6-08.资料-用均值不等式中等号成立的条件证题

第一篇：6-08.资料-用均值不等式中等号成立的条件证题

湖南省新宁县第一中学李水平专用教案第六章—不等式

资料2：用均值不等式中等号成立的条件证题 我们知道，均值不等式a1a2ana1a2an(a1,a2,,an0)中n

等号成立的充要条件为a1a2an.下面举例说明它在证明条件等式和不等式方面的应用.例1 设a,bR,且ab2ba21,求证:a2b21.证明：由平均值不等式，得

a2(b2)2a21b

2① ab222

b2(a2)2b21a2

② ba222

a21b2b21a2

1③ ①+②，得abba2222

由题设知③式中等号成立，其充要条件为

ab2,且ba2,a2b21.cos4sin4例2 已知α、β为锐角，且1,求证.2sin2cos2

cos4cos42sin2sin22cos2① 证明：22sinsin

sin4sin42cos2cos22sin2② 22coscos

cos4sin4①+②，得1.③ 22sincos

由题设知，③式中等号成立，其充要条件为4cossi4n22sin且cos.22sincos

湖南省新宁县第一中学李水平专用教案第六章—不等式 cos2sin2且sin2cos2

,为锐角,cossin

 

例3 已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证

22ana12a21 a1a2a2a3ana12

证明：由a1a2an1,引入参数tR,有ta1ta2tant, 22ana12a2故 a1a2a2a3ana1

22ana12a2[t(a1a2)][t(a2a3)][t(ana1)]2ta1a2a2a3ana1

2(a1a2an)2t2(t)当且仅当a1t(a1a2),a2(a2a3),,an(ana1)时，等号成立.将上述n个不等式相加，得

a1a2an2(a1a2an)t.11,t.24

22ana12a2111因此有2(tt)2(),证毕.a1a2a2a3ana1242