第一篇：不等式的方法归纳
不等式的基本性质
①对称性：a > bb > a不等式
②传递性: a > b, b > ca > c
③可加性: a > b a + c > b + c
④可积性: a > b, c > 0ac > bc；
a > b, c < 0ac < bc；
⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d
⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd
⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn(n∈N)
⑧开方法则：a > b > 0, nanb(nN)
2．算术平均数与几何平均数定理：
（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）
（2）如果a、b∈R＋,那么ab
2ab（当且仅当a=b时等号）
222abab如果a,b为实数，则ab 22
重要结论
1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；
（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。
3．证明不等式的常用方法：
比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。
结论：已知a、b、m都是正数，且 abam
bma
b
4．不等式的解法
（1）不等式的有关概念
同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形
1叫做同解变形。
提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项（2）
不等式ax > b的解法
②当a<0时不等式的解集是{x|x
③当a=0时,b<0,其解集是R；b0, 其解集是ф。
（4）绝对值不等式：解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：
（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；（2）公式法：| f(x)| > a f(x)> a或f(x)< －a；| f(x)| < a －a （3）平方法：| f(x)| > a(a>0)f2(x)> a2；| f(x)| < a(a>0) f2(x)< a2；（4）几何意义。数轴标根法 把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。（7）含有绝对值的不等式 定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b| |a| － |b|≤ 中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立 |a+b|≤|a| + |b| ①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a}； 中当且仅当ab≥0等号成立 推论1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3| 推广：｜a1 + a2 +…＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +…+ | an| 推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b| 专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立 1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是（C） A、若a>b，则|a|>|b|B、若a>b，则1/a<1/b C、若a>b，则a3>b3D、若a>b，则a/b>1 2、已知a<0.－1 3、当0 4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是（B）A、0 （二）比较大小 1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则（A）A、a＜bB、a＞bC、ab＜1D、ab＞2 2、a、b为不等的正数，n∈N，则(ab+ab)－(aA、恒正B、恒负 C、与a、b的大小有关D、与n是奇数或偶数有关 3、设1＜x＜10，则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是lgx2>lg2x>lg(lgx) 4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。 n n n－ 1+b n－1)的符号是（C） 5、比较 ba 与 ab的大小。 a1－a与N A＝ ab 2a－a－1的大小。，G＝ab，H＝ 21/a1/b，Q＝ ab26、若a1，比较M 7、设a、b是不相等的正数，试 比较A、G、H、Q的大小。 分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。 （三）利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件 1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系 ⑴命题甲：x>0且y>0，命题乙：x+y>0且xy>0充要条件 ⑵命题甲：x>2且y>2，命题乙：x+y>4且xy>4充分不必要条件 2、已知四个命题，其中a、b∈R ①a2 3、“a+b>2c”的一个充分条件是（C） A、a>c或b>cB、a>c或b＜cC、a>c且b>cD、a>c且b＜c （四）范围问题 1、设60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范围。 2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(―1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(―2)的范围。 （五）均值不等式变形问题 1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是（D） A、a2+b2≥2|a|•|b|B、(a/2+b/2)2≥abC、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|•|b|) 2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是（A） A、x 1x 1x 1x 2B、(x 1x)(y 1y) 4C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2 3、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值为（D）A、6B、7C、8D、9 4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9 5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证： （六）求函数最值 1、若x>4,函数yx 5、大、－62、设x、y∈R, x+y=5，则3x+3y的最小值是（）D A、10B、63C、46D、183、下列各式中最小值等于2的是（）D A、x/y+y/xB、adbcbd bcadac 414x，当x____时，函数有最＿值是_____。 x5x4 C、tanα+cotαD、2x+2－x4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。 5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。（（八）比较法证明不等式 1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm 变：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b22、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有a•f(p)+b•f(q)≥f(ap+bq) （九）综合法证明不等式 1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证： bca a acb b abc c 32、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3 3、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证： abc 1a 1b 1c4、已知a、b∈R+，a+b=1,求证： （十）分析法证明不等式 a1/2b1/2 21、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c 2、已知函数f(x)=lg(1/x－1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求证： f(x1)f(x2) xx2f1 2 3、设实数x,y满足y+x2=0,0 （十一）反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式 1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 2、若x2+y2≤1,求证|x2+2xy－y2|≤ 3、已知a>b>c,求证： 2. 4aca1a 1ab 1bc4、已知a、b、c∈R＋，且a+b>c求证： b1b c1c .5、已知a、b、c∈R，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2 ∵Δ=(c+3b)－4(3b2+3bc+c2)=－3(b2+2bc+c2)≤0 ∴f(a)≥06、已知：x2－2xy + y2 + x + y + 1＝0，求证：1/3≤y/x≤ 37、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：cn≥an + bn8、设an求证： 223(n1) 2x 334 n(n1)(nN) n(n1) an 对所有正整数n都成立。 （十二）解不等式 1、解不等式： 1x 1 3x 22、解关于x的不等式： axxx 20 （十五）绝对值不等式定理中等号成立的问题 1、解关于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x| 2、证明：|x+1/x|≥ 2（十六）绝对值不等式的证明 1、设a∈R，函数f(x)=ax2+x－a(－1≤x≤1).⑴若|a|≤1,求证|f(x)|≤5/4； ⑵若函数f(x)有最大值17/8，求实数a的值。 2、已知|x－a|＜ε/2a,|y－b|＜ε/2|a|,且0＜y＜A，求证：|xy－ab|＜ε 不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。1比较法 比较法是证明不等式的最基本方法，具体有“作差”比较和“作商”比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较） 例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab 2分析：由题目观察知用“作差”比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。 ∵（a3+b3)(a2b+ab2) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) 证明： =(a-b)2(a+b) 又∵(a-b)2≥0a+b≥0 ∴(a-b)2(a+b)≥0 即a3+b3≥a2b+ab2 例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba 分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同“1”比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小 证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则 aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b ∵ab0，∴ab1，a-b0 ∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba 练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法 利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及变形有： （1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号） （2）若a、b∈R+，则a+b≥ 2ab（当且仅当a=b时，取等号） （3）若a、b同号，则 ba+ab≥2（当且仅当a=b时，取等号） 例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1则a1-b2+b1-a2≤ 1分析：通过观察可直接套用： xy≤x2+y2 2证明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1 ∴b1-a2+a1-b2≤1，当且仅当a1+b2=1时，等号成立 练习2：若 ab0，证明a+1(a-b)b≥ 33综合法 综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。 例4，设a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252 证明：∵ a0，b0，a+b=1 ∴ab≤14或1ab≥ 4左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2 =4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252 练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f(n)=1gan+bn+cn 3求证：2f（n）≤f（2n） 4分析法 从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。 例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab 分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 ｜a-c｜＜c2-ab也不适用基本不等式法，用分析法较合适。 要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab 只需证-c2-ab＜a-c＜c2-ab 证明：即证 ｜a-c｜＜c2-ab 即证(a-c)2＜c2-ab 即证 a2-2ac＜-ab ∵a＞0，∴即要证 a-2c＜-b 即需证2+b＜2c，即为已知 ∴ 不等式成立 练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2） 25放缩法 放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。 例6：已知a、b、c、d都是正数 求证： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜ 2分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。 证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d= 1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d ∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜ b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2 综上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2 练习5：已知：a＜2，求证：loga(a+1)＜1 6换元法 换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。 (1)三角换元： 是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。 例 7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0＜A＜ 1证明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy） ∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ =1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ =sinθ ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1 复习6：已知1≤x2+y2≤2，求证：12 ≤x2-xy+y2≤ 3(2)比值换元： 对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。 例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z2≥431 4证明：设x-1=y+12=z-23=k 于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+ 2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2 =14(k+514)2+4314≥4314 7反证法 有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题，适宜用反证法。 例9：已知p3+q3=2，求证：p+q≤ 2分析：本题已知为p、q的三次，而结论中只有一次，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。 证明：解设p+q＞2，那么p＞2-q ∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q 3将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0 即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤ 2练习7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求证：a＞0，b＞0，c＞0 8数学归纳法 与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。 例10：设n∈N，且n＞1,求证：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12 分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法 证明：（1）当n=2时，左= 43，右=52 ∵43＞52∴不等式成立 （2）假设n=k(k≥2，k∈n)时不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)① 要证①式左边＞2k+32，只要证2k+12· 2k+22k+1＞2k+32② 对于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3 〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3) 〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3 〈二〉4＞3③ ∵③成立 ∴②成立，即当n=k+1时，原不等式成立 由（1）（2）证明可知，对一切n≥2（n∈N），原不等式成立 练习8：已知n∈N，且n＞1，求证： 1n+1+1n+2+…+12n＞132 49构造法 根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。 1构造函数法 例11：证明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0） 证明：设f（x）=x1-2x-x2（x≠0） ∵f(-x) =-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x 2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2 =f（x） ∴f（x）的图像表示y轴对称 ∵当x＞0时，1-2x＜0，故f（x）＜0 ∴当x＜0时，据图像的对称性知f（x）＜0 ∴当x≠0时，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0） 练习9：已知a＞b，2b＞a+c，求证：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab 2构造图形法 例12：若f（x）=1+x2，a≠b，则|f（x）-f（b）|＜ |a-b| 分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2 于是如下图，设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2 0B=1+b2 |AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b| 练习10：设a≥c，b≥c，c≥0，求证 c(a-c)+c(b-c)≤ab 10添项法 某些不等式的证明若能优先考虑“添项”技巧，能得到快速求解的效果。 1倍数添项 若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。 例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）证明：∵a、b、c∈R+ ∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc 当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。 2平方添项 运用此法必须注意原不等号的方向 例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证： (1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2) 证明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0时ba＞ b+ma+m ∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞ ∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2) 3平均值添项 例15：在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC≤3 32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算术平均值添项sin π 3证明：先证命题：若x＞0，y＜π，则sinx+siny≤2sin x+y2（当且仅当x=y时等号成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y 2∴上式成立 反复运用这个命题，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332 ∴sinA+sinB≠sinC≤332 练习11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18 4利用均值不等式等号成立的条件添项 例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求证a4+b4＞ 18 分析：若取消a≠b的限制则a=b= 12时，等号成立 证明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a① 同理b4+3(12)4 ≥b② ∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③ ∵a≠b ∴①②中等号不成立∴③中等号不成立∴ 原不等式成立 1．是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立？ 错解：证明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故说明c存在。 正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要证不等式xx+2y+xx+2y≤23，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。 6.2已知x,y,z∈R+，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 错解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz 错因：根据不等式的性质：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,则ac bd，但 ac＞bd却不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，两边同除以x+y+z: x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 6.3 设x+y>0，n为偶数，求证yn-1xn+xn-1yn≥ 1x 1y 错证：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y =(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn n为偶数，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn- 1同号，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y 错因：在x+y>0的条件下，n为偶数时，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同号，应分x、y同号和异号两种情况讨论。 正解：应用比较法： yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ① 当x>0,y>0时，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0 所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y ② 当x,y有一个是负值时，不妨设x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y| 又n为偶数时,所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y 综合①②知原不等式成立 安康学院 数统系数学与应用数学 专业 11 级本科生 论文（设计）选题实习报告 11级数学与应用数学专业《科研训练2》评分表 注：综合评分60的为“及格”； <60分的为“不及格”。 以下讨论的字母除特殊声明都是正数 由于本人懒打字，理由是为了清晰一点，简记一下东西：比如∑ai里字母i是下标，表示a1+a2+...+an，∑a/(b+c)表示循环求和,=a/(b+c)+ b/(c+a)+ c/(a+b) 1.基本不等式 记G(x)=((∑ai)/n)^(1/x) 规定G(0)=(a1a2...an)^(1/n)即几何平均 那么G(1)就是算术平均,G(2)就是平方平均,G(-1)就是调和平均 G(2)≥G(1)≥G(0)≥G(-1),可以证明G(x)是增函数 2.(a1+a2+a3)^2 ≥3(a1a2+a2a3+a3a1) 3.柯西不等式推广-分式不等式 (ai)²(∑ai)² ∑----≥----- bi∑bi 能秒杀了大量高中选/填题 4.定义在在某区间内的函数f(x),d>0 若二阶导数f''(x)<0,则 f(x+d)-f(x)f(x)-f(x-d) -----------< f'(x)<------------- dd 若二阶导数f''(x)>0,则上面的<改向 特别地取d=1,估算f(1)+f(2)+f(3)...的范围时候就有用了(其实是∫<∑<∫...当我什么也没说过)比如经典的估计 ∑1/√n的整数部分 要适应高中的书面表达的话，只要说“以下证明该不等式”，不用把什么二阶导数的拿出来 5.几何意义 定义在R _______________________ √a²+b² +√c²+d² ≥√(a+c)²+(b+d)² 取等条件:(a,b),(c,d)与原点共线即a/c =b/d _________________ ★√2x²-6x+5 +√2x²-14x+25最小值？ __________________________ 配方成√(x-1)²+(x-2)²+√(x-3)²+(x-4)² 6.高考压轴题的不等式似乎流行递推型，以上所有不等式似乎没多大用，只能靠自己妙手偶 得了，多收集一下高考题吧。 特殊类别的: 对任意n证明an>常数,试试构造出an-常数的递推式 证明a1+a2+...+an >常数 , 试试找出a1>等比数列 有一些不是递推型的，涉及超越函数类的不等式 比如 sinx≤x , e^x≥1+x , 1/x-1 ≤lnx ≤ x-1等等 上面的还有范围限制哦，反正背也没多大用，需要用的时候自己推导。 竞赛级别,不等式证明好像渐渐不常见了。不过它如同几何题，需要的是独具匠心的构造。变形有两大类，恒等变形和不等变形。 7.凸函数（又名Jensen)不等式 从图像上看有明显的几何意义：在定义域内如果 若f''<0则f(a1)+f(a2)+...+f(an)a1+a2+...+an ---------------------≤ f(--------------) nn 取等当a1=a2...=an 若f''>0则≤改为≥ 例子太多了...有一些样子像凸函数，可是f''的正负不恒定(欲扁命题人） ★设x,y,z>0，且x+y+z=3m≤1，求证：（1/x^2y)(1/z^2m]^3 原本打算是两边取对数后就像凸函数不等式了，可是事实不然，只是略微用了凸性： 原题≤> (1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)(1-m^3)^3 ---------------------≥----------- x²y²z²(m^2)^3 分母可以比较 尝试证(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)≥(1-m^3)^3 由凸函数ln(1-x^3)性质即可 8.换元法之一元换多元 ★cos²A+cos²B+cos²C=1_ 求证:tanA+tanB+tanC≥3√2 已知A,B,C三角均为锐角 类比长方体的对角线与侧面所成角中有cos²A+cos²B+cos²C=1 ,可令cosA=a/√（a^2+b^2+c^2),则tanA=√（b²+c²)/a 然后直接均值不等式 ____ ★还有一个xyz=1证明∑1/√1+8x 如果换元成1/√(1+8x)=a/√(a²+8bc)那么就是某IMO题了，见后面零件分析法 9.换元法之多元换一元 你自己想例题嘛，多的是(-_-')换后的一个方向就是用凸函数不等式 10.换元法之反代 ★ a^2+b^2+c^2=1,证明∑ab/c≥√3 设ab/c=x,则条件换为xy+yz+zx=1,再用第2招！ 11.邻项合并 ★ a,b,c>0证明ab/c +bc/a+ ca/b ≥ a+b+c ab/c +bc/a ≥2b,求和再除以2即可 12.单项分解 ★ 正数a,b,c,a+b+c=1,证明(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 1-a=b+c≥2√(bc) ★正数a,b,c,a+b+c=1,证明(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c) (1+a)=(1-b + 1-c)≥2√((1-b)(1-c)) 13.零件分析法 这方法可是有名了(上网找)，主要思想就是A +B ≥C 则得到零件不等式 A ≥C-B，两边求和的时候∑C-B能便于取得最值，从而解决问题。要 注意的是：要顺着取等条件来构造。 ★x+y+z=1，求证1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^2+1)≤2.7 证明1/(x^2+1)≤1.1-0.6x(0 ★xyz=1，证明：（1998年第39届IMO预选试题） x^3y^3z^33 --------+------------+------------≥----- (1+y)(1+z)(1+x)(1+z)(1+x)(1+y)4 x^3/(1+y)/(1+z)+(1+y)/8 +(1+z)/8 ≥ 3x/4,叠加整理即见。 _______ ★a,b,c>0证明∑√a/(b+c)≥2 _____________ √a/(b+c)=a/√a(b+c)≥2a/(a+b+c) ★证明∑a/√(a²+8bc)≥1 提示一下吧，寻找常数k使 a/√(a²+8bc)≥ a^k/(a^k+b^k+c^k)(有点像通分吧） 还有很多例子。。因为那是取自我的藏经阁，而前面的因为觉得简单所以没藏好例子，只能一话带过。 14.恒等变形。需要强大的代数运算能力...★a,b,c>0,abc≤1,证∑(a+b)/c ≥2(a+b+c) ∑(a+b)/c =(∑a)(∑1/a)-3 ≥3∑a-3 =2∑a +∑a-3 ≥2∑a +3-3 ★a,b,c>0证:∑1/a ≤(∑a^8)/(abc)^3 证明a8+b8+c8≥a3b3c2+a3b2c3+a2b3c3 只需要证明 3a8+3b8+2c8≥8a3b3c2 3a8+2b8+3c8≥8a3b2c3 2a8+3b8+3c8≥8a2b3c3 相加即可 15.没能叫出名字的方法 不等式证明如下棋，棋子走法有常规也有非常规，千变万化不能用一言概括。。而且这里列的不等式还算比较容易了，更高级别的不敢弄出 来了。 ★特值法(?):已知实数a,b,c,x,y,z满足 (a+b+c)(x+y+z)=3 (a*a+b*b+c*c)(x*x+y*y+z*z)=4 求证 ax+by+cz大于等于0 把a,b,c乘上一个数，同时x,y,z除以一个数不影响结论，所以可设 a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2=2 (a+x)^2+(b+y)^2+(c+z)^2≥(a+b+c+x+y+z)^2/3≥4(a+b+c)(x+y+z)/3=4 展开得ax+by+cz≥0 ★暴力法:这个算得好辛苦，不想展示了，要看的就点http://post.baidu.com/f?kz=229750254 ★这题莫名其妙的比较大小...换元后求算∑√(xy)最大值，经试验，缩放到算术平均是不能取最大值...1/A+1/B+1/C=2 A,B,C≥1 证明 SQRT(A+B+C)≥SQRT(A-1)+SQRT(B-1)+SQRT(C-1)换元A=x+1等等,两边平方等价整理成 3/2 ≥ ∑√(xy)= s 把已知条件通分整理得 1=2xyz + t² ≤2/√(27)* t^3 +t²(1) 其中t=√(xy+yz+zx)≥ √(3)*(xyz)^(1/3) (1)≤>(t-√3/2)(t+√3)²≥0...其实利用取等条件可以看出根的即t² ≥ 3/4(2) 然后条件变形: 2=∑yz/(xyz+yz) ≥ s²/(∑(xyz+yz)) =s²/(3xyz + t²) =s²/((1-t²)/2*3 + t²)根据(1)式 =s²/(3/2-t²/2) ≥s²/(3/2-3/8)根据(2)式 然后就行了 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 不等式的一些证明方法 [摘要]：不等式是数学中非常重要的内容,不等式的证明是学习中的重点和难点,本文除总结不等式的常规证明方法外,给出了不等式相关的证明方法在具体实例中的应用.[关键词] 不等式;证明;方法； 应用 不等式在数学中占重要地位,由于其本身的完美性及证明的困难性,使不等式成为各类考试中的热点试题,证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中常用的方法有放缩法、代换法、归纳法、反证法等等.因而涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵活,故本文对不等式的证明方法进行一些探讨总结.一、中学中有关不等式的证明方法 1.1中学课本中的四种证明方法 1.1.1理清不等式的证明方法 （1）比较法：证明不等式的基本方法,适应面宽.①相减比较法—欲证AB,则证AB0.②相除比较法—欲证A>B（A>0,B>0）,则证>1.（2）综合法：利用平均不等式、二次方程根的判别式、二项式定理、数列求和等等。此方法灵活性大,需反复练习.（3）分析法：当综合法较困难或行不通时,可考虑此法,但不宜到处乱用.第1页（共13页） AB 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)（4）数学归纳法：凡与自然数n有关的不等式,可考虑此法,但有时使用起来比较困难,应与前面几种方法配合应用.1.1.2选择典型范例,探求解题途径 例1.1.1 求证 12x42x3x2 分析 用相减比较法证明AB0.一般应将AB变形为[f(x)] 2、（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同号）,或变形为多个因子的[f(x)]2[g(x)] 2、乘积、平方式.本题可化为两个完全平方式的和或化为一个完全平方式与一个正因式的积.证： 2x42x3x212x3(x1)(x1)(x1) (x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1) 132(x1)2[(x)2] 442x42x3x210 当xR时，即 12x42x3x2 例1.1.2 证明 n(n1)n1....(n1).分析 题中含n,但此题用数学归纳法不易证明,通过变形后可采用平均不等式来证.11111(11)(1）（1)23n2n nn34n12n>n23.4...n1=nn1（再变形）=2323nn11111n1....(11)(1)....(1)23n2n 证： nnn11n12131n第2页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 2 1n34n1....23nn234....n1nn1 n23n131n所以 n(n1)n1.... 例1.1.3 求证： 1112+ 11+„+>n(n1,n为自然数)2n 分析 与自然数有关的问题,可考虑用数学归纳法.设nK时成立,需证nK1时也成立,需证明K+K+ 1>K1,可采用“凑项”的方法： K1KK11KK1K11=>==K1 K1K1K1K1111221222,右边2,所以, 2 证：(1)当n2时,左边左边右边.(2)假设nK时, 1111+ 11+„+>K成立,则当nK1时, 2K+ 1111+„++ K+ K12K1KKK11K1 => KK1K1K1K1K1 综上所述： 1.2关于不等式证明的常规方法（1）利用特殊值证明不等式 11+ 11+„+>n 2n特殊性存在于一般规律之中,并通过特例表现出来.如果把这种辩证思想用于解题之中,就可开阔解题思路.第3页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)例1.2.1 已知ab,b0,ab1.求证（a+）(b+)≥ 121a1b25.412112211125只需证明当ab时，（a+）(b+)≥.故可设ax ab2411b x,(|x|且x0)22证：考虑a与b都去特殊值,既当ab时有（2）（2）=4则 a21b21(a21)(b21)(ab1)2111（a+）(b+)=== abababab33(x2)21(x2)2125=4>4=.114x244故原不等式得证.（2）利用分子有理化证明不等式 分母有理化是初中数学教材中重要知识,它有着广泛的应用,而分子有理化也隐含于各种习题之中,它不但有各种广泛的作用,而且在证明不等式中有它的独特作用.例1.2.2[1] 求证13-12<12-11.证：利用分子有理化易得：13-12=1312>12+11 1131211312,12-11= 11211, < 11211 即 13-12<12-11.（3）应用四种“平均”之间的关系证明不等式 四种“平均”之间的关系,既调和平均数H(a)≤几何平均数G(a)≤ 第4页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)算数平均数A(a)≤平方平均数Q(a).写得再详细些就是：若a1,a2,a3，an都是正实数,则： 111aa121≤na1a2an≤ a1a2ann≤ a21a2ann22 an（注：这一串不等式在不等式证明中起着举足轻重的作用.）例1.2.3 已知ab,求证a+证：a+ 1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥3×3(ab)b3 (ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要结论,使解题简捷 ①对实数a,b,c,d有 a2b2≥2ababba;a2b2c2abbcca;a2b2c2d2abbccdda.②若a,b同号,则≥2； 若a,b,c均为正数,则≥3.a2b2ab2 ③若是正数,则≥≥ab≥（当且仅当ab时等号 1122abbaabbacbac成立） a2b2c2abc3 若a,b,c是正数,则≥3abc≥ 11133abc（当且仅当abc时等号成立） 例1.2.4 若a,b,c0,且abc1,求证 9 第5页（共13页） 1a1b1c 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)分析 证法较多,但由abc1与之间的联系,考虑算术平均与调和平均的关系式简便.证：由算术平均数和调和平均的关系可知 abc3 1113abc1a1b1c所以 abc99, 又abc1得 1 111111abcabc1a1b1c即 9.（5）利用式的对称性证明不等式 形如xy,a2b2c2的式子中任意两个量交换位置后结果仍不变,这就是“式”对称,可以用对称关系来解决一些不等式的证明.例1.2.5 设a,b,c,d是正数,且满足abcd1,求证 4a14b14c14d16 证：由4a1944a12942a13 注意到对称有： 94(abcd)1317(4a14b14c14d1) 422即 4a14b14c14d16 故原命题得证.（6）用“双十字法”证明不等式 例1.2.6 已知x,y0并且xy1 求证： x23xy2y22xy32x221xy11y24x21y2 证：因 x23xy2y22xy3(x2y)(xy)2xy3 第6页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)=(x2y3)(xy1)0 类似的，2x221xy11y24x21y2(2xy2)(x11y1)0 故结论成立.（7）用恒等变形推导 例1.2.7[2] 求证：对于任意角度,都有58cos4cos2cos3≥0 证：58cos4cos2cos3 =58cos4(2cos21)(4cos33cos) =15cos8cos24cos3(1cos)(4cos24cos1)=(1cos)(2cos1)20 （8）分解为几个不等式的和或积 例1.2.8[2] 已知a,b,c是不全相等的正数,求证： a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc 证： b2c22bc,a0,a(b2c2)2abc 2222b(ca)2abc,c(ab)2abc.同理 a,b,c不全相等,所以上述三式中,等号不能同时成立.把三式相加 得 a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc （注：这里把不等式的各项分别考虑,然后利用不等式的性质和推论,证得所求不等式.） 例1.2.9 设是锐角,求证：(111)(1)5.sincos 证： 是锐角,0sin1,0cos1,0sin21, 这时 1121,1,2.sincossin2第7页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)(111112)(1)15.sincossincossin2（9）利用极限证明不等式 例1.2.10[2]证明：当x2(1+2)时,有 (2x1)2(2x3)3(2x5)....xx3 证： 在x0的情况下讨论,令 f(x)(2x1)(2x3)3(2x5)....x,g(x)x3 则 f(x)x(x1)(2x1)，6x(x1)(2x1)f(x)16于是 lim limxg(x)x3x3按极限的定义,对于,取2(12)当|x|2(12)有 f(x)11 , g(x)3414即 0f(x)71 从而f(x)g(x),故结论成立.12g(x)12（10）利用平分法证明不等式 例1.2.11 若x0,i1,2,3,且xi1,则 i1311127 2221x11x21x310 证：因为12111911x时有,所以,且当 x1ii22331xi1xi101119273 222101x11x21x310故 1.3关于不等式证明的非常规方法（1）换元法 这种方法多用于条件不等式的证明,换元法主要有三角代换和均值代 第8页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)换两种.三角代换时已知条件特征明显.在结构上必须和三角公式相似.例1.3.1 已知x2y21,求证：| x2+2xy-y2|≤2.证：令xrcos,yrsin 则 | x2+2xy-y2|=|r2(cos22sincossin2| =r2|cos2sin2| = r2|2sin(2450)|≤12×1=2 例1.3.2[4]设a,b,cR 且abc1,求证：a2b2c2≥.证：a=+α,b=+β,c=+γ, 因为abc1,所以 0 于是有a2b2c2=+（）+（222）≥.（2）反证法 先假设所要证明的不等式不成立,即要证的不等式的反面成立,然后从这个假设出发进行正确的推理,最终推出与已知条件或已知真命题相矛盾的结论,从而断定假设错误,进而确定要证明的不等式成立.例1.3.3[5]求证：由小于1的三个正数a,b,c所组成的三个积（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不能同时大于 证：（反证法）假设（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 则有（1-a)b(1-b)c(1-c)a> 2***31314141 ① 641aa1但由01-a)a≤条件,即有，0(1-a)a≤.24同理有0(1-b)b≤,0(1-c)c≤.即（1-a)b(1-b)c(1-c)a≤② 64 1414第9页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)①与②产生矛盾,从而原命题成立.（3）构造法 在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、向量、对偶式等,完成不等式的证明.例1.3.4 求证 证： 设A=1212342n11.2n2n132n1242n,B=，352n142n12342n12n由于,,，,因此AB，23452n2n113242n1242n2n1)()A, 2n352n12n12n1所以A2AB(故 （4）判别式法 12342n11 2n2n1适用于含有两个或两个以上字母不等式,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑用判别式法.例1.3.5[6]x2x113求证:≤2≤.x122x2x1 证： 设f(x)y2,则(1y)x2x1y0,所以xR，x1当y1时,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又当y1时,方程的解x0，x2x113故 ≤2≤.x122121232（5）放缩法 第10页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)为了证明不等式的需要,有时需舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性达到目的.例1.3.6[5]设a,b为不相等的两个正数,且a3-b3=a2b2.求证1ab.证： 由题设得a3-b3=a2b2a2abb2ab, 于是(ab)2 a2abb2ab,则(ab)1,又(ab)24ab，(ab)2 而(ab)a2abbababab 422243即(ab)2ab,所以（ab), 综上所述, 1ab（6）向量法 向量这部分知识由于独有的形与数兼备的特点,使得向量成了数形结合的桥梁,在方法和理论上是解决其他一些问题的有利工具.对于某些不等式的证明,若借助向量的数量积的性质,可使某些不等式较易得到证明.例1.3.7 求证：求证1≤ 1x2x≤2 9.三、小结 证明不等式的途径是对原不等式作代数变形,在初等数学中常用的第11页（共13页） 1a1b1c 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)方法大致有放缩法、代换法、归纳法、反证法等等.然而涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵活,仅在中学教科书上就有很多方法,但还不足以充分开拓人们的思维,为此,我们要进一步探究不等式的证明方法,并给出了在实例中的应用.参考文献 [1] 段明达.不等式证明的若干方法[J].教学月刊(中学版),2007(6).[2] 彭军.不等式证明的方法探索[J].襄樊职业技术学院学报,2007(4).[3] 周兴建.不等式证明的若干方法[J].中国科教创新导刊,2007(26).[4] 郭煜,张帆不等式证明的常见方法[J].高等函授学报(自然科学版),2007(4).[5] 王保国.不等式证明的六种非常规方法[J].数学爱好者(高二版),2007(7).[6] 赵向会.浅谈不等式的证明方法[J].张家口职业技术学院学报,2007(1).[7] 豆俊梅.高等数学中几类不等式的证明[J].中国科技信息,2007(18).[8] 刘玉琏,傅佩仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版 第12页（共13页） 数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)社,1988,P201-211.[9] 牛红玲.高等数学中证明不等式的几种方法[J].承德民族师专学报,2006(2).[10] 王喜春.不等式证明常用的技巧[J].数学教学研究,1995(2).第13页（共13页）第二篇：证明不等式方法
第三篇：不等式证明若干方法
第四篇：证明不等式的方法
第五篇：不等式的一些证明方法
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