等腰梯形等特殊图形的性质；④利用圆的基本性质；⑤利用反证法；⑥利用面积法；⑦利用线段线段的积性等式；⑧利用同一法；⑨利用三角度量公式进行代数（三角法）。范例解读

1．P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，由P作BC、AC的垂线，垂足为L、M，设D为AB的中点，求证：DM=DL。

2． O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心，点D在AB上，AD=AH，点E在AC上，AE=AO，求证：DE=AE。

A

C

B

3．ABCD为内接四边形，E、F分别在AB、CD上变动，满足AE：EB=CF：FD，P在线段EF上，使得PE：PF=AB：CD，求证：P到AD、BC的距离相等。

D

F

4．圆PN，设l是圆P1和圆P2相交于点M、1和圆P2的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆P1相切于点A，与圆P2相切于点B，设经过点M且与l平行的直线与圆P1还相交于C，与圆P2相切于点D，直线CA和DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P，直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ。

D

5．平面上任给圆O和直线l，过O作直线l的垂线交圆O于PQ，任P、Q中的一点，不妨取点P，过P作直线AB分别交圆O和直线l于A、B，过P作直线CD交圆O和直线l于C、D，连接AD圆O于E，连接BC交圆O于F，证明：PE=PF。

P

i

CM

6．梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，设点K位于两个圆之外，证明；由K向这两圆所作的切线相等。

AD

7．在直角三角形ABC的直角边上向外做正方形ACDE、BCFG，AG、BE分别交BC、AC于P、Q，证明：CP=CQ。

G

AB

8．在凸四边形ABCD的边AB、BC上取点E、F，使得线段DE、DF分对角线AC为三等份，1已知△ADE和△CDF的面积分别是四边形ABCD的面积的，证明：AB=CD。

C

F

A

9．设四边形ABCD内接于⊙O，其对边AB、CD的延长线交⊙O外一点E，自点E引一直线平行于AC，交BD的延长线于点M，自点M引MT切⊙O于点T，求证：MT=ME。

10．O、I分别为△ABC的外心和内心，AD上BC边上的高，I在线段OD上，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。

11．设CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，O、O1,O2分别为△ABC、△ACD、△BCD的内

12的外接圆半径与△ABC的内切圆半径相等。心，求证：△OOO

12．在△ABC中，BC边最短，∠A的内角平分线交BC于点D，∠B和∠C的内角平分线交射线AC、AB于点

E、F，过点D做BC的垂线，过点F做AB的垂线，过点E做AC的垂线，这三条垂线交于点Q，求证：AB=AC。

第五篇：证明线段相等角相等平行垂直的方法 Microsoft Word 文档

平面几何定理总结

1、证明两条线段相等的方法

（1）全等三角形的对应边、对应角相等

（2）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

（6）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

（7）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

（8）直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方

（9）平行四边形的对边相等

（10）夹在两条平行线间的平行线段相等

（11）矩形的对角线相等

（12）菱形的四条边都相等

（13）正方形的四条边相等、两条对角线相等

（14）等腰梯形的两条对角线相等

（15）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

（16）经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

（17）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

（18）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

（19）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

（20）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

（21）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

（22）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

（23）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

（24）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

2、证明角相等的方法

（1）同角或等角的补角相等

（2）同角或等角的余角相等

（3）两直线平行，同位角相等

（4）两直线平行，内错角相等

（5）两直线平行，同旁内角互补

（6）等腰三角形的两个底角相等

（7）平行四边形的对角相等

（8）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（9）等腰梯形两底角相等

（10）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

（11）同弧或等弧所对的圆周角相等

（12）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

（13）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

（14）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

（15）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

（16）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于603、证明平行的方法

（1）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

（2）同位角相等，两直线平行

（3）内错角相等，两直线平行

（4）同旁内角互补，两直线平行

（5）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

（6）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

（7）如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

（8）到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

4、证明垂直的方法

（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（3）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

（4）三角形两边a、b的平方和、等于第三边c的平方，则此三角形直角三角形

（5）矩形的四个角都是直角

（6）菱形的对角线互相垂直

（7）正方形的四个角都是直角

（8）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

（9）半圆(或直径)所对的圆周角是直角

（10）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

（11）圆的切线垂直于经过切点的半径

5、证明全等或相似的方法

（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

（4）有三边对应相等的两个三角形全等

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

（6）关于某条直线对称的两个图形是全等形

（7）关于中心对称的两个图形是全等的（8）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

（9）两角对应相等，两三角形相似

（10）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

（11）三边对应成比例，两三角形相似

（12）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

（13）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

6、有关比例的定理

（1）比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

（2）合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

（3）等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

（4）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

（5）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

（6）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

（7）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（8）相似三角形周长的比等于相似比

（9）相似三角形面积的比等于相似比的平方

（10）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

（11）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

（12）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

（13）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

7、几何不等式

（1）三角形两边的和大于第三边

（2）三角形两边的差小于第三边

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角